Все выпуски

Для решения уравнений Навье – Стокса в случае несжимаемых течений разработано большое количество методов, наиболее популярными из которых являются методы с коррекцией скорости по алгоритму SIMPLE, аналогом которого является метод расщепления по физическим переменным. Данные методы, разработанные еще в прошлом веке, использовались для решения достаточно простых задач — расчета как стационарных течений, так и нестационарных, в которых границы расчетной области были неподвижны. В настоящее время задачи вычислительной гидродинамики существенно усложнились. Интерес представляют задачи с движением тел в расчетной области, движением контактных границ, кавитацией и задачи с динамической локальной адаптацией расчетной сетки. При этом расчетная сетка меняется, что приводит к нарушению условия дивергентности скорости на ней. Поскольку дивергентные скорости используются не только для уравнений Навье – Стокса, но и для всех остальных уравнений математической модели движения жидкости — моделей турбулентности, массопереноса и сохранения энергии, нарушение этого условия ведет к численным ошибкам и, зачастую, к расхождению вычислительного алгоритма.

В статье представлен неявный метод расщепления по физическим переменным, который использует дивергентные скорости с данного шага по времени для решения несжимаемых уравнений Навье – Стокса. Метод разработан для расчета течений при наличии подвижных и контактных границ, моделируемых в постановке Эйлера. Метод позволяет проводить расчеты с шагом интегрирования, на порядки превышающем явный шаг по времени (число Куранта – Фридрихcа – Леви $CFL\gg1$). В данной статье представлен вариант метода для несжимаемых течений. Вариант метода, позволяющий рассчитывать движение жидкости и газа при любых числах Маха, будет опубликован в ближайшее время. Метод для полностью сжимаемых течений реализован в программном комплексе FlowVision.

В статье приводятся результаты численного решения классической задачи обтекания кругового цилиндра при малых числах Рейнольдса ($50<Re<140$), при которых ламинарное обтекание цилиндра становиться нестационарным и образуется дорожка Кармана. Показано хорошее совпадение расчетов с экспериментальными данными, опубликованными в классических работах Ван-Дайка и Танеды.

A large number of methods have been developed to solve the Navier – Stokes equations in the case of incompressible flows, the most popular of which are methods with velocity correction by the SIMPLE algorithm and its analogue — the method of splitting by physical variables. These methods, developed more than 40 years ago, were used to solve rather simple problems — simulating both stationary flows and non-stationary flows, in which the boundaries of the calculation domain were stationary. At present, the problems of computational fluid dynamics have become significantly more complicated. CFD problems are involving the motion of bodies in the computational domain, the motion of contact boundaries, cavitation and tasks with dynamic local adaptation of the computational mesh. In this case the computational mesh changes resulting in violation of the velocity divergence condition on it. Since divergent velocities are used not only for Navier – Stokes equations, but also for all other equations of the mathematical model of fluid motion — turbulence, mass transfer and energy conservation models, violation of this condition leads to numerical errors and, often, to undivergence of the computational algorithm.

This article presents an implicit method of splitting by physical variables that uses divergent velocities from a given time step to solve the incompressible Navier – Stokes equations. The method is developed to simulate flows in the case of movable and contact boundaries treated in the Euler paradigm. The method allows to perform computations with the integration step exceeding the explicit time step by orders of magnitude (Courant – Friedrichs – Levy number $CFL\gg1$). This article presents a variant of the method for incompressible flows. A variant of the method that allows to calculate the motion of liquid and gas at any Mach numbers will be published shortly. The method for fully compressible flows is implemented in the software package FlowVision.

Numerical simulating classical fluid flow around circular cylinder at low Reynolds numbers ($50 < Re < 140$), when laminar flow is unsteady and the Karman vortex street is formed, are presented in the article. Good agreement of calculations with the experimental data published in the classical works of Van Dyke and Taneda is demonstrated.

