Все выпуски

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной в плоскости запоминающего ферромагнитного слоя ячейки и ориентированной параллельно ее краю (продольная анизотропия). Модель базируется на уравнении Ландау–Лифшица–Гильберта с токовым членом в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальном виде, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Проведен анализ устойчивости этих состояний равновесия. Выписаны уравнения для определения дополнительных состояний равновесия. Показано, что в зависимости от величины внешнего магнитного поля и тока инжекции система может иметь всего два, четыре и шесть симметричных относительно оси анизотропии положений равновесия. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие основные типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно построены траектории переключения. Для построения траекторий использовался метод Рунге–Кутты. Найдены параметры, при которых существуют неустойчивые и устойчивые предельные циклы. Установлено, что неустойчивые предельные циклы существуют вокруг основного устойчивого равновесия на оси, совпадающей с осью анизотропии, а устойчивые циклы — вокруг неустойчивых дополнительных равновесий. Граница области существования устойчивых предельных циклов рассчитана численно. Обнаружены новые типы динамики под влиянием внешнего магнитного поля и спин-поляризованного тока инжекции: случайное и неполное переключение намагниченности. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Численно выполнены оценки времени переключения в зависимости от величин управляющих параметров.

The mathematical model of the magnetic memory cell MRAM with the in-plane anisotropy axis parallel to the edge of a free ferromagnetic layer (longitudinal anisotropy) has been constructed using approximation of uniform magnetization. The model is based on the Landau–Lifshits–Gilbert equation with the injection-current term in the Sloncžewski–Berger form. The set of ordinary differential equations for magnetization dynamics in a three-layered Co/Cu/Cu valve under the control of external magnetic field and spin-polarized current has been derived in the normal coordinate form. It was shown that the set of equations has two main stationary points on the anisotropy axis at any values of field and current. The stationary analysis of them has been performed. The algebraic equations for determination of additional stationary points have been derived. It has been shown that, depending on the field and current magnitude, the set of equations can have altogether two, four, or six stationary points symmetric in pairs relatively the anisotropy axis. The bifurcation diagrams for all the points have been constructed. The classification of the corresponding phase portraits has been performed. The typical trajectories were calculated numerically using Runge–Kutta method. The regions, where stable and unstable limit cycles exist, have been determined. It was found that the unstable limit cycles exist around the main stable equilibrium point on the axis that coincides with the anisotropy one, whereas the stable cycles surround the unstable additional points of equilibrium. The area of their existence was determined numerically. The new types of dynamics, such as accidental switching and non-complete switching, have been found. The threshold values of switching current and field have been obtained analytically. The estimations of switching times have been performed numerically.

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

The study of the physiological and pathophysiological processes in the cardiovascular system is one of the important contemporary issues, which is addressed in many works. In this work, several approaches to the mathematical modelling of the blood flow are considered. They are based on the spatial order reduction and/or use a steady-state approach. Attention is paid to the discussion of the assumptions and suggestions, which are limiting the scope of such models. Some typical mathematical formulations are considered together with the brief review of their numerical implementation. In the first part, we discuss the models, which are based on the full spatial order reduction and/or use a steady-state approach. One of the most popular approaches exploits the analogy between the flow of the viscous fluid in the elastic tubes and the current in the electrical circuit. Such models can be used as an individual tool. They also used for the formulation of the boundary conditions in the models using one dimensional (1D) and three dimensional (3D) spatial coordinates. The use of the dynamical compartment models allows describing haemodynamics over an extended period (by order of tens of cardiac cycles and more). Then, the steady-state models are considered. They may use either total spatial reduction or two dimensional (2D) spatial coordinates. This approach is used for simulation the blood flow in the region of microcirculation. In the second part, we discuss the models, which are based on the spatial order reduction to the 1D coordinate. The models of this type require relatively small computational power relative to the 3D models. Within the scope of this approach, it is also possible to include all large vessels of the organism. The 1D models allow simulation of the haemodynamic parameters in every vessel, which is included in the model network. The structure and the parameters of such a network can be set according to the literature data. It also exists methods of medical data segmentation. The 1D models may be derived from the 3D Navier – Stokes equations either by asymptotic analysis or by integrating them over a volume. The major assumptions are symmetric flow and constant shape of the velocity profile over a cross-section. These assumptions are somewhat restrictive and arguable. Some of the current works paying attention to the 1D model’s validation, to the comparing different 1D models and the comparing 1D models with clinical data. The obtained results reveal acceptable accuracy. It allows concluding, that the 1D approach can be used in medical applications. 1D models allow describing several dynamical processes, such as pulse wave propagation, Korotkov’s tones. Some physiological conditions may be included in the 1D models: gravity force, muscles contraction force, regulation and autoregulation.

