Все выпуски

В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.

Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.

Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.

Найдены необходимые и достаточные условия существования решений нелинейной матричной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса. Построена сходящаяся итерационная схема для нахождения приближений к решению нелинейной матричной краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае параметрического резонанса. В качестве примера применения построенной итерационной схемы найдены приближения к решениями периодической краевой задачи для уравнения типа Риккати с параметрическим возмущением. Для контроля точности найденных приближений к решениямперио дической краевой задачи для уравнения типа Риккати использованы невязки этих приближений.

В работе развивается иерархический метод математического и компьютерного моделирования интервально-стохастических тепловых процессов в сложных электронных системах различного назначения. Разработанная концепция иерархического структурирования отражает как конструктивную иерархию сложной электронной системы, так и иерархию математических моделей процессов теплообмена. Тепловые процессы, учитывающие разнообразные физические явления в сложных электронных системах, описываются системами стохастических, нестационарных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, и в силу этого их компьютерное моделирование наталкивается на значительные вычислительные трудности даже с применением суперкомпьютеров. Иерархический метод позволяет избежать указанных трудностей. Иерархическая структура конструкции электронной системы в общем случае характеризуется пятью уровнями: 1 уровень — активные элементы ЭС (микросхемы, электро-, радиоэлементы); 2 уровень — электронный модуль; 3 уровень — панель, объединяющая множество электронных модулей; 4 уровень — блок панелей; 5 уровень — стойка, установленная в стационарном или подвижном помещении. Иерархия моделей и моделирования стохастических тепловых процессов строится в порядке, обратном иерархической структуре конструкции электронной системы, при этом моделирование интервально-стохастических тепловых процессов осуществляется посредством получения уравнений для статистических мер. Разработанный в статье иерархический метод позволяет учитывать принципиальные особенности тепловых процессов, такие как стохастический характер тепловых, электрических и конструктивных факторов при производстве, сборке и монтаже электронных систем, стохастический разброс условий функционирования и окружающей среды, нелинейные зависимости от температуры факторов теплообмена, нестационарный характер тепловых процессов. Полученные в статье уравнения для статистических мер стохастических тепловых процессов представляют собой систему 14-ти нестационарных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в обыкновенных производных, решение которых легко реализуется на современных компьютерах существующими численными методами. Рассмотрены результаты применения метода при компьютерном моделировании стохастических тепловых процессов в электронной системе. Иерархический метод применяется на практике при тепловом проектировании реальных электронных систем и создании современных конкурентоспособных устройств.

Рассматривается нелинейная колебательная система, описываемая обыкновенными дифференциальными уравнениями с переменными коэффициентами, в которой в явном виде выделяются члены, линейно зависящие от координат, скоростей и ускорений; нелинейные члены записываются в виде неявных функций от этих переменных. Для численного решения начальной задачи, описываемой такой системой дифференциальных уравнений, используется одношаговый метод Галёркина. На шаге интегрирования неизвестные функции представляются в виде суммы линейных функций, удовлетворяющих начальным условиям, и нескольких заданных корректирующих функций в виде полиномов второй и выше степеней с неизвестными коэффициентами. Дифференциальные уравнения на шаге удовлетворяются приближенно по методу Галёркина на системе корректирующих функций. Получаются алгебраические уравнения с нелинейными членами, которые на каждом шаге решаются методом итераций. Из решения в конце каждого шага определяются начальные условия на следующем шаге.

Корректирующие функции берутся одинаковыми для всех шагов. В общем случае для расчетов на больших интервалах времени используются 4 или 5 корректирующих функций: в первом наборе — базовые степенные функции от 2-й до 4-й или 5-й степеней; во втором наборе — образованные из базовых функций ортогональные степенные полиномы; в третьем наборе — образованные из базовых функций специальные линейно независимые многочлены с конечными условиями, упрощающими «стыковку» решений на следующих шагах.

На двух примерах расчета нелинейных колебаний систем с одной и с двумя степенями свободы выполнены численные исследования точности численного решения начальных задач на различных интервалах времени по методу Галёркина с использованием указанных наборов степенных корректирующих функций. Выполнены сравнения результатов, полученных по методу Галёркина и по методам Адамса и Рунге – Кутты четвертого порядка. Показано, что методом Галёркина можно получить достоверные результатына значительно больших интервалах времени, чем по методам Адамса и Рунге – Кутты.

В последние десятилетия важное значение приобретает разработка методов повышения эффективности извлечения углеводородов в месторождениях с нетрадиционными запасами, содержащими в больших количествах газовый конденсат. Это делает актуальным развитие методов математического моделирования, реалистично описывающих процессы фильтрации газоконденсатной смеси в пористой среде.

В данной работе рассматривается математическая модель, описывающая динамику изменения давления, скорости и концентрации компонент двухкомпонентной двухфазовой смеси, поступающей в лабораторную модель пласта, заполненную пористым веществом с известными физико-химическими свойствами. Математическая модель описывается системой нелинейных пространственно-одномерных дифференциальных уравнений в частных производных с соответствующими начальными и граничными условиями. Лабораторные эксперименты показывают, что в течение конечного времени система стабилизируется, что дает основание перейти к стационарной постановке задачи.

Численное решение сформулированной системы обыкновенных дифференциальных уравнений реализовано в среде Maple на основе метода Рунге–Кутты с автоматическим выбором шага. Показано, что полученные на этой основе физические параметры двухкомпонентной газоконденсатной смеси из метана и н-бутана, характеризующие моделируемую систему в режиме стабилизации, хорошо согласуются с имеющимися экспериментальными данными.

