Все выпуски

Изучаются трансформирующиеся системы, собранные из трапециевидных пластин. При развертывании пакета пластинок образуется сетчатая оболочка с шестигранными ячейками. Доказывается, что при определенных соотношениях размеров граней в шестизвенниках появляются дополнительные внутренние степени свободы. Если же используются тонкие пластинки, то континуальная аппроксимация развернутой сети может интерпретироваться как оболочка с широким набором локальных кривизн. Строится кинематика континуальной модели методом подвижного репера Картана. Изучается механическое поведение континуальных сетей, если цилиндрические шарниры между пластинами выполнены из пластических материалов, обладающих памятью формы. Исследуются переходы оболочек из одной равновесной формы в другую. Показаны возможные практические применения континуальных сетей.

This paper covers deployable systems assembled from trapezium plates. When the plate package is unwrapped, a net shell with six loop cells is formed. It is proved that additional degrees of freedom appear in case of certain correlation between the sizes of the six loop faces. When thin plates were used, the continuum approximation of the deployed net could be interpreted as a shell with a wide variety of local curvatures. Kinematics of the continuum model is analyzed by the method of Cartan moving hedron. Mechanical behavior of continuum nets is studied when cylindrical hinges between the plates are completed of shape memory plastic materials. The paper researches into shell transformations from one stable form to the other. Various practical applications of the continuum nets are demonstrated.

Рассматривается задача определения ситуации равновесия по Нэшу в биматричной игре. Поиск решения связывается с задачей нелинейного программирования. Исследуются применение метода возможных направлений для решения такой задачи.

The problem of the Nash equilibrium in bimatrix game is considered. The search for a solution is associated with a problem of nonlinear programming. Application of the method of feasible directions for the solution of such a problem is investigated.

Данная работа посвящена разработке алгоритма численного интегрирования системы дифференциальных уравнений потенциально-потокового метода моделирования неравновесных процессов. Этот метод был разработан автором в опубликованных им ранее работах. В настоящей работе рассмотрение ограничивается системами с сосредоточенными параметрами. Также ранее была разработана автором методика анализа корректности приближенного решения системы потенциально-потоковых уравнений для систем в сосредоточенных параметрах. Целью настоящей статьи является объединение этой методики с современными численными методами интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений и разработка методики численного интегрирования систем уравнений потенциально-потокового метода, позволяющей гарантировать корректность приближенного решения.

This work is devoted to development of an algorithm for numerical integration of differential equations potentially-streaming method simulation of non-equilibrium processes. This method was developed by the author in his earlier published works. In this paper, consideration is limited to systems with lumped parameters. Also previously developed method for analyzing the correctness of the author of the approximate solution of the system potentially-streaming equations for systems in lumped parameters. The purpose of this article is to combine this technique with modern numerical methods for integrating systems of ordinary differential equations and the development of methods of numerical integration of systems of equations potentially-streaming method that allows to guarantee the correctness of the approximate solution.

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной в плоскости запоминающего ферромагнитного слоя ячейки и ориентированной параллельно ее краю (продольная анизотропия). Модель базируется на уравнении Ландау–Лифшица–Гильберта с токовым членом в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений в нормальном виде, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Проведен анализ устойчивости этих состояний равновесия. Выписаны уравнения для определения дополнительных состояний равновесия. Показано, что в зависимости от величины внешнего магнитного поля и тока инжекции система может иметь всего два, четыре и шесть симметричных относительно оси анизотропии положений равновесия. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие основные типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно построены траектории переключения. Для построения траекторий использовался метод Рунге–Кутты. Найдены параметры, при которых существуют неустойчивые и устойчивые предельные циклы. Установлено, что неустойчивые предельные циклы существуют вокруг основного устойчивого равновесия на оси, совпадающей с осью анизотропии, а устойчивые циклы — вокруг неустойчивых дополнительных равновесий. Граница области существования устойчивых предельных циклов рассчитана численно. Обнаружены новые типы динамики под влиянием внешнего магнитного поля и спин-поляризованного тока инжекции: случайное и неполное переключение намагниченности. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Численно выполнены оценки времени переключения в зависимости от величин управляющих параметров.