Рассматривается модель, описывающая пространственно-временную динамику сообщества, состоящего из трех популяций, представляющих звенья трофической цепи. Локальные взаимодействия популяций строятся по типу «хищник – жертва», причем хищник потребляет не только жертву, но и ресурс, составляющий рацион жертвы. В предыдущей работе автором был проведен анализ модели без учета пространственной неоднородности. Данное исследование продолжает модельное изучение сообщества, учитывая диффузию особей, а также направленные перемещения хищника. Предполагается, что хищник реагирует на пространственное изменение ресурса и жертвы, занимая области с более высокой плотностью или избегая их. В модели такое поведение описывается адвективным членом со скоростью, пропорциональной градиенту плотности ресурса и жертвы. Система рассматривается в одномерной области в предположении нулевых потоков через границу. Динамика модели определяется устойчивостью системы в окрестности пространственно-однородного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям. В работе проведен анализ возможности возникновения в системе волновой неустойчивости, приводящей к возникновению автоволн и неустойчивости Тьюринга, в результате которой образуются стационарные структуры. Получены достаточные условия существования обоих видов неустойчивости, определяющие границы области значений коэффициентов таксиса, при которых система может потерять устойчивость. Анализ влияния параметров локальной кинетики модели на возможность образования пространственных структур показал, что при положительном таксисе на ресурс возможна лишь неустойчивость Тьюринга, а при отрицательном — оба вида неустойчивости. Для поиска численного решения системы использован метод линий с расщеплением разностного оператора по физическим процессам. Пространственно-временная динамика системы представлена в нескольких вариантах, реализующих один из типов неустойчивости. В случае положительного таксиса на жертву в областях меньшего размера возможно как реализация автоволнового режима, так и образование стационарных структур; с увеличением области тьюринговы структуры не образуются. Если же таксис на жертву отрицательный, то стационарные структуры возникают в областях любого размера, периодические структуры появляются только в более крупных областях.

The spatiotemporal dynamics of a three-component model for food web is considered. The model describes the interactions among resource, prey and predator that consumes both species. In a previous work, the author analyzed the model without taking into account spatial heterogeneity. This study continues the model study of the community considering the diffusion of individuals, as well as directed movements of the predator. It is assumed that the predator responds to the spatial change in the resource and prey density by occupying areas where species density is higher or avoiding them. Directed predator movement is described by the advection term, where velocity is proportional to the gradient of resource and prey density. The system is considered on a one-dimensional domain with zero-flux conditions as boundary ones. The spatiotemporal dynamics produced by model is determined by the system stability in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations. The paper analyzes the possibility of wave instability leading to the emergence of autowaves and Turing instability, as a result of which stationary patterns are formed. Sufficient conditions for the existence of both types of instability are obtained. The influence of local kinetic parameters on the spatial structure formation was analyzed. It was shown that only Turing instability is possible when taxis on the resource is positive, but with a negative taxis, both types of instability are possible. The numerical solution of the system was found by using method of lines (MOL) with the numerical integration of ODE system by means of splitting techniques. The spatiotemporal dynamics of the system is presented in several variants, realizing one of the instability types. In the case of a positive taxis on the prey, both autowave and stationary structures are formed in smaller regions, with an increase in the region size, Turing structures are not formed. For negative taxis on the prey, stationary patterns is observed in both regions, while periodic structures appear only in larger areas.

На основе гамильтониана Холстейна промоделирована динамика заряда, привнесенного в молекулярную цепочку сайтов, при разной температуре. При расчете температура цепочки задается начальными данными — случайными гауссовыми распределениями скоростей и смещений сайтов. Рассмотрены разные варианты начального распределенияз арядовой плотности. Расчеты показывают, что система на больших расчетных временах переходит к колебаниям около нового равновесного состояния. Для одинаковых начальных скоростей и смещений средняя кинетическая энергия (и, соответственно, температура $T$) цепочки меняется в зависимости от начального распределения зарядовой плотности: убывает при внесении в цепочку полярона или увеличивается, если в начальный момент электронная часть энергии максимальна.

