Все выпуски

Дана постановка задачи управления движения тела в вязкой жидкости. Движение тела индуцируется перемещением внутренних материальных точек. На основе численного решения уравнений движения тела и гидродинамических уравнений получены аппроксимирующие зависимости для вязких сил. С применением аппроксимаций решается задача оптимального управления движением тела по заданной траектории с применением гибридного генетического алгоритма. Установлена возможность направленного движения тела под действием возвратно-поступательного движения внутренней точки. Оптимальное управление направлением движения осуществляется движением другой внутренней точки по круговой траектории с переменной скоростью.

Statement of a problem of management of movement of a body in a viscous liquid is given. Movement bodies it is induced by moving of internal material points. On a basis the numerical decision of the equations of movement of a body and the hydrodynamic equations approximating dependencies for viscous forces are received. With application approximations the problem of optimum control of body movement dares on the set trajectory with application of hybrid genetic algorithm. Possibility of the directed movement of a body under action is established back and forth motion of an internal point. Optimum control movement direction it is carried out by motion of other internal point on circular trajectory with variable speed.

Большой класс задач описывает физические процессы, протекающие в невыпуклых областях, содержащих угол больший 180 градусов на границе. Решение в окрестности такого угла сингулярно, а его отыскание, при использовании классических подходов, влечет за собой потерю точности. В представленной работе рассмотрены стационарные, линеаризованные с помощью итераций Пикара несжимаемые уравнения Навье – Стокса течения вязкой жидкости в конвективной форме в $L$-образной области. Определено $R_\nu$-обобщенное решение задачи в специальных множествах весовых пространств. Для нахождения приближенного $R_\nu$-обобщенного решения построен специальный метод конечных элементов. Во-первых, пространства конечно-элементных функций удовлетворяют закону сохранения массы в сильном смысле, то есть в узлах сетки. Для этой цели используется Скотт – Вогелиус конечно-элементная пара. Выполнение закона сохранения массы ведет к отысканию более точного с физической точки зрения решения. Во-вторых, базисные функции конечномерных пространств дополнены весовыми функциями как множителями, которые совпадают с расстоянием от точки до вершины тупого угла в $\delta$-окрестности точки сингулярности и радиусом $\delta$ вне ее. Степень весовой функции, как и параметр $\nu$ в определении $R_\nu$-обобщенного решения, так и радиус $\delta$-окрестности точки сингулярности являются свободными параметрами метода. Специально подобранная их комбинация приводит к увеличению порядка сходимости приближенного решения к точному решению задачи почти в два раза по сравнению с классическими подходами и достигает единицы по шагу сетки в нормах весовых пространств Соболева. Таким образом, установлено, что скорость сходимости не зависит от величины угла.

An essential class of problems describes physical processes occurring in non-convex domains containing a corner greater than 180 degrees on the boundary. The solution in a neighborhood of a corner is singular and its finding using classical approaches entails a loss of accuracy. In the paper, we consider stationary, linearized by Picard’s iterations, Navier – Stokes equations governing the flow of a incompressible viscous fluid in the convection form in $L$-shaped domain. An $R_\nu$-generalized solution of the problem in special sets of weighted spaces is defined. A special finite element method to find an approximate $R_\nu$-generalized solution is constructed. Firstly, functions of the finite element spaces satisfy the law of conservation of mass in the strong sense, i.e. at the grid nodes. For this purpose, Scott – Vogelius element pair is used. The fulfillment of the condition of mass conservation leads to the finding more accurate, from a physical point of view, solution. Secondly, basis functions of the finite element spaces are supplemented by weight functions. The degree of the weight function, as well as the parameter $\nu$ in the definition of an $R_\nu$-generalized solution, and a radius of a neighborhood of the singularity point are free parameters of the method. A specially selected combination of them leads to an increase almost twice in the order of convergence rate of an approximate solution to the exact one in relation to the classical approaches. The convergence rate reaches the first order by the grid step in the norms of Sobolev weight spaces. Thus, numerically shown that the convergence rate does not depend on the corner value.

