Все выпуски

В статье предлагается новая модель динамической ловушки типа «стимул – реакция», которая имитирует человеческий контроль динамических систем, где ограниченная рациональность человеческого сознания играет существенную роль. Детально рассматривается сценарий, в котором субъект модулирует контролируемую переменную в ответ на определенный стимул. В этом контексте ограниченная рациональность человеческого сознания проявляется в неопределенности восприятия стимула и последующих действий субъекта. Модель предполагает, что когда интенсивность стимула падает ниже (размытого) порога восприятия стимула, субъект приостанавливает управление и поддерживает контролируемую переменную вблизи нуля с точностью, определяемую неопределенностью ее управления. Когда интенсивность стимула превышает неопределенность восприятия и становится доступной человеческому сознания, испытуемый активирует контроль. Тем самым, динамику системы можно представить как чередующуюся последовательность пассивного и активного режимов управления с вероятностными переходами между ними. Более того, ожидается, что эти переходы проявляют гистерезис из-за инерции принятия решений.

В общем случае пассивный и активный режимы базируются на различных механизмах, что является проблемой для создания эффективных алгоритмов их численного моделирования. Предлагаемая модель преодолевает эту проблему за счет введения динамической ловушки типа «стимул – реакция», имеющей сложную структуру. Область динамической ловушки включает две подобласти: область стагнации динамики системы и область гистерезиса. Модель основывается на формализме стохастических дифференциальных уравнений и описывает как вероятностные переходы между пассивным и активным режимами управления, так и внутреннюю динамику этих режимов в рамках единого представления. Предложенная модель воспроизводит ожидаемые свойства этих режимов управления, вероятностные переходы между ними и гистерезис вблизи порога восприятия. Кроме того, в предельном случае модель оказывается способной имитировать человеческий контроль, когда (1) активный режим представляет собой реализацию «разомкнутого» типа для локально запланированных действий и (2) активация контроля возникает только тогда, когда интенсивность стимула существенно возрастает и риск потери контроля системы становится существенным.

We present a novel model for the dynamical trap of the stimulus – response type that mimics human control over dynamic systems when the bounded capacity of human cognition is a crucial factor. Our focus lies on scenarios where the subject modulates a control variable in response to a certain stimulus. In this context, the bounded capacity of human cognition manifests in the uncertainty of stimulus perception and the subsequent actions of the subject. The model suggests that when the stimulus intensity falls below the (blurred) threshold of stimulus perception, the subject suspends the control and maintains the control variable near zero with accuracy determined by the control uncertainty. As the stimulus intensity grows above the perception uncertainty and becomes accessible to human cognition, the subject activates control. Consequently, the system dynamics can be conceptualized as an alternating sequence of passive and active modes of control with probabilistic transitions between them. Moreover, these transitions are expected to display hysteresis due to decision-making inertia.

Generally, the passive and active modes of human control are governed by different mechanisms, posing challenges in developing efficient algorithms for their description and numerical simulation. The proposed model overcomes this problem by introducing the dynamical trap of the stimulus-response type, which has a complex structure. The dynamical trap region includes two subregions: the stagnation region and the hysteresis region. The model is based on the formalism of stochastic differential equations, capturing both probabilistic transitions between control suspension and activation as well as the internal dynamics of these modes within a unified framework. It reproduces the expected properties in control suspension and activation, probabilistic transitions between them, and hysteresis near the perception threshold. Additionally, in a limiting case, the model demonstrates the capability of mimicking a similar subject’s behavior when (1) the active mode represents an open-loop implementation of locally planned actions and (2) the control activation occurs only when the stimulus intensity grows substantially and the risk of the subject losing the control over the system dynamics becomes essential.