Проведено сравнение с результатами, полученными ранее в модели с термостатом Ланжевена. В обоих случаях существование полярона определяется тепловой энергией всей цепочки. По результатам моделирования, переход от режима полярона к делокализованному состоянию происходит в одинаковой области значений тепловой энергии цепочки $N$ сайтов ~ $NT$ для обоих вариантов термостата, с дополнительной корректировкой: для гамильтоновой системы температура не соответствует начально заданной, а определяется на больших расчетных временах из средней кинетической энергии цепочки.

В поляронной области применение разных способов имитации температуры приводит к ряду существенных различий в динамике системы. В области делокализованного состояния заряда, для больших температур, результаты, усредненные по набору траекторий в системе со случайной силой, и результаты, усредненные по времени для гамильтоновой системы, близки, что не противоречит гипотезе эргодичности. С практической точки зрения для больших температур T ≈ 300 K при моделировании переноса заряда в однородных цепочках можно использовать любой вариант задания термостата.

Based on the Holstein Hamiltonian, the dynamics of the charge introduced into the molecular chain of sites was modeled at different temperatures. In the calculation, the temperature of the chain is set by the initial data ¡ª random Gaussian distributions of velocities and site displacements. Various options for the initial charge density distribution are considered. Long-term calculations show that the system moves to fluctuations near a new equilibrium state. For the same initial velocities and displacements, the average kinetic energy, and, accordingly, the temperature of the T chain, varies depending on the initial distribution of the charge density: it decreases when a polaron is introduced into the chain, or increases if at the initial moment the electronic part of the energy is maximum. A comparison is made with the results obtained previously in the model with a Langevin thermostat. In both cases, the existence of a polaron is determined by the thermal energy of the entire chain.

According to the simulation results, the transition from the polaron mode to the delocalized state occurs in the same range of thermal energy values of a chain of $N$ sites ~ $NT$ for both thermostat options, with an additional adjustment: for the Hamiltonian system the temperature does not correspond to the initially set one, but is determined after long-term calculations from the average kinetic energy of the chain.

In the polaron region, the use of different methods for simulating temperature leads to a number of significant differences in the dynamics of the system. In the region of the delocalized state of charge, for high temperatures, the results averaged over a set of trajectories in a system with a random force and the results averaged over time for a Hamiltonian system are close, which does not contradict the ergodic hypothesis. From a practical point of view, for large temperatures T ≈ 300 K, when simulating charge transfer in homogeneous chains, any of these options for setting the thermostat can be used.

С использование теории малых упругих деформаций и апробированного численного метода, строится математическая модель разрушения ледяного покрова ледокольным устройством новой конструкция.

Mathematical model of a new icebreaker device is worked out using the theory of small elastic deformations and numerically approved.

Классическая математическая модель выращивания грибов Чантера–Торнли модифицирована и реализована в среде имитационного моделирования AnyLogic с одновременным использованием элементов системной динамики, дискретно-событийного и агентного подхода. Проведено численное исследование построенной модели и решена оптимизационная задача нахождения возраста срезания плодовых тел, обеспечивающего максимальный интегральный урожай грибов по всем «волнам» плодообразования.

Classical Chanter–Thornley model of mushroom growth has been modified and implemented in AnyLogic simulation environment by means of system dynamics, discrete-event and agent-based approaches. A numerical case study of the model is presented and the problem of optimum age at harvest, providing the maximum integral yield for all fruiting “waves” is solved.

Современные системы транспортировки электроэнергии представляют собой сложные инженерные системы. В состав таких систем входят как точечные объекты (производители электроэнергии, потребители, трансформаторные подстанции), так и распределенные (линии электропередач). При создании математических моделей такие сооружения представляются в виде графов с различными типами узлов. Для исследования динамических эффектов в таких системах приходится решать численно систему дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.

В работе использован подход, аналогичный уже примененным ранее при моделировании подобных задач. Использован вариант метода расщепления. Авторами предложен свой способ расщепления. В отличие от большинства известных работ расщепление проводится не по физическим процессам (перенос без диссипации, отдельно диссипативные процессы), а на перенос со стоковыми членами и «обменную» часть. Такое расщепление делает возможным построение гибридных схем для инвариантов Римана, обладающих высоким порядком аппроксимации и минимальной диссипативной погрешностью. Для однофазной ЛЭП приведен пример построения такой гибридной разностной схемы. Предложенная разностная схема строится на основе анализа свойств схем в пространстве неопределенных коэффициентов.