При взаимодействии сверхзвукового потока воздуха с поперечной вторичной струей, инжектируемой в этот поток через отверстие на плоской стенке, формируется особая структура течения. Это течение имеет место при инжекции топлива в прямоточные камеры сгорания сверхзвуковых авиационных двигателей, поэтому в последние годы в России и за рубежом предлагаются и исследуются разнообразные подходы к интенсификации смешения газов в этом течении. Предлагаемый в данной работе подход состоит в использовании искровых разрядов для импульсного нагрева газа и генерации неустойчивостей в сдвиговом слое на границе вторичной струи. С помощью моделирования в российском программном комплексе FlowVision 3.13 были получены характеристики этого течения при отсутствии и наличии импульсно-периодического локального тепловыделения на стенке с наветренной стороны от отверстия инжектора. Проведено сравнение локальных характеристик при различной периодичности импульсного нагрева (соответствующей значениям числа Струхаля 0,25 и 0,31). Показано, что импульсный нагрев может приводить к стимуляции формирования возмущений в сдвиговом слое на границе струи. Для случая отсутствия нагрева и для двух режимов импульсного нагрева было рассчитано значение интегрального критерия эффективности смешения. Показано, что импульсный нагрев может приводить как к уменьшению среднего значения эффективности смешения, так и к его увеличению (до 9% в рассмотренном режиме нагрева). Также проведена валидация использованного метода расчета (нестационарные уравнения Навье – Стокса, осредненные по Рейнольдсу, с модифицированной моделью турбулентности $k-\varepsilon$) на примере типового случая взаимодействия сверхзвукового потока с вторичной поперечной струей, изученного несколькими независимыми группами исследователей и хорошо документированного в литературе. Была показана сеточная сходимость расчета этого типового случая во FlowVision. Было проведено количественное сравнение результатов расчетов FlowVision с экспериментальными данными и другими расчетами. Результаты данного исследования могут быть полезны для специалистов, занимающихся проблемами смешения газов и горения в сверхзвуковом потоке, а также разработкой двигателей для сверхзвуковой авиации.

When a supersonic air flow interacts with a transverse secondary jet injected into this flow through an orifice on a flat wall, a special flow structure is formed. This flow takes place during fuel injection into combustion chambers of supersonic aircraft engines; therefore, in recent years, various approaches to intensifying gas mixing in this type of flow have been proposed and studied in several countries. The approach proposed in this work implies using spark discharges for pulsed heating of the gas and generating the instabilities in the shear layer at the boundary of the secondary jet. Using simulation in the software package FlowVision 3.13, the characteristics of this flow were obtained in the absence and presence of pulsed-periodic local heat release on the wall on the windward side of the injector opening. A comparison was made of local characteristics at different periodicities of pulsed heating (corresponding to the values of the Strouhal number 0.25 and 0.31). It is shown that pulsed heating can stimulate the formation of perturbations in the shear layer at the jet boundary. For the case of the absence of heating and for two modes of pulsed heating, the values of an integral criterion for mixing efficiency were calculated. It is shown that pulsed heating can lead both to a decrease in the average mixing efficiency and to its increase (up to 9% in the considered heating mode). The calculation method used (unsteady Reynolds-averaged Navier – Stokes equations with a modified $k-\varepsilon$ turbulence model) was validated by considering a typical case of the secondary transverse jet interaction with a supersonic flow, which was studied by several independent research groups and well documented in the literature. The grid convergence was shown for the simulation of this typical case in FlowVision. A quantitative comparison was made of the results obtained from FlowVision calculations with experimental data and calculations in other programs. The results of this study can be useful for specialists dealing with the problems of gas mixing and combustion in a supersonic flow, as well as the development of engines for supersonic aviation.

