Все выпуски

Решена задача восстановления элемента f бесконечномерного гильбертова пространства L²(X) по результатам измерений конечного набора его линейных функционалов, искаженным (случайной) погрешностью без априорных данных об f, получено семейство линейных подпространств максимальной размерности, проекции элемента f на которые допускают оценки с заданной точностью. Эффективный ранг ρ(δ) задачи оценивания определен как функция, равная максимальной размерности ортогональной составляющей Pf элемента f, которая может быть оценена с погрешностью, не превосходящей δ. Приведен пример восстановления спектра излучения по конечному набору экспериментальных данных.

The problem of restoration of an element f of Euclidean functional space  L²(X) based on the results of measurements of a finite set of its linear functionals, distorted by (random) error is solved. A priori data aren't assumed. Family of linear subspaces of the maximum (effective) dimension for which the projections of element f to them allow estimates with a given accuracy, is received. The effective rank ρ(δ) of the estimation problem is defined as the function equal to the maximum dimension of an orthogonal component Pf of the element f which can be estimated with a error, which is not surpassed the value δ. The example of restoration of a spectrum of radiation based on a finite set of experimental data is given.

В работе развивается теория нового, так называемого двухпараметрического подхода к анализу и обработке случайных сигналов. Проведены математическое моделирование и сопоставление результатов решения задачи в условиях статистических моделей Гаусса и Райса. Дается обоснование применимости статистической модели Райса в условиях анализа огибающей измеряемого сигнала в задачах обработки данных и изображений. Развит и теоретически обоснован метод решения задачи шумоподавления и восстановления райсовского сигнала посредством одновременного вычисления двух статистических параметров — величины математического ожидания исходного сигнала и дисперсии шума — на основе принципа максимума правдоподобия. Проанализированы особенности функции правдоподобия для распределения Райса и вытекающие из них возможности оценки параметров сигнала и шума.

The paper develops a theory of a new so-called two-parametric approach to the random signals' analysis and processing. A mathematical simulation and the task solutions’ comparison have been implemented for the Gauss and Rice statistical models. The applicability of the Rice statistical model is substantiated for the tasks of data and images processing when the signal’s envelope is being analyzed. A technique is developed and theoretically substantiated for solving the task of the noise suppression and initial image reconstruction by means of joint calculation of both statistical parameters — an initial signal’s mean value and noise dispersion — based on the maximum likelihood method within the Rice distribution. The peculiarities of this distribution’s likelihood function and the following from them possibilities of the signal and noise estimation have been analyzed.

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.

Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.

We study polynomial solutions of gyrostat motion equations under potential and gyroscopic forces applied and of gyrostat motion equations in magnetic field taking into account Barnett–London effect. Mathematically, either of the above mentioned problems is described by a system of non-linear ordinary differential equations whose right hand sides contain fifteen constant parameters. These parameters characterize the gyrostat mass distribution, as well as potential and non-potential forces acting on gyrostat. We consider polynomial solutions of Steklov–Kovalevski–Gorjachev and Doshkevich classes. The structure of invariant relations for polynomial solutions shows that, as a rule, on top of the fifteen parameters mentioned one should add no less than twenty five problem parameters. In the process of solving such a multi-parametric problem in this paper we (in addition to analytic approach) apply numeric methods based on CAS. We break our studies of polynomial solutions existence into two steps. During the first step, we estimate maximal degrees of polynomials considered and obtain a non-linear algebraic system for parameters of differential equations and polynomial solutions. In the second step (using the above CAS software) we study the solvability conditions of the system obtained and investigate the conditions of the constructed solutions to be real.

We construct two new polynomial solutions for Kirchhoff–Poisson. The first one is described by the following property: the projection squares of angular velocity on the non-baracentric axes are the fifth degree polynomials of the angular velocity vector component of the baracentric axis that is represented via hypereliptic function of time. The second solution is characterized by the following: the first component of velocity conditions is a second degree polynomial, the second component is a polynomial of the third degree, and the square of the third component is the sixth degree polynomial of the auxiliary variable that is an inversion of the elliptic Legendre integral.

