Все выпуски

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

The study of the physiological and pathophysiological processes in the cardiovascular system is one of the important contemporary issues, which is addressed in many works. In this work, several approaches to the mathematical modelling of the blood flow are considered. They are based on the spatial order reduction and/or use a steady-state approach. Attention is paid to the discussion of the assumptions and suggestions, which are limiting the scope of such models. Some typical mathematical formulations are considered together with the brief review of their numerical implementation. In the first part, we discuss the models, which are based on the full spatial order reduction and/or use a steady-state approach. One of the most popular approaches exploits the analogy between the flow of the viscous fluid in the elastic tubes and the current in the electrical circuit. Such models can be used as an individual tool. They also used for the formulation of the boundary conditions in the models using one dimensional (1D) and three dimensional (3D) spatial coordinates. The use of the dynamical compartment models allows describing haemodynamics over an extended period (by order of tens of cardiac cycles and more). Then, the steady-state models are considered. They may use either total spatial reduction or two dimensional (2D) spatial coordinates. This approach is used for simulation the blood flow in the region of microcirculation. In the second part, we discuss the models, which are based on the spatial order reduction to the 1D coordinate. The models of this type require relatively small computational power relative to the 3D models. Within the scope of this approach, it is also possible to include all large vessels of the organism. The 1D models allow simulation of the haemodynamic parameters in every vessel, which is included in the model network. The structure and the parameters of such a network can be set according to the literature data. It also exists methods of medical data segmentation. The 1D models may be derived from the 3D Navier – Stokes equations either by asymptotic analysis or by integrating them over a volume. The major assumptions are symmetric flow and constant shape of the velocity profile over a cross-section. These assumptions are somewhat restrictive and arguable. Some of the current works paying attention to the 1D model’s validation, to the comparing different 1D models and the comparing 1D models with clinical data. The obtained results reveal acceptable accuracy. It allows concluding, that the 1D approach can be used in medical applications. 1D models allow describing several dynamical processes, such as pulse wave propagation, Korotkov’s tones. Some physiological conditions may be included in the 1D models: gravity force, muscles contraction force, regulation and autoregulation.

В данной статье рассмотрены особенности численных решений некоторых задач для кноидальных волн, которые являются периодическими решениями классического уравнения Кортевега – де Фриза типа бегущей волны. Точные решения, описывающие эти волны, получены путемс ведения автоволновым приближением уравнения Кортевега – де Фриза к обыкновенным дифференциальным уравнениям сначала третьего, затем второго и, наконец, первого порядков. Обращение к числовому примеру показывает, что полученные такимо бразом обыкновенные дифференциальные уравнения не являются равносильными. Сформулированная и доказанная в настоящей статье теорема и замечание к ней показывают, что множество решений уравнения третьего порядка самое широкое и в качестве подмножеств включает в себя множества решений уравнений первого и второго порядков, которые в свою очередь равносильными не являются. Полученное автоволновым приближением обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка является источником для нахождения точных формул для описания кноидальной волны (периодического решения) и солитона (уединенной волны). Несмотря на это, с вычислительной точки зрения это уравнение является самым неудобным. Для этого уравнения не выполняется условие Липшица по искомой функции в окрестности постоянных решений. Отсюда теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка не является справедливой. В частности, в стационарных точках нарушается единственность решения задачи Коши. Поэтому для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, полученного из уравнения Кортевега – де Фриза, и в случае кноидальной волны, и в случае солитона задачу Коши нельзя ставить в точках экстремума. Начальное условие может быть поставлено лишь в точке убывания или роста, а отрезок численного решения необходимо выбрать так, чтобы он лежал между соседними точками экстремума. Но для уравнений второго и третьего порядков начальные условия можно ставить как в точках убывания или роста, так и в точках экстремума. При этом отрезок для численного решения сильно расширяется и наблюдается периодичность. Для решений этих обыкновенных уравнений изучаются постановки задач Коши, проводится сравнение полученных результатов с точными решениями и между собой. Показана численная реализация перерождения кноидальной волны в солитон. Результаты статьи имеют гемодинамическую интерпретацию пульсационного течения кровотока в цилиндрическом кровеносном сосуде, состоящем из упругих колец.

