Все выпуски

Алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач, разработанный на основе метода моделирования с помощью системы сеток, дополнен расчетным механизмом, позволяющим учитывать перемещение и вращение тел относительно центров масс. Для заданной конфигурации тел решается задача обтекания методом установления, после этого состояние системы перерассчитывается через малый промежуток времени. Итерационным способом оказывается возможным проследить динамику системы на больших интервалах времени. Алгоритм реализован для исследования полета системы тел с учетом их относительного положения и вращения. Выполнено тестирование алгоритма на задаче обтекания тела сегментально-конической формы. Показано хорошее согласование результатов с экспериментальными исследованиями. Алгоритм применен для расчета задачи о сверхзвуковом полете вращающегося тела. Для тел прямоугольной формы, имитирующих удлиненные осколки метеорного тела, показано, что для удлиненных тел аэродинамически более устойчивым положением является полет с большей по площади стороной поперек направления полета. Это приводит фактически к полету тел с максимально возможным аэродинамическим сопротивлением из-за максимальной площади миделя. Алгоритм применен для расчета задачи о разлете двух одинаковых тел прямоугольной формы с учетом их вращения. Вращение приводит к тому, что тела разлетаются не только под действием расталкивающей аэродинамической силы, но и дополнительной боковой силы из-за приобретения угла атаки. Скорость разлета двух осколков метеорного тела удлиненной формы при учете вращения увеличивается до трех раз по сравнению с вариантом, когда предполагается, что тела не вращаются. Исследование проведено в целях оценки влияния различных факторов на скорость разлета осколков метеорного тела после разрушения для построения возможных траекторий выпавших на землю метеоритов. Разработанный алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач с учетом относительного перемещения и вращения тел может быть использован для решения технических задач, например для исследования динамики разделения ступеней летательного аппарата.

An algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, which is based on the method of modeling with the help of a grid system, has been complemented by a numerical mechanism that allows to take into account the relative movement and rotation of bodies relative to their centers of mass. For a given configuration of the bodies a problem of flow is solved by relaxation method. After that the state of the system is recalculated after a short amount of time. With the use of iteration it is possible to trace the dynamics of the system over a large period of time. The algorithm is implemented for research of flight of systems of bodies taking into account their relative position and rotation. The algorithm was tested on the problem of flow around a body with segmental-conical form. A good correlation of the results with experimental studies was shown. The algorithm is used to calculate the problem of the supersonic fight of a rotating body. For bodies of rectangular shape, imitating elongated fragments of a meteoroid, it is shown that for elongated bodies the aerodynamically more stable position is flight with a larger area across the direction of flight. This de facto leads to flight of bodies with the greatest possible aerodynamic resistance due to the maximum midship area. The algorithm is used to calculate the flight apart of two identical bodies of a rectangular shape, taking into account their rotation. Rotation leads to the fact that the bodies fly apart not only under the action of the pushing aerodynamic force but also the additional lateral force due to the acquisition of the angle of attack. The velocity of flight apart of two fragments with elongated shape of a meteoric body increases to three times with the account of rotation in comparison with the case, when it is assumed that the bodies do not rotate. The study was carried out in order to evaluate the influence of various factors on the velocity of fragmentation of the meteoric body after destruction in order to construct possible trajectories of fallen on earth meteorites. A developed algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, taking into account the relative movement and rotation of the bodies, can be used to solve technical problems, for example, to study the dynamics of separation of aircraft stages.

Исследование сложных процессов в различных сферах человеческой деятельности традиционно основывается на использовании математических моделей. В современных условиях разработка и применение подобных моделей существенно упрощаются наличием быстродействующих средств вычислительной техники и специализированных инструментальных средств, позволяющих, по существу, конструировать модели из заранее подготовленных модулей. Несмотря на это, известные проблемы, связанные с обеспечением адекватности модели, достоверности исходных данных, реализацией на практике результатов моделирования, чрезмерно большой размерностью исходных данных, совместным применением достаточно разнородных математических моделей в условиях усложнения и интеграции моделируемых процессов, приобретают растущую актуальность. Еще более критичными могут являться внешние ограничения, накладываемые на значение оптимизируемого функционала и нередко не достижимые в рамках построенной модели. Логично предположить, что для выполнения этих ограничений необходима целенаправленная трансформация исходной модели, то есть переход к математической модели с заведомо «улучшенным» решением. Новая модель, очевидно, будет иметь иную внутреннюю структуру (совокупность параметров и их взаимосвязи), а также иные форматы (области определения) исходных данных. Исследованные авторами возможности целенаправленного изменения первоначальной модели основаны на реализации идеи стратегической рефлексии.