The third new partial solution we construct for gyrostat motion equations in the magnetic field with Barnett–London effect. Its structure is the following: the first and the second components of the angular velocity vector are the second degree polynomials, and the square of the third component is a fourth degree polynomial of the auxiliary variable which is found via inversion of the elliptic Legendre integral of the third kind.

All the solutions constructed in this paper are new and do not have analogues in the fixed point dynamics of a rigid body.

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

Padé approximation is a useful tool for extracting singularity information from a power series. A linear Padé approximant is a rational function and can provide estimates of pole and zero locations in the complex plane. A quadratic Padé approximant has square root singularities and can, therefore, provide additional information such as estimates of branch point locations. In this paper, we discuss numerical aspects of computing quadratic Padé approximants as well as some applications. Two algorithms for computing the coefficients in the approximant are discussed: a direct method involving the solution of a linear system (well-known in the mathematics community) and a recursive method (well-known in the physics community). We compare the accuracy of these two methods when implemented in floating-point arithmetic and discuss their pros and cons. In addition, we extend Luke’s perturbation analysis of linear Padé approximation to the quadratic case and identify the problem of spurious branch points in the quadratic approximant, which can cause a significant loss of accuracy. A possible remedy for this problem is suggested by noting that these troublesome points can be identified by the recursive method mentioned above. Another complication with the quadratic approximant arises in choosing the appropriate branch. One possibility, which is to base this choice on the linear approximant, is discussed in connection with an example due to Stahl. It is also known that the quadratic method is capable of providing reasonable approximations on secondary sheets of the Riemann surface, a fact we illustrate here by means of an example. Two concluding applications show the superiority of the quadratic approximant over its linear counterpart: one involving a special function (the Lambert $W$-function) and the other a nonlinear PDE (the continuation of a solution of the inviscid Burgers equation into the complex plane).

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

The paper presents a numerical solution to the heat wave motion problem for a degenerate second-order nonlinear parabolic equation with a source term. The nonlinearity is conditioned by the power dependence of the heat conduction coefficient on temperature. The problem for the case of two spatial variables is considered with the boundary condition specifying the heat wave motion law. A new solution algorithm based on an expansion in radial basis functions and the boundary element method is proposed. The solution is constructed stepwise in time with finite difference time approximation. At each time step, a boundary value problem for the Poisson equation corresponding to the original equation at a fixed time is solved. The solution to this problem is constructed iteratively as the sum of a particular solution to the nonhomogeneous equation and a solution to the corresponding homogeneous equation satisfying the boundary conditions. The homogeneous equation is solved by the boundary element method. The particular solution is sought by the collocation method using inhomogeneity expansion in radial basis functions. The calculation algorithm is optimized by parallelizing the computations. The algorithm is implemented as a program written in the C++ language. The parallel computations are organized by using the OpenCL standard, and this allows one to run the same parallel code either on multi-core CPUs or on graphic CPUs. Test cases are solved to evaluate the effectiveness of the proposed solution method and the correctness of the developed computational technique. The calculation results are compared with known exact solutions, as well as with the results we obtained earlier. The accuracy of the solutions and the calculation time are estimated. The effectiveness of using various systems of radial basis functions to solve the problems under study is analyzed. The most suitable system of functions is selected. The implemented complex computational experiment shows higher calculation accuracy of the proposed new algorithm than that of the previously developed one.

Для автономных систем ОДУ рассмотрено простейшее подмножество двухстадийных схем Розенброка с комплексными коэффициентами, численная реализация которых требует одного LU-разложения и одного вычисления Якобиана за шаг интегрирования.

Проведено теоретическое исследование точности и устойчивости таких методов. Получены новые A-устойчивые методы 3-го порядка точности с различными свойствами и возможностью простой оценки главного терма локальной погрешности, что необходимо для автоматического выбора шага. Проведено тестирование новых методов.

