Все выпуски

В работе развивается иерархический метод математического и компьютерного моделирования интервально-стохастических тепловых процессов в сложных электронных системах различного назначения. Разработанная концепция иерархического структурирования отражает как конструктивную иерархию сложной электронной системы, так и иерархию математических моделей процессов теплообмена. Тепловые процессы, учитывающие разнообразные физические явления в сложных электронных системах, описываются системами стохастических, нестационарных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, и в силу этого их компьютерное моделирование наталкивается на значительные вычислительные трудности даже с применением суперкомпьютеров. Иерархический метод позволяет избежать указанных трудностей. Иерархическая структура конструкции электронной системы в общем случае характеризуется пятью уровнями: 1 уровень — активные элементы ЭС (микросхемы, электро-, радиоэлементы); 2 уровень — электронный модуль; 3 уровень — панель, объединяющая множество электронных модулей; 4 уровень — блок панелей; 5 уровень — стойка, установленная в стационарном или подвижном помещении. Иерархия моделей и моделирования стохастических тепловых процессов строится в порядке, обратном иерархической структуре конструкции электронной системы, при этом моделирование интервально-стохастических тепловых процессов осуществляется посредством получения уравнений для статистических мер. Разработанный в статье иерархический метод позволяет учитывать принципиальные особенности тепловых процессов, такие как стохастический характер тепловых, электрических и конструктивных факторов при производстве, сборке и монтаже электронных систем, стохастический разброс условий функционирования и окружающей среды, нелинейные зависимости от температуры факторов теплообмена, нестационарный характер тепловых процессов. Полученные в статье уравнения для статистических мер стохастических тепловых процессов представляют собой систему 14-ти нестационарных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в обыкновенных производных, решение которых легко реализуется на современных компьютерах существующими численными методами. Рассмотрены результаты применения метода при компьютерном моделировании стохастических тепловых процессов в электронной системе. Иерархический метод применяется на практике при тепловом проектировании реальных электронных систем и создании современных конкурентоспособных устройств.

A hierarchical method of mathematical and computer modeling of interval-stochastic thermal processes in complex electronic systems for various purposes is developed. The developed concept of hierarchical structuring reflects both the constructive hierarchy of a complex electronic system and the hierarchy of mathematical models of heat exchange processes. Thermal processes that take into account various physical phenomena in complex electronic systems are described by systems of stochastic, unsteady, and nonlinear partial differential equations and, therefore, their computer simulation encounters considerable computational difficulties even with the use of supercomputers. The hierarchical method avoids these difficulties. The hierarchical structure of the electronic system design, in general, is characterized by five levels: Level 1 — the active elements of the ES (microcircuits, electro-radio-elements); Level 2 — electronic module; Level 3 — a panel that combines a variety of electronic modules; Level 4 — a block of panels; Level 5 — stand installed in a stationary or mobile room. The hierarchy of models and modeling of stochastic thermal processes is constructed in the reverse order of the hierarchical structure of the electronic system design, while the modeling of interval-stochastic thermal processes is carried out by obtaining equations for statistical measures. The hierarchical method developed in the article allows to take into account the principal features of thermal processes, such as the stochastic nature of thermal, electrical and design factors in the production, assembly and installation of electronic systems, stochastic scatter of operating conditions and the environment, non-linear temperature dependencies of heat exchange factors, unsteady nature of thermal processes. The equations obtained in the article for statistical measures of stochastic thermal processes are a system of 14 non-stationary nonlinear differential equations of the first order in ordinary derivatives, whose solution is easily implemented on modern computers by existing numerical methods. The results of applying the method for computer simulation of stochastic thermal processes in electron systems are considered. The hierarchical method is applied in practice for the thermal design of real electronic systems and the creation of modern competitive devices.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Разработан метод и комплекс программ для численного моделирования процесса формирования поляронных состояний в конденсированных средах. Проведено численное исследование этого процесса для водной среды при воздействии лазерного облучения в ультрафиолетовом диапазоне. Показано, что в рамках предложенного подхода удается численно воспроизвести экспериментальные данные по формированию гидратированных электронов. Представлена схема численного решения системы нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих динамическую модельпо лярона. Программная реализация выполнена с использованием технологии параллельного программирования MPI. Обсуждаются численные результаты в сравнении с экспериментальными данными и теоретическими оценками.