В математическом плане практическая реализация авторского замысла оказывается наиболее сложной при использовании имитационных моделей, для которых алгоритмы поиска оптимальных решений имеют известные ограничения, а исследование на чувствительность в большинстве случаев весьма затруднительно. На примере рассмотрения достаточно стандартной дискретно-событийной имитационной модели в статье приводятся типовые методические приемы, позволяющие осуществить ранжирование вариабельных параметров по чувствительности и в дальнейшем расширить область определения вариабельного параметра, к которому имитационная модель наиболее чувствительна. При переходе к «улучшенной» модели возможно также одновременное исключение из нее параметров, влияние которых на оптимизируемый функционал несущественно, и, наоборот, введение в модель новых параметров, соответствующих реальным процессам.

The study of complex processes in various spheres of human activity is traditionally based on the use of mathematical models. In modern conditions, the development and application of such models is greatly simplified by the presence of high-speed computer equipment and specialized tools that allow, in fact, designing models from pre-prepared modules. Despite this, the known problems associated with ensuring the adequacy of the model, the reliability of the original data, the implementation in practice of the simulation results, the excessively large dimension of the original data, the joint application of sufficiency heterogeneous mathematical models in terms of complexity and integration of the simulated processes are becoming increasingly important. The more critical may be the external constraints imposed on the value of the optimized functional, and often unattainable within the framework of the constructed model. It is logical to assume that in order to fulfill these restrictions, a purposeful transformation of the original model is necessary, that is, the transition to a mathematical model with a deliberately improved solution. The new model will obviously have a different internal structure (a set of parameters and their interrelations), as well as other formats (areas of definition) of the source data. The possibilities of purposeful change of the initial model investigated by the authors are based on the realization of the idea of strategic reflection. The most difficult in mathematical terms practical implementation of the author's idea is the use of simulation models, for which the algorithms for finding optimal solutions have known limitations, and the study of sensitivity in most cases is very difficult. On the example of consideration of rather standard discrete- event simulation model the article presents typical methodological techniques that allow ranking variable parameters by sensitivity and, in the future, to expand the scope of definition of variable parameter to which the simulation model is most sensitive. In the transition to the “improved” model, it is also possible to simultaneously exclude parameters from it, the influence of which on the optimized functional is insignificant, and vice versa — the introduction of new parameters corresponding to real processes into the model.

Представлен итерационный алгоритм, который численно решает нелинейные одномерные несингулярные интегральные уравнения Фредгольма и Вольтерры второго рода типа Урысона. Показано, что метод последовательных приближений Пикара может быть использован при численном решении такого типа уравнений. Сходимость числовой схемы гарантируется теоремами о неподвижной точке. При этом квадратурный алгоритм основан на явной форме встроенного правила Рунге–Кутты пятого порядка с адаптивным контролем размера шага. Возможность контроля локальных ошибок квадратур позволяет создавать очень точные автоматические числовые схемы и значительно уменьшить основной недостаток итераций Пикара, а именно чрезвычайно большое количество вычислений с увеличением глубины рекурсии. Наш алгоритм организован так, что по сравнению с большинством подходов нелинейность интегральных уравнений не вызывает каких-либо дополнительных вычислительных трудностей, его очень просто применять и реализовывать в программе. Наш алгоритм демонстрирует практически важные черты универсальности. Во-первых, следует подчеркнуть, что метод столь же прост в применении к нелинейным, как и к линейным уравнениям типа Фредгольма и Вольтерры. Во-вторых, алгоритм снабжен правилами останова, по которым вычисления могут в значительной степени контролироваться автоматически. Представлен компактный C++-код описанного алгоритма. Реализация нашей программы является самодостаточной: она не требует никаких предварительных вычислений, никаких внешних функций и библиотек и не требует дополнительной памяти. Приведены числовые примеры, показывающие применимость, эффективность, надежность и точность предложенного подхода.