Предложен модифицированный метод решеточных уравнений Больцмана для расчета течений вязкой ньютоновской жидкости. Модифицированный метод основан на использовании расщепления дифференциального оператора в уравнении Навье–Стокса и идее мгновенной максвеллизации функции распределения. При переходе от одного временного слоя к другому последовательно численно решаются задачи для системы решеточных кинетических уравнений и системы линейных уравнений диффузии. Эффективность предложенного метода по сравнению с обычным методом решеточных уравнений Больцмана показана при решении задачи о плоском течении в каверне в случае различных значений числа Рейнольдса и при различных разбиениях сетки.

Modification of the lattice Boltzmann method for computation of viscous Newtonian fluid flows is considered. Modified method is based on the splitting of differential operator in Navier–Stokes equation and on the idea of instantaneous Maxwellisation of distribution function. The problems for the system of lattice kinetic equations and for the system of linear diffusion equations are solved while one time step is realized. The efficiency of the method proposed in comparison with the ordinary lattice Boltzmann method is demonstrated on the solution of the problem of planar flow in cavern in wide range of Reynolds number and various grid resolution.

В статье представлены результаты численного исследования структуры течения в двухмерном плоском диффузоре. Особенностью диффузоров является то, что в них наблюдается сложное анизотропное турбулентное течение, которое возникает за счет рециркуляционных потоков. Турбулентные модели RANS, в основе которых лежит гипотеза Буссинеска, не способны описывать с достаточной точностью течение в диффузорах. Потому что гипотеза Буссинеска основана на изотропной турбулентности. Поэтому для расчета анизотропных турбулентных течений привлекаются модели, в которых не используется данная гипотеза. Одним из таких направлений в моделировании турбулентности являются методы рейнольдсовых напряжений. Эти методы сложны и требуют довольно больших вычислительных ресурсов. В работе для исследования течения в плоском диффузоре использована сравнительно недавно разработанная двухжидкостная модель турбулентности. Данная модель разработана на основе двухжидкостного подхода к проблеме турбулентности. В отличие от подхода Рейнольдса двухжидкостный подход позволяет получить замкнутую систему уравнений турбулентности с использованием динамики двух жидкостей. Следовательно, если в RANS-моделях для замыкания используются эмпирические уравнения, то в двухжидкостной модели используемые уравненияя вляются точными уравнениями динамики. Одно из главных преимуществ двухжидкостной модели заключаетсяв том, что она способна описывать сложные анизотропные турбулентные течения. В работе полученные численные результаты для профилей продольной скорости, турбулентных напряжений в различных сечениях канала, а также коэффициента трениясравнив аются с известными экспериментальными данными. Для демонстрации достоинства использованной модели турбулентности представлены и численные результаты метода рейнольдсовых напряжений EARSM. Для численной реализации систем уравнений двухжидкостной модели использована нестационарная система уравнений, решение которой асимптотически приближалось к стационарному решению. Дляэтой цели использована конечно-разностная схема, где вязкостные члены аппроксимировались центральной разностью неявным образом, а для конвективных членов использована явная схема против потока второго порядка точности. Результаты получены для числа Рейнольдса Re = 20 000. Показано, что двухжидкостная модель, несмотря на использование равномерной расчетной сетки без сгущенияо коло стенок, способна давать более точное решение, чем достаточно сложный метод рейнольдсовых напряжений с большим разрешением расчетных сеток.