A method and a complex of computer programs are developed for the numerical simulation of the polaron states excitation process in condensed media. A numerical study of the polaron states formation in water under the action of the ultraviolet range laser irradiation is carried out. Our approach allows to reproduce the experimental data of the hydrated electrons formation. A numerical scheme is presented for the solution of the respective system of nonlinear partial differential equations. Parallel implementation is based on the MPI technique. The numerical results are given in comparison with the experimental data and theoretical estimations.

Математическое и компьютерное моделирование тепловых процессов в технических системах, проводимое в настоящее время, основано на допущении, согласно которому все параметры, определяющие тепловые процессы, полностью и однозначно известны и определены, то есть являются детерминированными. Между тем практика показывает, что параметры, определяющие тепловые процессы, носят неопределенный интервально стохастический характер, что, в свою очередь, обусловливает интервально стохастический характер тепловых процессов в технической системе. Это означает, что реальные значения температуры каждого элемента в технической системе будут случайным образом распределены внутри интервалов своего изменения. Поэтому детерминированный подход к моделированию тепловых процессов, при котором получаются конкретные значения температур элементов, не позволяет адекватно рассчитывать температурные распределения в технических системах. Интервально стохастический характер параметров, определяющих тепловые процессы, обусловливается тремя группами факторов: (a) статистическим технологическим разбросом параметров элементов при изготовлении и сборке системы; (b) случайным характером факторов, обусловленных функционированием технической системы (флуктуациями токов, напряжений, мощностями потребления, температурами и скоростями потоков охлаждающей жидкости и среды внутри системы; (c) случайностью параметров окружающей среды (температурой, давлением, скоростью). Интервально стохастическая неопределенность определяющих факторов в технических системах является неустранимой, поэтому пренебрежение ею приводит к ошибкам при проектировании технических систем. В статье развивается метод, позволяющий моделировать нестационарные нелинейные интервально стохастические тепловые процессы в технических и, в частности, электронных системах при интервальной неопределенности определяющих параметров. Метод основан на получении и последующем решении уравнений для нестационарных статистических мер (математических ожиданий, дисперсий, ковариаций) распределений температуры в технической системе при заданных интервалах изменения и статистических мерах определяющих параметров. Рассмотрено применение разработанного метода к моделированию интервально стохастического теплового процесса в конкретной электронной системе.

The currently performed mathematical and computer modeling of thermal processes in technical systems is based on an assumption that all the parameters determining thermal processes are fully and unambiguously known and identified (i.e., determined). Meanwhile, experience has shown that parameters determining the thermal processes are of undefined interval-stochastic character, which in turn is responsible for the intervalstochastic nature of thermal processes in the electronic system. This means that the actual temperature values of each element in an technical system will be randomly distributed within their variation intervals. Therefore, the determinative approach to modeling of thermal processes that yields specific values of element temperatures does not allow one to adequately calculate temperature distribution in electronic systems. The interval-stochastic nature of the parameters determining the thermal processes depends on three groups of factors: (a) statistical technological variation of parameters of the elements when manufacturing and assembling the system; (b) the random nature of the factors caused by functioning of an technical system (fluctuations in current and voltage; power, temperatures, and flow rates of the cooling fluid and the medium inside the system); and (c) the randomness of ambient parameters (temperature, pressure, and flow rate). The interval-stochastic indeterminacy of the determinative factors in technical systems is irremediable; neglecting it causes errors when designing electronic systems. A method that allows modeling of unsteady interval-stochastic thermal processes in technical systems (including those upon interval indeterminacy of the determinative parameters) is developed in this paper. The method is based on obtaining and further solving equations for the unsteady statistical measures (mathematical expectations, variances and covariances) of the temperature distribution in an technical system at given variation intervals and the statistical measures of the determinative parameters. Application of the elaborated method to modeling of the interval-stochastic thermal process in a particular electronic system is considered.

