Все выпуски

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

In the article a theory of the implicit iterative line-by-line recurrence method for solving the systems of finite-difference equations which arise as a result of approximation of the two-dimensional elliptic differential equations on a regular grid is stated. On the one hand, the high effectiveness of the method has confirmed in practice. Some complex test problems, as well as several problems of fluid flow and heat transfer of a viscous incompressible liquid, have solved with its use. On the other hand, the theoretical provisions that explain the high convergence rate of the method and its stability are not yet presented in the literature. This fact is the reason for the present investigation. In the paper, the procedure of equivalent and approximate transformations of the initial system of linear algebraic equations (SLAE) is described in detail. The transformations are presented in a matrix-vector form, as well as in the form of the computational formulas of the method. The key points of the transformations are illustrated by schemes of changing of the difference stencils that correspond to the transformed equations. The canonical form of the method is the goal of the transformation procedure. The correctness of the method follows from the canonical form in the case of the solution convergence. The estimation of norms of the matrix operators is carried out on the basis of analysis of structures and element sets of the corresponding matrices. As a result, the convergence of the method is proved for arbitrary initial vectors of the solution of the problem.

The norm of the transition matrix operator is estimated in the special case of weak restrictions on a desired solution. It is shown, that the value of this norm decreases proportionally to the second power (or third degree, it depends on the version of the method) of the grid step of the problem solution area in the case of transition matrix order increases. The necessary condition of the method stability is obtained by means of simple estimates of the vector of an approximate solution. Also, the estimate in order of magnitude of the optimum iterative compensation parameter is given. Theoretical conclusions are illustrated by using the solutions of the test problems. It is shown, that the number of the iterations required to achieve a given accuracy of the solution decreases if a grid size of the solution area increases. It is also demonstrated that if the weak restrictions on solution are violated in the choice of the initial approximation of the solution, then the rate of convergence of the method decreases essentially in full accordance with the deduced theoretical results.

Работа принадлежит направлению экспериментальной математики, исследующей свойства математических объектов вычислительными средствами компьютера. Базовым отображением служит экспоненциальное, топологические свойства (букеты Кантора) которого отличаются от свойств полиномиальных и рациональных функций на комплексной плоскости. Предметом исследования являются характер и особенности множеств Фату и Жюлиа, а также точек равновесия и орбит нуля трех итерированных комплекснозначных отображений: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, где $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. Для квазилинейного отображения g, не обладающего свойством аналитичности, было обнаружено два бифуркационных перехода: рождение новой точки равновесия (для него было найдено критическое значение параметра, а сама бифуркация представляет собой смешанный случай «вилки» и седлоузельного перехода) и переход к радикальной трансформации множества Фату. Выявлен нетривиальный характер сходимости к фиксированной точке, связанный с появлением «долин» на графике скоростей сходимости. Для двух других отображений существенна монопериодичность режимов, отмечен феномен «удвоения периода» (в одном случае по пути $39\to 3$, в другом — по пути $17\to 2$), причем обнаружено совпадение кратности периода и числа рукавов спирали множества Жюлиа в окрестности фиксированной точки. Приведен богатый иллюстративный материал, численные результаты экспериментов и сводные таблицы, отражающие параметрическую зависимость отображений. Сформулированы вопросы для дальнейшего исследования средствами традиционной математики.

The work belongs to the direction of experimental mathematics, which investigates the properties of mathematical objects by the computing facilities of a computer. The base is an exponential map, its topological properties (Cantor's bouquets) differ from properties of polynomial and rational complex-valued functions. The subject of the study are the character and features of the Fatou and Julia sets, as well as the equilibrium points and orbits of the zero of three iterated complex-valued mappings: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, with $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. For a quasilinear map g having no analyticity characteristic, two bifurcation transitions were discovered: the creation of a new equilibrium point (for which the critical value of the linear parameter was found and the bifurcation consists of “fork” type and “saddle”-node transition) and the transition to the radical transformation of the Fatou set. A nontrivial character of convergence to a fixed point is revealed, which is associated with the appearance of “valleys” on the graph of convergence rates. For two other maps, the monoperiodicity of regimes is significant, the phenomenon of “period doubling” is noted (in one case along the path $39\to 3$, in the other along the path $17\to 2$), and the coincidence of the period multiplicity and the number of sleeves of the Julia spiral in a neighborhood of a fixed point is found. A rich illustrative material, numerical results of experiments and summary tables reflecting the parametric dependence of maps are given. Some questions are formulated in the paper for further research using traditional mathematics methods.