We present the iterative algorithm that solves numerically both Urysohn type Fredholm and Volterra nonlinear one-dimensional nonsingular integral equations of the second kind to a specified, modest user-defined accuracy. The algorithm is based on descending recursive sequence of quadratures. Convergence of numerical scheme is guaranteed by fixed-point theorems. Picard’s method of integrating successive approximations is of great importance for the existence theory of integral equations but surprisingly very little appears on numerical algorithms for its direct implementation in the literature. We show that successive approximations method can be readily employed in numerical solution of integral equations. By that the quadrature algorithm is thoroughly designed. It is based on the explicit form of fifth-order embedded Runge–Kutta rule with adaptive step-size self-control. Since local error estimates may be cheaply obtained, continuous monitoring of the quadrature makes it possible to create very accurate automatic numerical schemes and to reduce considerably the main drawback of Picard iterations namely the extremely large amount of computations with increasing recursion depth. Our algorithm is organized so that as compared to most approaches the nonlinearity of integral equations does not induce any additional computational difficulties, it is very simple to apply and to make a program realization. Our algorithm exhibits some features of universality. First, it should be stressed that the method is as easy to apply to nonlinear as to linear equations of both Fredholm and Volterra kind. Second, the algorithm is equipped by stopping rules by which the calculations may to considerable extent be controlled automatically. A compact C++-code of described algorithm is presented. Our program realization is self-consistent: it demands no preliminary calculations, no external libraries and no additional memory is needed. Numerical examples are provided to show applicability, efficiency, robustness and accuracy of our approach.

В статье представлены результаты численного моделирования вихревого пространственного нестационарного движения среды, возникающего около боковой и донной поверхностей десантного модуля при его спуске в атмосфере Марса. Численное исследование проведено для высокоскоростного режима обтекания при различных углах атаки. Математическое моделирование осуществлено на основе модели Навье – Стокса и модели равновесных химических реакций для газового состава марсианской атмосферы. Результаты моделирования показали, что при рассматриваемых условиях движения спускаемого аппарата около его боковой и донной поверхностей реализуется нестационарное течение, имеющее ярко выраженный вихревой характер. Численные расчеты указывают на то, что в зависимости от угла атаки нестационарность и вихревой характер потока могут проявляться как на всей боковой и донной поверхностях аппарата, так и, частично, на их подветренной стороне. Для различных углов атаки приводятся картины вихревой структуры потока около поверхности спускаемого аппарата и в его ближнем следе, а также картины полей температуры и показателя адиабаты. Нестационарный характер обтекания подтверждается представленными временными зависимостями газодинамических параметров потока в различных точках поверхности аппарата. Проведенные параметрические расчеты позволили построить зависимости аэродинамических характеристик спускаемого аппарата от угла атаки. Математическое моделирование осуществляется на основе являющегося методом конечных объемов консервативного численного метода потоков, основанного на конечно-разностной записи законов сохранения аддитивных характеристик среды с использованием upwind-аппроксимаций потоковых переменных. Для моделирования возникающей при обтекании сложной вихревой структуры потока около спускаемого аппарата используются неравномерные вычислительные сетки, включающие до 30 миллионов конечных объемов с экспоненциальным сгущением к поверхности, что позволило выявить мелкомасштабные вихревые образования. Численные исследования проведены на базе разработанного комплекса программ, основанного на параллельных алгоритмах используемого численного метода и реализованного на современных многопроцессорных вычислительных системах. Приведенные в статье результаты численного моделирования получены при использовании до двух тысяч вычислительных ядер многопроцессорного комплекса.