Перенос заряда в ДНК моделируется с помощью дискретной модели Холстейна «квантовая частица + классическая цепочка сайтов + взаимодействие». Влияние температуры термостата учитывается с помощью случайной силы, действующей на классические сайты (уравнение Ланжевена). Таким образом, динамика распространения заряда вдоль цепочки описывается системой ОДУ со случайной правой частью. Для интегрирования таких систем обычно применяют алгоритмы 1 или 2 порядка. Мы разработали смешанный алгоритм, имеющий 4 порядок точности по быстрым «квантовым» переменным (заметим, что в «квантовой» подсистеме должно соблюдаться условие: «сумма вероятностей нахождения заряда на сайте постоянна по времени») и 2 порядок по медленным «классическим» переменным, на которые действует случайная сила. Алгоритм позволяет считать на бóльших временах, чем стандартные. В качестве примера приведен модельный расчет развала полярона в однородной цепочке под действием температурных флуктуаций.

Charge transfer in DNA is simulated by a discrete Holstein model «quantum particle + classical site chain + interaction». Thermostat temperature is taken into account as stochastic force, which acts on classical sites (Langevin equation). Thus dynamics of charge migration along the chain is described by ODE system with stochastic right-hand side. To integrate the system numerically, algorithms of order 1 or 2 are usually applied. We developed «mixed» algorithm having 4th order of accuracy for fast «quantum» variables (note that in quantum subsystem the condition «sum of probabilities of charge being on site is time-constant» must be held), and 2nd order for slow classical variables, which are affecting by stochastic force. The algorithm allows us to calculate trajectories on longer time intervals as compared to standard algorithms. Model calculations of polaron disruption in homogeneous chain caused by temperature fluctuations are given as an example.

Предложен алгоритм решения прикладной задачи расчета электрических характеристик полевых эффектов инжектированных зарядов в сегнетоэлектриках при электронном облучении, основанный на реализации детерминированной модели методом конечных элементов с учетом результатов моделирования транспорта электронов методом Монте-Карло. Разработано программное приложение для проведения вычислительного эксперимента.

An algorithm of applied problem solving was described to calculate electrical characteristics of electrical field effects in ferroelectrics electron-beam charged. The algorithm was based on implementation of the deterministic model using finite element method as well as taking into account Monte-Carlo simulation results of electron transport. The program application was developed to perform computing experiments.

В данной работе рассматриваются формулы Рэлея, полученные из интегральных формул Кирхгофа, которые в дальнейшем могут быть применены для получения миграционных изображений. Актуальность проведенных в работе исследований обусловлена распространенностью применения миграции в интересах сейсмической разведки нефти и газа. Предлагаемый подход позволит существенно повысить качество сейсмической разведки в сложных случаях, таких как вечная мерзлота и шельфовые зоны южных и северных морей. Особенностью работы является использование упругого приближения для описания динамического поведения геологической среды, в отличие от широко распространенного акустического приближения. Сложность применения системы уравнений, описывающей состояние линейно-упругой среды, для получения формул Рэлея и алгоритмов на их основе возникает из-за значительного роста количества вычислений, математической и аналитической сложности итоговых алгоритмов по сравнению со случаем акустической среды. Поэтому в промышленной сейсморазведке в настоящий момент не используют алгоритмы миграции для случая упругих волн, что создает определенные трудности, так как акустическое приближение описывает только продольные сейсмические волны в геологических средах. В данной статье представлены итоговые аналитические выражения, которые можно использовать для разработки программных комплексов, используя описание упругих сейсмических волн (продольных и поперечных), тем самым охватывая весь диапазон сейсмических волн (продольных отраженных PP-волн, продольных отраженных SP-волн, поперечных отраженных PS-волн и поперечных отраженных SS-волн). Также в работе приведены результаты сравнения численных решений, полученных на основе формул Рэлея, с численными решениями, полученными сеточно-характеристическим методом. Ценность такого сравнения обусловлена тем, что метод на основе интегралов Рэлея основан на аналитических выражениях, в то время как сеточно-характеристический метод является методом численного интегрирования решения по расчетной сетке. В проведенном сравнении рассматривались различные типы источников: модель точечного источника, широко используемого в морской и наземной сейсморазведке, и модель плоской волны, которую также иногда применяют в полевых исследованиях.