В данной работе рассматриваются методы условного градиента для оптимизации сильно выпуклых функций. Это методы, использующие линейный минимизационный оракул, то есть умеющие вычислять решение задачи

$$ \text{Argmin}_{x\in X}{\langle p,\,x \rangle} $$

для заданного вектора $p \in \mathbb{R}^n$. Существует целый ряд методов условного градиента, имеющих линейную скорость сходимости в сильно выпуклом случае. Однако во всех этих методах в оценку скорости сходимости входит размерность задачи, которая в современных приложениях может быть очень большой. В данной работе доказывается, что в сильно выпуклом случае скорость сходимости методов условного градиента в лучшем случае зависит от размерности задачи $n$ как $\widetilde{\Omega}\left(\!\sqrt{n}\right)$. Таким образом, методы условного градиента могут оказаться неэффективными для решения сильно выпуклых оптимизационных задач больших размерностей.

Отдельно рассматривается приложение методов условного градиента к задачам минимизации квадратичной формы. Уже была доказана эффективность метода Франк – Вульфа для решения задачи квадратичной оптимизации в выпуклом случае на симплексе (PageRank). Данная работа показывает, что использование методов условного градиента для минимизации квадратичной формы в сильно выпуклом случае малоэффективно из-за наличия размерности в оценке скорости сходимости этих методов. Поэтому рассматривается метод рестартов условного градиента (Shrinking Conditional Gradient). Его отличие от методов условного градиента заключается в том, что в нем используется модифицированный линейный минимизационный оракул, который для заданного вектора $p \in \mathbb{R}^n$ вычисляет решение задачи $$ \text{Argmin}\{\langle p, \,x \rangle\colon x\in X, \;\|x-x_0^{}\| \leqslant R \}. $$ В оценку скорости сходимости такого алгоритма размерность уже не входит. С помощью рестартов метода условного градиента получена сложность (число арифметических операций) минимизации квадратичной формы на $\infty$-шаре. Полученная оценка работы метода сравнима со сложностью градиентного метода.

In this paper, we consider conditional gradient methods for optimizing strongly convex functions. These are methods that use a linear minimization oracle, which, for a given vector $p \in \mathbb{R}^n$, computes the solution of the subproblem

\[ \text{Argmin}_{x\in X}{\langle p,\,x \rangle}. \]There are a variety of conditional gradient methods that have a linear convergence rate in a strongly convex case. However, in all these methods, the dimension of the problem is included in the rate of convergence, which in modern applications can be very large. In this paper, we prove that in the strongly convex case, the convergence rate of the conditional gradient methods in the best case depends on the dimension of the problem $ n $ as $ \widetilde {\Omega} \left(\!\sqrt {n}\right) $. Thus, the conditional gradient methods may turn out to be ineffective for solving strongly convex optimization problems of large dimensions.

Also, the application of conditional gradient methods to minimization problems of a quadratic form is considered. The effectiveness of the Frank – Wolfe method for solving the quadratic optimization problem in the convex case on a simplex (PageRank) has already been proved. This work shows that the use of conditional gradient methods to solve the minimization problem of a quadratic form in a strongly convex case is ineffective due to the presence of dimension in the convergence rate of these methods. Therefore, the Shrinking Conditional Gradient method is considered. Its difference from the conditional gradient methods is that it uses a modified linear minimization oracle. It's an oracle, which, for a given vector $p \in \mathbb{R}^n$, computes the solution of the subproblem \[ \text{Argmin}\{\langle p, \,x \rangle\colon x\in X, \;\|x-x_0^{}\| \leqslant R \}. \] The convergence rate of such an algorithm does not depend on dimension. Using the Shrinking Conditional Gradient method the complexity (the total number of arithmetic operations) of solving the minimization problem of quadratic form on a $ \infty $-ball is obtained. The resulting evaluation of the method is comparable to the complexity of the gradient method.