The basic subset of two-stage Rosenbrock schemes with complex coefficients for numerical solution of autonomous systems of ordinary differential equations (ODE) has been considered. Numerical realization of such schemes requires one LU-decomposition, two computations of right side function and one computation of Jacoby matrix of the system per one step. The full theoretical investigation of accuracy and stability of such schemes have been done. New A-stable methods of the 3-rd order of accuracy with different properties have been constructed. There are high order L-decremented schemes as well as schemes with simple estimation of the main term of truncation error which is necessary for automatic evaluation of time step. Testing of new methods has been performed.

Данная работа посвящена сравнению двух критериев однородности: критерия χ², основанного на таблицах сопряженности признаков 2 × 2, и критерия однородности, основанного на асимптотических распределениях суммируемых квадратичных уклонений оценок функции распределения в модели зависимости «доза–эффект». Оценка мощности критериев производится при помощи компьютерного моделирования. Для построения функций эффективности используется метод ядерной оценки регрессии, основанный на оценке Надарая–Ватсона.

The given work is devoted to the comparison of two tests for homogeneity: chi-square test based on contingency tables of 2 × 2 and test for homogeneity based on asymptotic distributions of the summarized square error of a distribution function estimators in the model of ”dose–effect” dependence. The evaluation of test power is performed by means of computer simulation. In order to design efficiency functions the method of kernel regression estimator based on Nadaray–Watson estimator is used.

В работе решается двухпараметрическая задача совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях распределения Райса методами математической статистики: методом максимума правдоподобия и вариантами метода моментов. Рассматриваемые варианты метода моментов включают в себя совместный расчет сигнала и шума на основе измерений 2-го и 4-го моментов (ММ24) и на основе измерений 1-го и 2-го моментов (ММ12). В рамках каждого из рассматриваемых методов получены в явном виде системы уравнений для искомых параметров сигнала и шума. Важный математический результат проведенного исследования состоит в том, что решение системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными — искомыми параметрами сигнала и шума — сведено к решению одного уравнения с одной неизвестной, что важно с точки зрения как теоретического исследования метода, так и его практического применения, позволяя существенно сократить необходимые для реализации метода вычислительные ресурсы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации. В результате проведенного теоретического анализа получен важный практический вывод: решение двухпараметрической задачи не приводит к увеличению требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с однопараметрическим приближением. Теоретические выводы подтверждаются результатами численного эксперимента.

The paper provides a solution of the two-parameter task of joint signal and noise estimation at data analysis within the conditions of the Rice distribution by the techniques of mathematical statistics: the maximum likelihood method and the variants of the method of moments. The considered variants of the method of moments include the following techniques: the joint signal and noise estimation on the basis of measuring the 2-nd and the 4-th moments (MM24) and on the basis of measuring the 1-st and the 2-nd moments (MM12). For each of the elaborated methods the explicit equations’ systems have been obtained for required parameters of the signal and noise. An important mathematical result of the investigation consists in the fact that the solution of the system of two nonlinear equations with two variables — the sought for signal and noise parameters — has been reduced to the solution of just one equation with one unknown quantity what is important from the view point of both the theoretical investigation of the proposed technique and its practical application, providing the possibility of essential decreasing the calculating resources required for the technique’s realization. The implemented theoretical analysis has resulted in an important practical conclusion: solving the two-parameter task does not lead to the increase of required numerical resources if compared with the one-parameter approximation. The task is meaningful for the purposes of the rician data processing, in particular — the image processing in the systems of magnetic-resonance visualization. The theoretical conclusions have been confirmed by the results of the numerical experiment.