Проведен анализ отечественных публикаций за 2013–2017 гг. включительно, посвященных клеточным автоматам (КА). Большая их часть связана с математическим моделированием. Наукометрическими графиками за 1990–2017 гг. доказана актуальность тематики. Обзор позволяет выделить персоналии и научные направления/школы в современной российской науке, выявить их оригинальность или вторичность по сравнению с мировым уровнем. За счет выбора национальной, а не мировой, базы публикаций обзор претендует на полноту (из 526 просмотренных ссылок научным значением обладают около 200).

В приложении к обзору даются первичные сведения о КА — игра «Жизнь», теорема о садах Эдема, элементарные КА (вместе с диаграммой де Брюина), блочные КА Марголуса, КА с альтернацией. Причем акцентируется внимание на трех важных для моделирования семантиках КА — традициях фон Неймана, Цузе и Цетлина, а также показывается родство с концепциями нейронных сетей и сетей Петри. Выделены условные 10 работ по КА, с которыми должен быть знаком любой специалист по КА. Некоторые важные работы 1990-х гг. и более поздние перечислены во введении.

Затем весь массив публикаций разбит на рубрики: «Модификации КА и другие сетевые модели» (29 %), «Математические свойства КА и связь с математикой» (5 %), «Аппаратные реализации» (3 %), «Программные реализации» (5 %), «Обработка данных, распознавание и криптография» (8 %), «Механика, физика и химия» (20 %), «Биология, экология и медицина» (15 %), «Экономика, урбанистика и социология» (15 %). В скобках указана доля тематики в массиве. Отмечается рост публикаций по КА в гуманитарной сфере, а также появление гибридных подходов, уводящих в сторону от классических КА.

The paper contains the analysis of the domestic publications issued in 2013–2017 years and devoted to cellular automata. The most of them concern on mathematical modeling. Scientometric schedules for 1990–2017 years have proved relevance of subject. The review allows to allocate the main personalities and the scientific directions/schools in modern Russian science, to reveal their originality or secondness in comparison with world science. Due to the authors choice of national publications basis instead of world, the paper claims the completeness and the fact is that about 200 items from the checked 526 references have an importance for science.

In the Annex to the review provides preliminary information about CA — the Game of Life, a theorem about gardens of Eden, elementary CAs (together with the diagram of de Brujin), block Margolus’s CAs, alternating CAs. Attention is paid to three important for modeling semantic traditions of von Neumann, Zuse and Zetlin, as well as to the relationship with the concepts of neural networks and Petri nets. It is allocated conditional 10 works, which should be familiar to any specialist in CA. Some important works of the 1990s and later are listed in the Introduction.

Then the crowd of publications is divided into categories: the modification of the CA and other network models (29 %), Mathematical properties of the CA and the connection with mathematics (5 %), Hardware implementation (3 %), Software implementation (5 %), Data Processing, recognition and Cryptography (8 %), Mechanics, physics and chemistry (20 %), Biology, ecology and medicine (15 %), Economics, urban studies and sociology (15 %). In parentheses the share of subjects in the array are indicated. There is an increase in publications on CA in the humanitarian sphere, as well as the emergence of hybrid approaches, leading away from the classic CA definition.