In this paper we present Rayleigh formulas obtained from Kirchhoff integral formulas, which can later be used to obtain migration images. The relevance of the studies conducted in the work is due to the widespread use of migration in the interests of seismic oil and gas seismic exploration. A special feature of the work is the use of an elastic approximation to describe the dynamic behaviour of a geological environment, in contrast to the widespread acoustic approximation. The proposed approach will significantly improve the quality of seismic exploration in complex cases, such as permafrost and shelf zones of the southern and northern seas. The complexity of applying a system of equations describing the state of a linear-elastic medium to obtain Rayleigh formulas and algorithms based on them is a significant increase in the number of computations, the mathematical and analytical complexity of the resulting algorithms in comparison with the case of an acoustic medium. Therefore in industrial seismic surveys migration algorithms for the case of elastic waves are not currently used, which creates certain difficulties, since the acoustic approximation describes only longitudinal seismic waves in geological environments. This article presents the final analytical expressions that can be used to develop software systems using the description of elastic seismic waves: longitudinal and transverse, thereby covering the entire range of seismic waves: longitudinal reflected PP-waves, longitudinal reflected SP-waves, transverse reflected PS-waves and transverse reflected SS-waves. Also, the results of comparison of numerical solutions obtained on the basis of Rayleigh formulas with numerical solutions obtained by the grid-characteristic method are presented. The value of this comparison is due to the fact that the method based on Rayleigh integrals is based on analytical expressions, while the grid-characteristic method is a method of numerical integration of solutions based on a calculated grid. In the comparison, different types of sources were considered: a point source model widely used in marine and terrestrial seismic surveying and a flat wave model, which is also sometimes used in field studies.

В Лаборатории информационных технологий (ЛИТ) Объединенного института ядерных исследований (ОИЯИ) планируется создание облачного центра параллельных вычислений, что позволит существенно повысить эффективность выполнения численных расчетов и ускорить получение новых физически значимых результатов за счет более рационального использования вычислительных ресурсов. Для оптимизации схемы параллельных вычислений в облачной среде эту схему необходимо протестировать при различных сочетаниях параметров оборудования (количества и частоты процессоров, уровней распараллеливания, пропускной способности коммуникационной сети и ее латентности). В качестве тестовой была выбрана весьма актуальная задача параллельных вычислений длинных джозефсоновских переходов (ДДП) с использованием технологии MPI. Проблемы оценки влияния вышеуказанных факторов вычислительной среды на скорость параллельных вычислений тестовой задачи было предложено решать методом имитационного моделирования, с использованием разработанной в ЛИТ моделирующей программы SyMSim.

Работы, выполненные по имитационному моделированию расчетов ДДП в облачной среде с учетом межпроцессорных соединений, позволяют пользователям без проведения серии тестовых запусков в реальной компьютерной обстановке подобрать оптимальное количество процессоров при известном типе сети, характеризуемой пропускной способностью и латентностью. Это может существенно сэкономить вычислительное время на счетных ресурсах, высвободив его для решения реальных задач. Основные параметры модели были получены по результатам вычислительного эксперимента, проведенного на специальном облачном полигоне для MPI-задач из 10 виртуальных машин, взаимодействующих между собой через Ethernet-сеть с пропускной способностью 10 Гбит/с. Вычислительные эксперименты показали, что чистое время вычислений спадает обратно пропорционально числу процессоров, но существенно зависит от пропускной способности сети. Сравнение результатов, полученных эмпирическим путем, с результатами имитационного моделирования показало, что имитационная модель корректно моделирует параллельные расчеты, выполненные с использованием технологии MPI, и подтвердило нашу рекомендацию, что для быстрого счета задач такого класса надо одновременно с увеличением числа процессоров увеличивать пропускную способность сети. По результатам моделирования удалось вывести эмпирическую аналитическую формулу, выражающую зависимость времени расчета от числа процессоров при фиксированной конфигурации системы. Полученная формула может применяться и для других подобных исследований, но требует дополнительных тестов по определению значений переменных.