Приведены примеры расчетов модельной задачи с использованием предложенного расщепления и построенной разностной схемы. На примере численных расчетов показано, что разностная схема позволяет численно воспроизводить возникающие области больших градиентов. Показано, что разностная схема позволяет обнаружить резонансы в подобных системах.

Modern power transportation systems are the complex engineering systems. Such systems include both point facilities (power producers, consumers, transformer substations, etc.) and the distributed elements (f.e. power lines). Such structures are presented in the form of the graphs with different types of nodes under creating the mathematical models. It is necessary to solve the system of partial differential equations of the hyperbolic type to study the dynamic effects in such systems.

An approach similar to one already applied in modeling similar problems earlier used in the work. New variant of the splitting method was used proposed by the authors. Unlike most known works, the splitting is not carried out according to physical processes (energy transport without dissipation, separately dissipative processes). We used splitting to the transport equations with the drain and the exchange between Reimann’s invariants. This splitting makes possible to construct the hybrid schemes for Riemann invariants with a high order of approximation and minimal dissipation error. An example of constructing such a hybrid differential scheme is described for a single-phase power line. The difference scheme proposed is based on the analysis of the properties of the schemes in the space of insufficient coefficients.

Examples of the model problem numerical solutions using the proposed splitting and the difference scheme are given. The results of the numerical calculations shows that the difference scheme allows to reproduce the arising regions of large gradients. It is shown that the difference schemes also allow detecting resonances in such the systems.

Массовое скопление людей всегда представляет собой потенциальную опасность и угрозу для их жизни. К тому же ежегодно в мире в давке, основной причиной которой является массовая паника, гибнет очень большое количество людей. Поэтому изучение феномена массовой паники, ввиду ее чрезвычайной социальной опасности, представляет собой важную научную задачу. Имеющаяся информация о процессах ее возникновения и распространения относится к разряду неточной. Поэтому в качестве инструмента для разработки математической модели механизма передачи панического состояния среди людей с различными видами темперамента выбрана теория нечетких множеств.

При разработке нечеткой модели было сделано предположение о том, что паника, из эпицентра шокирующего стимула, распространяется среди людей по волновому принципу, проходя с различной частотой через разные среды (виды темперамента человека), и определяется скоростью и интенсивностью циркулярной реакции механизма передачи панического состояния. Поэтому разработанная нечеткая модель, наряду с двумя входами, имеет два выхода — скорость и интенсивность циркулярной реакции. В блоке «Фаззификация» вычисляются степени принадлежности числовых значений входных параметров (частоты волны распространения паники и восприимчивости человека к паническим ситуациям) к нечетким множествам. Блок «Вывод» на входе получает степени принадлежности для каждого входного параметра и на выходе определяет результирующую функцию принадлежности скорости циркулярной реакции и ее производную, являющуюся функцией принадлежности для интенсивности циркулярной реакции. В блоке «Дефаззификация» с помощью метода центра тяжести определяется количественное значение для каждого выходного параметра. Оценка качества разработанной нечеткой модели, проведенная посредством вычисления коэффициента детерминации, показала, что разработанная математическая модель относится к разряду моделей хорошего качества.

Полученный результат в виде количественных оценок циркулярной реакции позволяет улучшить качество понимания психических процессов, происходящих при передаче панического состояния среди людей. Кроме того, это дает возможность усовершенствовать существующие и разрабатывать новые модели хаотичного поведения людей, которые предназначены для выработки эффективных решений в кризисных ситуациях, направленных на полное либо частичное предотвращение распространения массовой паники, приводящей к возникновению панического бегства, давки и появлению человеческих жертв.

