Все выпуски

В развитии науки важную роль играют научные школы — объединения исследователей, связанные общей проблемой, идеями и методами, используемыми для решения проблемы. Научные школы формируются вокруг лидера и объединяющей идеи.

За время научной деятельности академика А. С. Холодова вокруг него сформировалось несколько научных школ. В обзоре делается попытка представить основные научные направления, вокруг которых сформировались яркие коллективы с общими системами взглядов и подходами к исследованиям. В обзоре отмечается эта общая основа. Во-первых, это развитие группы численных методов для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа — сеточно-характеристические методы. Во-вторых, описание численных методов в пространствах неопределенных коэф- фициентов. Этот подход развивался как для всех типов уравнений в частных производных, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений.

На основе предложенных А. С. Холодовым численных подходов сложились научные коллективы, работающие в разных предметных областях. Это математическое моделирование динамики плазмы, динамики деформируемого твердого тела, некоторых задач биологии, биофизики, медицинской физики и биомеханики. Сравнительно новые направления — решение задач на графах (процессы транспортировки электроэнергии, моделирование транспортных потоков на дорожной сети и т. д.).

В обзоре делается попытка отследить деятельность научных школ от момента их зарождения до настоящего времени, проследить связь работ А. С. Холодова с работами его учеников и коллег. Полный обзор деятельности всех научных школ, сформировавшихся вокруг Александра Сергеевча, невозможен ввиду огромного количества и разнообразия научных результатов.

Делается также попытка связать деятельность научных школ с появлением научно-образовательной школы в Московском физико-техническом институте.

In the science development an important role the scientific schools are played. This schools are the associations of researchers connected by the common problem, the ideas and the methods used for problems solution. Usually Scientific schools are formed around the leader and the uniting idea.

The several sciences schools were created around academician A. S. Kholodov during his scientific and pedagogical activity.

This review tries to present the main scientific directions in which the bright science collectives with the common frames of reference and approaches to researches were created. In the review this common base is marked out. First, this is development of the group of numerical methods for hyperbolic type systems of partial derivatives differential equations solution — grid and characteristic methods. Secondly, the description of different numerical methods in the undetermined coefficients spaces. This approach developed for all types of partial equations and for ordinary differential equations.

On the basis of A. S. Kholodov’s numerical approaches the research teams working in different subject domains are formed. The fields of interests are including mathematical modeling of the plasma dynamics, deformable solid body dynamics, some problems of biology, biophysics, medical physics and biomechanics. The new field of interest includes solving problem on graphs (such as processes of the electric power transportation, modeling of the traffic flows on a road network etc).

There is the attempt in the present review analyzed the activity of scientific schools from the moment of their origin so far, to trace the connection of A. S. Kholodov’s works with his colleagues and followers works. The complete overview of all the scientific schools created around A. S. Kholodov is impossible due to the huge amount and a variety of the scientific results.

The attempt to connect scientific schools activity with the advent of scientific and educational school in Moscow Institute of Physics and Technology also becomes.

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

In this paper, using our bifurcation-geometric approach, we study global dynamics and solve the problem of the maximum number and distribution of limit cycles (self-oscillating regimes corresponding to states of dynamical equilibrium) in a planar polynomial mechanical system of the Euler–Lagrange–Liйnard type. Such systems are also used to model electrical, ecological, biomedical and other systems, which greatly facilitates the study of the corresponding real processes and systems with complex internal dynamics. They are used, in particular, in mechanical systems with damping and stiffness. There are a number of examples of technical systems that are described using quadratic damping in second-order dynamical models. In robotics, for example, quadratic damping appears in direct-coupled control and in nonlinear devices, such as variable impedance (resistance) actuators. Variable impedance actuators are of particular interest to collaborative robotics. To study the character and location of singular points in the phase plane of the Euler–Lagrange–Liйnard polynomial system, we use our method the meaning of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually, field rotation parameters) of the original system and then to enter sequentially these parameters studying the dynamics of singular points in the phase plane. To study the singular points of the system, we use the classical Poincarй index theorems, as well as our original geometric approach based on the application of the Erugin twoisocline method which is especially effective in the study of infinite singularities. Using the obtained information on the singular points and applying canonical systems with field rotation parameters, as well as using the geometric properties of the spirals filling the internal and external regions of the limit cycles and applying our geometric approach to qualitative analysis, we study limit cycle bifurcations of the system under consideration.