В различных приложениях возникают задачи, моделируемые уравнениями в частных производных на графах (сетях, деревьях). Для исследования данных проблем и возникающих различных экстремальных ситуаций, для задач проектирования и оптимизации сетей различных типов в данной работе построена вычислительная модель, основанная на решении соответствующих краевых задач для нелинейных уравнений в частных производных гиперболического типа на графах (сетях, деревьях). В качестве приложений были выбраны три различные задачи, решаемые в рамках общего подхода сетевых вычислительных моделей. Первая — это моделирование движения транспортных потоков. При решении данной задачи использовался макроскопический подход, при котором транспортный поток описывается нелинейной системой гиперболических уравнений второго порядка. Проведенные расчеты и полученные результаты показали, что разработанная в рамках предложенного подхода модель хорошо воспроизводит реальную ситуацию на различных участках транспортной сети г. Москвы на значительных временных интервалах, а также может быть использована для выбора наиболее оптимальной стратегии организации дорожного движения в городе. Вторая — моделирование потоков данных в компьютерных сетях. В этой задаче потоки данных различных соединений в пакетной сети передачи данных моделировались в виде несмешивающихся потоков сплошной среды. Предложены концептуальная и математическая модели сети. Проведено численное моделирование в сравнении с системой имитационного моделирования сети NS-2. Полученные результаты показали, что в сравнении с пакетной моделью NS-2 разработанная нами потоковая модель демонстрирует значительную экономию вычислительных ресурсов, обеспечивая при этом хорошую степень подобия, и позволяет моделировать поведение сложных глобально распределенных IP-сетей передачи данных. Третья — моделирование распространения газовых примесей в вентиляционных сетях. Была разработана вычислительная математическая модель распространения мелкодисперсных или газовых примесей в вентиляционных сетях с использованием уравнений газовой динамики путем численного сопряжения областей разной размерности. Проведенные расчеты показали, что модель с хорошей точностью позволяет определять распределение газодинамических параметров в трубопроводной сети и решать задачи динамического управления вентиляцией.

In various applications arise problems modeled by nonlinear partial differential equations on graphs (networks, trees). In order to study such problems and various extreme situations arose in the problems of designing and optimizing networks developed the computational model based on solving the corresponding boundary problems for partial differential equations of hyperbolic type on graphs (networks, trees). As applications, three different problems were chosen solved in the framework of the general approach of network computational models. The first was modeling of traffic flow. In solving this problem, a macroscopic approach was used in which the transport flow is described by a nonlinear system of second-order hyperbolic equations. The results of numerical simulations showed that the model developed as part of the proposed approach well reproduces the real situation various sections of the Moscow transport network on significant time intervals and can also be used to select the most optimal traffic management strategy in the city. The second was modeling of data flows in computer networks. In this problem data flows of various connections in packet data network were simulated as some continuous medium flows. Conceptual and mathematical network models are proposed. The numerical simulation was carried out in comparison with the NS-2 network simulation system. The results showed that in comparison with the NS-2 packet model the developed streaming model demonstrates significant savings in computing resources while ensuring a good level of similarity and allows us to simulate the behavior of complex globally distributed IP networks. The third was simulation of the distribution of gas impurities in ventilation networks. It was developed the computational mathematical model for the propagation of finely dispersed or gas impurities in ventilation networks using the gas dynamics equations by numerical linking of regions of different sizes. The calculations shown that the model with good accuracy allows to determine the distribution of gas-dynamic parameters in the pipeline network and solve the problems of dynamic ventilation management.

Универсальные сценарии перехода к хаосу в динамических системах к настоящему моменту хорошо изучены. К типичным сценариям относятся каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума), разрушение тора малой размерности (сценарий Рюэля–Такенса) и переход через перемежаемость (сценарий Помо–Манневилля). В более сложных пространственно-распределенных динамических системах нарастающая с изменением параметра сложность поведения по времени тесно переплетается с формированием пространственных структур. Однако вопрос о том, могут ли в каком-то сценарии пространственная и временная оси полностью поменяться ролями, до сих пор остается открытым. В данной работе впервые предлагается математическая модель конвекции–реакции–диффузии, в рамках которой реализуется пространственный аналог перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима в рамках сценария Рюэля–Такенса. Исследуемая физическая система представляет собой два водных раствора кислоты (A) и основания (B), в начальный момент времени разделенных по пространству и помещенных в вертикальную ячейку Хеле–Шоу, находящуюся в статическом поле тяжести. При приведении растворов в контакт начинается фронтальная реакция нейтрализации второго порядка: A + B $\to$ C, которая сопровождается выделением соли (С). Процесс характеризуется сильной зависимостью коэффициентов диффузии реагентов от их концентрации, что приводит к возникновению двух локальных зон пониженной плотности, в которых независимо друг от друга возникают хемоконвективные движения жидкости. Слои, в которых развивается конвекция, все время остаются разделенными прослойкой неподвижной жидкости, но они могут влиять друг на друга посредством диффузии реагентов через прослойку. Формирующаяся хемо-конвективная структура представляет собой модулированную стоячую волну, постепенно разрушающуюся со временем, повторяя последовательность бифуркаций сценария разрушения двумерного тора. Показано, что в ходе эволюции системы пространственная ось, направленная вдоль фронта реакции, выполняет роль времени, а само время играет роль управляющего параметра.