The article presents the results of a numerical study of the flow structure in a two-dimensional flat diffuser. A feature of diffusers is that they have a complex anisotropic turbulent flow, which occurs due to recirculation flows. The turbulent RANS models, which are based on the Boussinesq hypothesis, are not able to describe the flow in diffusers with sufficient accuracy. Because the Boussinesq hypothesis is based on isotropic turbulence. Therefore, to calculate anisotropic turbulent flows, models are used that do not use this hypothesis. One of such directions in turbulence modeling is the methods of Reynolds stresses. These methods are complex and require rather large computational resources. In this work, a relatively recently developed two-fluid turbulence model was used to study the flow in a flat diffuser. This model is developed on the basis of a two-fluid approach to the problem of turbulence. In contrast to the Reynolds approach, the two-fluid approach allows one to obtain a closed system of turbulence equations using the dynamics of two fluids. Consequently, if empirical equations are used in RANS models for closure, then in the two-fluid model the equations used are exact equations of dynamics. One of the main advantages of the two-fluid model is that it is capable of describing complex anisotropic turbulent flows. In this work, the obtained numerical results for the profiles of the longitudinal velocity, turbulent stresses in various sections of the channel, as well as the friction coefficient are compared with the known experimental data. To demonstrate the advantages of the used turbulence model, the numerical results of the Reynolds stress method EARSM are also presented. For the numerical implementation of the systems of equations of the two-fluid model, a non-stationary system of equations was used, the solution of which asymptotically approached the stationary solution. For this purpose, a finite-difference scheme was used, where the viscosity terms were approximated by the central difference implicitly, and for the convective terms, an explicit scheme against the flow of the second order of accuracy was used. The results are obtained for the Reynolds number Re = 20 000. It is shown that the two-fluid model, despite the use of a uniform computational grid without thickening near the walls, is capable of giving a more accurate solution than the rather complex Reynolds stress method with a high resolution of computational grids.

На основе метода моделирования задач газовой динамики с помощью системы сеток реализован алгоритм для решения нестационарной задачи с движущими телами. Алгоритм учитывает перемещение и вращение тел по заданному закону движения. Алгоритм применен для исследования обтекания бесконечной решетки, составленной из цилиндров с эллиптическим сечением, которые либо перемещаются поперек потока, либо вращаются с изменением угла атаки. Для моделирования обтекания тел с острой кромкой, характерных для профилей турбомашин, реализован алгоритм построения сетки типа С с включением некоторой области за профилем. Программа моделирования течения около профиля реализована в рамках моделей уравнений Эйлера, уравнений Навье – Стокса в приближении тонкого слоя с ламинарной вязкостью и турбулентной вязкостью в рамках алгебраической модели вязкости. Также программа была адаптирована для решения задач внутренней газодинамики турбомашин. Для этого была изменена методика задания граничных условий на входе и выходе из расчетной области со скорости на перепад давления, а также на боковых границах со свободного потока на периодичность. Это позволило моделировать течение газа в межлопаточных каналах компрессоров и турбин газотурбинных двигателей. Для отработки алгоритма были проведены серии расчетов аэродинамических параметров нескольких турбинных решеток на различных дозвуковых и сверхзвуковых режимах и их сравнение с экспериментом. Расчеты параметров турбинных решеток были проведены в рамках модели невязкого и вязкого газа. Сравнение расчета и эксперимента проводилось по распределению параметров газа около профиля, а также по потерям энергии потока в решетке. Расчеты показали применимость и корректность работы программы для решения данного класса задач. Для тестирования программы на задачах внешней дозвуковой аэродинамики были выполнены расчеты аэродинамических характеристик изолированного аэродинамического профиля в невозмущенном потоке. Полученные результаты позволяют утверждать о применимости метода гибридных сеток к различным классам задач прикладной газовой динамики.