The article presents the results of numerical modeling of the vortex spatial non-stationary motion of the medium arising near the lateral and bottom surfaces of the descent module during its movement in the atmosphere of Mars. The numerical study was performed for the high-speed streamline regime at various angles of attack. Mathematical modeling was carried out on the basis of the Navier – Stokes model and the model of equilibrium chemical reactions for the Martian atmosphere gas. The simulation results showed that under the considered conditions of the descent module motion, a non-stationary flow with a pronounced vortex character is realized near its lateral and bottom surfaces. Numerical calculations indicate that, depending on the angle of attack, the nonstationarity and vortex nature of the flow can manifest itself both on the entire lateral and bottom surfaces of the module, and, partially, on their leeward side. For various angles of attack, pictures of the vortex structure of the flow near the surface of the descent vehicle and in its near wake are presented, as well as pictures of the gas-dynamic parameters fields. The non-stationary nature of the flow is confirmed by the presented time dependences of the gas-dynamic parameters of the flow at various points on the module surface. The carried out parametric calculations made it possible to determine the dependence of the aerodynamic characteristics of the descent module on the angle of attack. Mathematical modeling is carried out on the basis of the conservative numerical method of fluxes, which is a finitevolume method based on a finite-difference writing of the conservation laws of additive characteristics of the medium using «upwind» approximations of stream variables. To simulate the complex vortex structure of the flow over descent module, the nonuniform computational grids are used, including up to 30 million finite volumes with exponential thickening to the surface, which made it possible to reveal small-scale vortex formations. Numerical investigations were carried out on the basis of the developed software package based on parallel algorithms of the used numerical method and implemented on modern multiprocessor computer systems. The results of numerical simulation presented in the article were obtained using up to two thousand computing cores of a multiprocessor complex.

Работа посвящена численному моделированию двухфазных течений, а именно расчету сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкого газа с примесью относительно крупных частиц, масса которых позволяет после отражения от поверхности выйти за пределы ударного слоя, двигаясь по инерции навстречу набегающему потоку. Натурные и вычислительные эксперименты показывают, что движение высокоинерционных частиц существенным образом изменяет структуру течения газа в ударном слое, а формирующиеся при этом направленные на тело импактные струи вызывают увеличение давления газа вблизи участков поверхности и кратный рост конвективного теплового потока.

Построена математическая модель обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа с твердыми частицами. Решение системы нестационарных уравнений Навье–Стокса в консервативных переменных осуществляется бессеточным методом, в основе которого лежит аппроксимация частных пространственных производных газодинамических величин и содержащих их функций методом наименьших квадратов на множестве распределенных в области расчета узлов. Расчет невязких потоков выполняется методом HLLC в сочетании с MUSCL-реконструкцией третьего порядка, вязких потоков — схемой второго порядка. МНК-аппроксимация частных производных параметров газа по направлению также применяется для реализации краевых условий Неймана на выходной границе области расчета, а также поверхностях обтекаемых тел, которые считаются изотермическими твердыми стенками.

Каждое движущееся тело окружено облаком расчетных узлов, принадлежащих его домену и перемещающихся вместе с ним в пространстве. Реализовано два подхода к моделированию перемещения объектов с учетом обратного влияния на течение газа: метод скользящих облаков фиксированной формы и эволюции единого облака узлов, представляющего собой объединение узлов разных доменов. Проведенные численные эксперименты подтвердили применимость предложенных методов к решению целевых задач моделирования движения крупных частиц в сверхзвуковом потоке.

Выполнена программная реализация представленных алгоритмов на основе технологии параллельных гетерогенных вычислений OpenCL. Представлены результаты моделирования движения крупной частицы вдоль оси симметрии сферы навстречу набегающему потоку с числом Маха $\mathrm{M}=6$.

The work is devoted to numerical modeling of two-phase flows, namely, the calculation of supersonic flow around a blunt body by a viscous gas flow with an admixture of large high inertia particles. The system of unsteady Navier – Stokes equations is numerically solved by the meshless method. It uses the cloud of points in space to represent the fields of gas parameters. The spatial derivatives of gas parameters and functions are approximated by the least square method to calculate convective and viscous fluxes in the Navier – Stokes system of equations. The convective fluxes are calculated by the HLLC method. The third-order MUSCL reconstruction scheme is used to achieve high order accuracy. The viscous fluxes are calculated by the second order approximation scheme. The streamlined body surface is represented by a model of an isothermal wall. It implements the conditions for the zero velocity and zero pressure gradient, which is also modeled using the least squares method.

Every moving body is surrounded by its own cloud of points belongs to body’s domain and moving along with it in space. The explicit three-sage Runge–Kutta method is used to solve numerically the system of gas dynamics equations in the main coordinate system and local coordinate systems of each particle.

Two methods for the moving objects modeling with reverse impact on the gas flow have been implemented. The first one uses stationary point clouds with fixed neighbors within the same domain. When regions overlap, some nodes of one domain, for example, the boundary nodes of the particle domain, are excluded from the calculation and filled with the values of gas parameters from the nearest nodes of another domain using the least squares approximation of gradients. The internal nodes of the particle domain are used to reconstruct the gas parameters in the overlapped nodes of the main domain. The second method also uses the exclusion of nodes in overlapping areas, but in this case the nodes of another domain take the place of the excluded neighbors to build a single connected cloud of nodes. At the same time, some of the nodes are moving, and some are stationary. Nodes membership to different domains and their relative speed are taken into account when calculating fluxes.