В статье представлены математические и численные модели взаимосвязанных термо- и гидродинамических процессов эксплуатационного режима разработки единого нефтедобывающего комплекса при гидрогелевом заводнении неоднородного нефтяного пласта, вскрытого системой произвольно расположенных нагнетательных скважин и добывающих скважин, оснащенных погружными многоступенчатыми электроцентробежными насосами. Особенностью нашего подхода является моделирование работы специального наземного оборудования (станции управления погружными насосами и штуцерной камеры на устье добывающих скважин), предназначенного для регулирования режимов работы как всего комплекса в целом, так и его отдельных элементов.

Полная дифференциальная модель включает в себя уравнения, описывающие нестационарную двухфазную пятикомпонентную фильтрацию в пласте, квазистационарные процессы тепло- и массопереноса в трубах скважин и рабочих каналах погружных насосов. Специальные нелинейные граничные условия моделируют, соответственно, влияние диаметра дросселя на расход и давление на устье каждой добывающей скважины, а также частоты электрического тока на эксплуатационные характеристики погружного насосного узла. Разработка нефтяных месторождений также регулируется посредством изменения забойного давления каждой нагнетательной скважины, концентраций закачиваемых в нее гелеобразующих компонентов, их общих объемов и продолжительности закачки. Задача решается численно с использованием консервативных разностных схем, построенных на основе метода конечных разностей. Разработанные итерационные алгоритмы ориентированы на использование современных параллельных вычислительных технологий. Численная модель реализована в программном комплексе, который можно рассматривать как «интеллектуальную систему скважин» для виртуального управления разработкой нефтяных месторождений.

The paper provides the mathematical and numerical models of the interrelated thermo- and hydrodynamic processes in the operational mode of development the unified oil-producing complex during the hydrogel flooding of the non-uniform oil reservoir exploited with a system of arbitrarily located injecting wells and producing wells equipped with submersible multistage electrical centrifugal pumps. A special feature of our approach is the modeling of the special ground-based equipment operation (control stations of submersible pumps, drossel devices on the head of producing wells), designed to regulate the operation modes of both the whole complex and its individual elements.

The complete differential model includes equations governing non-stationary two-phase five-component filtration in the reservoir, quasi-stationary heat and mass transfer in the wells and working channels of pumps. Special non-linear boundary conditions and dependencies simulate, respectively, the influence of the drossel diameter on the flow rate and pressure at the wellhead of each producing well and the frequency electric current on the performance characteristics of the submersible pump unit. Oil field development is also regulated by the change in bottom-hole pressure of each injection well, concentration of the gel-forming components pumping into the reservoir, their total volume and duration of injection. The problem is solved numerically using conservative difference schemes constructed on the base of the finite difference method, and developed iterative algorithms oriented on the parallel computing technologies. Numerical model is implemented in a software package which can be considered as the «Intellectual System of Wells» for the virtual control the oil field development.

Наличие контактной границы между водой и маслом сильно снижает электрическую прочность масляной фазы. Присутствие электрического поля приводит к различной степени поляризации на границе раздела и появлению силы, действующей на жидкость с большей диэлектрической проницаемостью (вода) в направлении жидкости с меньшей диэлектрической проницаемостью (масло), что приводит к развитию неустойчивости контактной поверхности. Неустойчивость в результате своего развития приводит к вытягиванию струйки воды в толщу масла и нарушению изоляционного промежутка.