The mathematical model of the magnetic memory cell MRAM with the in-plane anisotropy axis parallel to the edge of a free ferromagnetic layer (longitudinal anisotropy) has been constructed using approximation of uniform magnetization. The model is based on the Landau–Lifshits–Gilbert equation with the injection-current term in the Sloncžewski–Berger form. The set of ordinary differential equations for magnetization dynamics in a three-layered Co/Cu/Cu valve under the control of external magnetic field and spin-polarized current has been derived in the normal coordinate form. It was shown that the set of equations has two main stationary points on the anisotropy axis at any values of field and current. The stationary analysis of them has been performed. The algebraic equations for determination of additional stationary points have been derived. It has been shown that, depending on the field and current magnitude, the set of equations can have altogether two, four, or six stationary points symmetric in pairs relatively the anisotropy axis. The bifurcation diagrams for all the points have been constructed. The classification of the corresponding phase portraits has been performed. The typical trajectories were calculated numerically using Runge–Kutta method. The regions, where stable and unstable limit cycles exist, have been determined. It was found that the unstable limit cycles exist around the main stable equilibrium point on the axis that coincides with the anisotropy one, whereas the stable cycles surround the unstable additional points of equilibrium. The area of their existence was determined numerically. The new types of dynamics, such as accidental switching and non-complete switching, have been found. The threshold values of switching current and field have been obtained analytically. The estimations of switching times have been performed numerically.

Работа принадлежит направлению экспериментальной математики, исследующей свойства математических объектов вычислительными средствами компьютера. Базовым отображением служит экспоненциальное, топологические свойства (букеты Кантора) которого отличаются от свойств полиномиальных и рациональных функций на комплексной плоскости. Предметом исследования являются характер и особенности множеств Фату и Жюлиа, а также точек равновесия и орбит нуля трех итерированных комплекснозначных отображений: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, где $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. Для квазилинейного отображения g, не обладающего свойством аналитичности, было обнаружено два бифуркационных перехода: рождение новой точки равновесия (для него было найдено критическое значение параметра, а сама бифуркация представляет собой смешанный случай «вилки» и седлоузельного перехода) и переход к радикальной трансформации множества Фату. Выявлен нетривиальный характер сходимости к фиксированной точке, связанный с появлением «долин» на графике скоростей сходимости. Для двух других отображений существенна монопериодичность режимов, отмечен феномен «удвоения периода» (в одном случае по пути $39\to 3$, в другом — по пути $17\to 2$), причем обнаружено совпадение кратности периода и числа рукавов спирали множества Жюлиа в окрестности фиксированной точки. Приведен богатый иллюстративный материал, численные результаты экспериментов и сводные таблицы, отражающие параметрическую зависимость отображений. Сформулированы вопросы для дальнейшего исследования средствами традиционной математики.

The work belongs to the direction of experimental mathematics, which investigates the properties of mathematical objects by the computing facilities of a computer. The base is an exponential map, its topological properties (Cantor's bouquets) differ from properties of polynomial and rational complex-valued functions. The subject of the study are the character and features of the Fatou and Julia sets, as well as the equilibrium points and orbits of the zero of three iterated complex-valued mappings: $f:z \to (1+ \mu) \exp (iz)$, $g : z \to \big(1+ \mu |z - z^*|\big) \exp (iz)$, $h : z \to \big(1+ \mu (z - z^* )\big) \exp (iz)$, with $z,\mu \in \mathbb{C}$, $z^* : \exp (iz^*) = z^*$. For a quasilinear map g having no analyticity characteristic, two bifurcation transitions were discovered: the creation of a new equilibrium point (for which the critical value of the linear parameter was found and the bifurcation consists of “fork” type and “saddle”-node transition) and the transition to the radical transformation of the Fatou set. A nontrivial character of convergence to a fixed point is revealed, which is associated with the appearance of “valleys” on the graph of convergence rates. For two other maps, the monoperiodicity of regimes is significant, the phenomenon of “period doubling” is noted (in one case along the path $39\to 3$, in the other along the path $17\to 2$), and the coincidence of the period multiplicity and the number of sleeves of the Julia spiral in a neighborhood of a fixed point is found. A rich illustrative material, numerical results of experiments and summary tables reflecting the parametric dependence of maps are given. Some questions are formulated in the paper for further research using traditional mathematics methods.