The results of modeling the motion of a particle in a stationary gas and the flow around a stationary particle by an incoming flow at the same relative velocity show good agreement for both presented methods.

Sensor fusion is one of the important solutions for the perception problem in self-driving cars, where the main aim is to enhance the perception of the system without losing real-time performance. Therefore, it is a trade-off problem and its often observed that most models that have a high environment perception cannot perform in a real-time manner. Our article is concerned with camera and Lidar data fusion for better environment perception in self-driving cars, considering 3 main classes which are cars, cyclists and pedestrians. We fuse output from the 3D detector model that takes its input from Lidar as well as the output from the 2D detector that take its input from the camera, to give better perception output than any of them separately, ensuring that it is able to work in real-time. We addressed our problem using a 3D detector model (Complex-Yolov3) and a 2D detector model (Yolo-v3), wherein we applied the image-based fusion method that could make a fusion between Lidar and camera information with a fast and efficient late fusion technique that is discussed in detail in this article. We used the mean average precision (mAP) metric in order to evaluate our object detection model and to compare the proposed approach with them as well. At the end, we showed the results on the KITTI dataset as well as our real hardware setup, which consists of Lidar velodyne 16 and Leopard USB cameras. We used Python to develop our algorithm and then validated it on the KITTI dataset. We used ros2 along with C++ to verify the algorithm on our dataset obtained from our hardware configurations which proved that our proposed approach could give good results and work efficiently in practical situations in a real-time manner.

Sensor fusion is one of the important solutions for the perception problem in self-driving cars, where the main aim is to enhance the perception of the system without losing real-time performance. Therefore, it is a trade-off problem and its often observed that most models that have a high environment perception cannot perform in a real-time manner. Our article is concerned with camera and Lidar data fusion for better environment perception in self-driving cars, considering 3 main classes which are cars, cyclists and pedestrians. We fuse output from the 3D detector model that takes its input from Lidar as well as the output from the 2D detector that take its input from the camera, to give better perception output than any of them separately, ensuring that it is able to work in real-time. We addressed our problem using a 3D detector model (Complex-Yolov3) and a 2D detector model (Yolo-v3), wherein we applied the image-based fusion method that could make a fusion between Lidar and camera information with a fast and efficient late fusion technique that is discussed in detail in this article. We used the mean average precision (mAP) metric in order to evaluate our object detection model and to compare the proposed approach with them as well. At the end, we showed the results on the KITTI dataset as well as our real hardware setup, which consists of Lidar velodyne 16 and Leopard USB cameras. We used Python to develop our algorithm and then validated it on the KITTI dataset. We used ros2 along with C++ to verify the algorithm on our dataset obtained from our hardware configurations which proved that our proposed approach could give good results and work efficiently in practical situations in a real-time manner.

В данной работе приведен алгоритм численного решения обратной начально-краевой задачи для гиперболического уравнения с малым параметром перед второй производной по времени, которая состоит в нахождении начального распределения по заданному конечному. Данный алгоритм позволяет для заданной наперед точности получить решение задачи (в допустимых пределах точности). Данный алгоритм позволяет избежать сложностей, аналогичных случаю с уравнением теплопроводности с обращенным временем. Предложенный алгоритм позволяет подобрать оптимальный размер конечно-разностной схемы путем обучения на относительно больших разбиениях сетки и малом числе итераций градиентного метода. Предложенный алгоритм позволяет получить оценку для константы Липшица градиента целевого функционала. Также представлен способ оптимального выбора малого параметра при второй производной для ускорения решения задачи. Данный подход может быть применен и в других задачах с похожей структурой, например в решении уравнений состояния плазмы, в социальных процессах или в различных биологических задачах. Новизна данной работы заключается в разработке оптимальной процедуры выбора размера шага путем применения экстраполяции Ричардсона и обучения на малых размерах сетки для решения задач оптимизации с неточным градиентом в обратных задачах.

