Все выпуски

В работе рассматривается квадратичная дискретная модель популяционной динамики с запаздыванием под воздействием случайных возмущений. Анализ стохастических аттракторов модели проводится с помощью методов прямого численного моделирования и техники функций стохастической чувствительности. Показана деформация вероятностных распределений случайных состояний вокруг устойчивых равновесий и циклов при изменении параметров. Продемонстрировано явление индуцированных шумом переходов в зоне дискретных циклов.

We consider a time-delayed quadratic discrete model of population dynamics under the influence of random perturbations. Analysis of stochastic attractors of the model is performed using the methods of direct numerical simulation and the stochastic sensitivity function technique. A deformation of the probability distribution of random states around the stable equilibria and cycles is studied parametrically. The phenomenon of noise-induced transitions in the zone of discrete cycles is demonstrated.

Предложена модель рыночного ценообразования фирм-дуополистов, представляющая динамику цен в виде четырехпараметрического двумерного отображения. Показано, что неподвижная точка данного отображения совпадает с точкой локального равновесия цен по Нэшу при игровом взаимодействии фирм. Численно выявлены бифуркации неподвижной точки, показан сценарий перехода от периодического режима к хаотическому через удвоение периода. Для обеспечения устойчивости локального равновесия цен по Нэшу предложен механизм управления динамикой цен на рынке, позволяющий стабилизировать хаотические траектории цен и согласовать экономические интересы фирм в процессе формирования их ценовой политики.

The model of market pricing in duopoly describing the prices dynamics as a two-dimensional map is presented. It is shown that the fixed point of the map coincides with the local Nash-equilibrium price in duopoly game. There have been numerically identified a bifurcation of the fixed point, shown the scheme of transition from periodic to chaotic mode through a doubling period. To ensure the sustainability of local Nashequilibrium price the controlling chaos mechanism has been proposed. This mechanism allows to harmonize the economic interests of the firms and to form the balanced pricing policy.

Данная работа посвящена модификации ранее предлагавшегося автором дискретного варианта модели А. П. Михайлова «власть–общество». Эта модификация учитывает социально-экономическое развитие системы и коррупцию в ней по аналогии с непрерывной моделью «власть–общество–экономика–коррупция», но имеет в своей основе стохастический клеточный автомат, описывающий динамику распределения власти в иерархии. Новая версия модели построена путем введения в пространство состояний клетки ранее предлагавшегося клеточного автомата переменных, соответствующих численности населения, объему экономического производства, объему основных производственных фондов и уровню коррупции. Структура социально-экономических зависимостей в системе заимствована из модели Солоу и непрерывной детерминированной модели «власть–общество–экономика–коррупция», однако особенностью новой модели является ее гибкость, позволяющая рассматривать в ее рамках региональные различия во всех параметрах социально-экономического развития, различные модели производства и динамики народонаселения, а также транспортные связи между регионами. Построена имитационная система, включающая три уровня властной иерархии, пять регионов и 100 муниципалитетов, при помощи которой проведен ряд вычислительных экспериментов. В ходе этого исследования получены результаты, указывающие на изменение характера динамики распределения власти при повышении уровня коррупции. Если в отсутствие коррупции (аналогично предыдущей версии модели) распределение власти в иерархии асимптотически стремится к одному из стационарных состояний, то при наличии высокого уровня коррупции объем власти в системе испытывает нерегулярные колебательные изменения и лишь в дальнейшем также сходится к стационарному состоянию. Данные результаты можно содержательно интерпретировать как снижение стабильности властной иерархии при усилении коррупции.