A mass congestion of people always represents a potential danger and threat for their lives. In addition, every year in the world a very large number of people die because of the crush, the main cause of which is mass panic. Therefore, the study of the phenomenon of mass panic in view of her extreme social danger is an important scientific task. Available information, about the processes of her occurrence and spread refers to the category inaccurate. Therefore, the theory of fuzzy sets has been chosen as a tool for developing a mathematical model of the mechanism of transmitting panic state among people with various temperament species.

When developing an fuzzy model, it was assumed that panic, from the epicenter of the shocking stimulus, spreads among people according to the wave principle, passing at different frequencies through different environments (types of human temperament), and is determined by the speed and intensity of the circular reaction of the mechanism of transmitting panic state among people. Therefore, the developed fuzzy model, along with two inputs, has two outputs — the speed and intensity of the circular reaction. In the block «Fuzzyfication», the degrees of membership of the numerical values of the input parameters to fuzzy sets are calculated. The «Inference» block at the input receives degrees of belonging for each input parameter and at the output determines the resulting function of belonging the speed of the circular reaction and her derivative, which is a function of belonging for the intensity of the circular reaction. In the «Defuzzyfication» block, using the center of gravity method, a quantitative value is determined for each output parameter. The quality assessment of the developed fuzzy model, carried out by calculating of the determination coefficient, showed that the developed mathematical model belongs to the category of good quality models.

The result obtained in the form of quantitative assessments of the circular reaction makes it possible to improve the quality of understanding of the mental processes occurring during the transmission of the panic state among people. In addition, this makes it possible to improve existing and develop new models of chaotic humans behaviors. Which are designed to develop effective solutions in crisis situations, aimed at full or partial prevention of the spread of mass panic, leading to the emergence of panic flight and the appearance of human casualties.

Настоящая статья посвящена некоторым адаптивным методам первого порядка для оптимизационных задач с относительно сильно выпуклыми функционалами. Недавно возникшее в оптимизации понятие относительной сильной выпуклости существенно расширяет класс выпуклых задач посредством замены в определении евклидовой нормы расстоянием в более общем смысле (точнее — расхождением или дивергенцией Брегмана). Важная особенность рассматриваемых в настоящей работе классов задач — обобщение стандартных требований к уровню гладкости целевых функционалов. Точнее говоря, рассматриваются относительно гладкие и относительно липшицевые целевые функционалы. Это может позволить применять рассматриваемую методику для решения многих прикладных задач, среди которых можно выделить задачу о нахождении общей точки системы эллипсоидов, а также задачу бинарной классификации с помощью метода опорных векторов. Если целевой функционал минимизационной задачи выпуклый, то условие относительной сильной выпуклости можно получить посредством регуляризации. В предлагаемой работе впервые предложены адаптивные методы градиентного типа для задач оптимизации с относительно сильно выпуклыми и относительно липшицевыми функционалами. Далее, в статье предложены универсальные методы для относительно сильно выпуклых задач оптимизации. Указанная методика основана на введении искусственной неточности в оптимизационную модель. Это позволило обосновать применимость предложенных методов на классе относительно гладких, так и на классе относительно липшицевых функционалов. При этом показано, как можно реализовать одновременно адаптивную настройку на значения параметров, соответствующих как гладкости задачи, так и введенной в оптимизационную модель искусственной неточности. Более того, показана оптимальность оценок сложности с точностью до умножения на константу для рассмотренных в работе универсальных методов градиентного типа для обоих классов относительно сильно выпуклых задач. Также в статье для задач выпуклого программирования с относительно липшицевыми функционалами обоснована возможность использования специальной схемы рестартов алгоритма зеркального спуска и доказана оптимальная оценка сложности такого алгоритма. Также приводятся результаты некоторых вычислительных экспериментов для сравнения работы предложенных в статье методов и анализируется целесообразность их применения.