Выбор и корректное использование инструмента минеральной геотермобарометрии — геосенсора — является сложной задачей из-за большого разнообразия существующих сенсоров, с одной стороны, и наличия специфических требований к их использованию с другой. Для снижения трудоемкости и обеспечения информационной поддержки использования геосенсоров в статье предлагается организация набора геосенсоров в рамках компьютерной системы, называемой интерактивным реестром. В статье дается формальное описание термодинамического геосенсора как функции состава минералов и независимых параметров, а также рассматриваются основные этапы получения оценок давления и температуры, общие для всех сенсоров: переход к коэффициентам формул, расчет дополнительных параметров и непосредственное вычисление искомого значения. Рассматриваются существующие программы — коллекции геосенсоров, выполненные как в виде отдельных приложений, так и в виде электронных таблиц, анализируются достоинства и недостатки этих подходов. Дается описание справочной информации, необходимой для использования геосенсора: в минеральном парагенезисе, в точности и пределах значений параметров, в литературной ссылке и др. Предлагается реализации реестра геосенсоров на базе веб-приложения, использующего технологию вики. Применение технологии вики позволяет эффективно организовать плохо формализуемую справочную информацию о сенсоре и его алгоритм, записанный на языке программирования в рамках единой информационной системы. Для структурирования информации используются ссылки, пространства имен и вики-разметка. В статье рассматривается реализация данного приложения на основе вики-системы DokuWiki и специально разработанного RESTful-сервера, позволяющего пользователю использовать геосенсоры, описанные в реестре для обработки собственных данных. В качестве языка описания геосенсоров в приложении используется язык R, для выполнения расчетов используется сервер RServe. Для контроля корректности работы сенсоров каждый из них снабжается юнит-тестом. Пользовательский интерфейс приложения разработан в виде плагинов к системе DokuWiki. Приводится пример использования разработанного приложения. В заключение рассматриваются вопросы безопасности и производительности разработанного приложения, а также возможность его масштабирования.

Selection and correct applying of the geosensor — the instrument of mineral geothermobarometry is challenging because of the wide variety of existing geosensors on the one hand and the availability of specific requirements for their use on the other. In this paper, organization of the geosensors within the computer system called interactive registry was proposed for reducing the labor intensity of the geosensors usage and providing information support for them. The article provides a formal description of the thermodynamic geosensor, as a function of the minerals composition and independent parameters, as well as the basic steps of pressure and temperature estimation which are common for all geosensors: conversion to the formula units, calculation of the additional parameters and the calculation of the required values. Existing collections of geosensors made as standalone applications, or as spreadsheets was examined for advantages and disadvantages of these approaches. Additional information necessary to use the geosensor was described: paragenesis, accuracy and range of parameter values, reference and others. Implementation of the geosensors registry as the webbased application which uses wiki technology was proposed. Usage of the wiki technology allows to effectively organize not so well formalized additional information about the geosensor and it’s algorithm which had written in a programming language into a single information system. For information organization links, namespaces and wiki markup was used. The article discusses the implementation of the applications on the top of DokuWiki system with specially designed RESTful server, allowing users to apply the geosensors from the registry to their own data. Programming language R uses as a geosensors description language. RServe server uses for calculations. The unittest for each geosensor allows to check the correctness of it’s implementation. The user interface of the application was developed as DokuWiki plug-in. The example of usage was given. In the article conclusion, the questions of the application security, performance and scaling was discussed.