In the last decades, universal scenarios of the transition to chaos in dynamic systems have been well studied. The scenario of the transition to chaos is defined as a sequence of bifurcations that occur in the system under the variation one of the governing parameters and lead to a qualitative change in dynamics, starting from the regular mode and ending with chaotic behavior. Typical scenarios include a cascade of period doubling bifurcations (Feigenbaum scenario), the breakup of a low-dimensional torus (Ruelle–Takens scenario), and the transition to chaos through the intermittency (Pomeau–Manneville scenario). In more complicated spatially distributed dynamic systems, the complexity of dynamic behavior growing with a parameter change is closely intertwined with the formation of spatial structures. However, the question of whether the spatial and temporal axes could completely exchange roles in some scenario still remains open. In this paper, for the first time, we propose a mathematical model of convection–diffusion–reaction, in which a spatial transition to chaos through the breakup of the quasi–periodic regime is realized in the framework of the Ruelle–Takens scenario. The physical system under consideration consists of two aqueous solutions of acid (A) and base (B), initially separated in space and placed in a vertically oriented Hele–Shaw cell subject to the gravity field. When the solutions are brought into contact, the frontal neutralization reaction of the second order A + B $\to$ C begins, which is accompanied by the production of salt (C). The process is characterized by a strong dependence of the diffusion coefficients of the reagents on their concentration, which leads to the appearance of two local zones of reduced density, in which chemoconvective fluid motions develop independently. Although the layers, in which convection develops, all the time remain separated by the interlayer of motionless fluid, they can influence each other via a diffusion of reagents through this interlayer. The emerging chemoconvective structure is the modulated standing wave that gradually breaks down over time, repeating the sequence of the bifurcation chain of the Ruelle–Takens scenario. We show that during the evolution of the system one of the spatial axes, directed along the reaction front, plays the role of time, and time itself starts to play the role of a control parameter.

24 января ушел из жизни блестящий ученый, доктор физико-математических наук, профессор, лауреат премии имени С. В. Ковалевской Алексей Владимирович Борисов. Алексей Владимирович родился и вырос в Москве. Окончив среднюю школу, он поступил на факультет специального машиностроения МВТУ им. Н.Э. Баумана. Уже во время учебы Алексей Владимирович посещает научный семинар на механико-математическом факультете Московского государственного университета им. М.В. Ломносова, что во многом определяет направление его будущих исследований. После защиты кандидатской диссертации Алексей Владимирович создает в Ижевске научную группу, его последующая научная биография очень широка: Екатеринбург, Чебоксары, Иннополис, Долгопрудный, Москва. Борисов основывает и воз- главляет серию научных журналов: «Регулярная и хаотическая динамика», «Нелинейная динамика»; является главным редактором в журналах «Вестник Удмуртского университета», «Компьютерные исследования и моделирование». Научное наследие А. В. Борисова обширно, список публикаций составляет более 200 работ, более 170 из которых опубликованы в журналах, индексируемых международными базами Scopus и Web of Science. Его перу принадлежит более 10 монографий.