Based on the modeling method using a mesh system, an algorithm is implemented for solving a unsteady problem with moving bodies The algorithm takes into account the movement and rotation of bodies according to a given law of motion. The algorithm is applied to analysis the flow around an infinite composed of cylinders with an elliptical cross-section, which either move across the flow or rotate with a change in the angle of attack. To simulate the flow of bodies with a sharp edge, characteristic of the profiles of gas turbine machines, an algorithm for constructing a mesh of type C with the inclusion of a certain area behind the profile is implemented. The program for modeling the flow near the profile is implemented within the framework of models of Euler equations, Navier – Stokes equations in the approximation of a thin layer with laminar viscosity and turbulent viscosity in the framework of an algebraic viscosity model. The program has also been adapted to solve the problems of internal gas dynamics of turbomachines. For this purpose, the method of setting the boundary conditions at the entrance and exit from the calculated area from the velocity to the pressure drop, as well as at the lateral boundaries from the free flow to the periodicity, was changed. This made it possible to simulate the flow of gas in the inter-blade channels of compressors and turbines of gas turbine engines. To refine the algorithm, a series of calculations of the aerodynamic parameters of several turbine cascades in various subsonic and supersonic modes and their comparison with the experiment were carried out. Calculations of turbine grating parameters were carried out within the framework of the inviscid and viscous gas model. The calculation and experiment were compared by the distribution of gas parameters near the profile, as well as by the energy losses of the flow in the cascade. Calculations have shown the applicability and correctness of the program to solve this class of problems. To test the program on the problems of external subsonic aerodynamics, calculations of the aerodynamic characteristics of an isolated airfoil in an undisturbed flow were performed. The results obtained allow us to assert the applicability of the hybrid grid method to various classes of problems of applied gas dynamics.

Данная статья посвящена изучению самопродвижения тел в жидкости за счет действия внутренних механизмов, без изменения внешней формы тела. В работе представлен обзор теоретических работ, обосновывающих возможностьда нного перемещения в идеальной и вязкой жидкостях.

Рассмотрен частный случай самопродвижения твердого тела по поверхности жидкости за счет движения двух внутренних масс по окружностям. В работе представлена математическая модельдвиж ения твердого тела с подвижными внутренними массами в трехмерной постановке. Данная модельу читывает трехмерные колебания тела при движении, возникающие под действием внешних сил — силы тяжести, силы Архимеда и сил, действующих на тело со стороны вязкой жидкости.

В качестве тела рассмотрен однородный эллиптический цилиндр с килем, расположенным вдоль большей диагонали. Внутри цилиндра расположены две материальные точечные массы, перемещающиеся по окружностям. Центры окружностей лежат на наименьшей диагонали эллипса на равном удалении от центра масс.

Уравнения движения рассматриваемой системы (тело с двумя материальными точками, помещенное в жидкость) представлены в виде уравнений Кирхгофа с добавлением внешних сил и моментов, действующих на тело. Для описания сил сопротивления движению в жидкости выбрана феноменологическая модель вязкого трения, квадратичная по скорости. Коэффициенты сопротивления движению, используемые в модели, определялись экспериментально. Силы, действующие на киль, определялись с помощью численного моделирования колебаний киля в вязкой жидкости с использованием уравнений Навье–Стокса.

В данной работе была проведена экспериментальная проверка предложенной математической модели. Представлено несколько серий экспериментов по самопродвижению тела в жидкости с помощью вращения внутренних масс с разными скоростями вращения. Исследована зависимостьс редней скорости продвижения, размаха поперечных колебаний в зависимости от частоты вращения внутренних масс. Проведено сравнение полученных экспериментальных данных с результатами, полученными в рамках предложенной математической модели.

This article is devoted to the study of self-propulsion of bodies in a fluid by the action of internal mechanisms, without changing the external shape of the body. The paper presents an overview of theoretical papers that justify the possibility of this displacement in ideal and viscous liquids.

A special case of self-propulsion of a rigid body along the surface of a liquid is considered due to the motion of two internal masses along the circles. The paper presents a mathematical model of the motion of a solid body with moving internal masses in a three-dimensional formulation. This model takes into account the three-dimensional vibrations of the body during motion, which arise under the action of external forces-gravity force, Archimedes force and forces acting on the body, from the side of a viscous fluid.

The body is a homogeneous elliptical cylinder with a keel located along the larger diagonal. Inside the cylinder there are two material point masses moving along the circles. The centers of the circles lie on the smallest diagonal of the ellipse at an equal distance from the center of mass.