Рассмотрены одномерная и двумерная гидродинамические модели турбулентного переноса внутри приземного слоя атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. Обе модели основаны на решении системы усредненных уравнений Навье – Стокса и неразрывности с использованием 1.5-го порядка замыкания, а также уравнений для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации. С помощью одномерной модели, применимой в случае однородной подстилающей поверхности, проведено исследование по оценке влияния граничных условий на верхней и нижней границах модельной области на результаты расчетов вертикальных профилей скорости ветра и параметров турбулентности. В предложенной модели граничные условия ставились таким образом, чтобы она была согласована с широко используемой классической одномерной моделью, основанной на логарифмическом распределении скорости ветра по высоте, линейной зависимости коэффициента турбулентного обмена от высоты и постоянстве турбулентной кинетической энергии в приземном слое атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. На основе классической модели можно получить ряд соотношений, связывающих градиент скорости ветра, турбулентную кинетическую энергию и скорость ее диссипации, каждое из которых может быть использовано в качестве граничного условия в гидродинамической модели. Из нескольких возможных вариантов постановки граничных условий для скорости ветра и скорости диссипации турбулентной кинетической энергии выбраны те, при которых достигается наименьшее отклонение смоделированных с помощью гидродинамической модели вертикальных профилей искомых величин от классических распределений. Соответствующие граничные условия на верхней и нижней границах использованы при постановке начально-краевой задачи в двумерной гидродинамической модели, позволяющей учитывать сложную структуру рельефа и горизонтальную неоднородность растительности. На основе предложенной двумерной модели с выбранными оптимальными граничными условиями исследована динамика установления турбулентного потока в зависимости от расстояния при обтекании воздушным потоком опушки леса. Для всех рассмотренных начально-краевых задач разработаны и реализованы безусловно устойчивые неявные разностные схемы их численного решения.

One- and two-dimensional hydrodynamic models of turbulent transfer within the atmospheric surface layer under neutral thermal stratification are considered. Both models are based on the solution of system of the timeaveraged equations of Navier – Stokes and continuity using a 1.5-order closure scheme as well as equations for turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. The influence of the upper and lower boundary conditions on vertical profiles of wind speed and turbulence parameters within the atmospheric surface layer was derived using an one-dimensional model usually applied in case of an uniform ground surface. The boundary conditions in the model were prescribed in such way that the vertical wind and turbulence patterns were well agreed with widely used logarithmic vertical profile of wind speed, linear dependence of turbulent exchange coefficient on height above ground surface level and constancy of turbulent kinetic energy within the atmospheric surface layer under neutral atmospheric conditions. On the basis of the classical one-dimensional model it is possible to obtain a number of relationships which link the vertical wind speed gradient, turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. Each of these relationships can be used as a boundary condition in our hydrodynamic model. The boundary conditions for the wind speed and the rate of dissipation of turbulent kinetic energy were selected as parameters to provide the smallest deviations of model calculations from classical distributions of wind and turbulence parameters. The corresponding upper and lower boundary conditions were used to define the initial and boundary value problem in the two-dimensional hydrodynamic model allowing to consider complex topography and horizontal vegetation heterogeneity. The two-dimensional model with selected optimal boundary conditions was used to describe the spatial pattern of turbulent air flow when it interacted with the forest edge. The dynamics of the air flow establishment depending on the distance from the forest edge was analyzed. For all considered initial and boundary value problems the unconditionally stable implicit finite-difference schemes of their numerical solution were developed and implemented.