On January 24, a famous scientist, doctor of physical and mathematical sciences, professor and laureate of the Prize of S.V. Kowalevsky Alexey Vladimirovich Borisov passed away. Alexey Vladimirovich was born and raised in Moscow. After graduating from high school, he entered the Faculty of Special Mechanical Engineering of the Bauman Moscow State Technical University. Already during his studies, Alexey Vladimirovich attends a scientific seminar at the Faculty of Mechanics and Mathematics of the Lomnosov Moscow State University, which largely determines the direction of his future research. After defending his Ph.D. thesis, Alexey Vladimirovich creates a scientific group in Izhevsk, his subsequent scientific biography is very wide: Yekaterinburg, Cheboksary, Innopolis, Dolgoprudny, Moscow. Borisov founds and heads the series of scientific journals Regular and Chaotic Dynamics, Nonlinear Dynamics, is the editor-in-chief in the journals Bulletin of Udmurt University, Computer research and modeling. The scientific heritage of A.V. Borisov is extensive, the list of publications is more than 200 works, more than 170 of which have been published in journals indexed by international databases Scopus and Web of Science. More than 10 monographs belong to him.

Дороги — ресурс, который может использоваться как водителями, так и автономными транспортными средствами. Ежегодно количество транспортных средств увеличивается, из-за чего каждое отдельно взятое транспортное средство тратит всё больше времени в пробках, тем самым увеличивая суммарные временные затраты. При планировании новой дороги ключевой задачей становится сокращение времени в пути. Оптимизация транспортных сетей в настоящее время часто происходит с помощью добавления новых связующих дорог между высоконагруженными частями трасс. Парадокс Браесса заключается в том, что построение нового ребра дорожной сети приводит к увеличению времени в пути для каждого транспортного средства в сети. Целью данной статьи является предложение различных разрешений парадокса Браесса при рассмотрении автономных транспортных средств в качестве участников дорожного движения. Один из вариантов топологического решения транспортной задачи — использование искусственных ограничителей трафика. Как пример таких ограничителей статья рассматривает введение выделенных полос, доступных только для определенных видов транспорта. Выделенные полосы занимают особое место в транспортной сети и могут обслуживать поток по-разному. В данной статье рассмотрены наиболее часто встречающиеся случаи распределения трафика на сети из двух дорог, приведены аналитический и численный методы оптимизации модели и представлена модель оптимального распределения трафика, которая рассматривает различные варианты выделения полос на изолированной транспортной сети. В результате проведенных исследований было обнаружено, что введение выделенных полос решает парадокс Браесса и приводит к уменьшению общего времени в пути. Решения приведены как для искусственно смоделированной сети, так и на реальных примерах. В статье представлен алгоритм моделирования трафика на браессовской сети и приведено обоснование его корректности на реальном примере.

Roads are a shared resource which can be used either by drivers and autonomous vehicles. Since the total number of vehicles increases annually, each considered vehicle spends more time in traffic jams, and thus the total travel time prolongs. The main purpose while planning the road system is to reduce the time spent on traveling. The optimization of transportation networks is a current goal, thus the formation of traffic flows by creating certain ligaments of the roads is of high importance. The Braess paradox states the existence of a network where the construction of a new edge leads to the increase of traveling time. The objective of this paper is to propose various solutions to the Braess paradox in the presence of autonomous vehicles. One of the methods of solving transportation topology problems is to introduce artificial restrictions on traffic. As an example of such restrictions, this article considers designated lanes which are available only for a certain type of vehicles. Designated lanes have their own location in the network and operating conditions. This article observes the most common two-roads traffic situations, analyzes them using analytical and numerical methods and presents the model of optimal traffic flow distribution, which considers different ways of lanes designation on isolated transportation networks. It was found that the modeling of designated lanes eliminates Braess’ paradox and optimizes the total traveling time. The solutions were shown on artificial networks and on the real-life example. A modeling algorithm for Braess network was proposed and its correctness was verified using the real-life example.

В работе описывается свободно распространяемая прикладная программа для исследований в области голоморфной динамики на основе вычислительных возможностей среды MATLAB. Программа позволяет строить не только одиночные комплекснозначные отображения, но и их коллективы как линейно связанные, на квадратной или гексагональной решетке. В первом случае строятся аналоги множества Жюлиа (в виде точек убегания с цветовой индикацией скорости убегания), Фату (с выделением хаотической динамики) и множества Мандельброта, порожденного одним из двух свободных параметров. Во втором случае рассматривается только динамика клеточного автомата с комплекснозначным состоянием ячеек и всеми коэффициентами в локальной функции перехода. Абстрактность объектно-ориентированного программирования позволяет объединить оба типа расчета в рамках одной программы, описывающей итеративную динамику одного объекта.