This article discusses the features of the numerical solutions of some problems for cnoidal waves, which are periodic solutions of the classical Korteweg – de Vries equation of the traveling wave type. Exact solutions describing these waves were obtained by communicating the autowave approximation of the Korteweg – de Vries equation to ordinary functions of the third, second, and finally, first orders. Referring to a numerical example shows that in this way ordinary differential equations are not equivalent. The theorem formulated and proved in this article and the remark to it include the set of solutions of the first and second order, which, in their ordinal, are not equivalent. The ordinary differential equation of the first order obtained by the autowave approximation for the description of a cnoidal wave (a periodic solution) and a soliton (a solitary wave). Despite this, from a computational point of view, this equation is the most inconvenient. For this equation, the Lipschitz condition for the sought-for function is not satisfied in the neighborhood of constant solutions. Hence, the existence theorem and the unique solutions of the Cauchy problem for an ordinary differential equation of the first order are not valid. In particular, the uniqueness of the solution to the Cauchy problem is violated at stationary points. Therefore, for an ordinary differential equation of the first order, obtained from the Korteweg – de Vries equation, both in the case of a cnoidal wave and in the case of a soliton, the Cauchy problem cannot be posed at the extremum points. The first condition can be a set position between adjacent extremum points. But for the second, third and third orders, the initial conditions can be set at the growth points and at the extremum points. In this case, the segment for the numerical solution greatly expands and periodicity is observed. For the solutions of these ordinary solutions, the statements of the Cauchy problems are studied, and the results are compared with exact solutions and with each other. A numerical realization of the transformation of a cnoidal wave into a soliton is shown. The results of the article have a hemodynamic interpretation of the pulsating blood flow in a cylindrical blood vessel consisting of elastic rings.

Разработана численная модель распространения возмущений скорости тока крови и давления по кровеносному сосуду с тромбом, расположенным в точке венозной бифуркации, и их влияния на динамику тромба. Модель построена в акустическом (линейном) приближении. Результаты расчетов позволят определить условия возникновения резонансных колебаний тромба, которые могут привести к его отрыву и тромбоэмболии.

In this paper a numerical model for blood flow through a venous bifurcation with an obliterating clot is investigated. We studied propagation of perturbations of blood flow velocity and perturbations of pressure inside the vein. The model is built in acoustic (linear) approximation. Computational results reveal conditions for clot resonance oscillation, which can cause its detachment and thromboembolism.

В работе рассмотрены модели формирования тромбоцитарного тромба в потоке плазмы крови в цилиндрическом сосуде, основанные на уравнении типа «адвекция–диффузия» и уравнении Фоккера–Планка. Приведено сравнение результатов расчетов на основе этих моделей. Рассмотренные модели демонстрируют качественно схожее поведение на начальном этапе формирования тромба. При детальном исследовании возникновения крупных сгустков необходимо уточнение моделей.

The paper considers models of platelet thrombus formation in blood plasma flow in a cylindrical vessel, based on the “advection–diffusion” equation and the Fokker–Planck equation. The comparison of the results of calculations based on these models is given. Considered models show qualitatively similar behavior at the initial stage of thrombus formation. А detailed investigation of large clots requires models’ improvement.

Целью проведенного исследования была разработка математической модели пульсирующего течения крови по участку аорты, включающему восходящий отдел, дугу аорты с ее ответвлениями и верхнюю часть нисходящего отдела. Поскольку при прохождении пульсовой волны деформации этой наиболее твердой части аорты малы, то при построении механической модели ее стенки считались абсолютно твердыми. В статье приводится описание внутренней структуры крови и ряда внутриструктурных эффектов. Этот анализ показывает, что кровь, которая по существу является суспензией, можно рассматривать только как неньютоновскую жидкость. Кроме того, кровь можно считать жидкостью только в кровеносных сосудах, диаметр которых намного больше характерного размера клеток крови и их агрегатных образований. В качестве неньютоновской жидкости была выбрана вязкая жидкость со степенным законом связи напряжения со скоростью деформации. Этот закон позволяет описывать поведение не только жидкостей, но и суспензий. При постановке граничного условия на входе в аорту, отражающего пульсирующий характер течения крови, было решено не ограничиваться заданием совокупного потока крови, который не дает представления о пространственном распределении скорости по поперечному сечению. В связи с этим было предложено моделировать огибающую поверхность этого пространственного распределения частью параболоида вращения с фиксированным радиусом основания и высотой, которая меняется во времени от нуля до максимального значения скорости. Для граничного условия на стенке сосуда предлагается использовать условие полупроскальзывания. Это связано с тем, что клетки крови, в силу своих электрохимических свойств, не прилипают к внутреннему слою сосуда. На внешних концах аорты и ее ответвлений задавалась величина давления. Для выполнения вычислений была построена геометрическая модель рассматриваемой части аорты с ответвлениями, на которую была нанесена тетраэдальная сетка с общим числом элементов 9810. Вычисления производились методом конечных элементов с шагом по времени 0.01 с с использованием пакета ABAQUS. В результате было получено распределение скоростей и давления на каждом шаге по времени. В областях ветвления сосудов было обнаружено вре́менное наличие вихрей и обратных течений. Они зарождались через 0.47 с от начала пульсового цикла и исчезали спустя 0.14 с.

