Все выпуски

Предлагается диссипативная стохастическая динамическая модель эволюции языковых знаков, удовлетворяющая принципу «наименьшего действия» — одному из фундаментальных вариационных принципов природы. Модель предполагает пуассоновский характер потока рождения языковых знаков, экспоненциальное (показательное) распределение ассоциативно-семантического потенциала (АСП) знака и оперирует разностными стохастическими уравнениями специального вида для диссипативных процессов. Получаемые из модели распределения полисемии и частотно-ранговые распределения языковых знаков статистически значимо (по критерию Колмогорова–Смирнова) не отличаются от эмпирических распределений, полученных из представительных толковых и частотных словарей русского и английского языков.

We offer the dissipative stochastic dynamic model of the language sign evolution, satisfying to the principle of the least action, one of fundamental variational principles of the Nature. The model conjectures the Poisson nature of the birth flow of language signs and the exponential distribution of their associative-semantic potential (ASP). The model works with stochastic difference equations of the special type for dissipative processes. The equation for momentary polysemy distribution and frequency-rank distribution drawn from our model do not differs significantly (by Kolmogorov-Smirnov’s test) from empirical distributions, got from main Russian and English explanatory dictionaries as well as frequency dictionaries of them.

Рассматривается модель стека длинных джозефсоновских переходов (ДДП), состоящего из чередующихся сверхпроводящих слоев и слоев диэлектрика, с учетом индуктивной и емкостной связи между слоями. Модель описывается системой нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных относительно разности фаз и напряжения между соседними сверхпроводящими слоями в стеке ДДП, с соответствующими начальными и граничными условиями. Численное решение этой системы уравнений основано на использовании стандартных трехточечных конечно-разностных формул для дискретной аппроксимации по пространственной координате и применении четырехшагового метода Рунге–Кутты для решения полученной задачи Коши. Разработанный параллельный алгоритм реализован на основе технологии MPI (Message Passing Interface). В работе дана математическая постановка задачи в рамках рассматриваемой модели, описаны вычислительная схема и методика расчета вольт-амперных характеристик системы ДДП, представлены два варианта параллельной реализации. Продемонстрировано влияние индуктивной и емкостной связи между ДДП на структуру вольт-амперной характеристики в рамках рассматриваемой модели. Представлены результаты методических расчетов с различными параметрами длины и количества джозефсоновских переходов в стеке ДДП в зависимости от количества задействованных параллельных вычислительных узлов. Расчеты выполнены на многопроцессорных кластерах HybriLIT и ЦИВК Многофункционального информационно-вычислительного комплекса Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований (Дубна). На основе полученных численных результатов обсуждается эффективность рассмотренных вариантов распределения вычислений для численного моделирования системы ДДП в параллельном режиме. Показано, что один из предложенных подходов приводит к ускорению вычислений до 9 раз по сравнению с расчетами в однопроцессорном режиме.

We consider a model of stacked long Josephson junctions (LJJ), which consists of alternating superconducting and dielectric layers. The model takes into account the inductive and capacitive coupling between the neighbor junctions. The model is described by a system of nonlinear partial differential equations with respect to the phase differences and the voltage of LJJ, with appropriate initial and boundary conditions. The numerical solution of this system of equations is based on the use of standard three-point finite-difference formulae for discrete approximations in the space coordinate, and the applying the four-step Runge-Kutta method for solving the Cauchy problem obtained. Designed parallel algorithm is implemented by means of the MPI technology (Message Passing Interface). In the paper, the mathematical formulation of the problem is given, numerical scheme and a method of calculation of the current-voltage characteristics of the LJJ system are described. Two variants of parallel implementation are presented. The influence of inductive and capacitive coupling between junctions on the structure of the current-voltage characteristics is demonstrated. The results of methodical calculations with various parameters of length and number of Josephson junctions in the LJJ stack depending on the number of parallel computing nodes, are presented. The calculations have been performed on multiprocessor clusters HybriLIT and CICC of Multi-Functional Information and Computing Complex (Laboratory of Information Technologies, Joint Institute for Nuclear Research, Dubna). The numerical results are discussed from the viewpoint of the effectiveness of presented approaches of the LJJ system numerical simulation in parallel. It has been shown that one of parallel algorithms provides the 9 times speedup of calculations.

В развитии науки важную роль играют научные школы — объединения исследователей, связанные общей проблемой, идеями и методами, используемыми для решения проблемы. Научные школы формируются вокруг лидера и объединяющей идеи.

За время научной деятельности академика А. С. Холодова вокруг него сформировалось несколько научных школ. В обзоре делается попытка представить основные научные направления, вокруг которых сформировались яркие коллективы с общими системами взглядов и подходами к исследованиям. В обзоре отмечается эта общая основа. Во-первых, это развитие группы численных методов для решения систем дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа — сеточно-характеристические методы. Во-вторых, описание численных методов в пространствах неопределенных коэф- фициентов. Этот подход развивался как для всех типов уравнений в частных производных, так и для обыкновенных дифференциальных уравнений.