В настоящей работе экспериментально и численно исследуется электрогидродинамическая неустойчивость на границе фаз «электропроводящая вода – трансформаторное масло» в сильно неоднородном электрическом поле, направленном перпендикулярно контактной границе. Представлены результаты натурного и численного эксперимента по исследованию развития электрогидродинамической неустойчивости в сильном электрическом поле на границе раздела воды и трансформаторного масла, приводящей к деформации этой границы жидкостей. Система состоит из шарообразного электрода радиусом 3,5 мм, помещенного в воду проводимостью 5 мкСм/см, и тонкого электрода-лезвия толщиной 0,1 мм, помещенного в трансформаторное масло марки ГК. Контактная граница проходит на одинаковом расстоянии от ближайших точек электродов, равном 3 мм. В работе показано, что при некоторой напряженности электрического поля происходит рост конусообразной структуры воды в сторону электрода, погруженного в трансформаторное масло. Численно получено соответствие как формы образующейся водной структуры (конуса) в течение всего времени роста, так и размера, отсчитываемого от ее вершины до уровня начальной контактной границы разделения фаз. Исследована динамика роста данной структуры. И в численном расчете, и в эксперименте обнаружено, что размер образующегося конуса вдоль линии соединения электродов линейно зависит от времени.

The presence of a contact boundary between water and transformer oil greatly reduces the electrical strength of the oil phase. The presence of an electric field leads to varying degrees of polarization at the interface and the appearance of a force acting on a liquid with a higher dielectric constant (water) in the direction of a liquid with a lower dielectric constant (oil). This leads to the contact surface instability development. Instability as a result of its development leads to a stream of water being drawn into oil volume and a violation of the insulating gap. In this work, we experimentally and numerically study electrohydrodynamic instability at the phase boundary between electrically weakly conductive water and transformer oil in a highly inhomogeneous electric field directed perpendicular to the contact boundary. The results of a full-scale and numerical experiment of studying of the electrohydrodynamic instability development in a strong electric field at the interface between water and transformer oil are presented. The system consists of a spherical electrode with a radius of 3.5 mm, placed in water with a conductivity of 5 $\mu S/cm$, and a thin blade electrode 0.1 mm thick, placed in transformer oil of the GK brand. The contact boundary passes at the same distance from the nearest points of the electrodes, equal to 3 mm. The work shows that at a certain electric field strength, the cone-shaped structure of water grows towards the electrode immersed in transformer oil. A numerical correspondence was obtained for both the shape of the resulting water structure (cone) during the entire growth time and the size measured from its top to the level of the initial contact boundary of phase separation. The dynamics of this structure growth has been studied. Both in numerical calculations and in experiment, it was found that the size of the resulting cone along the electrode connection line depends linearly on time.

Волны возбуждения являются прообразом самоорганизующихся динамических структур в неравновесных системах. Они характеризуются своей собственной внутренней динамикой, приводящей к формированию бегущих волн различных типов и форм. Яркие примеры — это вращающиеся спирали и скрученные свитки. Интересная и сложная задача — найти способы управления их поведением, применяя внешние сигналы, влияющие на распространяющиеся волны. В качестве такого воздействия мы используем внешние электрические поля, наложенные на возбудимую реакцию Белоусова–Жаботинского (БЖ). Существенные эффекты влияния полей на волны включают изменение скорости волны, обращение направления распространения, взаимное уничтожение вращающихся в противоположных направлениях спиральных волн и переориентацию нитей скрученных свитков. Эти эффекты могут быть объяснены в численных экспериментах, при этом существенную роль играет отрицательно заряженный ингибиторбромид. Эффекты электрического поля также были исследованы в биологических возбудимых средах, таких как социальные амебы Dictyostelium discoideum. Совсем недавно мы начали исследовать влияние электрического поля на реакцию БЖ, протекающую в водно-масляной микроэмульсии. Удалось наблюдать дрейф сложных структур, а также изменение вязкости и электрической проводимости. Мы обсуждаем предположение, что эта система может выступать в качестве модели для дальнодействующего взаимодействия между нейронами.

Excitation waves are a prototype of self-organized dynamic patterns in non-equilibrium systems. They develop their own intrinsic dynamics resulting in travelling waves of various forms and shapes. Prominent examples are rotating spirals and scroll waves. It is an interesting and challenging task to find ways to control their behavior by applying external signals, upon which these propagating waves react. We apply external electric fields to such waves in the excitable Belousov–Zhabotinsky (BZ) reaction. Remarkable effects include the change of wave speed, reversal of propagation direction, annihilation of counter-rotating spiral waves and reorientation of scroll wave filaments. These effects can be explained in numerical simulations, where the negatively charged inhibitor bromide plays an essential role. Electric field effects have also been investigated in biological excitable media such as the social amoebae Dictyostelium discoideum. Quite recently we have started to investigate electric field effect in the BZ reaction dissolved in an Aerosol OT water-in-oil microemulsion. A drift of complex patterns can be observed, and also the viscosity and electric conductivity change. We discuss the assumption that this system can act as a model for long range communication between neurons.