Equations of motion of the system (a body with two material points, placed in a fluid) are represented as Kirchhoff equations with the addition of external forces and moments acting on the body. The phenomenological model of viscous friction is quadratic in velocity used to describe the forces of resistance to motion in a fluid. The coefficients of resistance to movement were determined experimentally. The forces acting on the keel were determined by numerical modeling of the keel oscillations in a viscous liquid using the Navier – Stokes equations.

In this paper, an experimental verification of the proposed mathematical model was carried out. Several series of experiments on self-propulsion of a body in a liquid by means of rotation of internal masses with different speeds of rotation are presented. The dependence of the average propagation velocity, the amplitude of the transverse oscillations as a function of the rotational speed of internal masses is investigated. The obtained experimental data are compared with the results obtained within the framework of the proposed mathematical model.

В работе рассматривается задача стационарной смешанной конвекции и теплообмена вязкой теплопроводной жидкости в плоской квадратной каверне с подвижной верхней крышкой. Нагретая верхняя стенка каверны имеет температуру $T_{\mathrm{H}}$, холодная нижняя — $T_\mathrm{0}$ $(T_\mathrm{H} > T_\mathrm{0})$, а боковые стенки каверны теплоизолированы. Особенностью задачи является тот факт, что плотность жидкости может принимать произвольные значения в зависимости от величины перегрева крышки каверны. Математическая постановка включает в себя уравнения Навье–Стокса в переменных «скорость–давление» и баланса тепла, сформулированные с учетом несжимаемости течения жидкости и воздействия объемной силы плавучести. Разностная аппроксимация исходных дифференциальных уравнений выполнена методом контрольного объема. Численные решения задачи получены на сетке $501 \times 501$ для следующих значений параметров подобия: число Прандтля Pr = 0.70; число Рейнольдса Re = 100, 1000; число Ричардсона Ri = 0.1, 1, 10 и относительный перегрев верхней стенки $(T_\mathrm{H} − T_\mathrm{0})/T_\mathrm{0} = 0, 1, 2, 3$. Достоверность полученных результатов подтверждена их сравнением с литературными данными. Представлены подробные картины течения в виде линий тока и изотерм перегрева потока. Показано, что увеличение значения числа Ричардсона (рост влияния силы плавучести) приводит к принципиальному изменению структуры течения жидкости. Также установлено, что учет переменности плотности жидкости приводит к ослаблению влияния роста Ri на трансформацию структуры течения. Это связано с тем, что изменение плотности в замкнутом объеме всегда приводит к возникновению зон с отрицательной плавучестью. Как следствие, конкуренция положительных и отрицательных объемных сил приводит в целом к ослаблению эффекта плавучести. Также проанализировано поведение коэффициентов теплоотдачи (числа Нуссельта) и трения вдоль нижней стенки каверны в зависимости от параметров задачи. Выявлено, что влияние переменности плотности на эти коэффициенты тем больше, чем большие значения при прочих равных условиях принимает число Ричардсона.

