Все выпуски

Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, в которой в явном виде выделяются члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений; нелинейные члены записываются в виде неявных функций от этих переменных. Для численного решения начальной задачи, описываемой такой системой дифференциальных уравнений, используется одношаговый метод Галёркина. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы линейных функций, удовлетворяющих начальным условиям, и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближенно по методу Галёркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые на каждом шаге решаются методом итераций. Из решения в конце каждого шага определяются начальные условия на следующем шаге.

Корректирующие функции берутся одинаковыми для всех шагов. В общем случае для расчетов на больших интервалах времени используются 4 или 5 корректирующих функций: в первом наборе — базовые степенные функции от 2-й до 4-й или 5-й степеней; во втором наборе — образованные из базовых функций ортогональные степенные полиномы; в третьем наборе — образованные из базовых функций специальные линейно независимые многочлены с конечными условиями, упрощающими «стыковку» решений на следующих шагах.

На двух примерах расчета нелинейных колебаний систем с одной и с двумя степенями свободы выполнены численные исследования точности численного решения начальных задач на различных интервалах времени по методу Галёркина с использованием указанных наборов степенных корректирующих функций. Выполнены сравнения результатов, полученных по методу Галёркина и по методам Адамса и Рунге – Кутты четвертого порядка. Показано, что методом Галёркина можно получить достоверные результатына значительно больших интервалах времени, чем по методам Адамса и Рунге – Кутты.

A nonlinear oscillatory system described by ordinary differential equations with variable coefficients is considered, in which terms that are linearly dependent on coordinates, velocities and accelerations are explicitly distinguished; nonlinear terms are written as implicit functions of these variables. For the numerical solution of the initial problem described by such a system of differential equations, the one-step Galerkin method is used. At the integration step, unknown functions are represented as a sum of linear functions satisfying the initial conditions and several given correction functions in the form of polynomials of the second and higher degrees with unknown coefficients. The differential equations at the step are satisfied approximately by the Galerkin method on a system of corrective functions. Algebraic equations with nonlinear terms are obtained, which are solved by iteration at each step. From the solution at the end of each step, the initial conditions for the next step are determined.

The corrective functions are taken the same for all steps. In general, 4 or 5 correction functions are used for calculations over long time intervals: in the first set — basic power functions from the 2nd to the 4th or 5th degrees; in the second set — orthogonal power polynomials formed from basic functions; in the third set — special linear-independent polynomials with finite conditions that simplify the “docking” of solutions in the following steps.

Using two examples of calculating nonlinear oscillations of systems with one and two degrees of freedom, numerical studies of the accuracy of the numerical solution of initial problems at various time intervals using the Galerkin method using the specified sets of power-law correction functions are performed. The results obtained by the Galerkin method and the Adams and Runge –Kutta methods of the fourth order are compared. It is shown that the Galerkin method can obtain reliable results at significantly longer time intervals than the Adams and Runge – Kutta methods.

Схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы) в настоящее время имеют достаточно обширную область применения для аппроксимации разрывных решений в уравнениях в частных производных. Данные схемы применялись для прямого численного моделирования и моделирования динамики больших вихрей в задачах газовой динамики, задачах МГД и даже для задач нейтронной кинетики. Данная работа посвящена уточнению некоторых характеристик схем WENO и численному моделированию характерных задач, которые позволяют сделать выводы обоб ласти применимости данных схем. Первая часть работы содержала результаты по доказательству свойств аппроксимации, устойчивости и сходимости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13. Во второй части работы проводится модифицированный волновой анализ, позволяющий сделать вывод о дисперсионных и диссипативных свойствах схем. Далее, проводится численное моделирование ряда характерных задач для уравнений гиперболического типа: уравнений переноса (одномерное и двухмерное), уравнения Хопфа, уравнения Бюргерса (с малой диссипацией) и уравнения динамики невязкого газа (одномерное и двухмерное). Для каждой из задач, подразумевающих гладкое решение, приведено практическое вычисление порядка аппроксимации с помощью метода Рунге. Во всех задачах проверяются выводы, сделанные в первой части работы по влиянию шага по времени на нелинейные свойства схем. В частности, для уравнений переноса разрывной функции и уравнений Хопфа показано, что невыполнение указанных рекомендаций ведет вначале к росту вариации решения, а затем включается диссипативный нелинейный механизм схемы и аппроксимация падает. Практически подтверждены выводы первой части по условиям устойчивости. Для одномерного уравнения Бюргерса проведено моделирование затухания случайно распределенных начальных условий в периодической области и выполнено сопоставление со спектральным методом. Делается вывод о применимости схем WENO7–WENO13 для прямого численного моделирования турбулентности. В конце демонстрируются возможности схем на начально-краевых задачах для уравнений динамики невязкого газа: неустойчивость Рэлея–Тейлора и отражение ударной волны от клина с образованием сложной конфигурации ударных волн и разрывов.