Решение обратных геофизических задач сложно в силу их математически некорректной постановки и большой вычислительной емкости. Геофизическая разведка малоизученных регионов, таких как шельф северных морей, дополнительно осложнена отсутствием надежных геологических данных. В этих условиях большое значение приобретают способы совместного использования информации, полученной различными геофизическими методами. Настоящая работа посвящена развитию подхода к совместной инверсии, основанного на требовании обращения в ноль определителя матрицы Грама для векторов параметров тех типов, которые используются в инверсии. В рамках этого подхода минимизируется нелинейный функционал, состоящий из суммы квадратов взвешенных невязок, суммы стабилизирующих функционалов и члена, отвечающего за наложение условия структурного подобия. Мы применяем этот подход к инверсии двух типов геофизических данных: сейсмики и электроразведки. Мы изучаем инверсию акустических данных совместно с низкочастотным электрическим полем с наложением требования структурного подобия на результирующие распределения скорости звука и электропроводности.

Рассмотрены постановка задачи обратной задачи и численный метод оптимизации. Нелинейная минимизация выполняется методом сопряженных градиентов. Эффективность разработанного подхода продемонстрирована на численном примере, в котором трехмерное распределение электропроводности считалось известным точно, а распределение скорости звука подбиралось путем решения соответствующей обратной задачи. Для численного эксперимента было использовано распределение скорости звука, построенное на основании упрощенных сейсмических горизонтов реального морского месторождения. Для этого распределения рассчитывались синтетические сейсмограммы, которые служили входными данными для алгоритма инверсии. Результирующее распределение скорости звука не только обеспечивало совпадение данных до заданной точности, но и было согласовано с заданным распределением электропроводности. На численных примерах продемонстрировано, что оптимально выбранный вес структурного ограничения может существенно улучшить детальность решения обратной задачи и позволяет восстановить особенности, которые иначе были бы не разрешены.

Inverse geophysical problems are difficult to solve due to their mathematically incorrect formulation and large computational complexity. Geophysical exploration in frontier areas is even more complicated due to the lack of reliable geological information. In this case, inversion methods that allow interpretation of several types of geophysical data together are recognized to be of major importance. This paper is dedicated to one of such inversion methods, which is based on minimization of the determinant of the Gram matrix for a set of model vectors. Within the framework of this approach, we minimize a nonlinear functional, which consists of squared norms of data residual of different types, the sum of stabilizing functionals and a term that measures the structural similarity between different model vectors. We apply this approach to seismic and electromagnetic synthetic data set. Specifically, we study joint inversion of acoustic pressure response together with controlled-source electrical field imposing structural constraints on resulting electrical conductivity and P-wave velocity distributions.

We start off this note with the problem formulation and present the numerical method for inverse problem. We implemented the conjugate-gradient algorithm for non-linear optimization. The efficiency of our approach is demonstrated in numerical experiments, in which the true 3D electrical conductivity model was assumed to be known, but the velocity model was constructed during inversion of seismic data. The true velocity model was based on a simplified geology structure of a marine prospect. Synthetic seismic data was used as an input for our minimization algorithm. The resulting velocity model not only fit to the data but also has structural similarity with the given conductivity model. Our tests have shown that optimally chosen weight of the Gramian term may improve resolution of the final models considerably.