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

In this paper, using our bifurcation-geometric approach, we study global dynamics and solve the problem of the maximum number and distribution of limit cycles (self-oscillating regimes corresponding to states of dynamical equilibrium) in a planar polynomial mechanical system of the Euler–Lagrange–Liйnard type. Such systems are also used to model electrical, ecological, biomedical and other systems, which greatly facilitates the study of the corresponding real processes and systems with complex internal dynamics. They are used, in particular, in mechanical systems with damping and stiffness. There are a number of examples of technical systems that are described using quadratic damping in second-order dynamical models. In robotics, for example, quadratic damping appears in direct-coupled control and in nonlinear devices, such as variable impedance (resistance) actuators. Variable impedance actuators are of particular interest to collaborative robotics. To study the character and location of singular points in the phase plane of the Euler–Lagrange–Liйnard polynomial system, we use our method the meaning of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually, field rotation parameters) of the original system and then to enter sequentially these parameters studying the dynamics of singular points in the phase plane. To study the singular points of the system, we use the classical Poincarй index theorems, as well as our original geometric approach based on the application of the Erugin twoisocline method which is especially effective in the study of infinite singularities. Using the obtained information on the singular points and applying canonical systems with field rotation parameters, as well as using the geometric properties of the spirals filling the internal and external regions of the limit cycles and applying our geometric approach to qualitative analysis, we study limit cycle bifurcations of the system under consideration.

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель трехслойной ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной перпендикулярно запоминающему ферромагнитному слою ячейки (перпендикулярная анизотропия). Предполагается, что первоначально намагниченность свободного слоя ячейки ориентирована вдоль оси анизотропии и соответствует состоянию «нуль». Одновременное мгновенное включение спин-поляризованного тока и магнитного поля воздействует на намагниченность свободного слоя и может перевести ее в противоположное положение, соответствующее состоянию «единица». Математическое описание эффекта основано на классическом векторном уравнении Ландау–Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта. В нашей модели учтены взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и эффективными полями анизотропии и размагничивания, а также с током инжекции в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от управляющих параметров: величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Установлено, что в данной системе, в отличие от системы с продольной анизотропией, дополнительные состояния равновесия отсутствуют. Проведен анализ устойчивости основных состояний равновесия по первому приближению. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно, методом Рунге–Кутты, построены траектории переключения. Найдены комбинации управляющих параметров, при которых переключение невозможно. Найдены области существования устойчивых и неустойчивых предельных циклов системы. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Проведено сравнение значений порогового тока в моделях с продольной и перпендикулярной анизотропией при нулевом магнитном поле и показано, что в модели с перпендикулярной анизотропией ток переключения почти на порядок ниже, чем в модели с продольной анизотропией.

The mathematical model of a three-layered Co/Cu/Co nanopillar for MRAM cell with one fixed and one free layer was investigated in the approximation of uniformly distributed magnetization. The anisotropy axis is perpendicular to the layers (so-called perpendicular anisotropy). Initially the magnetization of the free layer is oriented along the anisotropy axis in the position accepted to be “zero”. Simultaneous magnetic field and spinpolarized current engaging can reorient the magnetization to another position which in this context can be accepted as “one”. The mathematical description of the effect is based on the classical vector Landau–Lifshits equation with the dissipative term in the Gilbert form. In our model we took into account the interactions of the magnetization with an external magnetic field and such effective magnetic fields as an anisotropy and demagnetization ones. The influence of the spin-polarized injection current is taken into account in the form of Sloczewski–Berger term. The model was reduced to the set of three ordinary differential equations with the first integral. It was shown that at any current and field the dynamical system has two main equilibrium states on the axis coincident with anisotropy axis. It was ascertained that in contrast with the longitudinal-anisotropy model, in the model with perpendicular anisotropy there are no other equilibrium states. The stability analysis of the main equilibrium states was performed. The bifurcation diagrams characterizing the magnetization dynamics at different values of the control parameters were built. The classification of the phase portraits on the unit sphere was performed. The features of the dynamics at different values of the parameters were studied and the conditions of the magnetization reorientation were determined. The trajectories of magnetization switching were calculated numerically using the Runge–Kutta method. The parameter values at which limit cycles exist were determined. The threshold values for the switching current were found analytically. The threshold values for the structures with longitudinal and perpendicular anisotropy were compared. It was established that in the structure with the perpendicular anisotropy at zero field the switching current is an order lower than in the structure with the longitudinal one.