На основе предложенных А. С. Холодовым численных подходов сложились научные коллективы, работающие в разных предметных областях. Это математическое моделирование динамики плазмы, динамики деформируемого твердого тела, некоторых задач биологии, биофизики, медицинской физики и биомеханики. Сравнительно новые направления — решение задач на графах (процессы транспортировки электроэнергии, моделирование транспортных потоков на дорожной сети и т. д.).

В обзоре делается попытка отследить деятельность научных школ от момента их зарождения до настоящего времени, проследить связь работ А. С. Холодова с работами его учеников и коллег. Полный обзор деятельности всех научных школ, сформировавшихся вокруг Александра Сергеевча, невозможен ввиду огромного количества и разнообразия научных результатов.

Делается также попытка связать деятельность научных школ с появлением научно-образовательной школы в Московском физико-техническом институте.

In the science development an important role the scientific schools are played. This schools are the associations of researchers connected by the common problem, the ideas and the methods used for problems solution. Usually Scientific schools are formed around the leader and the uniting idea.

The several sciences schools were created around academician A. S. Kholodov during his scientific and pedagogical activity.

This review tries to present the main scientific directions in which the bright science collectives with the common frames of reference and approaches to researches were created. In the review this common base is marked out. First, this is development of the group of numerical methods for hyperbolic type systems of partial derivatives differential equations solution — grid and characteristic methods. Secondly, the description of different numerical methods in the undetermined coefficients spaces. This approach developed for all types of partial equations and for ordinary differential equations.

On the basis of A. S. Kholodov’s numerical approaches the research teams working in different subject domains are formed. The fields of interests are including mathematical modeling of the plasma dynamics, deformable solid body dynamics, some problems of biology, biophysics, medical physics and biomechanics. The new field of interest includes solving problem on graphs (such as processes of the electric power transportation, modeling of the traffic flows on a road network etc).

There is the attempt in the present review analyzed the activity of scientific schools from the moment of their origin so far, to trace the connection of A. S. Kholodov’s works with his colleagues and followers works. The complete overview of all the scientific schools created around A. S. Kholodov is impossible due to the huge amount and a variety of the scientific results.

The attempt to connect scientific schools activity with the advent of scientific and educational school in Moscow Institute of Physics and Technology also becomes.

Разрабатывается программная система интеграции динамических моделей, неоднородных по своим математическим свойствам и/или по требованиям к шагу по времени. Предлагается семейство алгоритмов параллельного расчета гетерогенных моделей с разными шагами по времени. Применительно к слабосвязанным системам обыкновенных дифференциальных уравнений исследуется погрешность таких алгоритмов и их преимущество в затратах времени по сравнению с точными методами решения.

We develop the software tool for integration of dynamics models, which are inhomogeneous over mathematical properties and/or over requirements to the time step. The family of algorithms for the parallel computation of heterogeneous models with different time steps is offered. Analytical estimates and direct measurements of the error of these algorithms are made with reference to weakly coupled ODE sets. The advantage of the algorithms in the time cost as compared to accurate methods is shown.

Проведен априорный анализ аппроксимации уравнений магнитной гидродинамики на нерегулярной четырехугольной сетке. Вычислены значения коэффициентов, определяющих норму невязки для разностных аналогов операторов градиента и дивергенции. Изучено влияние свойств ячеек сетки на невязку. Для численного подтверждения полученных оценок приведены примеры вычислений с заданием одинаковых начальных данных на разных сетках.

The a priori analysis of approximation of magnetohydrodynamic equations on irregular quadrangular analysis was performed. The values of coefficients wich determine the misalignment norm for difference analogs of operators gradient and divergence were calculated. Was studied the influence of properties of grid cells on misalignment. For the numerical confirmation of obtained estimations were cited the examples of calculations with specifying identical initial data on different grids.

Показано, что для различных баллистических профилей во всем скоростном пространстве сила сопротивления изменяется со скоростью V по закону R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V), где W_T — близкая к звуковой пороговая скорость, w=R(W_T), n(V) — значение показателя в кусочно-степенной формуле. Методом, базирующимся на преобразованиях Лежандра, найдена отражающая пик n(V) поправка к невозмущенной резольвентной функции f(b)=a_bb'', a(b) — подкасательная к траектории, b=tgθ — ее наклон.

It is shown that the relative air drag force for many different ballistic profiles obeys the law as follows R(V)=Mg·w(V/W_T)^n(V) with V being the velocity, W_T — some threshold velocity close to that of sound, w equals to R(W_T) and n(V) is the exponent in broken power Gȃvre formula. Using the Legendre transformation and in frames of perturbation approach received was the expression for addition δa_bb''(b) to resolvent function a_bb''(b), where a(b) is an intercept and b=tgθ, θ — inclination angle.