В настоящий момент значительно возросла глубина работ по разведке кимберлитовых тел и рудных месторождений. Традиционные геологические методы поиска оказались неэффективными. Практически единственным прямым методом поиска является бурение системы скважин до глубин, которые обеспечивают доступ к вмещающим породам. Из-за высокой стоимости бурения возросла роль межскважинных методов. Они позволяют увеличить среднее расстояние между скважинами без существенного снижения вероятности пропуска кимберлитового или рудного тела. Метод радиоволнового просвечивания особенно эффективен при поиске объектов, отличающихся высокой контрастностью электропроводящих свойств. Физическую основу метода составляет зависимость распространения электромагнитной волны от проводящих свойств среды распространения. Источником и приемником электромагнитного излучения является электрический диполь. При измерениях они размещаются в соседних скважинах. Расстояние между источником и приемником известно. Поэтому, измерив величину уменьшения амплитуды электромагнитной волны при ее распространении между скважинами, можно оценить коэффициент поглощения среды. Породе с низким электрическим сопротивлением соответствует высокое поглощение радиоволн. Поэтому данные межскважинных измерений позволяют оценить эффективное электрическое сопротивление породы. Обычно источник и приемник синхронно погружаются в соседние скважины. Измерение величины амплитуды электрического поля в приемнике позволяет оценить среднее значение коэффициента затухания на линии, соединяющей источник и приемник. Измерения проводятся во время остановок, приблизительно каждые 5 м. Расстояние между остановками значительно меньше расстояния между соседними скважинами. Это приводит к значительной пространственной анизотропии в распределении данных. При проведении разведочного бурения скважины покрывают большую площадь. Наша цель состоит в построении трехмерной модели распределения электрических свойств межскважинного пространства на всем участке по результатом совокупности измерений. Анизотропия пространственного распределения измерений препятствует использованию стандартных методов геостатистики. Для построения трехмерной модели коэффициента затухания мы использовали один из методов теории машинного обучения — метод ближайших соседей. В этом методе коэффициент поглощения в заданной точке определяется его значениями для $k$ ближайших измерений. Число $k$ определяется из дополнительных соображений. Влияния анизотропии пространственного распределения измерений удается избежать, изменив пространственный масштаб в горизонтальном направлении. Масштабный множитель $\lambda$ является еще одним внешним параметром задачи. Для выбора значений параметров $k$ и $\lambda$ мы использовали коэффициент детерминации. Для демонстрации процедуры построения трехмерного образа коэффициента поглощения мы воспользовались данными межскважинного радиоволнового просвечивания, полученные на одном из участков в Якутии.

Traditional geological search methods going to be ineffective. The exploration depth of kimberlite bodies and ore deposits has increased significantly. The only direct exploration method is to drill a system of wells to the depths that provide access to the enclosing rocks. Due to the high cost of drilling, the role of inter-well survey methods has increased. They allows to increase the mean well spacing without significantly reducing the kimberlite or ore body missing probability. The method of inter-well radio wave survey is effective to search for high contrast conductivity objects. The physics of the method based on the dependence of the electromagnetic wave propagation on the propagation medium conductivity. The source and receiver of electromagnetic radiation is an electric dipole, they are placed in adjacent wells. The distance between the source and receiver is known. Therefore we could estimate the medium absorption coefficient by the rate of radio wave amplitude decrease. Low electrical resistance rocks corresponds to high absorption of radio waves. The inter-well measurement data allows to estimate an effective electrical resistance (or conductivity) of the rock. Typically, the source and receiver are immersed in adjacent wells synchronously. The value of the of the electric field amplitude measured at the receiver site allows to estimate the average value of the attenuation coefficient on the line connecting the source and receiver. The measurements are taken during stops, approximately every 5 m. The distance between stops is much less than the distance between adjacent wells. This leads to significant spatial anisotropy in the measured data distribution. Drill grid covers a large area, and our point is to build a three-dimensional model of the distribution of the electrical properties of the inter-well space throughout the whole area. The anisotropy of spatial distribution makes hard to the use of standard geostatistics approach. To build a three-dimensional model of attenuation coefficient, we used one of machine learning theory methods, the method of nearest neighbors. In this method, the value of the absorption coefficient at a given point is calculated by $k$ nearest measurements. The number $k$ should be determined from additional reasons. The spatial distribution anisotropy effect can be reduced by changing the spatial scale in the horizontal direction. The scale factor $\lambda$ is one yet external parameter of the problem. To select the parameters $k$ and $\lambda$ values we used the determination coefficient. To demonstrate the absorption coefficient three-dimensional image construction we apply the procedure to the inter-well radio wave survey data. The data was obtained at one of the sites in Yakutia.