А new cloud center of parallel computing is to be created in the Laboratory of Information Technologies (LIT) of the Joint Institute for Nuclear Research JINR) what is expected to improve significantly the efficiency of numerical calculations and expedite the receipt of new physically meaningful results due to the more rational use of computing resources. To optimize a scheme of parallel computations at a cloud environment it is necessary to test this scheme for various combinations of equipment parameters (processor speed and numbers, throughput оf а communication network etc). As a test problem, the parallel MPI algorithm for calculations of the long Josephson junctions (LDJ) is chosen. Problems of evaluating the impact of abovementioned factors of computing mean on the computing speed of the test problem are solved by simulation with the simulation program SyMSim developed in LIT.

The simulation of the LDJ calculations in the cloud environment enable users without a series of test to find the optimal number of CPUs with a certain type of network run the calculations in a real computer environment. This can save significant computational time in countable resources. The main parameters of the model were obtained from the results of the computational experiment conducted on a special cloud-based testbed. Computational experiments showed that the pure computation time decreases in inverse proportion to the number of processors, but depends significantly on network bandwidth. Comparison of results obtained empirically with the results of simulation showed that the simulation model correctly simulates the parallel calculations performed using the MPI-technology. Besides it confirms our recommendation: for fast calculations of this type it is needed to increase both, — the number of CPUs and the network throughput at the same time. The simulation results allow also to invent an empirical analytical formula expressing the dependence of calculation time by the number of processors for a fixed system configuration. The obtained formula can be applied to other similar studies, but requires additional tests to determine the values of variables.

В результате всесторонних теоретических исследований в работе создана достаточно подробная физико-математическая модель возмущенной области, образованной в нижнем D-слое ионосферы под действием направленного потока радиоизлучения от наземного стенда мегагерцового диапазона частот. Модель основана на рассмотрении широкого круга кинетических процессов с учетом их неравновесности и в двухтемпературном приближении для описания трансформации энергии радиолуча, поглощаемой электронами. В работе взяты исходные данные по радиоизлучению, достигнутые к настоящему времени на наиболее мощных радионагревных стендах. Кратко описаны их основные характеристики и принципы действия, а также особенности высотного распределения поглощаемой электромагнитной энергии радиолуча. Показана определяющая роль D-слоя ионосферы в поглощении энергии радиолуча. На основе теоретического анализа получены аналитические выражения для вклада различных неупругих процессов в распределение поглощаемой энергии, позволяющая достаточно полно и корректно описывать вклад каждого из учитываемых процессов. В работе учитывается более 60 компонент, для описания изменения концентраций использовалось около 160 реакций. Все реакции разбиты на пять групп в соответствии с их физическим содержанием: ионизационно-химический блок, блок возбуждения метастабильных электронных состояний, кластерный блок, блок возбуждения колебательных состояний и блок примесей. Блоки взаимосвязаны между собой и могут рассчитываться как совместно, так и раздельно. Показано, что в дневных и ночных условиях поведение параметров возмущенной области существенно различно при одной и той же плотности потока радиоизлучения: в дневных условиях максимум электронной концентрации и температуры приходиться на высоте ~ 45–55 км; в ночных — на высоты ~ 80 км, при этом температура тяжелых частиц быстро возрастает, что приводит к возникновению газодинамического течения. Поэтому был разработан специальный численный алгоритм для совместного решения двух основных задач рассматриваемой проблемы: кинетической и газодинамической. На основе высотного и временного поведения концентраций и температур алгоритм позволяет определить ионизацию и свечение ионосферы в видимом и ИК-диапазоне спектра, что дает возможность оценить влияние возмущенной области на радиотехнические и оптико-электронные средства, используемые в космической технике.