Для формы поля, начальных условий, шаблона окрестности и особенностей окрестности у граничных ячеек предусмотрены опции выбора. Вид отображения может быть задан регулярным для интерпретатора MATLAB выражением. В статье приводятся некоторые UML-диаграммы, краткое введение в пользовательский интерфейс и ряд примеров.

В качестве рабочих иллюстраций, содержащих новое научное знание, были рассмотрены следующие случаи:

1) дробно-линейное отображение вида $Az^{n} +B/z^{n} $, для которого случаи $n=2$, $4$, $n>1$, известны. На портрете множества Фату привлекают внимание характерные (для классического квадратичного отображения) фигурки <<пряничных человечков>>, показывающие короткопериодические режимы, находящиеся в море компоненты условно хаотической динамики;

2) у множества Мандельброта при нестандартном положении параметра в показателе степени $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ на эскизных расчетах обнаруживаются некие зубчатые структуры и облака точек, напоминающие пыль Кантора, не являющиеся букетами Кантора, характерными для экспоненциального отображения. В дальнейшем требуется детализация этих объектов со сложной топологией.

The paper describes a free software for research in the field of holomorphic dynamics based on the computational capabilities of the MATLAB environment. The software allows constructing not only single complex-valued mappings, but also their collectives as linearly connected, on a square or hexagonal lattice. In the first case, analogs of the Julia set (in the form of escaping points with color indication of the escape velocity), Fatou (with chaotic dynamics highlighting), and the Mandelbrot set generated by one of two free parameters are constructed. In the second case, only the dynamics of a cellular automaton with a complex-valued state of the cells and of all the coefficients in the local transition function is considered. The abstract nature of object-oriented programming makes it possible to combine both types of calculations within a single program that describes the iterated dynamics of one object.

The presented software provides a set of options for the field shape, initial conditions, neighborhood template, and boundary cells neighborhood features. The mapping display type can be specified by a regular expression for the MATLAB interpreter. This paper provides some UML diagrams, a short introduction to the user interface, and some examples.

The following cases are considered as example illustrations containing new scientific knowledge:

1) a linear fractional mapping in the form $Az^{n} +B/z^{n} $, for which the cases $n=2$, $4$, $n>1$, are known. In the portrait of the Fatou set, attention is drawn to the characteristic (for the classical quadratic mapping) figures of <>, showing short-period regimes, components of conventionally chaotic dynamics in the sea;

2) for the Mandelbrot set with a non-standard position of the parameter in the exponent $z(t+1)\Leftarrow z(t)^{\mu } $ sketch calculations reveal some jagged structures and point clouds resembling Cantor's dust, which are not Cantor's bouquets that are characteristic for exponential mapping. Further detailing of these objects with complex topology is required.

Работа посвящена моделированию процессов разборки сложных изделий в системах автоматизированного проектирования. Возможность демонтажа изделия в заданной последовательности формируется на ранних этапах проектирования, а реализуется в конце жизненного цикла. Поэтому современные системы автоматизированного проектирования должны иметь инструменты для оценки сложности демонтажа деталей и сборочных единиц. Предложена гиперграфовая модель механической структуры изделия. Показано, что математическим описанием когерентных и секвенциальных операций разборки является нормальное разрезание ребра гиперграфа. Доказана теорема о свойствах нормальных разрезаний. Данная теорема позволяет организовать простую рекурсивную процедуру генерации всех разрезаний гиперграфа. Множество всех разрезаний представляется в виде И–ИЛИ-дерева. Дерево содержит информацию о планах разборки изделия и его частей. Предложены математические описания процессов разборки различного типа: полной, неполной, линейной, нелинейной. Показано, что решающий граф И–ИЛИ-дерева представляет собой модель разборки изделия и всех его составных частей, полученных в процессе демонтажа. Рассмотрена важная характеристика сложности демонтажа деталей — глубина вложения. Разработан способ эффективного расчета оценки снизу данной характеристики.