The purpose of research was to develop a mathematical model for pulsating blood flow in the part of aorta with their branches. Since the deformation of this most solid part of the aorta is small during the passage of the pulse wave, the blood vessels were considered as non-deformable curved cylinders. The article describes the internal structure of blood and some internal structural effects. This analysis shows that the blood, which is essentially a suspension, can only be regarded as a non-Newtonian fluid. In addition, the blood can be considered as a liquid only in the blood vessels, diameter of which is much higher than the characteristic size of blood cells and their aggregate formations. As a non-Newtonian fluid the viscous liquid with the power law of the relationship of stress with shift velocity was chosen. This law can describe the behaviour not only of liquids but also dispersions. When setting the boundary conditions at the entrance into aorta, reflecting the pulsating nature of the flow of blood, it was decided not to restrict the assignment of the total blood flow, which makes no assumptions about the spatial velocity distribution in a cross section. In this regard, it was proposed to model the surface envelope of this spatial distribution by a part of a paraboloid of rotation with a fixed base radius and height, which varies in time from zero to maximum speed value. The special attention was paid to the interaction of blood with the walls of the vessels. Having regard to the nature of this interaction, the so-called semi-slip condition was formulated as the boundary condition. At the outer ends of the aorta and its branches the amounts of pressure were given. To perform calculations the tetrahedral computer network for geometric model of the aorta with branches has been built. The total number of meshes is 9810. The calculations were performed with use of the software package ABACUS, which has also powerful tools for creating geometry of the model and visualization of calculations. The result is a distribution of velocities and pressure at each time step. In areas of branching vessels was discovered temporary presence of eddies and reverse currents. They were born via 0.47 s from the beginning of the pulse cycle and disappeared after 0.14 s.

Изучается приближенная математическая модель кровотока в осесимметричном кровеносном сосуде. Под таким сосудом понимается бесконечно длинный круговой цилиндр, стенки которого состоят из упругих колец. Кровь рассматривается как несжимаемая жидкость, текущая в этом цилиндре. Повышенное давление вызывает радиально-симметричное растяжение упругих колец. Следуя Дж. Лэму, кольца расположены близко друг к другу так, что жидкость между ними не протекает. Для мысленной реализации этого достаточно предположить, что кольца обтянуты непроницаемой пленкой, не обладающей упругими свойствами. Упругостью обладают лишь кольца. Рассматриваемая модель кровотока в кровеносном сосуде состоит из трех уравнений: уравнения неразрывности, закона сохранения количества движения и уравнения состояния. Рассматривается приближенная процедура сведения рассматриваемых уравнений к уравнению Кортевега – де Фриза (КдФ), которая рассмотрена Дж. Лэмом не в полной мере, лишь для установления зависимости коэффициентов уравнения КдФ от физических параметров рассматриваемой модели течения несжимаемого флюида в осесимметричном сосуде. Из уравнения КдФ стандартным переходом к бегущим волнам получаются ОДУ третьего, второго и первого порядка соответственно. В зависимости от различных случаев расположения трех стационарных решений ОДУ первого порядка стандартно получаются кноидальная волна и солитон. Основное внимание уделено неограниченному периодическому решению, которое названо нами вырожденной кноидальной волной. Математически кноидальные волны описываются эллиптическими интегралами с параметрами, определяющими амплитуды и периоды. Солитон и вырожденная кноидальная волна описываются элементарными функциями. Указан гемодинамический смысл этих видов решений. Благодаря тому, что множества решений ОДУ первого, второго и третьего порядков не совпадают, установлено, что задачу Коши для ОДУ второго и третьего порядков можно задавать во всех точках, а для ОДУ первого порядка — лишь в точках роста или убывания. Задачу Коши для ОДУ первого порядка нельзя задавать в точках экстремума благодаря нарушению условия Липшица. Численно проиллюстрировано перерождение кноидальной волны в вырожденную кноидальную волну, которая может привести к разрыву стенок сосуда. Приведенная таблица описывает два режима приближения кноидальной волны к вырожденной кноидальной волне.