The paper presents a physico-mathematical model of the perturbed region formed in the lower D-layer of the ionosphere under the action of directed radio emission flux from a terrestrial stand of the megahertz frequency range, obtained as a result of comprehensive theoretical studies. The model is based on the consideration of a wide range of kinetic processes taking into account their nonequilibrium and in the two-temperature approximation for describing the transformation of the radio beam energy absorbed by electrons. The initial data on radio emission achieved by the most powerful radio-heating stands are taken in the paper. Their basic characteristics and principles of functioning, and features of the altitude distribution of the absorbed electromagnetic energy of the radio beam are briefly described. The paper presents the decisive role of the D-layer of the ionosphere in the absorption of the energy of the radio beam. On the basis of theoretical analysis, analytical expressions are obtained for the contribution of various inelastic processes to the distribution of the absorbed energy, which makes it possible to correctly describe the contribution of each of the processes considered. The work considers more than 60 components. The change of the component concentration describe about 160 reactions. All the reactions are divided into five groups according to their physical content: ionization-chemical block, excitation block of metastable electronic states, cluster block, excitation block of vibrational states and block of impurities. Blocks are interrelated and can be calculated both jointly and separately. The paper presents the behavior of the parameters of the perturbed region in daytime and nighttime conditions is significantly different at the same radio flux density: under day conditions, the maximum electron concentration and temperature are at an altitude of ~45–55 km; in night ~80 km, with the temperature of heavy particles rapidly increasing, which leads to the occurrence of a gas-dynamic flow. Therefore, a special numerical algorithm are developed to solve two basic problems: kinetic and gas dynamic. Based on the altitude and temporal behavior of concentrations and temperatures, the algorithm makes it possible to determine the ionization and emission of the ionosphere in the visible and infrared spectral range, which makes it possible to evaluate the influence of the perturbed region on radio engineering and optoelectronic devices used in space technology.

В основу обзора положены некоторые ранние работы авторов, представляющие определенный научный, методический и практический интерес; наибольшее внимание уделено работам последних лет, где выполнены достаточно подробные численные исследования не только одиночных, но также двойных и множественных взрывов в широком диапазоне высот и условий в окружающей среде. Так как в нижней атмосфере ударная волна мощного взрыва является одним из главных поражающих факторов, то в обзоре большое внимание уделено физическому анализу их распространения и взаимодействия. С помощью разработанных авторами трехмерных алгоритмов рассмотрены интересные с физической точки зрения эффекты интерференции и дифракции нескольких ударных волн в отсутствие и при наличии подстилающей поверхности различной структуры. Определены количественные характеристики в области их максимальных значений, что представляет известный практический интерес. Для взрывов в плотной атмосфере найдены некоторые новые аналитические решения на основе метода малых возмущений, удобные для приближенных расчетов. Для ряда условий показана возможность использования автомодельных свойств уравнений первого и второго рода для решения задач о развитии взрыва.

На основе численного анализа показано принципиальное изменение в структуре развития возмущенной области при изменении высоты взрыва в диапазоне 100–120 км. На высотах более 120 км геомагнитное поле начинает влиять на развитие взрыва, поэтому даже для одиночного взрыва картина плазменного течения через несколько секунд становится существенно трехмерной. Для расчета взрывов на высотах 120–1000 км под руководством академика Холодова А. С. был разработан специальный трехмерный численный алгоритм на основе МГД-приближения. Были выполнены многочисленные расчеты и впервые получена достаточно подробная картина трехмерного течения плазмы взрыва с образованием через 5–10 с восходящей струи, направленной в меридиональной плоскости примерно по геомагнитному полю. После некоторой модификации данный алгоритм использовался для расчета двойных взрывов в ионосфере, разнесенных на некоторое расстояние. Взаимодействие между ними осуществлялось как плазменными потоками, так и через геомагнитное поле. Некоторые результаты приведены в данном обзоре и подробно изложены в оригинальных статьях.

The review is based on some of the authors ’early works of particular scientific, methodological and practical interest and the greatest attention is paid to recent works, where quite detailed numerical studies of not only single, but also double and multiple explosions in a wide range of heights and environmental conditions have been performed . Since the shock wave of a powerful explosion is one of the main damaging factors in the lower atmosphere, the review focuses on both the physical analysis of their propagation and their interaction. Using the three-dimensional algorithms developed by the authors, the effects of interference and diffraction of several shock waves, which are interesting from a physical point of view, in the absence and presence of an underlying surface of various structures are considered. Quantitative characteristics are determined in the region of their maximum values, which is of known practical interest. For explosions in a dense atmosphere, some new analytical solutions based on the small perturbation method have been found that are convenient for approximate calculations. For a number of conditions, the possibility of using the self-similar properties of equations of the first and second kind to solve problems on the development of an explosion has been shown.