Это подтверждает реалистичность выбранного подхода и обоснованность его дальнейшего развития и применения для компьютерного моделирования неравновесных физических процессов в газоконденсатных смесях в пористой среде с целью выработки в перспективе практических рекомендаций по увеличению извлекаемости углеводородного газоконденсата из природных месторождений. В работе представлена математическая постановка системы нелинейных уравнений в частных производных и соответствующей стационарной задачи, описан метод численного исследования, обсуждаются полученные численные результаты в сравнении с экспериментальными данными.

Фоновая социальная напряженность общества может быть количественно оценена по различным статистическим индикаторам. Модели, прогнозирующие динамику социальной напряженности, успешно применяются для описания различных социальных процессов. Когда количество рассматриваемых групп общества мало, динамику соответствующих индикаторов можно описать при помощи системы обыкновенных дифференциальных уравнений. При увеличении количества взаимодействующих элементов резко возрастает сложность задач, что существенно затрудняет их аналитическое исследование. Модель сплошной социальной стратификации получаетсяв результате перехода от дискретной цепочки взаимодействующих социальных слоев к их непрерывному распределению на некотором интервале, то есть перехода к модели сплошной среды. В этом случае напряженность распространяется локально, но в действительности элита общества влияет на все слои через средства массовой информации, а также интернет позволяет влиять всем группам на другие. Эти факторы можно учесть через слагаемое модели, описывающее негативное внешнее воздействие. В настоящей работе предложена модель сплошной социальной стратификации, описывающая динамику системы из двух социумов, связанных через процесс миграции населения. Предполагается, что из социального слоя системы-донора с наибольшей напряженностью происходит отток людей, переносящих свою напряженность в систему-акцептор, причем при миграции люди попадают в более бедные слои принимающего общества. Рассматриваетсяслуч ай пространственно однородных коэффициентов, что соответствует частному случаю небольшого социума. При помощи метода конечных объемов построена пространственнаяди скретизация задачи, корректно отражающая конечную скорость распространения напряженности в обществе. Выполнена проверка выбранной дискретизации путем сравненияч исленного решения с точными решениями вспомогательного уравнения нелинейной диффузии. Проведено численное исследование системы с миграцией при различных значениях параметров, проанализировано влияние интенсивности миграции на принимающее общество, найдены условия дестабилизации общества акцептора под влиянием миграции. Полученные в работе результаты могут быть применены при дальнейшем исследовании модели в случае пространственно неоднородных коэффициентов, что соответствует более реалистичной картине общества.

Статья посвящена построению и исследованию усредненной математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Окислительная регенерация является эффективным средством восстановления активности катализатора при покрытии его гранул коксовыми отложениями.

Математическая модель указанного процесса представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую включены кинетические уравнения для концентраций реагентов и уравнения для учета изменения температуры зерна катализатора и реакционной смеси в результате протекания неизотермических реакций и теплообмена между газом и слоем катализатора. Вследствие гетерогенности процесса окислительной регенерации часть уравнений отличается от стандартных кинетических и построена на основе эмпирических данных. В статье рассмотрена схема химического взаимодействия в процессе регенерации, на основе которой составлены уравнения материального баланса. В ней отражены непосредственное взаимодействие кокса и кислорода с учетом степени покрытия гранулы кокса углерод-водородным и углерод-кислородным комплексами, выделение монооксида и диоксида углерода в процессе горения, а также освобождение кислорода и водорода внутри зерна катализатора. При построении модели учитывается изменение радиуса, а следовательно, и площади поверхности коксовых гранул. Адекватность разработанной усредненной модели подтверждена анализом динамики концентраций веществ и температуры.

В статье приведен численный эксперимент для математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Эксперимент проведен с использованием метода Кутты–Мерсона. Этот метод относится к методам семейства Рунге–Кутты, но разработан для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты вычислительного эксперимента визуализированы.

В работе приведена динамика концентраций веществ, участвующих в процессе окислительной регенерации. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам сделан вывод об адекватности построенной математической модели. Проанализирован разогрев зерна катализатора и выделение монооксида углерода при изменении радиуса зерна для различных степеней начальной закоксованности. Дано описание полученных результатов.

В заключении отмечены основные результаты, приведены примеры задач, для решения которых может быть применена разработанная математическая модель.

Многие свойства решений систем обыкновенных дифференциальных уравнений определяются свойствами системы в вариациях. Продолженной системой будем называть систему ОДУ, включающую в себя одновременно исходную нелинейную систему и систему уравнений в вариациях. При исследовании свойств задачи Коши для систем обыкновенных дифференциальных уравнений переход к продолженным системам позволяет исследовать многие тонкие свойства решений. Например, переход к продолженной системе позволяет повысить порядок аппроксимации численных методов, дает подходы к построению функции чувствительности без использования процедур численного дифференцирования, позволяет применять для решения обратной задачи методы повышенного порядка сходимости. Использован метод Бройдена, относящийся к классу квазиньютоновских методов. Для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений применялся метод Розенброка с комплексными коэффициентами. В данном случае он эквивалентен методу второго порядка аппроксимации для продолженной системы.

В качестве примера использования подхода рассматривается несколько связанных между собой математических моделей свертывания крови. По результатам численных расчетов делается вывод о необходимости включения в систему уравнений описания петли положительных обратных связей по фактору свертывания XI. Приводятся оценки некоторых скоростей реакций на основе решения обратной задачи.

Рассматривается влияние освобождения фактора V при активации тромбоцитов. При модификации математической модели удалось достичь количественного соответствия по динамике производства тромбина с экспериментальными данными для искусственной системы. На основе анализа чувствительности проверена гипотеза об отсутствии влияния состава липидной мембраны (числа сайтов для тех или иных факторов системы свертывания, кроме сайтов для тромбина) на динамику процесса.