В работе рассматриваются результаты применения неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных эллиптических уравнений, возникающих при численном моделировании динамики несжимаемой вязкой жидкости. Исследование проводится на примере решения задачи о стационарном течении в плоской каверне с подвижной крышкой, сформулированной в естественных переменных ($u, \,v, \,p$) при больших значениях чисел Re (до 20 000) и сеточных разрешений (до 2049×2049). Демонстрируется высокая эффективность метода при расчете полей поправки давления. Анализируются проблемы решения задачи при больших числах Re.

In the paper the results of applying the implicit line-by-line recurrence method for solving of systems of elliptic difference equations, arising, in particular, at numerical simulation of dynamics of incompressible viscous fluid are considered. Research is conducted on the example of the problem about a steady-state two-dimensional lid-driven cavity flow formulated in primitive variables ($u,\, v,\, p$) for large Re (up to 20 000) and grids (up to 2049×2049). High efficiency of the method at calculation of a pressure correction fields is demonstrated. The difficulties of constructing a solution of the problem for large Rе are analyzed.

Понятие оператора, почти алгебраического относительно некоторого двустороннего идеала, алгебры линейных операторов, действующих в некоторых конечномерных линейных пространствах, распространяется на тот случай, когда идеал только левый. Доказывается теорема о виде частного решения уравнения вида $\sum\limits^{n, m}_{i=0, j=0} a_{ij} A^i B^j u = f$, где $A$ и $B$ — линейные операторы, $f$ — элемент некоторого линейного пространства. Результаты применяются к дифференциально- разностным уравнениям.

The concept of an operator is an almost algebraic with respect to two-sided ideal of the algebra of linear operators in some finite-dimensional linear spaces, it extended to the case when the ideal is left. We prove a theorem on the following equation particular solution $\sum\limits^{n, m}_{i=0, j=0} a_{ij} A^i B^j u = f$, where $A$ and $B$ is a linear operator, $f$ is an element of a linear space. The result is applied to the differential-difference equations.

В настоящее время для численного моделирования начально-краевых задач для систем гиперболических уравнений в частных производных (например, уравнения газовой динамики, МГД, деформируемого твердого тела и т. д.) применяются различные нелинейные численные схемы пространственной аппроксимации. Это связано с необходимостью повышения порядка аппроксимации и расчета разрывных решений, часто возникающих в таких системах. Необходимость в нелинейных схемах связана с ограничением, следующим из теоремы С. К. Годунова о невозможности построения линейной схемы порядка больше первого для монотонной аппроксимации уравнений такого типа. Одними из наиболее точных нелинейных схем являются схемы типа ENO (существенно не осциллирующие схемы и их модификации), в том числе схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы). Последние получили наибольшее распространение, поскольку при одинаковой ширине шаблона имеют более высокий порядок аппроксимации чем ENO-схемы. Плюсом ENO- и WENO-схем является сохранение высокого порядка аппроксимации на немонотонных участках решения. Исследование данных схем затруднительно в связи с тем, что сами схемы нелинейны и применяются для аппроксимации нелинейных уравнений. В частности, условие линейной устойчивости ранее было получено только для схемы WENO5 (пятого порядка аппроксимации на гладких решениях) и является приближенным. В настоящей работе рассматриваются вопросы построения и устойчивости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13 для конечно-объемной схемы для уравнения Хопфа. В первой части статьи рассмотрены методы WENO в общем случае и приведены явные выражения для коэффициентов полиномов и весов линейных комбинаций, необходимых для построения схем. Доказывается ряд утверждений, позволяющих сделать выводы о порядках аппроксимации в зависимости от локального вида решения. Проводится анализ устойчивости на основе принципа замороженных коэффициентов. Рассматриваются случаи гладкого и разрывного поведения решения в области линеаризации при замороженных коэффициентах на гранях конечного объема и анализируется спектр схем для этих случаев. Доказываются условия линейной устойчивости для различных методов Рунге–Кутты при применении со схемами WENO. В результате приводятся рекомендации по выбору максимально возможного параметра устойчивости, которое наименьшим образом влияет на нелинейные свойства схем. Следуя полученным ограничениям, делается вывод о сходимости схем.