In this paper we describe an algorithm of numerical solving of an inverse problem on a hyperbolic heat equation with additional second time derivative with a small parameter. The problem in this case is finding an initial distribution with given final distribution. This algorithm allows finding a solution to the problem for any admissible given precision. Algorithm allows evading difficulties analogous to the case of heat equation with inverted time. Furthermore, it allows finding an optimal grid size by learning on a relatively big grid size and small amount of iterations of a gradient method and later extrapolates to the required grid size using Richardson’s method. This algorithm allows finding an adequate estimate of Lipschitz constant for the gradient of the target functional. Finally, this algorithm may easily be applied to the problems with similar structure, for example in solving equations for plasma, social processes and various biological problems. The theoretical novelty of the paper consists in the developing of an optimal procedure of finding of the required grid size using Richardson extrapolations for optimization problems with inexact gradient in ill-posed problems.

В работе представлены результаты численного моделирования в программном комплексе FlowVision турбулентного перемешивания потоков воды разнойтемпер атуры в Т-образной трубе. В статье детально описан экспериментальный стенд, специально спроектированный с целью получения простых для большинства программных комплексов вычислительной гидродинамики граничных условий. По результатам испытаний получены значения осредненных во времени температур и скоростей в контрольных датчиках и плоскостях. В статье представлена используемая при расчете система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процесс тепломассопереноса в жидкости с использованием модели турбулентности Смагоринского. Указаны граничные условия, посредством которых задаются случайные пульсации скорости на входе в расчетную область. Моделирование выполнено на различных расчетных сетках, для которых оси глобальной системы координат совпадают с направлениями потоков горячей и холодной воды. Для ПК FlowVision показана возможность построения расчетной сетки в процессе моделирования на основании изменения параметров течения. Оценено влияние подобного алгоритма построения расчетной сетки на результаты расчетов. Приведены результаты расчетов на диагональной сетке с использованием скошенной схемы (направление координатных линий не совпадает с направлением осей труб тройника). Показана высокая эффективность скошенной схемы при моделировании потоков, генеральные направления которых не совпадают с гранями расчетных ячеек. Проведено сравнение результатов моделирования на различных расчетных сетках. По результатам численного моделирования в ПК FlowVision получены распределения осредненных по времени скорости и температуры воды в контрольных сечениях и датчиках. Представлено сравнение численных результатов, полученных в ПК FlowVision, с экспериментальными данными и расчетами, выполненными с использованием других вычислительных программ. Результаты моделирования турбулентного перемешивания потока воды разной температуры в ПК FlowVision ближе к экспериментальным данным в сравнении с расчетами в CFX ANSYS. Показано, что применение LES-модели турбулентности на сравнительно небольших расчетных сетках в ПК FlowVision позволяет получать результаты с погрешностью в пределах 5 %.

The paper presents the results of numerical simulation of different-temperature water flows turbulent mixing in a T-junctions in the FlowVision software package. The article describes in detail an experimental stand specially designed to obtain boundary conditions that are simple for most computational fluid dynamics software systems. Values of timeaveraged temperatures and velocities in the control sensors and planes were obtained according to the test results. The article presents the system of partial differential equations used in the calculation describing the process of heat and mass transfer in a liquid using the Smagorinsky turbulence model. Boundary conditions are specified that allow setting the random velocity pulsations at the entrance to the computational domain. Distributions of time-averaged water velocity and temperature in control sections and sensors are obtained. The simulation is performed on various computational grids, for which the axes of the global coordinate system coincide with the directions of hot and cold water flows. The possibility for FlowVision PC to construct a computational grid in the simulation process based on changes in flow parameters is shown. The influence of such an algorithm for constructing a computational grid on the results of calculations is estimated. The results of calculations on a diagonal grid using a beveled scheme are given (the direction of the coordinate lines does not coincide with the direction of the tee pipes). The high efficiency of the beveled scheme is shown when modeling flows whose general direction does not coincide with the faces of the calculated cells. A comparison of simulation results on various computational grids is carried out. The numerical results obtained in the FlowVision PC are compared with experimental data and calculations performed using other computing programs. The results of modeling turbulent mixing of water flow of different temperatures in the FlowVision PC are closer to experimental data in comparison with calculations in CFX ANSYS. It is shown that the application of the LES turbulence model on relatively small computational grids in the FlowVision PC allows obtaining results with an error within 5%.