В молекулярных системах с водородными связями может иметь место механизм релаксации, обусловленный перераспределением протонов между их устойчивыми положениями в двухъямном потенциале на линиях водородных связей. Такое перераспределение происходит в ответ на изменение электронного состояния молекулярной системы, сопровождающееся изменением параметров двухъямного потенциала водородной связи. Особенностью процесса является то, что перераспределение протонов осуществляется благодаря их туннельному переносу вдоль линии связей. На примере реакции рекомбинации P⁺Q^-_A в РЦ Rhodobacter sphaeroides показано, что данный релаксационный процесс может определять температурную зависимость энергетических параметров этой реакции (разности свободной энергии ΔG и/или энергии реорганизации среды λ).

In molecular systems with hydrogen bonds the mechanism of proton relaxation can take place. It is caused by redistribution of protons between two steady positions in double walls potential along the line of the hydrogen bond. This redistribution occurs at change of parameters of the double walls potential of the hydrogen bond which is caused by change of an electronic state of molecular system. The relaxation process is carried out due to a tunnel transfer of protons along the line of bonds. It is shown, that relaxation process can define temperature dependence of power parameters (either of the free energy differences ΔG or of the reorganization energy λ) of charge recombination P⁺Q^-_A from RC of Rhodobacter sphaeroides.

Для квантового описания поведения двуядерных систем на начальной стадии околобарьерного слияния тяжелых ядер использованы численные методы нахождения коллективных и одночастичных состояний. Коллективные возбужденные состояния в таких системах представляют собой согласованные колебания поверхностей сферических ядер. Одночастичные состояния внешних нейтронов аналогичны состояниям валентных электронов двухатомных молекул.

Numerical methods of obtaining collective and one-particle states were used for the quantum description of two-nuclear systems behavior at the initial stage of near-barrier heavy nuclei fusion. The collective exited states in such systems represent concordant oscillations of surfaces of spherical nuclei. The one-particle states of the external neutrons are similar to the states of valence electrons of diatomic molecules.

Модернизация методики аэродинамического эксперимента на современном уровне подразумевает создание математических моделей аэродинамических труб (электронных АДТ), предназначенных для вычислительного сопровождения экспериментальных исследований. Применение электронных АДТ в перспективе способно обеспечить получение достоверных аэродинамических характеристик летательных аппаратов по результатам исследования их моделей в аэродинамических трубах, согласования результатов, полученных на разных экспериментальных установках, сравнения расчетов моделей в безграничном потоке с учетом влияния подвесных устройств и границ потока в рабочей части экспериментальной установки.

Решение данной задачи требует создания научного задела, что, в свою очередь, подразумевает выполнение экспериментальных методических исследований и обширного комплекса расчетных исследований на основе численного решения осредненных по Рейнольдсу уравнений Навье–Стокса с применением суперкомпьютерных технологий. При этом на различных этапах расчетных исследований необходимо моделировать не только летательный аппарат, но и комплексную геометрию рабочей части аэродинамической трубы и подвесных устройств, что требует дополнительных методических расчетов. Также определенные трудности может представлять моделирование ламинарно-турбулентного перехода на поверхности модели, который в большинстве случаев имеет место в условиях эксперимента.

В данной работе представлены результаты расчетов аэродинамических характеристик тематической модели летательного аппарата схемы «летающее крыло» в безграничном потоке при разных углах атаки, полученные в рамках первого этапа работы по созданию математической модели рабочей части аэродинамической трубы Т-102 ЦАГИ. Расчеты выполнялись с использованием двухпараметрической k–ε модели турбулентности со специальными пристеночными функциями, приспособленными для расчета отрывных течений. В рамках данной работы исследовались основные продольные аэродинамические характеристики, было выполнено сравнение с результатами экспериментальных исследований в аэродинамической трубе Т-102 ЦАГИ с учетом погрешностей.