The article is devoted to first-order adaptive methods for optimization problems with relatively strongly convex functionals. The concept of relatively strong convexity significantly extends the classical concept of convexity by replacing the Euclidean norm in the definition by the distance in a more general sense (more precisely, by Bregman’s divergence). An important feature of the considered classes of problems is the reduced requirements concerting the level of smoothness of objective functionals. More precisely, we consider relatively smooth and relatively Lipschitz-continuous objective functionals, which allows us to apply the proposed techniques for solving many applied problems, such as the intersection of the ellipsoids problem (IEP), the Support Vector Machine (SVM) for a binary classification problem, etc. If the objective functional is convex, the condition of relatively strong convexity can be satisfied using the problem regularization. In this work, we propose adaptive gradient-type methods for optimization problems with relatively strongly convex and relatively Lipschitzcontinuous functionals for the first time. Further, we propose universal methods for relatively strongly convex optimization problems. This technique is based on introducing an artificial inaccuracy into the optimization model, so the proposed methods can be applied both to the case of relatively smooth and relatively Lipschitz-continuous functionals. Additionally, we demonstrate the optimality of the proposed universal gradient-type methods up to the multiplication by a constant for both classes of relatively strongly convex problems. Also, we show how to apply the technique of restarts of the mirror descent algorithm to solve relatively Lipschitz-continuous optimization problems. Moreover, we prove the optimal estimate of the rate of convergence of such a technique. Also, we present the results of numerical experiments to compare the performance of the proposed methods.

В работе рассматривается задача о поперечном ударе по тонкой предварительно нагруженной нити. Общепринятая теория о поперечному даре по тонкой нити отталкивается от классических публикаций Рахматулина и Смита. На основании теории Рахматулина – Смита получены соотношения, широко используемые в инженерной практике. Однако существуют многочисленные данные о том, что экспериментальные результаты могут существенно отличаться от оценок, сделанных на базе этих соотношений. Краткий обзор факторов, которые вызывают отличия, приведен в тексте статьи.

Основное внимание в данной статье уделяется скорости поперечной волны, формирующейся при ударе, так как только ее можно непосредственно наблюдать и измерять с помощью высокоскоростной съемки или иных методов. Рассматривается влияние предварительного натяжения нити на скорость волны. Данный фактор важен, так как он неизбежно возникает в результатах натурных испытаний в силу того, что надежное закрепление и точное позиционирование нити на экспериментальной установке требует некоторого ее натяжения. В данной работе показано, что предварительная деформация нити существенно влияет на скорость поперечной волны, возникающей в ходе ударного взаимодействия.

Выполнены расчеты серии постановок для нитей Kevlar 29 и Spectra 1000. Для различных уровней начального натяжения получены скорости поперечных волн. Приведено прямое сравнение численных результатов и аналитических оценок с данными экспериментов. Для рассмотренных постановок скорость поперечной волны в свободной и в нагруженной нити отличалась практически в два раза. Таким образом, показано, что измерения, основанные на высокоскоростной съемке и анализе наблюдаемых поперечных волн, должны учитывать предварительную деформацию нити.

В работе предложена формула для быстрой оценки скорости поперечной волны в натянутых нитях. Данная формула получена из основных соотношений теории Рахматулина – Смита в предположении большой начальной деформации нити. На примере рассмотренных постановок для Kevlar 29 и Spectra 1000 показано, что полученная формула может давать существенно лучшие результаты, чем классическое приближение. Также показано, что прямой численный расчет дает результаты, которые оказываются значительно ближе к экспериментальным данным, чем любая из рассмотренных аналитических оценок.

The paper considers the problem of transverse impact on a thin preloaded fiber. The commonly accepted theory of transverse impact on a thin fiber is based on the classical works of Rakhmatulin and Smith. The simple relations obtained from the Rakhmatulin – Smith theory are widely used in engineering practice. However, there are numerous evidences that experimental results may differ significantly from estimations based on these relations. A brief overview of the factors that cause the differences is given in this article.

This paper focuses on the shear wave velocity, as it is the only feature that can be directly observed and measured using high-speed cameras or similar methods. The influence of the fiber preload on the wave speed is considered. This factor is important, since it inevitably arises in the experimental results. The reliable fastening and precise positioning of the fiber during the experiments requires its preload. This work shows that the preload significantly affects the shear wave velocity in the impacted fiber.