An approximate mathematical model of blood flow in an axisymmetric blood vessel is studied. Such a vessel is understood as an infinitely long circular cylinder, the walls of which consist of elastic rings. Blood is considered as an incompressible fluid flowing in this cylinder. Increased pressure causes radially symmetrical stretching of the elastic rings. Following J. Lamb, the rings are located close to each other so that liquid does not flow between them. To mentally realize this, it is enough to assume that the rings are covered with an impenetrable film that does not have elastic properties. Only rings have elasticity. The considered model of blood flow in a blood vessel consists of three equations: the continuity equation, the law of conservation of momentum and the equation of state. An approximate procedure for reducing the equations under consideration to the Korteweg – de Vries (KdV) equation is considered, which was not fully considered by J. Lamb, only to establish the dependence of the coefficients of the KdV equation on the physical parameters of the considered model of incompressible fluid flow in an axisymmetric vessel. From the KdV equation, by a standard transition to traveling waves, ODEs of the third, second and first orders are obtained, respectively. Depending on the different cases of arrangement of the three stationary solutions of the first-order ODE, a cnoidal wave and a soliton are standardly obtained. The main attention is paid to an unbounded periodic solution, which we call a degenerate cnoidal wave. Mathematically, cnoidal waves are described by elliptic integrals with parameters defining amplitudes and periods. Soliton and degenerate cnoidal wave are described by elementary functions. The hemodynamic meaning of these types of decisions is indicated. Due to the fact that the sets of solutions to first-, second- and third-order ODEs do not coincide, it has been established that the Cauchy problem for second- and third-order ODEs can be specified at all points, and for first-order ODEs only at points of growth or decrease. The Cauchy problem for a first-order ODE cannot be specified at extremum points due to the violation of the Lipschitz condition. The degeneration of the cnoidal wave into a degenerate cnoidal wave, which can lead to rupture of the vessel walls, is numerically illustrated. The table below describes two modes of approach of a cnoidal wave to a degenerate cnoidal wave.

Биологическая структура рассматривается как открытая неравновесная система, свойства которой могут быть описаны на основе кинетических уравнений. Ставятся новые задачи с неравновесными граничными условиями на границе, причем неравновесное состояние (распределение) преобразуется постепенно в равновесное состояние вниз по течению. Область пространственной неоднородности имеет масштаб, зависящий от скорости переноса вещества в открытой системе и характерного времени метаболизма. В предлагаемом приближении внутренняя энергия движения молекул много меньше энергии поступательного движения; в других терминах: кинетическая энергия средней скорости крови существенно выше, чем энергия хаотического движения частиц в крови. Задача о релаксации в пространстве моделирует живую систему, поскольку сопоставляет области термодинамической неравновесности и неоднородности. Поток энтропии в изучаемой системе уменьшается вниз по потоку, что соответствует общим идеям Э. Шрёдингера о том, что живая система «питается» негэнтропией. Вводится величина, определяющая сложность биосистемы, — это разность между величинами неравновесной кинетической энтропии и равновесной энтропией в каждой пространственной точке, затем проинтегрированная по всему пространству. Решения задач о пространственной релаксации позволяют высказать суждение об оценке размера биосистем в целом как областей неравновесности. Результаты сравниваются с эмпирическими данными, в частности для млекопитающих (размеры животных тем больше, чем меньше удельная энергия метаболизма). Что воспроизводится в предлагаемой кинетической модели, поскольку размеры неравновесной области больше в той системе, где меньше скорость реакции, или в терминах кинетического подхода – чем больше время релаксации характерного взаимодействия между молекулами. Подход применяется для обсуждения характеристик и отдельного органа живой системы, а именно зеленого листа. Рассматриваются проблемы старения как деградации открытой неравновесной системы. Аналогия связана со структурой: для замкнутой системы происходит стремление к равновесию структуры для одних и тех же молекул, в открытой системе происходит переход к равновесию частиц, которые меняются из-за метаболизма. Соответственно, выделяются два существенно различных масштаба времени, отношение которых является приблизительно постоянным для различных видов животных. В предположении существования двух этих временных шкал кинетическое уравнение расщепляется на два уравнения, описывающих метаболическую (стационарную) и «деградационную» (нестационарную) части процесса.