The study completes a series of the author’s works devoted to the spread of particles population in supercritical catalytic branching random walk (CBRW) on a multidimensional lattice. The CBRW model describes the evolution of a system of particles combining their random movement with branching (reproduction and death) which only occurs at fixed points of the lattice. The set of such catalytic points is assumed to be finite and arbitrary. In the supercritical regime the size of population, initiated by a parent particle, increases exponentially with positive probability. The rate of the spread depends essentially on the distribution tails of the random walk jump. If the jump distribution has “light tails”, the “population front”, formed by the particles most distant from the origin, moves linearly in time and the limiting shape of the front is a convex surface. When the random walk jump has independent coordinates with a semiexponential distribution, the population spreads with a power rate in time and the limiting shape of the front is a star-shape nonconvex surface. So far, for regularly varying tails (“heavy” tails), we have considered the problem of scaled front propagation assuming independence of components of the random walk jump. Now, without this hypothesis, we examine an “isotropic” case, when the rate of decay of the jumps distribution in different directions is given by the same regularly varying function. We specify the probability that, for time going to infinity, the limiting random set formed by appropriately scaled positions of population particles belongs to a set $B$ containing the origin with its neighborhood, in $\mathbb{R}^d$. In contrast to the previous results, the random cloud of particles with normalized positions in the time limit will not concentrate on coordinate axes with probability one.

The study completes a series of the author’s works devoted to the spread of particles population in supercritical catalytic branching random walk (CBRW) on a multidimensional lattice. The CBRW model describes the evolution of a system of particles combining their random movement with branching (reproduction and death) which only occurs at fixed points of the lattice. The set of such catalytic points is assumed to be finite and arbitrary. In the supercritical regime the size of population, initiated by a parent particle, increases exponentially with positive probability. The rate of the spread depends essentially on the distribution tails of the random walk jump. If the jump distribution has “light tails”, the “population front”, formed by the particles most distant from the origin, moves linearly in time and the limiting shape of the front is a convex surface. When the random walk jump has independent coordinates with a semiexponential distribution, the population spreads with a power rate in time and the limiting shape of the front is a star-shape nonconvex surface. So far, for regularly varying tails (“heavy” tails), we have considered the problem of scaled front propagation assuming independence of components of the random walk jump. Now, without this hypothesis, we examine an “isotropic” case, when the rate of decay of the jumps distribution in different directions is given by the same regularly varying function. We specify the probability that, for time going to infinity, the limiting random set formed by appropriately scaled positions of population particles belongs to a set $B$ containing the origin with its neighborhood, in $\mathbb{R}^d$. In contrast to the previous results, the random cloud of particles with normalized positions in the time limit will not concentrate on coordinate axes with probability one.

Рассматривается конечномерная оптимизационная задача, постановка которой, помимо искомых переменных, содержит параметры. Ее решение есть зависимость оптимальных значений переменных от параметров. В общем случае такие зависимости не являются функциями, поскольку могут быть неоднозначными, а в функциональном случае — быть недифференцируемыми. Кроме того, область их существования может оказаться уже области определения функций в условии задачи. Эти свойства затрудняют решение как исходной задачи, так и задач, в постановку которых входят данные зависимости. Для преодоления этих затруднений обычно применяются методы типа недифференцируемой оптимизации.

В статье предлагается альтернативный подход, позволяющий получать решения параметрических задач в форме, лишенной указанных свойств. Показывается, что такие представления могут исследоваться стандартными алгоритмами, основанными на формуле Тейлора. Данная форма есть функция, гладко аппроксимирующая решение исходной задачи. При этом величина погрешности аппроксимации регулируется специальным параметром. Предлагаемые аппроксимации строятся с помощью специальных функций, устанавливающих обратные связи между переменными и множителями Лагранжа. Приводится краткое описание этого метода для линейных задач с последующим обобщением на нелинейный случай.