WENO schemes (weighted, essentially non oscillating) are currently having a wide range of applications as approximate high order schemes for discontinuous solutions of partial differential equations. These schemes are used for direct numerical simulation (DNS) and large eddy simmulation in the gas dynamic problems, problems for DNS in MHD and even neutron kinetics. This work is dedicated to clarify some characteristics of WENO schemes and numerical simulation of specific tasks. Results of the simulations can be used to clarify the field of application of these schemes. The first part of the work contained proofs of the approximation properties, stability and convergence of WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 and WENO13 schemes. In the second part of the work the modified wave number analysis is conducted that allows to conclude the dispersion and dissipative properties of schemes. Further, a numerical simulation of a number of specific problems for hyperbolic equations is conducted, namely for advection equations (one-dimensional and two-dimensional), Hopf equation, Burgers equation (with low dissipation) and equations of non viscous gas dynamics (onedimensional and two-dimensional). For each problem that is implying a smooth solution, the practical calculation of the order of approximation via Runge method is performed. The influence of a time step on nonlinear properties of the schemes is analyzed experimentally in all problems and cross checked with the first part of the paper. In particular, the advection equations of a discontinuous function and Hopf equations show that the failure of the recommendations from the first part of the paper leads first to an increase in total variation of the solution and then the approximation is decreased by the non-linear dissipative mechanics of the schemes. Dissipation of randomly distributed initial conditions in a periodic domain for one-dimensional Burgers equation is conducted and a comparison with the spectral method is performed. It is concluded that the WENO7–WENO13 schemes are suitable for direct numerical simulation of turbulence. At the end we demonstrate the possibility of the schemes to be used in solution of initial-boundary value problems for equations of non viscous gas dynamics: Rayleigh–Taylor instability and the reflection of the shock wave from a wedge with the formation a complex configuration of shock waves and discontinuities.

В последние десятилетия важное значение приобретает разработка методов повышения эффективности извлечения углеводородов в месторождениях с нетрадиционными запасами, содержащими в больших количествах газовый конденсат. Это делает актуальным развитие методов математического моделирования, реалистично описывающих процессы фильтрации газоконденсатной смеси в пористой среде.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая динамику изменения давления, скорости и концентрации компонент двухкомпонентной двухфазовой смеси, поступающей в лабораторную модель пласта, заполненную пористым веществом с известными физико-химическими свойствами. Математическая модель описывается системой нелинейных пространственно-одномерных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Лабораторные эксперименты показывают, что в течение конечного времени система стабилизируется, что дает основание перейти к стационарной постановке задачи.

Численное решение сформулированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений реализовано в среде Maple на основе метода Рунге–Кутты с автоматическим выбором шага. Показано, что полученные на этой основе физические параметры двухкомпонентной газоконденсатной смеси из метана и н-бутана, характеризующие моделируемую систему в режиме стабилизации, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Это подтверждает реалистичность выбранного подхода и обоснованность его дальнейшего развития и применения для компьютерного моделирования неравновесных физических процессов в газоконденсатных смесях в пористой среде с целью выработки в перспективе практических рекомендаций по увеличению извлекаемости углеводородного газоконденсата из природных месторождений. В работе представлена математическая постановка системы нелинейных уравнений в частных производных и соответствующей стационарной задачи, описан метод численного исследования, обсуждаются полученные численные результаты в сравнении с экспериментальными данными.