The work is devoted to modeling the processes of disassembling complex products in CADsystems. The ability to dismantle a product in a given sequence is formed at the early design stages, and is implemented at the end of the life cycle. Therefore, modern CAD-systems should have tools for assessing the complexity of dismantling parts and assembly units of a product. A hypergraph model of the mechanical structure of the product is proposed. It is shown that the mathematical description of coherent and sequential disassembly operations is the normal cutting of the edge of the hypergraph. A theorem on the properties of normal cuts is proved. This theorem allows us to organize a simple recursive procedure for generating all cuts of the hypergraph. The set of all cuts is represented as an AND/OR-tree. The tree contains information about plans for disassembling the product and its parts. Mathematical descriptions of various types of disassembly processes are proposed: complete, incomplete, linear, nonlinear. It is shown that the decisive graph of the AND/OR-tree is a model of disassembling the product and all its components obtained in the process of dismantling. An important characteristic of the complexity of dismantling parts is considered — the depth of nesting. A method of effective calculation of the estimate from below has been developed for this characteristic.

Модели многозначной классификации возникают в различных сферах современной жизни, что объясняется всё большим количеством информации, требующей оперативного анализа. Одним из математических методов решения этой задачи является модульный метод, на первом этапе которого для каждого класса строится некоторая ранжирующая функция, упорядочивающая некоторым образом все объекты, а на втором этапе для каждого класса выбирается оптимальное значение порога, объекты с одной стороны которого относят к текущему классу, а с другой — нет. Пороги подбираются так, чтобы максимизировать целевую метрику качества. Алгоритмы, свойства которых изучаются в настоящей статье, посвящены второму этапу модульного подхода — выбору оптимального вектора порогов. Этот этап становится нетривиальным в случае использования в качестве целевой метрики качества $F$-меры от средней точности и полноты, так как она не допускает независимую оптимизацию порога в каждом классе. В задачах экстремальной многозначной классификации число классов может достигать сотен тысяч, поэтому исходная оптимизационная задача сводится к задаче поиска неподвижной точки специальным образом введенного отображения $\boldsymbol V$, определенного на единичном квадрате на плоскости средней точности $P$ и полноты $R$. Используя это отображение, для оптимизации предлагаются два алгоритма: метод линеаризации $F$-меры и метод анализа области определения отображения $\boldsymbol V$. На наборах данных многозначной классификации разного размера и природы исследуются свойства алгоритмов, в частности зависимость погрешности от числа классов, от параметра $F$-меры и от внутренних параметров методов. Обнаружена особенность работы обоих алгоритмов для задач с областью определения отображения $\boldsymbol V$, содержащей протяженные линейные участки границ. В случае когда оптимальная точка расположена в окрестности этих участков, погрешности обоих методов не уменьшаются с увеличением количества классов. При этом метод линеаризации достаточно точно определяет аргумент оптимальной точки, а метод анализа области определения отображения $\boldsymbol V$ — полярный радиус.

Multi-label classification models arise in various areas of life, which is explained by an increasing amount of information that requires prompt analysis. One of the mathematical methods for solving this problem is a plug-in approach, at the first stage of which, for each class, a certain ranking function is built, ordering all objects in some way, and at the second stage, the optimal thresholds are selected, the objects on one side of which are assigned to the current class, and on the other — to the other. Thresholds are chosen to maximize the target quality measure. The algorithms which properties are investigated in this article are devoted to the second stage of the plug-in approach which is the choice of the optimal threshold vector. This step becomes non-trivial if the $F$-measure of average precision and recall is used as the target quality assessment since it does not allow independent threshold optimization in each class. In problems of extreme multi-label classification, the number of classes can reach hundreds of thousands, so the original optimization problem is reduced to the problem of searching a fixed point of a specially introduced transformation $\boldsymbol V$, defined on a unit square on the plane of average precision $P$ and recall $R$. Using this transformation, two algorithms are proposed for optimization: the $F$-measure linearization method and the method of $\boldsymbol V$ domain analysis. The properties of algorithms are studied when applied to multi-label classification data sets of various sizes and origin, in particular, the dependence of the error on the number of classes, on the $F$-measure parameter, and on the internal parameters of methods under study. The peculiarity of both algorithms work when used for problems with the domain of $\boldsymbol V$, containing large linear boundaries, was found. In case when the optimal point is located in the vicinity of these boundaries, the errors of both methods do not decrease with an increase in the number of classes. In this case, the linearization method quite accurately determines the argument of the optimal point, while the method of $\boldsymbol V$ domain analysis — the polar radius.