Построение аппроксимации сводится к отысканию седловой точки модифицированной функции Лагранжа исходной задачи. Показывается, что необходимые условия существования такой седловой точки подобны условиям теоремы Каруша – Куна – Таккера, но не содержат в явном виде ограничений типа неравенств и условий дополняющей нежесткости. Эти необходимые условия аппроксимацию определяют неявным образом. Поэтому для вычисления ее дифференциальных характеристик используется теорема о неявных функциях. Эта же теорема применяется для уменьшения погрешности аппроксимации.

Особенности практической реализации метода функций обратных связей, включая оценки скорости сходимости к точному решению, демонстрируются для нескольких конкретных классов параметрических оптимизационных задач. Конкретно: рассматриваются задачи поиска глобального экстремума функций многих переменных и задачи на кратный экстремум (максимин-минимакс). Также рассмотрены оптимизационные задачи, возникающие при использовании многокритериальных математических моделей. Для каждого из этих классов приводятся демонстрационные примеры.

We consider a finite-dimensional optimization problem, the formulation of which in addition to the required variables contains parameters. The solution to this problem is a dependence of optimal values of variables on parameters. In general, these dependencies are not functions because they can have ambiguous meanings and in the functional case be nondifferentiable. In addition, their domain of definition may be narrower than the domains of definition of functions in the condition of the original problem. All these properties make it difficult to solve both the original parametric problem and other tasks, the statement of which includes these dependencies. To overcome these difficulties, usually methods such as non-differentiable optimization are used.

This article proposes an alternative approach that makes it possible to obtain solutions to parametric problems in a form devoid of the specified properties. It is shown that such representations can be explored using standard algorithms, based on the Taylor formula. This form is a function smoothly approximating the solution of the original problem for any parameter values, specified in its statement. In this case, the value of the approximation error is controlled by a special parameter. Construction of proposed approximations is performed using special functions that establish feedback (within optimality conditions for the original problem) between variables and Lagrange multipliers. This method is described for linear problems with subsequent generalization to the nonlinear case.

From a computational point of view the construction of the approximation consists in finding the saddle point of the modified Lagrange function of the original problem. Moreover, this modification is performed in a special way using feedback functions. It is shown that the necessary conditions for the existence of such a saddle point are similar to the conditions of the Karush – Kuhn – Tucker theorem, but do not contain constraints such as inequalities and conditions of complementary slackness. Necessary conditions for the existence of a saddle point determine this approximation implicitly. Therefore, to calculate its differential characteristics, the implicit function theorem is used. The same theorem is used to reduce the approximation error to an acceptable level.

Features of the practical implementation feedback function method, including estimates of the rate of convergence to the exact solution are demonstrated for several specific classes of parametric optimization problems. Specifically, tasks searching for the global extremum of functions of many variables and the problem of multiple extremum (maximin-minimax) are considered. Optimization problems that arise when using multicriteria mathematical models are also considered. For each of these classes, there are demo examples.

Проведена верификация физико-статистического подхода теории надежности для простейших случаев, показавшая его правомочность. Представлено аналитическое решение одномерного основного уравнения физико-статистического подхода в предположении стационарной скорости деградации. С математической точки зрения это уравнение является известным уравнением непрерывности, где роль плотности вещества играет плотность функции распределения изделий в фазовом пространстве его характеристик, а роль скорости жидкости играет интенсивность (скорость) деградационных процессов. Последняя связывает общий формализм с конкретикой механизмов деградации. С помощью метода характеристик аналитически рассмотрены случаи постоянной по координате, линейной и квадратичной скоростей деградации. В первых двух случаях результаты соответствуют физической интуиции. При постоянной скорости деградации форма начального распределения сохраняется, а само оно равномерно сдвигается от центра. При линейной скорости деградации распределение либо сужается вплоть до узкого пика (в пределе сингулярного), либо расширяется, при этом максимум сдвигается на периферию с экспоненциально растущей скоростью. Форма распределения также сохраняется с точностью до параметров. Для начального нормального распределения аналитически получены координаты наибольшего значения максимума распределения при его возвратном движении.