In the last decades, the development of methods for increasing the efficiency of hydrocarbon extraction in fields with unconventional reserves containing large amounts of gas condensate is of great importance. This makes important the development of methods of mathematical modeling that realistically describe physical processes in a gas-condensate mixture in a porous medium.

In the paper, a mathematical model which describes the dynamics of the pressure, velocity and concentration of the components of a two-component two-phase mixture entering a laboratory model of plast filled with a porous substance with known physicochemical properties is considered. The mathematical model is based on a system of nonlinear spatially one-dimensional partial differential equations with the corresponding initial and boundary conditions. Laboratory experiments show that during a finite time the system stabilizes, what gives a basis to proceed to the stationary formulation of the problem.

The numerical solution of the formulated system of ordinary differential equations is realized in the Maple environment on the basis of the Runge–Kutta procedure. It is shown that the physical parameters of the gascondensate mixture, which characterize the modeled system in the stabilization regime, obtained on this basis, are in good agreement with the available experimental data. This confirms the correctness of the chosen approach and the validity of its further application and development for computer modeling of physical processes in gas-condensate mixtures in a porous medium. The paper presents a mathematical formulation of the system of partial differential equations and of respective system stationary equations, describes the numerical approach, and discusses the numerical results obtained in comparison with experimental data.

Распространение устойчивых когерентных образований электромагнитного поля в нелинейных средах с меняющимися в пространстве параметрами может быть описано в рамках итераций нелинейных интегральных преобразований. Показано что для ряда актуальных геометрий задач нелинейной оптики численное моделирование путем сведения к динамическим системам с дискретным временем и непрерывными пространственными переменными, основанное на итерациях локальных нелинейных отображений Фейгенбаума и Икеды, а также нелокальных диффузионно-дисперсионных линейных интегральных преобразований, эквивалентно в довольно широком диапазоне параметров дифференциальным уравнениям в частных производных типа Гинзбурга–Ландау. Такие нелокальные отображения, представляющие собой при численной реализации произведения матричных операторов, оказываются устойчивыми численно-разностными схемами, обеспечивают быструю сходимость и адекватную аппроксимацию решений. Реалистичность данного подхода позволяет учитывать влияние шумов на нелинейную динамику путем наложения на расчетный массив чисел при каждой итерации пространственного шума, задаваемого в виде многомодового случайного процесса, и производить отбор устойчивых волновых конфигураций. Нелинейные волновые образования, описываемые данным методом, включают оптические фазовые сингулярности, пространственные солитоны и турбулентные состояния с быстрым затуханием корреляций. Определенный интерес представляют полученные данным численным методом периодические конфигурации электромагнитного поля, возникающие в результате фазовой синхронизации, такие как оптические решетки и самоорганизованные вихревые кластеры.

The propagation of stable coherent entities of an electromagnetic field in nonlinear media with parameters varying in space can be described in the framework of iterations of nonlinear integral transformations. It is shown that for a set of geometries relevant to typical problems of nonlinear optics, numerical modeling by reducing to dynamical systems with discrete time and continuous spatial variables to iterates of local nonlinear Feigenbaum and Ikeda mappings and nonlocal diffusion-dispersion linear integral transforms is equivalent to partial differential equations of the Ginzburg–Landau type in a fairly wide range of parameters. Such nonlocal mappings, which are the products of matrix operators in the numerical implementation, turn out to be stable numerical- difference schemes, provide fast convergence and an adequate approximation of solutions. The realism of this approach allows one to take into account the effect of noise on nonlinear dynamics by superimposing a spatial noise specified in the form of a multimode random process at each iteration and selecting the stable wave configurations. The nonlinear wave formations described by this method include optical phase singularities, spatial solitons, and turbulent states with fast decay of correlations. The particular interest is in the periodic configurations of the electromagnetic field obtained by this numerical method that arise as a result of phase synchronization, such as optical lattices and self-organized vortex clusters.