In this paper we consider a new modification of the discrete version of Mikhailov’s ‘power–society’ model, previously proposed by the author. This modification includes social-economical dynamics and corruption of the system similarly to continuous ‘power–society–economics–corruption’ model but is based on a stochastic cellular automaton describing the dynamics of power distribution in a hierarchy. This new version is founded on previously proposed ‘power–society’ system modeling cellular automaton, its cell state space enriched with variables corresponding to population, economic production, production assets volume and corruption level. The social-economical structure of the model is inherited from Solow and deterministic continuous ‘power–society–economics–corruption’ models. At the same time the new model is flexible, allowing to consider regional differentiation in all social and economical dynamics parameters, to use various production and demography models and to account for goods transit between the regions. A simulation system was built, including three power hierarchy levels, five regions and 100 municipalities. and a number of numerical experiments were carried out. This research yielded results showing specific changes of the dynamics in power distribution in hierarchy when corruption level increases. While corruption is zero (similar to the previous version of the model) the power distribution in hierarchy asymptotically tends to one of stationary states. If the corruption level increases substantially, volume of power in the system is subjected to irregular oscillations, and only much later tends to a stationary value. The meaning of these results can be interpreted as the fact that the stability of power hierarchy decreases when corruption level goes up.

Для изучения нелинейных эффектов взаимодействия биологических видов развивается численно-аналитический подход, основанный на теории косимметрии, объясняющей явление возникновения непрерывных семейств решений дифференциальных уравнений, когда каждое решение может быть реализовано из соответствующего бассейна начальных данных. В задачах математической экологии возникновение косимметрии обычно связано с выполнением ряда соотношений между параметрами системы. При нарушении этих соотношений происходит разрушение семейств, когда вместо континуума решений возникает конечное число изолированных решений, а процесс установления может занимать большое время. При этом динамический процесс происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии.

Рассматривается модель пространственно-временной конкуренции хищников и жертв с учетом направленной миграции, функционального отклика Холлинга типа II и нелинейной функции роста жертв, допускающей эффект Олли. Найдены условия на параметры системы, при которых существует линейная по плотностям популяций косимметрия. Показано, что косимметричность не зависит от вида функции ресурса в случае неоднородного ареала. Для расчета стационарных решений и колебательных режимов и случая пространственной неоднородности применяется вычислительный эксперимент в среде MATLAB.

Рассмотрены важные случаи взаимодействия трех популяций (жертва и два хищника, две жертвы и хищник). В случае однородного ареала исследованы возникновение семейств стационарных распределений и ответвление предельных циклов от теряющих устойчивость равновесий семейства. Для системы двух жертв и хищника обнаружены области параметров, при которых реализуются три семейства устойчивых решений: сосуществование двух жертв без хищника, стационарные и колебательные распределения трех сосуществующих видов. В численном эксперименте проанализировано разрушение косимметрии и установлено долгое установление, приводящее к решениям с вытеснением одной из жертв или вымиранием хищника.

To study nonlinear effects of biological species interactions numerical-analytical approach is being developed. The approach is based on the cosymmetry theory accounting for the phenomenon of the emergence of a continuous family of solutions to differential equations where each solution can be obtained from the appropriate initial state. In problems of mathematical ecology the onset of cosymmetry is usually connected with a number of relationships between the parameters of the system. When the relationships collapse families vanish, we get a finite number of isolated solutions instead of a continuum of solutions and transient process can be long-term, dynamics taking place in a neighborhood of a family that has vanished due to cosymmetry collapse.

We consider a model for spatiotemporal competition of predators or prey with an account for directed migration, Holling type II functional response and nonlinear prey growth function permitting Alley effect. We found out the conditions on system parameters under which there is linear with respect to population densities cosymmetry. It is demonstated that cosymmetry exists for any resource function in case of heterogeneous habitat. Numerical experiment in MATLAB is applied to compute steady states and oscillatory regimes in case of spatial heterogeneity.

The dynamics of three population interactions (two predators and a prey, two prey and a predator) are considered. The onset of families of stationary distributions and limit cycle branching out of equlibria of a family that lose stability are investigated in case of homogeneous habitat. The study of the system for two prey and a predator gave a wonderful result of species coexistence. We have found out parameter regions where three families of stable solutions can be realized: coexistence of two prey in absence of a predator, stationary and oscillatory distributions of three coexisting species. Cosymmetry collapse is analyzed and long-term transient dynamics leading to solutions with the exclusion of one of prey or extinction of a predator is established in the numerical experiment.