Based on numerical analysis, a fundamental change in the structure of the development of the perturbed region with a change in the height of the explosion in the range of 100–120 km is shown. At altitudes of more than 120 km, the geomagnetic field begins to influence the development of the explosion; therefore, even for a single explosion, the picture of the plasma flow after a few seconds becomes substantially three-dimensional. For the calculation of explosions at altitudes of 120–1000 km under the guidance of academician A. Kholodov. A special three-dimensional numerical algorithm based on the MHD approximation was developed. Numerous calculations were performed and for the first time a quite detailed picture of the three-dimensional flow of the explosion plasma was obtained with the formation of an upward jet in 5–10 s directed in the meridional plane approximately along the geomagnetic field. After some modification, this algorithm was used to calculate double explosions in the ionosphere, spaced a certain distance. The interaction between them was carried out both by plasma flows and through a geomagnetic field. Some results are given in this review and are described in detail in the original articles.

В работе представлена математическая модель, описывающая процесс получения биогаза из отходов животноводства. Данная модель описывает процессы, протекающие в биогазовой установке для мезофильной и термофильной сред, а также для непрерывного и периодического режимов поступления субстрата. Приведены найденные ранее для периодического режима значения коэффициентов этой модели, полученные путем решения задачи идентификации модели по экспериментальным данным с использованием генетического алгоритма.

Для модели метаногенеза сформулирована задача оптимального управления в форме задачи Лагранжа, критериальный функционал которой представляет собой выход биогаза за определенный промежуток времени. Управляющим параметром задачи служит скорость поступления субстрата в биогазовую установку. Предложен алгоритм решения данной задачи, основанный на численной реализации принципа максимума Понтрягина. При этом в качестве метода оптимизации применялся гибридный генетический алгоритм с дополнительным поиском в окрестности лучшего решения методом сопряженных градиентов. Данный численный метод решения задачи оптимального управления является универсальным и применим к широкому классу математических моделей.

В ходе исследования проанализированы различные режимы подачи субстрата в метантенк, температурные среды и виды сырья. Показано, что скорость образования биогаза при непрерывном режиме подачи сырья в 1.4–1.9 раза выше в мезофильной среде (в 1.9–3.2 — в термофильной среде), чем при периодическом режиме за период полной ферментации, что связано с большей скоростью подачи субстрата и большей концентрацией питательных веществ в субстрате. Однако выход биогаза за период полной ферментации при периодическом режиме вдвое выше выхода за период полной смены субстрата в метантенке при непрерывном режиме, что означает неполную переработку субстрата во втором случае. Скорость образования биогаза для термофильной среды при непрерывном режиме и оптимальной скорости подачи сырья втрое выше, чем для мезофильной среды. Сравнение выхода биогаза для различных типов сырья показывает, что наибольший выход биогаза наблюдается для отходов птицефабрик, наименьший — для отходов ферм КРС, что связано с содержанием питательных веществ в единице субстрата каждого вида.

The paper presents a mathematical model that describes the process of obtaining biogas from livestock waste. This model describes the processes occurring in a biogas plant for mesophilic and thermophilic media, as well as for continuous and periodic modes of substrate inflow. The values of the coefficients of this model found earlier for the periodic mode, obtained by solving the problem of model identification from experimental data using a genetic algorithm, are given.

For the model of methanogenesis, an optimal control problem is formulated in the form of a Lagrange problem, whose criterial functionality is the output of biogas over a certain period of time. The controlling parameter of the task is the rate of substrate entry into the biogas plant. An algorithm for solving this problem is proposed, based on the numerical implementation of the Pontryagin maximum principle. In this case, a hybrid genetic algorithm with an additional search in the vicinity of the best solution using the method of conjugate gradients was used as an optimization method. This numerical method for solving an optimal control problem is universal and applicable to a wide class of mathematical models.