Представлена математическая модель, описывающая необратимые процессы поляризации и деформирования поликристаллических сегнетоэлектриков во внешних электрических и механических полях большой интенсивности, вследствие чего изменяется внутренняя структура и меняются свойства материала. Необратимые явления моделируются в трехмерной постановке для случая одновременного воздействия электрического поля и механических напряжений. Объектом исследования является представительный объем, в котором исследуются остаточные явления в виде возникающих индуцированных и необратимых частей вектора поляризации и тензора деформации. Основной задачей моделирования является построение определяющих соотношений, связывающих между собой вектор поляризации и тензор деформации, с одной стороны, и вектор электрического поля и тензор механических напряжений, с другой стороны. Рассмотрен общий случай, когда направление электрического поля может не совпадать ни с одним из главных направлений тензора механических напряжений. Для обратимых составляющих определяющие соотношения построены в виде линейных тензорных уравнений, в которых упругие и диэлектрические модули зависят от остаточной деформации, а пьезоэлектрические модули - от остаточной поляризации. Определяющие соотношения для необратимых частей строятся в несколько этапов. Вначале построена вспомогательная модель идеального или безгистерезисного случая, когда все векторы спонтанной поляризации могут поворачиваться в поле внешних сил без взаимного влияния друг на друга. Предложен способ подсчета результирующих значений предельно возможных значений поляризации и деформации идеального случая в виде поверхностных интегралов по единичной сфере с плотностью распределения, полученной из статистического закона Больцмана. Далее сделаны оценки энергетических затрат, необходимых для слома механизмов закрепления доменов, и подсчитана работа внешних полей в реальном и идеальном случаях. На основании этого выведен энергетический баланс и получены определяющие соотношения для необратимых составляющих в виде уравнений в дифференциалах. Разработана схема численного решения этих уравнений для определения текущих значений необратимых искомых характеристик в заданных электрических и механических полях. Для циклических нагрузок построены диэлектрические, деформационные и пьезоэлектрические гистерезисные кривые.

Разработанная модель может быть имплантирована в конечно-элементный комплекс для расчета неоднородных остаточных полей поляризации и деформирования с последующим определением физических модулей неоднородно поляризованной керамики как локально анизотропного тела.

A mathematical model describing the irreversible processes of polarization and deformation of polycrystalline ferroelectrics in external electric and mechanical fields of high intensity is presented, as a result of which the internal structure changes and the properties of the material change. Irreversible phenomena are modeled in a three-dimensional setting for the case of simultaneous action of an electric field and mechanical stresses. The object of the research is a representative volume in which the residual phenomena in the form of the induced and irreversible parts of the polarization vector and the strain tensor are investigated. The main task of modeling is to construct constitutive relations connecting the polarization vector and strain tensor, on the one hand, and the electric field vector and mechanical stress tensor, on the other hand. A general case is considered when the direction of the electric field may not coincide with any of the main directions of the tensor of mechanical stresses. For reversible components, the constitutive relations are constructed in the form of linear tensor equations, in which the modules of elasticity and dielectric permeability depend on the residual strain, and the piezoelectric modules depend on the residual polarization. The constitutive relations for irreversible parts are constructed in several stages. First, an auxiliary model was constructed for the ideal or unhysteretic case, when all vectors of spontaneous polarization can rotate in the fields of external forces without mutual influence on each other. A numerical method is proposed for calculating the resulting values of the maximum possible polarization and deformation values of an ideal case in the form of surface integrals over the unit sphere with the distribution density obtained from the statistical Boltzmann law. After that the estimates of the energy costs required for breaking down the mechanisms holding the domain walls are made, and the work of external fields in real and ideal cases is calculated. On the basis of this, the energy balance was derived and the constitutive relations for irreversible components in the form of equations in differentials were obtained. A scheme for the numerical solution of these equations has been developed to determine the current values of the irreversible required characteristics in the given electrical and mechanical fields. For cyclic loads, dielectric, deformation and piezoelectric hysteresis curves are plotted.

The developed model can be implanted into a finite element complex for calculating inhomogeneous residual polarization and deformation fields with subsequent determination of the physical modules of inhomogeneously polarized ceramics as a locally anisotropic body.