В работе предлагается двумерная хемомеханическая модель роста инвазивной карциномы в ткани эпителия. Каждая клетка ткани представляет собой эластичный многоугольник, изменяющий свою форму и размеры под действием сил давления со стороны ткани. Средние размер и форма клеток были откалиброваны на основе экспериментальных данных. Модель позволяет описывать динамические деформации в ткани эпителия как коллективную эволюцию клеток, взаимодействующих посредством обмена механическими и химическими сигналами. Общее направление роста опухоли задается линейным градиентом концентрации питательного элемента. Рост и деформация ткани осуществляются за счет механизмов деления и интеркаляции клеток. В модели предполагается, что карцинома представляет собой гетерогенное образование, составленное из клеток с разным фенотипом, которые выполняют в опухоли различные функции. Основным параметром, определяющим фенотип клетки, является степень ее адгезии к примыкающей ткани. Выделено три основных фенотипа раковых клеток: эпителиальный (Э) фенотип представлен внутренними клетками опухоли, мезенхимальный (М) фенотип представлен одиночными клетками, промежуточный фенотип представлен фронтальными клетками опухоли. При этом в модели предполагается, что фенотип каждой клетки при определенных условиях может динамически меняться за счет эпителиально-мезенхимального (ЭМ) и обратного к нему (МЭ) переходов. Для здоровых клеток выделен основной Э-фенотип, который представлен обычными клетками с сильной адгезией друг к другу. Предполагается, что здоровые клетки, которые примыкают к опухоли, под воздействием последней испытывают вынужденный ЭМ-переход и образуют М-фенотип здоровых клеток. Численное моделирование показало, что в зависимости от значений управляющих параметров, а также комбинации возможных фенотипов здоровых и раковых клеток эволюция опухоли может приводить к разнообразным структурам, отражающим самоорганизацию клеток опухоли. Проводится сравнение структур, полученных в численном эксперименте, с морфологическими структурами, ранее выявленными в клинических исследованиях карциномы молочной железы: трабекулярной, солидной, тубулярной и альвеолярной структурами, а также дискретными клетками с амебоидным поведением. Обсуждается возможный сценарий морфогенеза и типа инвазивного поведения для каждой структуры. Описан процесс метастазирования, при котором одиночная раковая клетка амебоидного фенотипа, перемещающаяся за счет интеркаляций в ткани здорового эпителия, делится и испытывает МЭ-переход с появлением вторичной опухоли.

In this paper, we proposed a two-dimensional chemo-mechanical model of the growth of invasive carcinoma in epithelial tissue. Each cell is modeled by an elastic polygon, changing its shape and size under the influence of pressure forces acting from the tissue. The average size and shape of the cells have been calibrated on the basis of experimental data. The model allows to describe the dynamic deformations in epithelial tissue as a collective evolution of cells interacting through the exchange of mechanical and chemical signals. The general direction of tumor growth is controlled by a pre-established linear gradient of nutrient concentration. Growth and deformation of the tissue occurs due to the mechanisms of cell division and intercalation. We assume that carcinoma has a heterogeneous structure made up of cells of different phenotypes that perform various functions in the tumor. The main parameter that determines the phenotype of a cell is the degree of its adhesion to the adjacent cells. Three main phenotypes of cancer cells are distinguished: the epithelial (E) phenotype is represented by internal tumor cells, the mesenchymal (M) phenotype is represented by single cells and the intermediate phenotype is represented by the frontal tumor cells. We assume also that the phenotype of each cell under certain conditions can change dynamically due to epithelial-mesenchymal (EM) and inverse (ME) transitions. As for normal cells, we define the main E-phenotype, which is represented by ordinary cells with strong adhesion to each other. In addition, the normal cells that are adjacent to the tumor undergo a forced EM-transition and form an M-phenotype of healthy cells. Numerical simulations have shown that, depending on the values of the control parameters as well as a combination of possible phenotypes of healthy and cancer cells, the evolution of the tumor can result in a variety of cancer structures reflecting the self-organization of tumor cells of different phenotypes. We compare the structures obtained numerically with the morphological structures revealed in clinical studies of breast carcinoma: trabecular, solid, tubular, alveolar and discrete tumor structures with ameboid migration. The possible scenario of morphogenesis for each structure is discussed. We describe also the metastatic process during which a single cancer cell of ameboid phenotype moves due to intercalation in healthy epithelial tissue, then divides and undergoes a ME transition with the appearance of a secondary tumor.