Разработан метод и комплекс программ для численного моделирования процесса формирования поляронных состояний в конденсированных средах. Проведено численное исследование этого процесса для водной среды при воздействии лазерного облучения в ультрафиолетовом диапазоне. Показано, что в рамках предложенного подхода удается численно воспроизвести экспериментальные данные по формированию гидратированных электронов. Представлена схема численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамическую модельпо лярона. Программная реализация выполнена с использованием технологии параллельного программирования MPI. Обсуждаются численные результаты в сравнении с экспериментальными данными и теоретическими оценками.

A method and a complex of computer programs are developed for the numerical simulation of the polaron states excitation process in condensed media. A numerical study of the polaron states formation in water under the action of the ultraviolet range laser irradiation is carried out. Our approach allows to reproduce the experimental data of the hydrated electrons formation. A numerical scheme is presented for the solution of the respective system of nonlinear partial differential equations. Parallel implementation is based on the MPI technique. The numerical results are given in comparison with the experimental data and theoretical estimations.

Представлена программа NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) численного решения граничных задач для нелинейных дифференциальных уравнений второго порядка на основе непрерывного аналога метода Ньютона (НАМН) с использованием нумеровской конечно-разностной аппроксимации четвертого порядка относительно шага дискретизации по пространственной переменной. Обсуждаются алгоритмы вычисления ньютоновского итерационного параметра. Выполнены методические расчеты, демонстрирующие влияние выбора итерационного параметра на сходимость итерационного процесса. Представлены результаты проведенного с помощью программы NINE численного исследования положительных частицеподобных решений уравнения скалярного поля.

The computer code NINE (Newtonian Iteration for Nonlinear Equation) for numerical solution of the boundary problems for nonlinear differential equations on the basis of continuous analogue of the Newton method (CANM) is presented. Numerov’s finite-difference appproximation is applied to provide the fourth accuracy order with respect to the discretization stepsize. Algorithms of calculating the Newtonian iterative parameter are discussed. A convergence of iteration process in dependence on choice of the iteration parameter has been studied. Results of numerical investigation of the particle-like solutions of the scalar field equation are given.

Математические модели газовой динамики и ее вычислительная индустрия, на наш взгляд, далеки от совершенства. Мы посмотрим на эту проблематику с точки зрения ясной вероятностной микромодели газа из твердых сфер, опираясь как на теорию случайных процессов, так и на классическую кинетическую теорию в терминах плотностей функций распределения в фазовом пространстве; а именно, построим сначала систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а затем обобщенное случайное и неслучайное интегро-дифференциальное уравнение Больцмана с учетом корреляций и флуктуаций. Ключевыми особенностями исходной модели являются случайный характер интенсивности скачкообразной меры и ее зависимость от самого процесса.

Кратко напомним переход ко все более грубым мезо-макроприближениям в соответствии с уменьшением параметра обезразмеривания, числа Кнудсена. Получим стохастические и неслучайные уравнения, сначала в фазовом пространстве (мезомодель в терминах СДУ по винеров- ским мерам и уравнения Колмогорова – Фоккера – Планка), а затем в координатном пространстве (макроуравнения, отличающиеся от системы уравнений Навье – Стокса и систем квазигазодинамики). Главным отличием этого вывода является более точное осреднение по скорости благодаря аналитическому решению стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, в виде которых представлена промежуточная мезомодель в фазовом пространстве. Такой подход существенно отличается от традиционного, использующего не сам случайный процесс, а его функцию распределения. Акцент ставится на прозрачности допущений при переходе от одного уровня детализации к другому, а не на численных экспериментах, в которых содержатся дополнительные погрешности аппроксимации.

Теоретическая мощь микроскопического представления макроскопических явлений важна и как идейная опора методов частиц, альтернативных разностным и конечно-элементным.