Предложен алгоритм решения прикладной задачи расчета электрических характеристик полевых эффектов инжектированных зарядов в сегнетоэлектриках при электронном облучении, основанный на реализации детерминированной модели методом конечных элементов с учетом результатов моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло. Разработано программное приложение для проведения вычислительного эксперимента.

An algorithm of applied problem solving was described to calculate electrical characteristics of electrical field effects in ferroelectrics electron-beam charged. The algorithm was based on implementation of the deterministic model using finite element method as well as taking into account Monte-Carlo simulation results of electron transport. The program application was developed to perform computing experiments.

В представленной работе обсуждается возможность упрощенного трехмерного нестационарного моделирования процесса плазменно-стимулированного горения газообразного топлива в сверхзвуковом потоке воздуха. Расчеты проводились в программном комплексе FlowVision. В работе выполнен анализ геометрии эксперимента и сделан вывод о ее существенной трехмерности, связанной как с дискретностью подачи топлива в поток, так и с наличием локализованных плазменных образований. Предложен вариант упрощения расчетной геометрии, основанный на симметрии аэродинамического канала и периодичности пространственных неоднородностей. Выполнено тестирование модифицированной $k–\varepsilon$ модели турбулентности FlowVision (KEFV) в условиях сверхзвукового потока. В этих расчетах в области источников тепла и инжекции топлива использовалась подробная сетка без пристеночных функций, а на удаленных от ключевой области поверхностях пристеночные функции были включены. Это позволило существенно уменьшить количество ячеек расчетной сетки. Сложная задача моделирования воспламенения углеводородного топлива при воздействии плазмы была существенно упрощена путем представления плазменных образований как источников тепла и использования одной брутто-реакции для описания горения топлива. На базе геометрии аэродинамического стенда ИАДТ-50 ОИВТ РАН с помощью моделирования в программном комплексе ПК FlowVision проведены калибровка и параметрическая оптимизация подачи газообразного топлива в сверхзвуковой поток. Продемонстрировано хорошее совпадение экспериментальной и синтетической теневой картины потока при инжекции топлива. Проведено моделирование потока для геометрии камеры сгорания Т131 ЦАГИ с инжекцией топлива и генерацией плазмы. В результате моделирования для заданного набора параметров продемонстрировано воспламенение топлива, что совпало с результатами эксперимента. Отмечена важность адаптации расчетной сетки с повышением пространственного разрешения в области объемных источников тепла, моделирующих зону электрического разряда. Достигнуто удовлетворительное качественное совпадение распределений давления, полученных в моделировании и эксперименте.

In the present paper, we discuss the possibility of a simplified three-dimensional unsteady simulation of plasma-assisted combustion of gaseous fuel in a supersonic airflow. Simulation was performed by using FlowVision CFD software. Analysis of experimental geometry show that it has essentially 3D nature that conditioned by the discrete fuel injection into the flow as well as by the presence of the localized plasma filaments. Study proposes a variant of modeling geometry simplification based on symmetry of the aerodynamic duct and periodicity of the spatial inhomogeneities. Testing of modified FlowVision $k–\varepsilon$ turbulence model named «KEFV» was performed for supersonic flow conditions. Based on that detailed grid without wall functions was used the field of heat and near fuel injection area and surfaces remote from the key area was modeled with using of wall functions, that allowed us to significantly reduce the number of cells of the computational grid. Two steps significantly simplified a complex problem of the hydrocarbon fuel ignition by means of plasma generation. First, plasma formations were simulated by volumetric heat sources and secondly, fuel combustion is reduced to one brutto reaction. Calibration and parametric optimization of the fuel injection into the supersonic flow for IADT-50 JIHT RAS wind tunnel is made by means of simulation using FlowVision CFD software. Study demonstrates a rather good agreement between the experimental schlieren photo of the flow with fuel injection and synthetical one. Modeling of the flow with fuel injection and plasma generation for the facility T131 TSAGI combustion chamber geometry demonstrates a combustion mode for the set of experimental parameters. Study emphasizes the importance of the computational mesh adaptation and spatial resolution increasing for the volumetric heat sources that model electric discharge area. A reasonable qualitative agreement between experimental pressure distribution and modeling one confirms the possibility of limited application of such simplified modeling for the combustion in high-speed flow.