Выход биомассы — отношение вновь синтезированного вещества растущих клеток к количеству потребленного субстрата — источника вещества и энергии для роста клеток. Выход является характеристикой эффективности конверсии субстрата в биомассу. Эта конверсия выполняется метаболизмом, который является полным множеством биохимических реакций, происходящих в клетках.

В этой работе заново рассмотрена проблема предсказания максимального выхода роста живых клеток, основанная на балансе всего метаболизма клеток и его фрагментов, названных парциальными обменами (ПО). Для рассмотрения задачи использованы следующие ПО. При росте на любом субстрате мы рассматриваем стандартный конструктивный обмен (СКО), который состоит из одинаковых метаболических путей при росте различных организмов на любом субстрате. СКО начинается с нескольких стандартных соединений (узловых метаболитов): глюкоза, ацетил-КоА, $\alpha$-кетоглутарат, эритрозо-4-фосфат, оксалоацетат, рибозо-5-фосфат, 3-фосфоглицерат, фосфоенолпируват, пируват. Также рассматриваем передний метаболизм (ПМ) — остальная часть полного метаболизма. Первый ПО потребляет макроэргические связи (МЭС), образованные вторым ПО. В данной работе мы рассматриваем обобщенный вариант ПМ, когда учтены возможное наличие внеклеточных продуктов метаболизма и возможность как аэробного, так и анаэробного роста. Вместо отдельных балансов образования каждого узлового метаболита, как это было сделано в нашей предыдущей работе, данная работа имеет дело сразу со всем множеством этих метаболитов. Это делает решение задачи более компактным и требующим меньшего числа биохимических величин и значительно меньшего вычислительного времени. Выведено уравнение, выражающее максимальный выход биомассы через удельные количества МЭС, образованных и потребленных парциальными обменами. Оно содержит удельное потребление МЭС стандартным конструктивным обменом, которое является универсальным биохимическим параметром, применимым к широкому диапазону организмов и субстратов роста. Чтобы корректно определить этот параметр, полный конструктивный обмен и его передняя часть рассмотрены для роста клеток на глюкозе как наиболее изученном субстрате. Здесь мы использовали открытые ранее свойства элементного состава липидной и безлипидной частей биомассы. Было сделано численное исследование влияния вариаций соотношений между потоками через различные узловые метаболиты. Оно показало, что потребности СКО в макроэргических связях и NAD(P)H практически являются константами. Найденный коэффициент «МЭС/образованная биомасса» является эффективным средством для нахождения оценок максимального выхода биомассы из субстратов, для которых известен их первичный метаболизм. Вычисление отношения «АТФ/субстрат», необходимого для оценки выхода биомассы, сделано с помощью специального пакета компьютерных программ GenMetPath.

The biomass growth yield is the ratio of the newly synthesized substance of growing cells to the amount of the consumed substrate, the source of matter and energy for cell growth. The yield is a characteristic of the efficiency of substrate conversion to cell biomass. The conversion is carried out by the cell metabolism, which is a complete aggregate of biochemical reactions occurring in the cells.