Currently, different nonlinear numerical schemes of the spatial approximation are used in numerical simulation of boundary value problems for hyperbolic systems of partial differential equations (e. g. gas dynamics equations, MHD, deformable rigid body, etc.). This is due to the need to improve the order of accuracy and perform simulation of discontinuous solutions that are often occurring in such systems. The need for non-linear schemes is followed from the barrier theorem of S. K. Godunov that states the impossibility of constructing a linear scheme for monotone approximation of such equations with approximation order two or greater. One of the most accurate non-linear type schemes are ENO (essentially non oscillating) and their modifications, including WENO (weighted, essentially non oscillating) scemes. The last received the most widespread, since the same stencil width has a higher order of approximation than the ENO scheme. The benefit of ENO and WENO schemes is the ability to maintain a high-order approximation to the areas of non-monotonic solutions. The main difficulty of the analysis of such schemes comes from the fact that they themselves are nonlinear and are used to approximate the nonlinear equations. In particular, the linear stability condition was obtained earlier only for WENO5 scheme (fifth-order approximation on smooth solutions) and it is a numerical one. In this paper we consider the problem of construction and stability for WENO5, WENO7, WENO9, WENO11, and WENO13 finite volume schemes for the Hopf equation. In the first part of this article we discuss WENO methods in general, and give the explicit expressions for the coefficients of the polynomial weights and linear combinations required to build these schemes. We prove a series of assertions that can make conclusions about the order of approximation depending on the type of local solutions. Stability analysis is carried out on the basis of the principle of frozen coefficients. The cases of a smooth and discontinuous behavior of solutions in the field of linearization with frozen coefficients on the faces of the final volume and spectra of the schemes are analyzed for these cases. We prove the linear stability conditions for a variety of Runge-Kutta methods applied to WENO schemes. As a result, our research provides guidance on choosing the best possible stability parameter, which has the smallest effect on the nonlinear properties of the schemes. The convergence of the schemes is followed from the analysis.

Малая практическая ценность многих численных методов решения несимметричных систем линейных уравнений с плохо обусловленными матрицами объясняется тем, что эти методы в реальных условиях ведут себя совсем иначе, чем в случае точных вычислений. Исторически вопросам устойчивости не отводилось достаточного внимания, как в численной алгебре «средних размеров», а делался акцент на решении задач максимального порядка при данных возможностях вычислительной машины, в том числе за счет некоторой потери точности результатов. Поэтому главными объектами исследования были: наиболее целесообразное хранение информации, заключенной в разреженной матрице; поддержание наибольшей степени ее разреженности на всех этапах вычислительного процесса. Таким образом, разработка эффективных численных методов решения неустойчивых систем относится к актуальным проблемам вычислительной математики.

В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения систем линейных уравнений, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Рассмотрен формат хранения разреженных матриц, преимущество которого состоит в возможности параллельного выполнения любых матричных операций без распаковывания, что значительно сокращает время выполнения операций и объем занимаемой памяти.

Прямые мультипликативные методы решения систем линейных уравнений являются наиболее приспособленными для решения задач большого размера на ЭВМ: разреженные матрицы системы позволяют получать мультипликаторы, главные строки которых также разрежены, а операция умножения вектора-строки на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора.

В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма линейного программирования предлагается положить модификацию прямого мультипликативного алгоритма решения систем линейных уравнений, основанного на интеграции техники метода линейного программирования для выбора ведущего элемента. Прямые мультипликативные методы линейного программирования являются наиболее приспособленными и для построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.

Small practical value of many numerical methods for solving single-ended systems of linear equations with ill-conditioned matrices due to the fact that these methods in the practice behave quite differently than in the case of precise calculations. Historically, sustainability is not enough attention was given, unlike in numerical algebra ‘medium-sized’, and emphasis is given to solving the problems of maximal order in data capabilities of the computer, including the expense of some loss of accuracy. Therefore, the main objects of study is the most appropriate storage of information contained in the sparse matrix; maintaining the highest degree of rarefaction at all stages of the computational process. Thus, the development of efficient numerical methods for solving unstable systems refers to the actual problems of computational mathematics.

In this paper, the approach to the construction of numerically stable direct multiplier methods for solving systems of linear equations, taking into account sparseness of matrices, presented in packaged form. The advantage of the approach consists in minimization of filling the main lines of the multipliers without compromising accuracy of the results and changes in the position of the next processed row of the matrix are made that allows you to use static data storage formats. The storage format of sparse matrices has been studied and the advantage of this format consists in possibility of parallel execution any matrix operations without unboxing, which significantly reduces the execution time and memory footprint.

Direct multiplier methods for solving systems of linear equations are best suited for solving problems of large size on a computer — sparse matrix systems allow you to get multipliers, the main row of which is also sparse, and the operation of multiplication of a vector-row of the multiplier according to the complexity proportional to the number of nonzero elements of this multiplier.

As a direct continuation of this work is proposed in the basis for constructing a direct multiplier algorithm of linear programming to put a modification of the direct multiplier algorithm for solving systems of linear equations based on integration of technique of linear programming for methods to select the host item. Direct multiplicative methods of linear programming are best suited for the construction of a direct multiplicative algorithm set the direction of descent Newton methods in unconstrained optimization by integrating one of the existing design techniques significantly positive definite matrix of the second derivatives.