The biological structure is considered as an open nonequilibrium system which properties can be described on the basis of kinetic equations. New problems with nonequilibrium boundary conditions are introduced. The nonequilibrium distribution tends gradually to an equilibrium state. The region of spatial inhomogeneity has a scale depending on the rate of mass transfer in the open system and the characteristic time of metabolism. In the proposed approximation, the internal energy of the motion of molecules is much less than the energy of translational motion. Or in other terms we can state that the kinetic energy of the average blood velocity is substantially higher than the energy of chaotic motion of the same particles. We state that the relaxation problem models a living system. The flow of entropy to the system decreases in downstream, this corresponds to Shrödinger’s general ideas that the living system “feeds on” negentropy. We introduce a quantity that determines the complexity of the biosystem, more precisely, this is the difference between the nonequilibrium kinetic entropy and the equilibrium entropy at each spatial point integrated over the entire spatial region. Solutions to the problems of spatial relaxation allow us to estimate the size of biosystems as regions of nonequilibrium. The results are compared with empirical data, in particular, for mammals we conclude that the larger the size of animals, the smaller the specific energy of metabolism. This feature is reproduced in our model since the span of the nonequilibrium region is larger in the system where the reaction rate is shorter, or in terms of the kinetic approach, the longer the relaxation time of the interaction between the molecules. The approach is also used for estimation of a part of a living system, namely a green leaf. The problems of aging as degradation of an open nonequilibrium system are considered. The analogy is related to the structure, namely, for a closed system, the equilibrium of the structure is attained for the same molecules while in the open system, a transition occurs to the equilibrium of different particles, which change due to metabolism. Two essentially different time scales are distinguished, the ratio of which is approximately constant for various animal species. Under the assumption of the existence of these two time scales the kinetic equation splits in two equations, describing the metabolic (stationary) and “degradative” (nonstationary) parts of the process.

Атеросклеротические заболевания, такие как атеросклероз сонной артерии и хронические болезни почек, являются основными причинами смерти во всем мире. Возникновение таких атеросклеротических болезней в артериях зависит от сложной динамики кровотока и ряда гемодинамических параметров. Атеросклероз почечных артерий приводит к уменьшению артериальной эффективности и в конечном счете приводит к почечной артериальной гипертензии. В данной работе делается попытка определить локализацию атеросклеротической бляшки в брюшной аорте человека в окрестности соединения с почечной артерией с использованием средств вычислительной гидродинамики (CFD).

Области, подверженные атеросклерозу, в идеализированном соединении брюшной аорты и почечной артерии человека определяются в результате вычислений некоторых гемодинамических показателей. При вычислениях используется точная реологическая модель крови человека, предложенная Yeleswarapu. Кровоток вычисляется в трехмерной модельной области соединения артерий с использованием пакета ANSYS FLUENT v18.2.

Вычисленные гемодинамические показатели представляют собой среднее значение напряжения сдвига на стенке сосуда (AWSS), колебательный сдвиговый индекс (OSI) и относительное время задержки (RRT). Моделирование пульсирующего течения (f = 1.25 Гц, Re = 1000) показывает, что малое значение AWSS и высокий индекс OSI возникают в областях почечной артерии вниз по течению от соединения и в инфраренальном отделе брюшной аорты вблизи соединения. Высокий RRT, который является относительным индексом и зависит как от AWSS, так и OSI, как показано в данной работе, сочетается с низким AWSS и высоким OSI в краниальной части поверхности почечной артерии, проксимальной около соединения и на латеральной поверхности вблизи бифуркации брюшной аорты: это указывает, что эти области наиболее всего подвержены атеросклерозу. Результаты качественно соответствуют литературным данным. Они могут служить начальным этапом исследований и иллюстрировать пользу средств вычислительной гидродинамики (CFD) для определения местоположения атеросклеротической бляшки.