In the course of the study, various modes of submission of the substrate to the digesters, temperature environments and types of raw materials were analyzed. It is shown that the rate of biogas production in the continuous feed mode is 1.4–1.9 times higher in the mesophilic medium (1.9–3.2 in the thermophilic medium) than in the periodic mode over the period of complete fermentation, which is associated with a higher feed rate of the substrate and a greater concentration of nutrients in the substrate. However, the yield of biogas during the period of complete fermentation with a periodic mode is twice as high as the output over the period of a complete change of the substrate in the methane tank at a continuous mode, which means incomplete processing of the substrate in the second case. The rate of biogas formation for a thermophilic medium in continuous mode and the optimal rate of supply of raw materials is three times higher than for a mesophilic medium. Comparison of biogas output for various types of raw materials shows that the highest biogas output is observed for waste poultry farms, the least — for cattle farms waste, which is associated with the nutrient content in a unit of substrate of each type.

В последние десятилетия активно развивается теория аномальной диффузии, объединяющая различные транспортные процессы, в которых характерное среднеквадратичное рассеяние растет со временем по степенному закону, а не линейно, как для нормальной диффузии. Так, к примеру, диффузия жидкостей в пористых телах, перенос зарядов в аморфных полупроводниках и молекулярный транспорт в вязких средах демонстрируют аномальное «замедление» по сравнению со стандартной моделью.

Удобным инструментом исследования таких процессов является прямое стохастическое моделирование. В работе описана одна из возможных схем такого рода, в основе которой лежит процесс восстановления с временами ожидания, имеющими степенную асимптотику. Аналитические построения показывают тесную связь между рассмотренным классом случайных процессов и уравнениями с производными нецелого порядка. Этот подход легко можно распространить ( соответствующий алгоритм представлен в тексте) на системы, в которых, помимо транспорта, возможны химические реакции. Актуальность исследований в этой области продиктована тем, что точный вид интегро-дифференциальных уравнений, описывающих химическую кинетику в системах с аномальной диффузией, остается пока предметом дискуссии.

Поскольку рассматриваемый класс случайных процессов не обладает марковским свойством, здесь возникают принципиально новые проблемы по сравнению с моделированием химических реакций при нормальной диффузии. Главная из них заключается в способе, которым определяется, какие молекулы должны «погибнуть» в ходе реакции. Поскольку точная схема, отслеживающая каждую возможную комбинацию реактантов, неприемлема с вычислительной точки зрения из-за слишком большого числа таких комбинаций, было предложено несколько простых эвристических процедур. Серия вычислительных экспериментов показала, что результаты весьма чувствительны к выбору одной из этих эвристик.

Theory of anomalous diffusion, which describe a vast number of transport processes with power law mean squared displacement, is actively advancing in recent years. Diffusion of liquids in porous media, carrier transport in amorphous semiconductors and molecular transport in viscous environments are widely known examples of anomalous deceleration of transport processes compared to the standard model.

Direct Monte Carlo simulation is a convenient tool for studying such processes. An efficient stochastic simulation algorithm is developed in the present paper. It is based on simple renewal process with interarrival times that have power law asymptotics. Analytical derivations show a deep connection between this class of random process and equations with fractional derivatives. The algorithm is further generalized by coupling it with chemical reaction simulation. It makes stochastic approach especially useful, because the exact form of integrodifferential evolution equations for reaction — subdiffusion systems is still a matter of debates.

Proposed algorithm relies on non-markovian random processes, hence one should carefully account for qualitatively new effects. The main question is how molecules leave the system during chemical reactions. An exact scheme which tracks all possible molecule combinations for every reaction channel is computationally infeasible because of the huge number of such combinations. It necessitates application of some simple heuristic procedures. Choosing one of these heuristics greatly affects obtained results, as illustrated by a series of numerical experiments.