В квадратичном случае формальное решение демонстрирует контринтуитивное поведение. Оно заключается в том, что решение однозначно определено лишь на части бесконечной полуплоскости, обращается в нуль вместе со всеми производными на границе и неоднозначно при переходе за границу. Если продолжить его на другую область в соответствии с аналитическим решением, то оно имеет двухгорбый вид, сохраняет количество вещества и, что лишено физического смысла, периодично во времени. Если продолжить его нулем, то нарушается свойство консервативности. Аномальности квадратичного случая дается объяснение, хотя и нестрогое, через аналогию движения материальной точки с ускорением, пропорциональным квадрату скорости. Здесь мы имеем дело с математическим курьезом. Для всех случаев приведены численные расчеты. Дополнительно рассчитываются энтропия вероятностного распределения и функция надежности, а также прослеживается их корреляционная связь.

Verification of the physical-statistical approach within reliability theory for the simplest cases was carried out, which showed its validity. An analytical solution of the one-dimensional basic equation of the physicalstatistical approach is presented under the assumption of a stationary degradation rate. From a mathematical point of view this equation is the well-known continuity equation, where the role of density is played by the density distribution function of goods in its characteristics phase space, and the role of fluid velocity is played by intensity (rate) degradation processes. The latter connects the general formalism with the specifics of degradation mechanisms. The cases of coordinate constant, linear and quadratic degradation rates are analyzed using the characteristics method. In the first two cases, the results correspond to physical intuition. At a constant rate of degradation, the shape of the initial distribution is preserved, and the distribution itself moves equably from the zero. At a linear rate of degradation, the distribution either narrows down to a narrow peak (in the singular limit), or expands, with the maximum shifting to the periphery at an exponentially increasing rate. The distribution form is also saved up to the parameters. For the initial normal distribution, the coordinates of the largest value of the distribution maximum for its return motion are obtained analytically.

In the quadratic case, the formal solution demonstrates counterintuitive behavior. It consists in the fact that the solution is uniquely defined only on a part of an infinite half-plane, vanishes along with all derivatives on the boundary, and is ambiguous when crossing the boundary. If you continue it to another area in accordance with the analytical solution, it has a two-humped appearance, retains the amount of substance and, which is devoid of physical meaning, periodically over time. If you continue it with zero, then the conservativeness property is violated. The anomaly of the quadratic case is explained, though not strictly, by the analogy of the motion of a material point with an acceleration proportional to the square of velocity. Here we are dealing with a mathematical curiosity. Numerical calculations are given for all cases. Additionally, the entropy of the probability distribution and the reliability function are calculated, and their correlation is traced.

Большой класс задач описывает физические процессы, протекающие в невыпуклых областях, содержащих угол больший 180 градусов на границе. Решение в окрестности такого угла сингулярно, а его отыскание, при использовании классических подходов, влечет за собой потерю точности. В представленной работе рассмотрены стационарные, линеаризованные с помощью итераций Пикара несжимаемые уравнения Навье – Стокса течения вязкой жидкости в конвективной форме в $L$-образной области. Определено $R_\nu$-обобщенное решение задачи в специальных множествах весовых пространств. Для нахождения приближенного $R_\nu$-обобщенного решения построен специальный метод конечных элементов. Во-первых, пространства конечно-элементных функций удовлетворяют закону сохранения массы в сильном смысле, то есть в узлах сетки. Для этой цели используется Скотт – Вогелиус конечно-элементная пара. Выполнение закона сохранения массы ведет к отысканию более точного с физической точки зрения решения. Во-вторых, базисные функции конечномерных пространств дополнены весовыми функциями как множителями, которые совпадают с расстоянием от точки до вершины тупого угла в $\delta$-окрестности точки сингулярности и радиусом $\delta$ вне ее. Степень весовой функции, как и параметр $\nu$ в определении $R_\nu$-обобщенного решения, так и радиус $\delta$-окрестности точки сингулярности являются свободными параметрами метода. Специально подобранная их комбинация приводит к увеличению порядка сходимости приближенного решения к точному решению задачи почти в два раза по сравнению с классическими подходами и достигает единицы по шагу сетки в нормах весовых пространств Соболева. Таким образом, установлено, что скорость сходимости не зависит от величины угла.