Modern approach to modernization of the experimental techniques involves design of mathematical models of the wind-tunnel, which are also referred to as Electronic of Digital Wind-Tunnels. They are meant to supplement experimental data with computational analysis. Using Electronic Wind-Tunnels is supposed to provide accurate information on aerodynamic performance of an aircraft basing on a set of experimental data, to obtain agreement between data from different test facilities and perform comparison between computational results for flight conditions and data with the presence of support system and test section.

Completing this task requires some preliminary research, which involves extensive wind-tunnel testing as well as RANS-based computational research with the use of supercomputer technologies. At different stages of computational investigation one may have to model not only the aircraft itself but also the wind-tunnel test section and the model support system. Modelling such complex geometries will inevitably result in quite complex vertical and separated flows one will have to simulate. Another problem is that boundary layer transition is often present in wind-tunnel testing due to quite small model scales and therefore low Reynolds numbers.

In the current article the first stage of the Electronic Wind-Tunnel design program is covered. This stage involves computational investigation of aerodynamic characteristics of the generic flying-wing UAV model previously tested in TsAGI T-102 wind-tunnel. Since this stage is preliminary the model was simulated without taking test-section and support system geometry into account. The boundary layer was considered to be fully turbulent.

For the current research FlowVision computational code was used because of its automatic grid generation feature and stability of the solver when simulating complex flows. A two-equation k–ε turbulence model was used with special wall functions designed to properly capture flow separation. Computed lift force and drag force coefficients for different angles-of-attack were compared to the experimental data.

В данной работе представлены результаты численного анализа равновесных конфигураций отрицательно заряженных частиц (электронов), запертых в круговой области бесконечным внешним потенциалом на ее границе. Для поиска устойчивых конфигураций с минимальной энергией авторами разработан гибридный вычислительный алгоритм. Основой алгоритма являются интерполяционные формулы, полученные из анализа равновесных конфигураций, полученных с помощью вариационного принципа минимума энергии для произвольного, но конечного числа частиц в циркулярной модели. Решения нелинейных уравнений данной модели предсказывают формирование оболочечной структуры в виде колец (оболочек), заполненных электронами, число которых уменьшается при переходе от внешнего кольца к внутренним. Число колец зависит от полного числа заряженных частиц. Полученные интерполяционные формулы распределения полного числа электронов по кольцам используются в качестве начальных конфигураций для метода молекулярной динамики. Данный подход позволяет значительно повысить скорость достижения равновесной конфигурации для произвольно выбранного числа частиц по сравнению с алгоритмом имитации отжига Метрополиса и другими алгоритмами, основанными на методах глобальной оптимизации.

The equilibrium configurations of charged electrons, confined in the hard disk potential, are analysed by means of the hybrid numerical algorithm. The algorithm is based on the interpolation formulas, that are obtained from the analysis of the equilibrium configurations, provided by the variational principle developed in the circular model. The solution of the nonlinear equations of the circular model yields the formation of the shell structure which is composed of the series of rings. Each ring contains a certain number of particles, which decreases as one moves from the boundary ring to the central one. The number of rings depends on the total number of electrons. The interpolation formulas provide the initial configurations for the molecular dynamics calculations. This approach makes it possible to significantly increase the speed at which an equilibrium configuration is reached for an arbitrarily chosen number of particles compared to the Metropolis annealing simulation algorithm and other algorithms based on global optimization methods.

Статья посвящена математическому моделированию процесса обессоливания природной воды методом термодистилляции. В статье приведены уравнения, позволяющие описать процессы пленочного течения и кипения воды, конденсации пара и поддержания вакуума. Представлен алгоритм расчета, реализованный в системе компьютерной математики MatLab и электронных таблицах Excel, и исходные данные, необходимые для расчета. Модель проверена на адекватность. Приведен расчет десятикорпусной дистилляционной установки. Результаты работы могут быть использованы при проектировании и оптимизации технологических режимов дистилляционных установок.