The paper considers the problem of stationary mixed convection and heat transfer of a viscous heatconducting fluid in a plane square lid-driven cavity. The hot top cover of the cavity has any temperature $T_\mathrm{H}$ and cold bottom wall has temperature $T_\mathrm{0} (T_\mathrm{H} > T_\mathrm{0})$, whereas in contrast the side walls are insulated. The fact that the fluid density can take arbitrary values depending on the amount of overheating of the cavity cover is a feature of the problem. The mathematical formulation includes the Navier–Stokes equations in the ’velocity–pressure’ variables and the heat balance equation which take into account the incompressibility of the fluid flow and the influence of volumetric buoyancy force. The difference approximation of the original differential equations has been performed by the control volume method. Numerical solutions of the problem have been obtained on the $501 \times 501$ grid for the following values of similarity parameters: Prandtl number Pr = 0.70; Reynolds number Re = 100 and 1000; Richardson number Ri = 0.1, 1, and 10; and the relative cover overheating $(T_\mathrm{H}-T_\mathrm{0})/T_\mathrm{0} = 0, 1, 2, 3$. Detailed flow patterns in the form of streamlines and isotherms of relative overheating of the fluid flow are given in the work. It is shown that the increase in the value of the Richardson number (the increase in the influence of buoyancy force) leads to a fundamental change in the structure of the liquid stream. It is also found out that taking into account the variability of the liquid density leads to weakening of the influence of Ri growth on the transformation of the flow structure. The change in density in a closed volume is the cause of this weakening, since it always leads to the existence of zones with negative buoyancy in the presence of a volumetric force. As a consequence, the competition of positive and negative volumetric forces leads in general to weakening of the buoyancy effect. The behaviors of heat exchange coefficient (Nusselt number) and coefficient of friction along the bottom wall of the cavity depending on the parameters of the problem are also analyzed. It is revealed that the greater the values of the Richardson number are, the greater, ceteris paribus, the influence of density variation on these coefficients is.

Математические модели газовой динамики и ее вычислительная индустрия, на наш взгляд, далеки от совершенства. Мы посмотрим на эту проблематику с точки зрения ясной вероятностной микромодели газа из твердых сфер, опираясь как на теорию случайных процессов, так и на классическую кинетическую теорию в терминах плотностей функций распределения в фазовом пространстве; а именно, построим сначала систему нелинейных стохастических дифференциальных уравнений (СДУ), а затем обобщенное случайное и неслучайное интегро-дифференциальное уравнение Больцмана с учетом корреляций и флуктуаций. Ключевыми особенностями исходной модели являются случайный характер интенсивности скачкообразной меры и ее зависимость от самого процесса.

Кратко напомним переход ко все более грубым мезо-макроприближениям в соответствии с уменьшением параметра обезразмеривания, числа Кнудсена. Получим стохастические и неслучайные уравнения, сначала в фазовом пространстве (мезомодель в терминах СДУ по винеров- ским мерам и уравнения Колмогорова – Фоккера – Планка), а затем в координатном пространстве (макроуравнения, отличающиеся от системы уравнений Навье – Стокса и систем квазигазодинамики). Главным отличием этого вывода является более точное осреднение по скорости благодаря аналитическому решению стохастических дифференциальных уравнений по винеровской мере, в виде которых представлена промежуточная мезомодель в фазовом пространстве. Такой подход существенно отличается от традиционного, использующего не сам случайный процесс, а его функцию распределения. Акцент ставится на прозрачности допущений при переходе от одного уровня детализации к другому, а не на численных экспериментах, в которых содержатся дополнительные погрешности аппроксимации.

Теоретическая мощь микроскопического представления макроскопических явлений важна и как идейная опора методов частиц, альтернативных разностным и конечно-элементным.

Mathematical models of gas dynamics and its computational industry, in our opinion, are far from perfect. We will look at this problem from the point of view of a clear probabilistic micro-model of a gas from hard spheres, relying on both the theory of random processes and the classical kinetic theory in terms of densities of distribution functions in phase space, namely, we will first construct a system of nonlinear stochastic differential equations (SDE), and then a generalized random and nonrandom integro-differential Boltzmann equation taking into account correlations and fluctuations. The key feature of the initial model is the random nature of the intensity of the jump measure and its dependence on the process itself.

Briefly recall the transition to increasingly coarse meso-macro approximations in accordance with a decrease in the dimensionalization parameter, the Knudsen number. We obtain stochastic and non-random equations, first in phase space (meso-model in terms of the Wiener — measure SDE and the Kolmogorov – Fokker – Planck equations), and then — in coordinate space (macro-equations that differ from the Navier – Stokes system of equations and quasi-gas dynamics systems). The main difference of this derivation is a more accurate averaging by velocity due to the analytical solution of stochastic differential equations with respect to the Wiener measure, in the form of which an intermediate meso-model in phase space is presented. This approach differs significantly from the traditional one, which uses not the random process itself, but its distribution function. The emphasis is placed on the transparency of assumptions during the transition from one level of detail to another, and not on numerical experiments, which contain additional approximation errors.