An essential class of problems describes physical processes occurring in non-convex domains containing a corner greater than 180 degrees on the boundary. The solution in a neighborhood of a corner is singular and its finding using classical approaches entails a loss of accuracy. In the paper, we consider stationary, linearized by Picard’s iterations, Navier – Stokes equations governing the flow of a incompressible viscous fluid in the convection form in $L$-shaped domain. An $R_\nu$-generalized solution of the problem in special sets of weighted spaces is defined. A special finite element method to find an approximate $R_\nu$-generalized solution is constructed. Firstly, functions of the finite element spaces satisfy the law of conservation of mass in the strong sense, i.e. at the grid nodes. For this purpose, Scott – Vogelius element pair is used. The fulfillment of the condition of mass conservation leads to the finding more accurate, from a physical point of view, solution. Secondly, basis functions of the finite element spaces are supplemented by weight functions. The degree of the weight function, as well as the parameter $\nu$ in the definition of an $R_\nu$-generalized solution, and a radius of a neighborhood of the singularity point are free parameters of the method. A specially selected combination of them leads to an increase almost twice in the order of convergence rate of an approximate solution to the exact one in relation to the classical approaches. The convergence rate reaches the first order by the grid step in the norms of Sobolev weight spaces. Thus, numerically shown that the convergence rate does not depend on the corner value.

Нахождение глобального минимума невыпуклых функций — одна из ключевых и самых сложных проблем современной оптимизации. В этой работе мы рассматриваем отдельные классы невыпуклых задач, которые имеют четкий и выраженный глобальный минимум.

В первой части статьи мы рассматриваем два класса «хороших» невыпуклых функций, которые могут быть ограничены снизу и сверху параболической функцией. Такой класс задач не исследован широко в литературе, хотя является довольно интересным с прикладной точки зрения. Более того, для таких задач методы первого и более высоких порядков могут быть абсолютно неэффективны при поиске глобального минимума. Это связано с тем, что функция может сильно осциллировать или может быть сильно зашумлена. Поэтому наши новые методы используют информацию только нулевого порядка и основаны на поиске по сетке. Размер и мелкость этой сетки, а значит, и гарантии скорости сходимости и оракульной сложности зависят от «хорошести» задачи. В частности, мы показываем, если функция зажата довольно близкими параболическими функциями, то сложность не зависит от размерности задачи. Мы показываем, что наши новые методы сходятся с линейной скоростью сходимости $\log(1/\varepsilon)$ к глобальному минимуму на кубе.

Во второй части статьи мы рассматриваем задачу невыпуклой оптимизации с другого ракурса. Мы предполагаем, что целевая минимизируемая функция есть сумма выпуклой квадратичной задачи и невыпуклой «шумовой» функции, пропорциональной по модулю расстоянию до глобального решения. Рассмотрение функций с такими предположениями о шуме для методов нулевого порядка является новым в литературе. Для такой задачи мы используем классический безградиентный подход с аппроксимацией градиента через конечную разность. Мы показываем, как можно свести анализ сходимости для нашей задачи к стандартному анализу для задач выпуклой оптимизации. В частности, и для таких задач мы добиваемся линейной скорости сходимости.

Экспериментальные результаты подтверждают работоспособность и практическую применимость всех полученных методов.

Finding the global minimum of a nonconvex function is one of the key and most difficult problems of the modern optimization. In this paper we consider special classes of nonconvex problems which have a clear and distinct global minimum.