Atherosclerotic diseases such as carotid artery diseases (CAD) and chronic kidney diseases (CKD) are the major causes of death worldwide. The onset of these atherosclerotic diseases in the arteries are governed by complex blood flow dynamics and hemodynamic parameters. Atherosclerosis in renal arteries leads to reduction in arterial efficiency, which ultimately leads to Reno-vascular hypertension. This work attempts to identify the localization of atherosclerotic plaque in human abdominal aorta — renal artery junction using Computational fluid dynamics (CFD).

The atherosclerosis prone regions in an idealized human abdominal aorta-renal artery junction are identified by calculating relevant hemodynamic indicators from computational simulations using the rheologically accurate shear-thinning Yeleswarapu model for human blood. Blood flow is numerically simulated in a 3-D model of the artery junction using ANSYS FLUENT v18.2.

Hemodynamic indicators calculated are average wall shear stress (AWSS), oscillatory shear index (OSI), and relative residence time (RRT). Simulations of pulsatile flow (f=1.25 Hz, Re = 1000) show that low AWSS, and high OSI manifest in the regions of renal artery downstream of the junction and on the infrarenal section of the abdominal aorta lateral to the junction. High RRT, which is a relative index and dependent on AWSS and OSI, is found to overlap with the low AWSS and high OSI at the cranial surface of renal artery proximal to the junction and on the surface of the abdominal aorta lateral to the bifurcation: this indicates that these regions of the junction are prone to atherosclerosis. The results match qualitatively with the findings reported in literature and serve as initial step to illustrate utility of CFD for the location of atherosclerotic plaque.

В работе рассмотрено приложение методов кинетической теории к задачам гемодинамики. Для моделирования выбраны решеточные уравнения Больцмана. Данные модели описывают дискретизированную по пространственной и временной координате динамику движения частиц на одномерной решетке. Хорошо известно, что в пределе малых длин свободного пробега решеточные уравнения Больцмана описывают уравнения гидродинамики. Если течение достаточно медленное (мало число Маха), то данные уравнения гидродинамики переходят в уравнения Навье – Стокса для сжимаемого газа. Если в получающихся гидродинамических уравнениях переменные, отвечающие плотности и скорости звука, считать площадью поперечного сечения сосуда и скоростью распространения пульсовой волны давления, то выводятся хорошо известные в биомеханике нелинейные уравнения распространения несжимаемой вязкой жидкости (крови) в эластичном сосуде для частного случая постоянной пульсовой скорости.

В общем случае скорость распространения пульсовой волны зависит от площади просвета сосуда. Следует отметить интересную аналогию: уравнение состояния решеточного газа в новых переменных становится законом, связывающим давление и площадь поперечного сечения сосуда. Таким образом, в общем случае требуется модифицировать уравнение состояния для решеточного уравнения Больцмана. Данная процедура хорошо известна в теории неидеального газа и многофазных течений и эквивалентна введению в уравнения виртуальной силы. Получающиеся уравнения могут использоваться для моделирования любых законов, связывающих скорость пульсовой волны и площадь просвета сосуда.

В качестве тестовых задач рассмотрено распространение уединенной нелинейной пульсовой волны в сосуде с упругими свойствами, описываемыми законом Лапласа. Во второй задаче рассмотрено распространение пульсовых волн для бифуркации сосудов. Показано, что результаты расчетов хорошо совпадают с данными из предыдущих исследований.

In the present paper the application of the kinetic methods to the blood flow problems in elastic vessels is studied. The Lattice Boltzmann (LB) kinetic equation is applied. This model describes the discretized in space and time dynamics of particles traveling in a one-dimensional Cartesian lattice. At the limit of the small times between collisions LB models describe hydrodynamic equations which are equivalent to the Navier – Stokes for compressible if the considered flow is slow (small Mach number). If one formally changes in the resulting hydrodynamic equations the variables corresponding to density and sound wave velocity by luminal area and pulse wave velocity then a well-known 1D equations for the blood flow motion in elastic vessels are obtained for a particular case of constant pulse wave speed.