Во второй части работы представлены численные исследования параметров нижней ионосферы на высотах 40–90 км при воздействии на нее мощного потока коротковолнового радиоизлучения различной частоты и мощности. Постановка задачи изложена в первой части работы. Основное внимание уделяется взаимосвязи энергетических и кинетических параметров возмущенной $D$-области ионосферы в процессах, определяющих поглощение и трансформацию потока энергии радиолуча в пространстве и во времени. Показана возможность существенного различия в поведении параметров возмущенной области в дневное и ночное время как по величине, так и по пространственно-временному распределению. Ввиду отсутствия надежных значений констант скоростей ряда важных кинетических процессов численные исследования велись поэтапно, с постепенным добавлением отдельных процессов и кинетических блоков, соответствующих вместе с тем определенному физическому содержанию. Показано, что главную роль при этом играют энергетические пороги для неупругих столкновений электронов с молекулами воздуха. Данный подход позволил обнаружить эффект возникновения автоколебательного режима изменения параметров, если главным каналом для потерь энергии в неупругих процессах является наиболее энергоемкий процесс — ионизация. Этот эффект может играть роль при плазменных исследованиях с использованием высокочастотных индукционных и емкостных разрядов. Представлены результаты расчетов ионизационных и оптических параметров возмущенной $D$-области для дневных условий. Получены значения электронной температуры, концентрации, коэффициентов излучения в видимом и инфракрасном диапазонах спектра для различных значений мощности радиолуча и его частоты в нижней ионосфере. Получено высотно-временное распределение поглощенной мощности излучения, что необходимо при исследованиях более высоких слоев ионосферы. Подробно исследовано влияние на электронную температуру и на общее поведение параметров энергии, которая расходуется электронами на возбуждение колебательных и метастабильных состояний молекул. Показано, что в ночных условиях, когда нижняя граница электронной концентрации поднимается до 80 км, а концентрация тяжелых частиц снижается на два порядка по сравнению со средней областью $D$-слоя, при достаточной мощности радиоизлучения может развиваться крупномасштабное газодинамическое движение. На основе численной схемы Мак-Кормака разработан алгоритм и выполненыдв умерные газодинамические расчетып оведения параметров возмущенной области при определенных упрощениях кинетической части задачи.

The second part presents numerical studies of the parameters of the lower ionosphere at altitudes of 40–90 km when heated by powerful high-frequency radio waves of various frequencies and powers. The problem statement is considered in the first part of the article. The main attention is paid to the interrelation between the energy and kinetic parameters of the disturbed $D$-region of the ionosphere in the processes that determine the absorption and transformation of the radio beam energy flux in space and time. The possibility of a significant difference in the behavior of the parameters of the disturbed region in the daytime and at nighttime, both in magnitude and in space-time distribution, is shown. In the absence of sufficiently reliable values of the rate constants for a number of important kinetic processes, numerical studies were carried out in stages with the gradual addition of individual processes and kinetic blocks corresponding at the same time to a certain physical content. It is shown that the energy thresholds for inelastic collisions of electrons with air molecules are the main ones. This approach made it possible to detect the effect of the emergence of a self-oscillating mode of changing parameters if the main channel for energy losses in inelastic processes is the most energy-intensive process — ionization. This effect may play a role in plasma studies using high-frequency inductive and capacitive discharges. The results of calculations of the ionization and optical parameters of the disturbed $D$-region for daytime conditions are presented. The electron temperature, density, emission coefficients in the visible and infrared ranges of the spectrum are obtained for various values of the power of the radio beam and its frequency in the lower ionosphere. The height-time distribution of the absorbed radiation power is calculated, which is necessary in studies of higher layers of the ionosphere. The influence on the electron temperature and on the general behavior of the parameters of energy losses by electrons on the excitation of vibrational and metastable states of molecules has been studied in detail. It is shown that under nighttime conditions, when the electron concentration begins at altitudes of about 80 km, and the concentration of heavy particles decreases by two orders of magnitude compared to the average $D$-region, large-scale gas-dynamic motion can develop with sufficient radio emission power The algorithm was developed based on the McCormack method and two-dimensional gas-dynamic calculations of the behavior of the parameters of the perturbed region were performed with some simplifications of the kinetics.