Mathematical models of gas dynamics and its computational industry, in our opinion, are far from perfect. We will look at this problem from the point of view of a clear probabilistic micro-model of a gas from hard spheres, relying on both the theory of random processes and the classical kinetic theory in terms of densities of distribution functions in phase space, namely, we will first construct a system of nonlinear stochastic differential equations (SDE), and then a generalized random and nonrandom integro-differential Boltzmann equation taking into account correlations and fluctuations. The key feature of the initial model is the random nature of the intensity of the jump measure and its dependence on the process itself.

Briefly recall the transition to increasingly coarse meso-macro approximations in accordance with a decrease in the dimensionalization parameter, the Knudsen number. We obtain stochastic and non-random equations, first in phase space (meso-model in terms of the Wiener — measure SDE and the Kolmogorov – Fokker – Planck equations), and then — in coordinate space (macro-equations that differ from the Navier – Stokes system of equations and quasi-gas dynamics systems). The main difference of this derivation is a more accurate averaging by velocity due to the analytical solution of stochastic differential equations with respect to the Wiener measure, in the form of which an intermediate meso-model in phase space is presented. This approach differs significantly from the traditional one, which uses not the random process itself, but its distribution function. The emphasis is placed on the transparency of assumptions during the transition from one level of detail to another, and not on numerical experiments, which contain additional approximation errors.

The theoretical power of the microscopic representation of macroscopic phenomena is also important as an ideological support for particle methods alternative to difference and finite element methods.

Репрессилятором называют первую в синтетической биологии генную регуляторную сеть, искусственно сконструированную в 2000 году. Он представляет собой замкнутую цепь из трех генетических элементов — $lacI$, $\lambda cI$ и $tetR$, — которые имеют естественное происхождение, но в такой комбинации в природе не встречаются. Промотор каждого гена контролирует следующий за ним цистрон по принципу отрицательной обратной связи, подавляя экспрессию соседнего гена. В данной работе впервые рассматривается нелинейная динамика модифицированного репрессилятора, у которого имеются запаздывания по времени во всех звеньях регуляторной цепи. Запаздывание может быть как естественным, т. е. возникать во время транскрипции/трансляции генов в силу многоступенчатого характера этих процессов, так и искусственным, т. е. специально вноситься в работу регуляторной сети с помощью методов синтетической биологии. Предполагается, что регуляция осуществляется протеинами в димерной форме. Рассмотренный репрессилятор имеет еще две важные модификации: расположение на той же плазмиде гена $gfp$, кодирующего флуоресцентный белок, а также наличие в системе накопителя для белка, кодируемого геном $tetR$. В рамках детерминистского описания методом разложения на быстрые и медленные движения получена система нелинейных дифференциальных уравнений с запаздыванием на медленном многообразии. Показано, что при определенных значениях управляющих параметров единственное состояние равновесия теряет устойчивость колебательным образом. Для симметричного репрессилятора, у которого все три гена идентичны, получено аналитическое решение для нейтральной кривой бифуркации Андронова–Хопфа. Для общего случая асимметричного репрессилятора нейтральные кривые построены численно. Показано, что асимметричный репрессилятор является более устойчивым, так как система ориентируется на поведение наиболее стабильного элемента в цепи. Изучены нелинейные динамические режимы, возникающие в репрессиляторе при увеличении надкритических значений управляющих параметров. Кроме предельного цикла, отвечающего поочередным релаксационным пульсациям белковых концентраций элементов, в системе обнаружено существование медленного многообразия, не связанного с этим циклом. Долгоживущий переходный режим, который отвечает многообразию, отражает процесс длительной синхронизации пульсаций в работе отдельных генов. Производится сравнение полученных результатов с известными из литературы экспериментальными данными. Обсуждается место предложенной в работе модели среди других теоретических моделей репрессилятора.