The theoretical power of the microscopic representation of macroscopic phenomena is also important as an ideological support for particle methods alternative to difference and finite element methods.

В работе сформулирована математическая модель гидроупругих колебаний пластины на нелинейно-упрочняющемся основании, взаимодействующей с пульсирующим слоем вязкой жидкости. В предложенной модели, в отличие от известных, совместно учтены упругие свойства пластины, нелинейность ее основания, а также диссипативные свойства жидкости и инерция ее движения. Модель представлена системой уравнений двумерной задачи гидроупругости, включающей: уравнение динамики пластины Кирхгофа на упругом основании с жесткой кубической нелинейностью, уравнения Навье – Стокса, уравнение неразрывности, краевые условия для прогибов пластины, давления жидкости на торцах пластины, а также для скоростей движения жидкости на границах контакта жидкости и ограничивающих ее стенок. Исследование модели проведено методом возмущений с последующим использованием метода итерации для уравнений тонкого слоя вязкой жидкости. В результате определен закон распределения давления жидкости на поверхности пластины и осуществлен переход к интегро-дифференциальному уравнению изгибных гидроупругих колебаний пластины. Данное уравнение решено методом Бубнова – Галёркина с применением метода гармонического баланса для определения основного гидроупругого отклика пластины и фазового сдвига. Показано, что исходная задача может быть сведена к исследованию обобщенного уравнения Дуффинга, в котором коэффициенты при инерционных, диссипативных и жесткостных членах определяются физико-механическими параметрами исходной системы. Найдены основной гидроупругий отклик пластины и фазовый сдвиг, проведено их численное исследование при учете инерции движения жидкости и для ползущего движения жидкости при нелинейно- и линейно-упругом основании пластины. Результаты расчетов показали необходимостьу чета вязкости жидкости и инерции ее движения совместно с упругими свойствами пластины и ее основания как для нелинейных колебаний, так и для линейных колебаний пластины.

The paper formulates a mathematical model for hydroelastic oscillations of a plate resting on a nonlinear hardening elastic foundation and interacting with a pulsating fluid layer. The main feature of the proposed model, unlike the wellknown ones, is the joint consideration of the elastic properties of the plate, the nonlinearity of elastic foundation, as well as the dissipative properties of the fluid and the inertia of its motion. The model is represented by a system of equations for a twodimensional hydroelasticity problem including dynamics equation of Kirchhoff’s plate resting on the elastic foundation with hardening cubic nonlinearity, Navier – Stokes equations, and continuity equation. This system is supplemented by boundary conditions for plate deflections and fluid pressure at plate ends, as well as for fluid velocities at the bounding walls. The model was investigated by perturbation method with subsequent use of iteration method for the equations of thin layer of viscous fluid. As a result, the fluid pressure distribution at the plate surface was obtained and the transition to an integrodifferential equation describing bending hydroelastic oscillations of the plate is performed. This equation is solved by the Bubnov –Galerkin method using the harmonic balance method to determine the primary hydroelastic response of the plate and phase response due to the given harmonic law of fluid pressure pulsation at plate ends. It is shown that the original problem can be reduced to the study of the generalized Duffing equation, in which the coefficients at inertial, dissipative and stiffness terms are determined by the physical and mechanical parameters of the original system. The primary hydroelastic response and phases response for the plate are found. The numerical study of these responses is performed for the cases of considering the inertia of fluid motion and the creeping fluid motion for the nonlinear and linearly elastic foundation of the plate. The results of the calculations showed the need to jointly consider the viscosity and inertia of the fluid motion together with the elastic properties of the plate and its foundation, both for nonlinear and linear vibrations of the plate.