Рассматривается конечномерная оптимизационная задача, постановка которой, помимо искомых переменных, содержит параметры. Ее решение есть зависимость оптимальных значений переменных от параметров. В общем случае такие зависимости не являются функциями, поскольку могут быть неоднозначными, а в функциональном случае — быть недифференцируемыми. Кроме того, область их существования может оказаться уже области определения функций в условии задачи. Эти свойства затрудняют решение как исходной задачи, так и задач, в постановку которых входят данные зависимости. Для преодоления этих затруднений обычно применяются методы типа недифференцируемой оптимизации.

В статье предлагается альтернативный подход, позволяющий получать решения параметрических задач в форме, лишенной указанных свойств. Показывается, что такие представления могут исследоваться стандартными алгоритмами, основанными на формуле Тейлора. Данная форма есть функция, гладко аппроксимирующая решение исходной задачи. При этом величина погрешности аппроксимации регулируется специальным параметром. Предлагаемые аппроксимации строятся с помощью специальных функций, устанавливающих обратные связи между переменными и множителями Лагранжа. Приводится краткое описание этого метода для линейных задач с последующим обобщением на нелинейный случай.

Построение аппроксимации сводится к отысканию седловой точки модифицированной функции Лагранжа исходной задачи. Показывается, что необходимые условия существования такой седловой точки подобны условиям теоремы Каруша – Куна – Таккера, но не содержат в явном виде ограничений типа неравенств и условий дополняющей нежесткости. Эти необходимые условия аппроксимацию определяют неявным образом. Поэтому для вычисления ее дифференциальных характеристик используется теорема о неявных функциях. Эта же теорема применяется для уменьшения погрешности аппроксимации.

Особенности практической реализации метода функций обратных связей, включая оценки скорости сходимости к точному решению, демонстрируются для нескольких конкретных классов параметрических оптимизационных задач. Конкретно: рассматриваются задачи поиска глобального экстремума функций многих переменных и задачи на кратный экстремум (максимин-минимакс). Также рассмотрены оптимизационные задачи, возникающие при использовании многокритериальных математических моделей. Для каждого из этих классов приводятся демонстрационные примеры.

We consider a finite-dimensional optimization problem, the formulation of which in addition to the required variables contains parameters. The solution to this problem is a dependence of optimal values of variables on parameters. In general, these dependencies are not functions because they can have ambiguous meanings and in the functional case be nondifferentiable. In addition, their domain of definition may be narrower than the domains of definition of functions in the condition of the original problem. All these properties make it difficult to solve both the original parametric problem and other tasks, the statement of which includes these dependencies. To overcome these difficulties, usually methods such as non-differentiable optimization are used.

This article proposes an alternative approach that makes it possible to obtain solutions to parametric problems in a form devoid of the specified properties. It is shown that such representations can be explored using standard algorithms, based on the Taylor formula. This form is a function smoothly approximating the solution of the original problem for any parameter values, specified in its statement. In this case, the value of the approximation error is controlled by a special parameter. Construction of proposed approximations is performed using special functions that establish feedback (within optimality conditions for the original problem) between variables and Lagrange multipliers. This method is described for linear problems with subsequent generalization to the nonlinear case.

From a computational point of view the construction of the approximation consists in finding the saddle point of the modified Lagrange function of the original problem. Moreover, this modification is performed in a special way using feedback functions. It is shown that the necessary conditions for the existence of such a saddle point are similar to the conditions of the Karush – Kuhn – Tucker theorem, but do not contain constraints such as inequalities and conditions of complementary slackness. Necessary conditions for the existence of a saddle point determine this approximation implicitly. Therefore, to calculate its differential characteristics, the implicit function theorem is used. The same theorem is used to reduce the approximation error to an acceptable level.

Features of the practical implementation feedback function method, including estimates of the rate of convergence to the exact solution are demonstrated for several specific classes of parametric optimization problems. Specifically, tasks searching for the global extremum of functions of many variables and the problem of multiple extremum (maximin-minimax) are considered. Optimization problems that arise when using multicriteria mathematical models are also considered. For each of these classes, there are demo examples.