The repressor is the first genetic regulatory network in synthetic biology, which was artificially constructed in 2000. It is a closed network of three genetic elements — $lacI$, $\lambda cI$ and $tetR$, — which have a natural origin, but are not found in nature in such a combination. The promoter of each of the three genes controls the next cistron via the negative feedback, suppressing the expression of the neighboring gene. In this paper, the nonlinear dynamics of a modified repressilator, which has time delays in all parts of the regulatory network, has been studied for the first time. Delay can be both natural, i.e. arises during the transcription/translation of genes due to the multistage nature of these processes, and artificial, i.e. specially to be introduced into the work of the regulatory network using synthetic biology technologies. It is assumed that the regulation is carried out by proteins being in a dimeric form. The considered repressilator has two more important modifications: the location on the same plasmid of the gene $gfp$, which codes for the fluorescent protein, and also the presence in the system of a DNA sponge. In the paper, the nonlinear dynamics has been considered within the framework of the deterministic description. By applying the method of decomposition into fast and slow motions, the set of nonlinear differential equations with delay on a slow manifold has been obtained. It is shown that there exists a single equilibrium state which loses its stability in an oscillatory manner at certain values of the control parameters. For a symmetric repressilator, in which all three genes are identical, an analytical solution for the neutral Andronov–Hopf bifurcation curve has been obtained. For the general case of an asymmetric repressilator, neutral curves are found numerically. It is shown that the asymmetric repressor generally is more stable, since the system is oriented to the behavior of the most stable element in the network. Nonlinear dynamic regimes arising in a repressilator with increase of the parameters are studied in detail. It was found that there exists a limit cycle corresponding to relaxation oscillations of protein concentrations. In addition to the limit cycle, we found the slow manifold not associated with above cycle. This is the long-lived transitional regime, which reflects the process of long-term synchronization of pulsations in the work of individual genes. The obtained results are compared with the experimental data known from the literature. The place of the model proposed in the present work among other theoretical models of the repressilator is discussed.

В работе изучаются возможности прогнозирования потери устойчивости тонких цилиндрических оболочек неразрушающими методами на стадии эксплуатации. Исследуются пологие оболочки, изготовленные из высокопрочных материалов. Для таких конструктивных решений характерны перемещения поверхностей, превосходящие толщины элементов. В рассматриваемых оболочках могут генерироваться релаксационные колебания значительной амплитуды даже при сравнительно невысоком уровне внутренних напряжений. Произведено упрощенное механико-математическое моделирование задачи о колебаниях цилиндрической оболочки, сводящее проблему к обыкновенному дифференциальному уравнению. При создании модели существенно использованы исследования многих авторов по изучению геометрии поверхности, образующейся после потери устойчивости. Нелинейное обыкновенное дифференциальное уравнение колеблющейся оболочки совпадает с хорошо изученным уравнением Дуффинга. Важно, что для тонких оболочек в уравнении Дуффинга появляется малый параметр перед второй производной по времени. Последнее обстоятельство дает возможность провести детальный анализ выведенного уравнения и описать релаксационные колебания — физическое явление, присущее только тонким высокопрочным оболочкам.

Показано, что гармонические колебания оболочки вокруг положения равновесия и устойчивые релаксационные колебания определяются точкой бифуркации решений уравнения Дуффинга. Эта точка является первой в схеме Фейгенбаума по преобразованию устойчивых периодических движений в динамический хаос. Произведены вычисления амплитуды и периода релаксационных колебаний в зависимости от физических свойств и уровня внутренних напряжений в оболочке. Рассмотрены два случая нагружения: сжатие вдоль образующих и внешнее давление.

Отмечено, что если внешние силы изменяются в течение времени по гармоническому закону, то периодическое колебание оболочки (нелинейный резонанс) состоит из отрезков медленного и скачкообразного движений. Этот факт, наряду со знанием амплитуды и частоты колеблющейся оболочки, позволяет предложить экспериментальную установку для прогноза потери устойчивости оболочки неразрушающим методом. В качестве критерия безопасности принято следующее требование: максимальные комбинации нагрузок не должны вызывать перемещения, превышающие заданные пределы. Получена формула, оценивающая запас устойчивости (коэффициент безопасности) конструкции по результатам экспериментальных измерений.