This work newly considers the problem of maximal cell growth yield prediction basing on balances of the whole living cell metabolism and its fragments called as partial metabolisms (PM). The following PM’s are used for the present consideration. During growth on any substrate we consider i) the standard constructive metabolism (SCM) which consists of identical pathways during growth of various organisms on any substrate. SCM starts from several standard compounds (nodal metabolites): glucose, acetyl-CoA 2-oxoglutarate, erythrose-4-phosphate, oxaloacetate, ribose-5- phosphate, 3-phosphoglycerate, phosphoenolpyruvate, and pyruvate, and ii) the full forward metabolism (FM) — the remaining part of the whole metabolism. The first one consumes high-energy bonds (HEB) formed by the second one. In this work we examine a generalized variant of the FM, when the possible presence of extracellular products, as well as the possibilities of both aerobic and anaerobic growth are taken into account. Instead of separate balances of each nodal metabolite formation as it was made in our previous work, this work deals at once with the whole aggregate of these metabolites. This makes the problem solution more compact and requiring a smaller number of biochemical quantities and substantially less computational time. An equation expressing the maximal biomass yield via specific amounts of HEB formed and consumed by the partial metabolisms has been derived. It includes the specific HEB consumption by SCM which is a universal biochemical parameter applicable to the wide range of organisms and growth substrates. To correctly determine this parameter, the full constructive metabolism and its forward part are considered for the growth of cells on glucose as the mostly studied substrate. We used here the found earlier properties of the elemental composition of lipid and lipid-free fractions of cell biomass. Numerical study of the effect of various interrelations between flows via different nodal metabolites has been made. It showed that the requirements of the SCM in high-energy bonds and NAD(P)H are practically constants. The found HEB-to-formed-biomass coefficient is an efficient tool for finding estimates of maximal biomass yield from substrates for which the primary metabolism is known. Calculation of ATP-to-substrate ratio necessary for the yield estimation has been made using the special computer program package, GenMetPath.

В настоящее время наиболее распространенный подход к расчету оптимальных по Нэшу–Курно стратегий участников олигополистических рынков, а следовательно и показателей таких рынков, связан с использованием линейных динамических игр с квадратичными критериями и решением обобщенных матричных уравнений Риккати.

Другой подход к исследованию оптимальных разомкнутых (open-loop) стратегий участников олигополистических рынков, развиваемый автором, основан на использовании операционного исчисления (в частности, Z-преобразования). Этот подход позволяет получить экономически приемлемые решения для более широкого диапазона изменения параметров используемых моделей, чем при применении методов, основанных на решении обобщенных матричных уравнений Риккати. Метод отличается относительной простотой вычислений и необходимой для экономического анализа наглядностью. Одним из его достоинств является то, что во многих важных для экономической практики случаях он, в отличие от традиционного подхода, обеспечивает возможность проведения расчетов с использованием широко распространенных электронных таблиц, что позволяет проводить исследование перспектив развития олигополистических рынков широкому кругу специалистов и потребителей.

В статье рассматриваются практические аспекты определения оптимальных по Нэшу–Курно стратегий участников олигополистических рынков на основе операционного исчисления, в частности техника проведения расчетов оптимальных по Нэшу–Курно стратегий в среде Excel. В качестве иллюстрации возможностей предлагаемых методов расчета исследуются примеры, близкие к практическим задачам прогнозирования показателей рынков высокотехнологичной продукции.

Полученные автором для многочисленных примеров и реальных экономических систем результаты расчетов, как с использованием полученных соотношений на основе электронных таблиц, так и с использованием расширенных уравнений Риккати, оказываются весьма близкими. В большинстве рассмотренных практических задач отклонение рассчитанных в соответствии с двумя подходами показателей, как правило, не превышает 1.5–2 %. Наибольшая величина относительных отклонений (до 3–5 %) наблюдается в начале периода прогнозирования. В типичных случаях период сравнительно заметных отклонений составляет 3–5 моментов времени. После переходного периода наблюдается практически полное совпадение значений искомых показателей при использовании обоих подходов.

The traditional approach to computing optimal game strategies of firms on oligopolistic markets and of indicators of such markets consists in studying linear dynamical games with quadratic criteria and solving generalized matrix Riccati equations.