The article is dedicated to mathematic modeling of natural water desalination process by method of thermal distillation. The article gives the equations which allow describing the processes of film flowing and boiling of water, steam condensation and vacuum maintenance. The article presents the algorithm of calculation, implemented in MatLab computer mathematic system and Excel electronic tables, and the initial data required for the calculation. The model has been checked for adequacy. The calculation of ten-effect distillation system is given. The results of work can be used in design and optimization of process conditions for distillation systems.

Статья посвящена эффекту тепловой обратной связи, возникающему при функционировании интегральных микросхем и электронных систем, использующих микросхемы. Тепловая обратная связь обусловливается тем, что потребляемая при функционировании микросхемы мощность нагревает ее и, в силу значительной зависимости ее электрических параметров от температуры, между ее электрическими и тепловыми процессами возникает интерактивное взаимодействие. Воздействие тепловой обратной связи приводит к изменению как электрических параметров, так и уровней температуры в микросхемах. Положительная тепловая обратная связь представляет собой нежелательное явление, поскольку является причиной выхода электрических параметров микросхем за пределы допустимых значений, снижения надежности и, в ряде случаев, выгорания. Отрицательная тепловая обратная связь проявляется в стабилизации электрического и теплового режимов при пониженных уровнях температуры. Поэтому при проектировании микросхем и электронных систем с их применением необходимо добиваться реализации отрицательной обратной связи. В настоящей работе предлагается метод моделирования теплового режима электронных систем с учетом воздействия тепловой обратной связи. Метод основан на введении в тепловую модель электронной системы новых модельных схемных элементов, нелинейно зависящих от температуры, количество которых равно количеству микросхем в электронной системе. Такой подход позволяет применять к тепловой модели с введенными в нее новыми схемными элементами матрично-топологические уравнения тепловых процессов и включать их в существующие программные комплексы теплового проектирования. Приведен пример моделирования теплового процесса в реальной электронной системе с учетом воздействия тепловой обратной связи на примере микросхемы, установленной на печатной плате. Показано, что для адекватного моделирования электрических и тепловых процессов микросхем и электронных систем необходимо во избежание ошибок проектирования и создания конкурентоспособных электронных систем учитывать воздействие тепловой обратной связи.

The article is devoted to the effect of thermal feedback, which occurs during the operation of integrated circuits and electronic systems with their use. Thermal feedback is due to the fact that the power consumed by the functioning of the microchip heats it and, due to the significant dependence of its electrical parameters on temperature, interactive interaction arises between its electrical and thermal processes. The effect of thermal feedback leads to a change in both electrical parameters and temperature levels in microcircuits. Positive thermal feedback is an undesirable phenomenon, because it causes the output of the electrical parameters of the microcircuits beyond the permissible values, the reduction in reliability and, in some cases, burn out. Negative thermal feedback is manifested in stabilizing the electrical and thermal regimes at lower temperature levels. Therefore, when designing microcircuits and electronic systems with their application, it is necessary to achieve the implementation of negative feedback. In this paper, we propose a method for modeling of thermal modes in electronic systems, taking into account the effect of thermal feedback. The method is based on introducing into the thermal model of the electronic system new model circuit elements that are nonlinearly dependent on temperature, the number of which is equal to the number of microcircuits in the electronic system. This approach makes it possible to apply matrix-topological equations of thermal processes to the thermal model with new circuit elements introduced into it and incorporate them into existing thermal design software packages. An example of modeling a thermal process in a real electronic system is presented, taking into account the effect of thermal feedback on the example of a microcircuit installed on a printed circuit board. It is shown that in order to adequately model the electrical and thermal processes of microcircuits and electronic systems, it is necessary to take into account the effects of thermal feedback in order to avoid design errors and create competitive electronic systems.