In the first part of the paper we consider two classes of «good» nonconvex functions, which can be bounded below and above by a parabolic function. This class of problems has not been widely studied in the literature, although it is rather interesting from an applied point of view. Moreover, for such problems first-order and higher-order methods may be completely ineffective in finding a global minimum. This is due to the fact that the function may oscillate heavily or may be very noisy. Therefore, our new methods use only zero-order information and are based on grid search. The size and fineness of this grid, and hence the guarantee of convergence speed and oracle complexity, depend on the «goodness» of the problem. In particular, we show that if the function is bounded by fairly close parabolic functions, then the complexity is independent of the dimension of the problem. We show that our new methods converge with a linear convergence rate $\log(1/\varepsilon)$ to a global minimum on the cube.

In the second part of the paper, we consider the nonconvex optimization problem from a different angle. We assume that the target minimizing function is the sum of the convex quadratic problem and a nonconvex «noise» function proportional to the distance to the global solution. Considering functions with such noise assumptions for zero-order methods is new in the literature. For such a problem, we use the classical gradient-free approach with gradient approximation through finite differences. We show how the convergence analysis for our problems can be reduced to the standard analysis for convex optimization problems. In particular, we achieve a linear convergence rate for such problems as well.

Experimental results confirm the efficiency and practical applicability of all the obtained methods.

В статье представлены математические и численные модели взаимосвязанных термо- и гидродинамических процессов эксплуатационного режима разработки единого нефтедобывающего комплекса при гидрогелевом заводнении неоднородного нефтяного пласта, вскрытого системой произвольно расположенных нагнетательных скважин и добывающих скважин, оснащенных погружными многоступенчатыми электроцентробежными насосами. Особенностью нашего подхода является моделирование работы специального наземного оборудования (станции управления погружными насосами и штуцерной камеры на устье добывающих скважин), предназначенного для регулирования режимов работы как всего комплекса в целом, так и его отдельных элементов.

Полная дифференциальная модель включает в себя уравнения, описывающие нестационарную двухфазную пятикомпонентную фильтрацию в пласте, квазистационарные процессы тепло- и массопереноса в трубах скважин и рабочих каналах погружных насосов. Специальные нелинейные граничные условия моделируют, соответственно, влияние диаметра дросселя на расход и давление на устье каждой добывающей скважины, а также частоты электрического тока на эксплуатационные характеристики погружного насосного узла. Разработка нефтяных месторождений также регулируется посредством изменения забойного давления каждой нагнетательной скважины, концентраций закачиваемых в нее гелеобразующих компонентов, их общих объемов и продолжительности закачки. Задача решается численно с использованием консервативных разностных схем, построенных на основе метода конечных разностей. Разработанные итерационные алгоритмы ориентированы на использование современных параллельных вычислительных технологий. Численная модель реализована в программном комплексе, который можно рассматривать как «интеллектуальную систему скважин» для виртуального управления разработкой нефтяных месторождений.

The paper provides the mathematical and numerical models of the interrelated thermo- and hydrodynamic processes in the operational mode of development the unified oil-producing complex during the hydrogel flooding of the non-uniform oil reservoir exploited with a system of arbitrarily located injecting wells and producing wells equipped with submersible multistage electrical centrifugal pumps. A special feature of our approach is the modeling of the special ground-based equipment operation (control stations of submersible pumps, drossel devices on the head of producing wells), designed to regulate the operation modes of both the whole complex and its individual elements.

The complete differential model includes equations governing non-stationary two-phase five-component filtration in the reservoir, quasi-stationary heat and mass transfer in the wells and working channels of pumps. Special non-linear boundary conditions and dependencies simulate, respectively, the influence of the drossel diameter on the flow rate and pressure at the wellhead of each producing well and the frequency electric current on the performance characteristics of the submersible pump unit. Oil field development is also regulated by the change in bottom-hole pressure of each injection well, concentration of the gel-forming components pumping into the reservoir, their total volume and duration of injection. The problem is solved numerically using conservative difference schemes constructed on the base of the finite difference method, and developed iterative algorithms oriented on the parallel computing technologies. Numerical model is implemented in a software package which can be considered as the «Intellectual System of Wells» for the virtual control the oil field development.