The other approach proposed by the author is based on methods of operational calculus (in particular, Z-transform). This approach makes it possible to achieve economic meaningful decisions under wider field of parameter values. It characterizes by simplicity of computations and by necessary for economic analysis visibility. One of its advantages is that in many cases important for economic practice, it, in contrast to the traditional approach, provides the ability to make calculations using widespread spreadsheets, which allows to study the prospects for the development of oligopolistic markets to a wide range of professionals and consumers.

The article deals with the practical aspects of determining the optimal Nash–Cournot strategies of participants in oligopolistic markets on the basis of operational calculus, in particular the technique of computing the optimal Nash–Cournot strategies in Excel. As an illustration of the opportinities of the proposed methods of calculation, examples close to the practical problems of forecasting indicators of the markets of high-tech products are studied.

The results of calculations obtained by the author for numerous examples and real economic systems, both using the obtained relations on the basis of spreadsheets and using extended Riccati equations, are very close. In most of the considered practical problems, the deviation of the indicators calculated in accordance with the two approaches, as a rule, does not exceed 1.5–2%. The highest value of relative deviations (up to 3–5%) is observed at the beginning of the forecasting period. In typical cases, the period of relatively noticeable deviations is 3–5 moments of time. After the transition period, there is almost complete agreement of the values of the required indicators using both approaches.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Гидриды металлов представляют собой интересный класс соединений, способных обратимо связывать большое количество водорода и потому представляющих интерес для приложений энергетики. Особенно важно понимание факторов, влияющих на кинетику формирования и разложения гидридов. Особенности материала, экспериментальной установки и условий влияют на математическое описание процессов, которое может претерпевать существенные изменения в ходе обработки экспериментальных данных. В статье предложен общий подход к численному моделированию формирования и разложения гидридов металлов и решения обратных задач оценки параметров материала по данным измерений. Модели делятся на два класса: диффузионные, принимающие во внимание градиент концентрации водорода в решетке металла, и модели с быстрой диффузией. Первые более сложны и имеют форму неклассических краевых задач параболического типа. Описан подход к сеточному решению таких задач. Вторые решаются сравнительно просто, но могут сильно меняться при изменении модельных предположений. Опыт обработки экспериментальных данных показывает, что необходимо гибкое программное средство, позволяющее, с одной стороны, строить модели из стандартных блоков, свободно изменяя их при необходимости, а с другой — избегать реализации рутинных алгоритмов, причем приспособленное для высокопроизводительных систем различной парадигмы. Этим условиям удовлетворяет представленная в работе библиотека HIMICOS, протестированная на большом числе экспериментальных данных. Она позволяет моделировать кинетику формирования и разложения гидридов металлов (и других соединений) на трех уровнях абстракции. На низком уровне пользователь определяет интерфейсные процедуры, такие как расчет слоя по времени на основании предыдущего слоя или всей предыстории, вычисление наблюдаемой величины и независимой переменной по переменным задачи, сравнение кривой с эталонной. При этом могут использоваться алгоритмы, решающие краевые задачи параболического типа со свободными границами в весьма общей постановке, в том числе с разнообразными квазилинейными (линейными по производной) граничными условиями, а также вычисляющие расстояние между кривыми в различных метрических пространствах и с различной нормировкой. Это средний уровень абстракции. На высоком уровне достаточно выбрать готовую модель для того или иного материала и модифицировать ее применительно к условиям эксперимента.