Numerical calculations were performed for Kevlar 29 and Spectra 1000 yarns. Shear wave velocities are obtained for different levels of initial tension. A direct comparison of numerical results and analytical estimations with experimental data is presented. The speed of the transverse wave in free and preloaded fibers differed by a factor of two for the setup parameters considered. This fact demonstrates that measurements based on high-speed imaging and analysis of the observed shear waves should take into account the preload of the fibers.

This paper proposes a formula for a quick estimation of the shear wave velocity in preloaded fibers. The formula is obtained from the basic relations of the Rakhmatulin – Smith theory under the assumption of a large initial deformation of the fiber. The formula can give significantly better results than the classical approximation, this fact is demonstrated using the data for preloaded Kevlar 29 and Spectra 1000. The paper also shows that direct numerical calculation has better corresponding with the experimental data than any of the considered analytical estimations.

Распределенные седловые задачи имеют множество различных приложений в оптимизации, теории игр и машинном обучении. Например, обучение генеративных состязательных сетей может быть представлено как минимаксная задача, а также задача обучения линейных моделей с регуляризатором может быть переписана как задача поиска седловой точки. В данной статье исследуются распределенные негладкие седловые задачи с липшицевыми целевыми функциями (возможно, недифференцируемыми). Целевая функция представляется в виде суммы нескольких слагаемых, распределенных между группой вычислительных узлов. Каждый узел имеет доступ к локально хранимой функции. Узлы, или агенты, обмениваются информацией через некоторую коммуникационную сеть, которая может быть централизованной или децентрализованной. В централизованной сети есть универсальный агрегатор информации (сервер или центральный узел), который напрямую взаимодействует с каждым из агентов и, следовательно, может координировать процесс оптимизации. В децентрализованной сети все узлы равноправны, серверный узел отсутствует, и каждый агент может общаться только со своими непосредственными соседями.

Мы предполагаем, что каждый из узлов локально хранит свою целевую функцию и может вычислить ее значение в заданных точках, т. е. имеет доступ к оракулу нулевого порядка. Информация нулевого порядка используется, когда градиент функции является трудно вычислимым, а также когда его невозможно вычислить или когда функция не дифференцируема. Например, в задачах обучения с подкреплением необходимо сгенерировать траекторию для оценки текущей стратегии. Этот процесс генерирования траектории и оценки политики можно интерпретировать как вычисление значения функции. Мы предлагаем подход, использующий технику сглаживания, т. е. применяющий метод первого порядка к сглаженной версии исходной функции. Можно показать, что стохастический градиент сглаженной функции можно рассматривать как случайную двухточечную аппроксимацию градиента исходной функции. Подходы, основанные на сглаживании, были изучены для распределенной минимизации нулевого порядка, и наша статья обобщает метод сглаживания целевой функции на седловые задачи.

Distributed saddle point problems (SPPs) have numerous applications in optimization, matrix games and machine learning. For example, the training of generated adversarial networks is represented as a min-max optimization problem, and training regularized linear models can be reformulated as an SPP as well. This paper studies distributed nonsmooth SPPs with Lipschitz-continuous objective functions. The objective function is represented as a sum of several components that are distributed between groups of computational nodes. The nodes, or agents, exchange information through some communication network that may be centralized or decentralized. A centralized network has a universal information aggregator (a server, or master node) that directly communicates to each of the agents and therefore can coordinate the optimization process. In a decentralized network, all the nodes are equal, the server node is not present, and each agent only communicates to its immediate neighbors.

We assume that each of the nodes locally holds its objective and can compute its value at given points, i. e. has access to zero-order oracle. Zero-order information is used when the gradient of the function is costly, not possible to compute or when the function is not differentiable. For example, in reinforcement learning one needs to generate a trajectory to evaluate the current policy. This policy evaluation process can be interpreted as the computation of the function value. We propose an approach that uses a smoothing technique, i. e., applies a first-order method to the smoothed version of the initial function. It can be shown that the stochastic gradient of the smoothed function can be viewed as a random two-point gradient approximation of the initial function. Smoothing approaches have been studied for distributed zero-order minimization, and our paper generalizes the smoothing technique on SPPs.