В настоящей работе приводятся результаты численного моделирования свободного сдвигового течения с помощью схемы «КАБАРЕ», реализованной в приближении слабой сжимаемости. Анализ схемы проводится на основе изучения свойств неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и порождаемой ею двумерной турбулентности, с использованием интегральных кривых кинетической энергии и энстрофии, картин временной эволюции завихренности, спектров энстрофии и энергии, а также дисперсионного соотношения для инкремента неустойчивости. Расчеты проводились для числа Рейнольдса $\text{Re} = 4 \times 10^5$, на квадратных последовательно сгущаемых сетках в диапазоне $128^2-2048^2$ ячеек. Внимание уделено проблеме «недоразрешенности слоев», проявляющейся в возникновении лишнего вихря при свертывании двух вихревых листов (слоев вихревой пелены). Данное явление существует только на грубых сетках $(128^2)$, однако, полностью симметричная картина эволюции завихренности начинает наблюдаться только при переходе к сетке $1024^2$ ячеек. Размерные оценки отношения вихрей на границах инерционного интервала показывают, что наиболее подробная сетка $2048^2$ ячеек оказывается достаточной для качественного отображения мелкомасштабных сгустков завихренности. Тем не менее можно говорить о достижении хорошей сходимости при отображении крупномасштабных структур. Эволюция турбулентности, в полном соответствии с теоретическими представлениями, приводит к появлению крупных вихрей, в которых сосредотачивается вся кинетическая энергия движения, и уединенных мелкомасштабных образований. Последние обладают свойствами когерентных структур, выживая в процессе нитеобразования (филаментации), и практически не взаимодействуют с вихрями других масштабов. Обсуждение диссипативных характеристик схемы ведется на основе анализа графиков скорости диссипации кинетической энергии, вычисляемой непосредственно, а также на основе теоретических соотношений для моделей несжимаемой жидкости (по кривым энстрофии) и сжимаемого газа (по влиянию тензора скоростей деформации и эффектов дилатации). Асимптотическое поведение каскадов кинетической энергии и энстрофии подчиняется реализующимся в двумерной турбулентности соотношениям $E(k) \propto k^{−3}$, $\omega^2(k) \propto k^{−1}$. Исследование зависимости инкремента неустойчивости от безразмерного волнового числа показывает хорошее согласие с данными других исследователей, вместе с тем часто используемый способ расчета инкремента неустойчивости не всегда оказывается достаточно точным, вследствие чего была предложена его модификация.

Таким образом, реализованная схема, отличаясь малой диссипативностью и хорошим вихреразрешением, оказывается вполне конкурентоспособной в сравнении с методами высокого порядка точности.

In present paper we reexamine the properties of CABARET numerical scheme formulated for a weakly compressible fluid flow basing the results of free shear layer modeling. Kelvin–Helmholtz instability and successive generation of two-dimensional turbulence provide a wide field for a scheme analysis including temporal evolution of the integral energy and enstrophy curves, the vorticity patterns and energy spectra, as well as the dispersion relation for the instability increment. The most part of calculations is performed for Reynolds number $\text{Re} = 4 \times 10^5$ for square grids sequentially refined in the range of $128^2-2048^2$ nodes. An attention is paid to the problem of underresolved layers generating a spurious vortex during the vorticity layers roll-up. This phenomenon takes place only on a coarse grid with $128^2$ nodes, while the fully regularized evolution pattern of vorticity appears only when approaching $1024^2$-node grid. We also discuss the vorticity resolution properties of grids used with respect to dimensional estimates for the eddies at the borders of the inertial interval, showing that the available range of grids appears to be sufficient for a good resolution of small–scale vorticity patches. Nevertheless, we claim for the convergence achieved for the domains occupied by large-scale structures.

The generated turbulence evolution is consistent with theoretical concepts imposing the emergence of large vortices, which collect all the kinetic energy of motion, and solitary small-scale eddies. The latter resemble the coherent structures surviving in the filamentation process and almost noninteracting with other scales. The dissipative characteristics of numerical method employed are discussed in terms of kinetic energy dissipation rate calculated directly and basing theoretical laws for incompressible (via enstrophy curves) and compressible (with respect to the strain rate tensor and dilatation) fluid models. The asymptotic behavior of the kinetic energy and enstrophy cascades comply with two-dimensional turbulence laws $E(k) \propto k^{−3}, \omega^2(k) \propto k^{−1}$. Considering the instability increment as a function of dimensionless wave number shows a good agreement with other papers, however, commonly used method of instability growth rate calculation is not always accurate, so some modification is proposed. Thus, the implemented CABARET scheme possessing remarkably small numerical dissipation and good vorticity resolution is quite competitive approach compared to other high-order accuracy methods