Metal hydrides are an interesting class of chemical compounds that can reversibly bind a large amount of hydrogen and are, therefore, of interest for energy applications. Understanding the factors affecting the kinetics of hydride formation and decomposition is especially important. Features of the material, experimental setup and conditions affect the mathematical description of the processes, which can undergo significant changes during the processing of experimental data. The article proposes a general approach to numerical modeling of the formation and decomposition of metal hydrides and solving inverse problems of estimating material parameters from measurement data. The models are divided into two classes: diffusive ones, that take into account the gradient of hydrogen concentration in the metal lattice, and models with fast diffusion. The former are more complex and take the form of non-classical boundary value problems of parabolic type. A rather general approach to the grid solution of such problems is described. The second ones are solved relatively simply, but can change greatly when model assumptions change. Our experience in processing experimental data shows that a flexible software tool is needed; a tool that allows, on the one hand, building models from standard blocks, freely changing them if necessary, and, on the other hand, avoiding the implementation of routine algorithms. It also should be adapted for high-performance systems of different paradigms. These conditions are satisfied by the HIMICOS library presented in the paper, which has been tested on a large number of experimental data. It allows simulating the kinetics of formation and decomposition of metal hydrides, as well as related tasks, at three levels of abstraction. At the low level, the user defines the interface procedures, such as calculating the time layer based on the previous layer or the entire history, calculating the observed value and the independent variable from the task variables, comparing the curve with the reference. Special algorithms can be used for solving quite general parabolic-type boundary value problems with free boundaries and with various quasilinear (i.e., linear with respect to the derivative only) boundary conditions, as well as calculating the distance between the curves in different metric spaces and with different normalization. This is the middle level of abstraction. At the high level, it is enough to choose a ready tested model for a particular material and modify it in relation to the experimental conditions.

В работе изучаются пространственно-временные режимы, реализующиеся в системе типа «хищник– жертва». Предполагается, что хищники перемещаются направленно и случайно, а жертвы распространяются только диффузионно. Демографические процессы в популяции хищников не учитываются, их общая численность постоянна и является параметром. Переменные модели — плотности популяций хищников и жертв, скорость хищников — связаны между собой системой трех уравнений типа «реакция – диффузия – адвекция». Система рассматривается на кольцевом ареале (с периодическими условиями на границах интервала). Исследуются бифуркации волновых режимов при изменении двух параметров — общего количества хищников и их коэффициента таксисного ускорения.

Основным методом исследования является численный анализ. Пространственная аппроксимация задачи в частных производных производится методом конечных разностей. Интегрирование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени проводится методом Рунге – Кутты. Для анализа динамических режимов используются построение отображения Пуанкаре, расчет показателей Ляпунова и спектр Фурье.

Показано, что популяционные волны в предположениях модели могут возникать в результате направленных перемещений хищников. Динамика в системе качественно меняется при росте их общего количества. При малых значениях устойчив стационарный однородный режим, который сменяется автоколебаниями в виде бегущих волн. Форма волн претерпевает изменения с ростом бифуркационного параметра, ее усложнение происходит за счет увеличения числа временных колебательных мод. Большой коэффициент таксисного ускорения приводит к переходу от многочастотных к хаотическим и гиперхаотическим популяционным волнам. При большом количестве хищников реализуется стационарный режим с отсутствием жертв.

Our purpose is to study the spatio-temporal population wave behavior observed in the predator-prey system. It is assumed that predators move both directionally and randomly, and prey spread only diffusely. The model does not take into account demographic processes in the predator population; it’s total number is constant and is a parameter. The variables of the model are the prey and predator densities and the predator speed, which are connected by a system of three reaction – diffusion – advection equations. The system is considered on an annular range, that is the periodic conditions are set at the boundaries of the interval. We have studied the bifurcations of wave modes arising in the system when two parameters are changed — the total number of predators and their taxis acceleration coefficient.

The main research method is a numerical analysis. The spatial approximation of the problem in partial derivatives is performed by the finite difference method. Integration of the obtained system of ordinary differential equations in time is carried out by the Runge –Kutta method. The construction of the Poincare map, calculation of Lyapunov exponents, and Fourier analysis are used for a qualitative analysis of dynamic regimes.

It is shown that, population waves can arise as a result of existence of directional movement of predators. The population dynamics in the system changes qualitatively as the total predator number increases. А stationary homogeneous regime is stable at low value of parameter, then it is replaced by self-oscillations in the form of traveling waves. The waveform becomes more complicated as the bifurcation parameter increases; its complexity occurs due to an increase in the number of temporal vibrational modes. A large taxis acceleration coefficient leads to the possibility of a transition from multi-frequency to chaotic and hyperchaotic population waves. A stationary regime without preys becomes stable with a large number of predators.