In reality the pulse wave velocity is a function of luminal area. Here an interesting analogy is observed: the equation of state (which defines sound wave velocity) becomes pressure-area relation. Thus, a generalization of the equation of state is needed. This procedure popular in the modeling of non-ideal gas and is performed using an introduction of a virtual force. This allows to model arbitrary pressure-area dependence in the resulting hemodynamic equations.

Two test case problems are considered. In the first problem a propagation of a sole nonlinear pulse wave is studied in the case of the Laplace pressure-area response. In the second problem the pulse wave dynamics is considered for a vessel bifurcation. The results show good precision in comparison with the data from literature.

Рассматривается одномерная трехскоростная кинетическая решеточная модель уравнения Больцмана, которая в рамках кинетической теории описывает распространение и взаимодействие частиц трех типов. Данная модель представляет собой разностную схему второго порядка для уравнений гидродинамики. Ранее было показано, что одномерная кинетическая решеточная модель уравнения Больцмана с внешней силой в пределе малых длин свободного пробега также эквивалентна одномерным уравнениям гемодинамики для эластичных сосудов, эквивалентность можно установить, используя разложение Чепмена – Энскога. Внешняя сила в модели отвечает за возможность регулировки функциональной зависимости между площадью просвета сосуда и приложенного к стенке рассматриваемого сосуда давления. Таким образом, меняя форму внешней силы, можно моделировать практически произвольные эластичные свойства стенок сосудов. В настоящей работе рассмотрены постановки физиологически интересных граничных условий для решеточных уравнений Больцмана в приложениях к задачам течения крови в сети эластичных сосудов. Разобраны следующие граничные условия: для давления и потока крови на входе сосудистой сети, условия для давления и потоков крови в точке бифуркации сосудов, условия отражения (соответствуют полной окклюзии сосуда) и поглощения волн на концах сосудов (эти условия соответствуют прохождению волны без искажений), а также условия типа RCR, представляющие собой схему, аналогичную электрическим цепям и состоящую из двух резисторов (соответствующих импедансу сосуда, на конце которого ставятся граничные условия, а также силам трения крови в микроциркуляторном русле) и одного конденсатора (описывающего эластичные свойства артериол). Проведено численное моделирование, рассмотрена задача о распространении крови в сети из трех сосудов, на входе сети ставятся условияна входящий поток крови, на концах сети ставятсяу словия типа RCR. Решения сравниваются с эталонными, в качестве которых выступают результаты численного счета на основе разностной схемы Маккормака второго порядка (без вязких членов), показано, что оба подхода дают практически идентичные результаты.

We consider a one-dimensional three velocity kinetic lattice Boltzmann model, which represents a secondorder difference scheme for hydrodynamic equations. In the framework of kinetic theory this system describes the propagation and interaction of three types of particles. It has been shown previously that the lattice Boltzmann model with external virtual force is equivalent at the hydrodynamic limit to the one-dimensional hemodynamic equations for elastic vessels, this equivalence can be achieved with use of the Chapman – Enskog expansion. The external force in the model is responsible for the ability to adjust the functional dependence between the lumen area of the vessel and the pressure applied to the wall of the vessel under consideration. Thus, the form of the external force allows to model various elastic properties of the vessels. In the present paper the physiological boundary conditions are considered at the inlets and outlets of the arterial network in terms of the lattice Boltzmann variables. We consider the following boundary conditions: for pressure and blood flow at the inlet of the vascular network, boundary conditions for pressure and blood flow for the vessel bifurcations, wave reflection conditions (correspond to complete occlusion of the vessel) and wave absorption at the ends of the vessels (these conditions correspond to the passage of the wave without distortion), as well as RCR-type conditions, which are similar to electrical circuits and consist of two resistors (corresponding to the impedance of the vessel, at the end of which the boundary conditions are set and the friction forces in microcirculatory bed) and one capacitor (describing the elastic properties of arterioles). The numerical simulations were performed: the propagation of blood in a network of three vessels was considered, the boundary conditions for the blood flow were set at the entrance of the network, RCR boundary conditions were stated at the ends of the network. The solutions to lattice Boltzmann model are compared with the benchmark solutions (based on numerical calculations for second-order McCormack difference scheme without viscous terms), it is shown that the both approaches give very similar results.