The paper reviews possibilities to predict buckling of thin cylindrical shells with non-destructive techniques during operation. It studies shallow shells made of high strength materials. Such structures are known for surface displacements exceeding the thickness of the elements. In the explored shells relaxation oscillations of significant amplitude can be generated even under relatively low internal stresses. The problem of the cylindrical shell oscillation is mechanically and mathematically modeled in a simplified form by conversion into an ordinary differential equation. To create the model, the researches of many authors were used who studied the geometry of the surface formed after buckling (postbuckling behavior). The nonlinear ordinary differential equation for the oscillating shell matches the well-known Duffing equation. It is important that there is a small parameter before the second time derivative in the Duffing equation. The latter circumstance enables making a detailed analysis of the obtained equation and describing the physical phenomena — relaxation oscillations — that are unique to thin high-strength shells.

It is shown that harmonic oscillations of the shell around the equilibrium position and stable relaxation oscillations are defined by the bifurcation point of the solutions to the Duffing equation. This is the first point in the Feigenbaum sequence to convert the stable periodic motions into dynamic chaos. The amplitude and the period of relaxation oscillations are calculated based on the physical properties and the level of internal stresses within the shell. Two cases of loading are reviewed: compression along generating elements and external pressure.

It is highlighted that if external forces vary in time according to the harmonic law, the periodic oscillation of the shell (nonlinear resonance) is a combination of slow and stick-slip movements. Since the amplitude and the frequency of the oscillations are known, this fact enables proposing an experimental facility for prediction of the shell buckling with non-destructive techniques. The following requirement is set as a safety factor: maximum load combinations must not cause displacements exceeding specified limits. Based on the results of the experimental measurements a formula is obtained to estimate safety against buckling (safety factor) of the structure.

Rugose spiraling whitefly (RSW) is one of the major pests which affects the coconut trees. It feeds on the tree by sucking up the water content as well as the essential nutrients from leaves. It also forms sooty mold in leaves due to which the process of photosynthesis is inhibited. Biocontrol of pest is harmless for trees and crops. The experimental results in literature reveal that Pseudomallada astur is a potential predator for this pest. We investigate the dynamics of predator, Pseudomallada astur’s interaction with rugose spiralling whitefly, Aleurodicus rugioperculatus in coconut trees using a mathematical model. In this system of ordinary differential equation, the pest-predator interaction is modeled using Holling type III functional response. The parametric values are calculated from the experimental results and are tabulated. An approximate analytical solution for the system has been derived. The homotopy analysis method proves to be a suitable method for creating solutions that are valid even for moderate to large parameter values, hence we employ the same to solve this nonlinear model. The $\hbar$-curves, which give the admissible region of $\hbar$, are provided to validate the region of convergence. We have derived the approximate solution at fifth order and stopped at this order since we obtain a more approximate solution in this iteration. Numerical simulation is obtained through MATLAB. The analytical results are compared with numerical simulation and are found to be in good agreement. The biological interpretation of figures implies that the use of a predator reduces the whitefly’s growth to a greater extent.

Rugose spiraling whitefly (RSW) is one of the major pests which affects the coconut trees. It feeds on the tree by sucking up the water content as well as the essential nutrients from leaves. It also forms sooty mold in leaves due to which the process of photosynthesis is inhibited. Biocontrol of pest is harmless for trees and crops. The experimental results in literature reveal that Pseudomallada astur is a potential predator for this pest. We investigate the dynamics of predator, Pseudomallada astur’s interaction with rugose spiralling whitefly, Aleurodicus rugioperculatus in coconut trees using a mathematical model. In this system of ordinary differential equation, the pest-predator interaction is modeled using Holling type III functional response. The parametric values are calculated from the experimental results and are tabulated. An approximate analytical solution for the system has been derived. The homotopy analysis method proves to be a suitable method for creating solutions that are valid even for moderate to large parameter values, hence we employ the same to solve this nonlinear model. The $\hbar$-curves, which give the admissible region of $\hbar$, are provided to validate the region of convergence. We have derived the approximate solution at fifth order and stopped at this order since we obtain a more approximate solution in this iteration. Numerical simulation is obtained through MATLAB. The analytical results are compared with numerical simulation and are found to be in good agreement. The biological interpretation of figures implies that the use of a predator reduces the whitefly’s growth to a greater extent.