Численное решение системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) является вычислительно трудоемкой задачей, так как взаимодействие излучения с веществом нелинейно и нелокально. Коэффициенты поглощения излучения зависят от температуры, а поле температур определяется как газодинамическими процессами, так и переносом излучения. Обычно для решения системы ВРГД используется метод расщепления по физическим процессам, выделяется блок решения уравнения переноса совместно с уравнением баланса энергии вещества при известных давлениях и температурах. Построенные ранее разностные схемы, используемые для решения этого блока, обладают порядками сходимости не выше второго. Так как даже на современном уровне развития вычислительной техники имеются ограничения по памяти, то для решения сложных технических задач приходится применять не слишком подробные сетки. Это повышает требования к порядку аппроксимации разностных схем. В данной работе впервые реализованы бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для алгоритма совместного решения уравнения переноса излучения и уравнения баланса энергии. Предложенный метод может быть применен для решения широкого круга практических задач, так как обладает высокой точностью и подходит для решения задач с разрывами коэффициентов. Нелинейность задачи и использование неявной схемы приводит к итерационному процессу, который может медленно сходиться. В данной работе используется мультипликативный HOLO-алгоритм — метод квазидиффузии В.Я. Гольдина. Ключевая идея HOLO-алгоритмов состоит в совместном решении уравнений высокого порядка (high order, HO) и низкого порядка (low order, LO). Уравнением высокого порядка (HO) является уравнение переноса излучения, которое решается в многогрупповом приближении, далее уравнение осредняется по угловой переменной и получается система уравнений квазидиффузии в многогрупповом приближении (LO₁). Следующим этапом является осреднение по энергии, при этом получается эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии (LO₂), которая решается совместно с уравнением энергии. Решения, получаемые на каждом этапе HOLO-алгоритма, оказываются тесно связанными, что в итоге приводит к ускорению сходимости итерационного процесса. Для каждого из этапов HOLO-алгоритма предложены разностные схемы, построенные методом прямых в рамках одной ячейки и обладающие четвертым порядком аппроксимации по пространству и третьим порядком по времени. Схемы для уравнения переноса были разработаны Б.В. Роговым и его коллегами, схемы для уравнений LO₁ и LO₂ разработаны авторами. Предложен аналитический тест, на котором демонстрируются заявленные порядки сходимости. Рассматриваются различные варианты постановки граничных условий и исследовано их влияние на порядок сходимости по времени и пространству.

The numerical solving of the system of high-temperature radiative gas dynamics (HTRGD) equations is a computationally laborious task, since the interaction of radiation with matter is nonlinear and non-local. The radiation absorption coefficients depend on temperature, and the temperature field is determined by both gas-dynamic processes and radiation transport. The method of splitting into physical processes is usually used to solve the HTRGD system, one of the blocks consists of a joint solving of the radiative transport equation and the energy balance equation of matter under known pressure and temperature fields. Usually difference schemes with orders of convergence no higher than the second are used to solve this block. Due to computer memory limitations it is necessary to use not too detailed grids to solve complex technical problems. This increases the requirements for the order of approximation of difference schemes. In this work, bicompact schemes of a high order of approximation for the algorithm for the joint solution of the radiative transport equation and the energy balance equation are implemented for the first time. The proposed method can be applied to solve a wide range of practical problems, as it has high accuracy and it is suitable for solving problems with coefficient discontinuities. The non-linearity of the problem and the use of an implicit scheme lead to an iterative process that may slowly converge. In this paper, we use a multiplicative HOLO algorithm named the quasi-diffusion method by V.Ya.Goldin. The key idea of HOLO algorithms is the joint solving of high order (HO) and low order (LO) equations. The high-order equation (HO) is the radiative transport equation solved in the energy multigroup approximation, the system of quasi-diffusion equations in the multigroup approximation (LO₁) is obtained by averaging HO equations over the angular variable. The next step is averaging over energy, resulting in an effective one-group system of quasi-diffusion equations (LO₂), which is solved jointly with the energy equation. The solutions obtained at each stage of the HOLO algorithm are closely related that ultimately leads to an acceleration of the convergence of the iterative process. Difference schemes constructed by the method of lines within one cell are proposed for each of the stages of the HOLO algorithm. The schemes have the fourth order of approximation in space and the third order of approximation in time. Schemes for the transport equation were developed by B.V. Rogov and his colleagues, the schemes for the LO₁ and LO₂ equations were developed by the authors. An analytical test is constructed to demonstrate the declared orders of convergence. Various options for setting boundary conditions are considered and their influence on the order of convergence in time and space is studied.