Рассматривается известное эволюционное уравнение математической физики, которое в современной математической литературе принято называть уравнением Курамото–Сивашинского. В данной работе это уравнение изучается в первоначальной редакции авторов работ, где оно было предложено, вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Изучен вопрос о существовании и устойчивости локальных аттракторов, сформированных пространственно-неоднородными решениями изучаемой краевой задачи. Данный вопрос стал особенно актуален в последнее время в связи с моделированием процесса формирования наноструктур на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов или лазерного излучения.

Изучен вопрос о существовании и устойчивости состояний равновесия второго рода двумя различными способами. В первом из них использован метод Галёркина. Второй подход основан на использовании строго обоснованных методов теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: метод интегральных многообразий, теория нормальных форм, асимптотические методы.

В работе в целом повторен подход из известной работы Д. Армбрустера, Д. Гукенхеймера, Ф.Холмса, где использован подход, основанный на применении метода Галёркина. Результаты такого анализа расширены и развиты. Использование возможностей современных компьютеров помогло существенно дополнить анализ этой задачи. В частности, найти все решения в четырех- и пятичленных аппроксимациях Галёркина, которые для изучаемой краевой задачи следует интерпретировать как состояния равновесия второго рода. Также дан анализ их устойчивости в смысле определения А. М. Ляпунова.

В данной работе проведено сравнение результатов, полученных с использованием метода Галёркина с результатами бифуркационного анализа краевой задачи на базе применения методов качественного анализа бесконечномерных динамических систем. Сравнение двух вариантов результатов показало некоторую ограниченность возможностей использования метода Галёркина.

The well-known evolutionary equation of mathematical physics, which in modern mathematical literature is called the Kuramoto – Sivashinsky equation, is considered. In this paper, this equation is studied in the original edition of the authors, where it was proposed, together with the homogeneous Neumann boundary conditions.

The question of the existence and stability of local attractors formed by spatially inhomogeneous solutions of the boundary value problem under study has been studied. This issue has become particularly relevant recently in connection with the simulation of the formation of nanostructures on the surface of semiconductors under the influence of an ion flux or laser radiation. The question of the existence and stability of second-order equilibrium states has been studied in two different ways. In the first of these, the Galerkin method was used. The second approach is based on using strictly grounded methods of the theory of dynamic systems with infinite-dimensional phase space: the method of integral manifolds, the theory of normal forms, asymptotic methods.

In the work, in general, the approach from the well-known work of D.Armbruster, D.Guckenheimer, F.Holmes is repeated, where the approach based on the application of the Galerkin method is used. The results of this analysis are substantially supplemented and developed. Using the capabilities of modern computers has helped significantly complement the analysis of this task. In particular, to find all the solutions in the fourand five-term Galerkin approximations, which for the studied boundary-value problem should be interpreted as equilibrium states of the second kind. An analysis of their stability in the sense of A. M. Lyapunov’s definition is also given.

In this paper, we compare the results obtained using the Galerkin method with the results of a bifurcation analysis of a boundary value problem based on the use of qualitative analysis methods for infinite-dimensional dynamic systems. Comparison of two variants of results showed some limited possibilities of using the Galerkin method.

В статье предлагается метод исследования задач оптимального управления с использованием нейронных сетей. Рассмотрение проводится на примере задачи контроля качества поверхностных вод. При моделировании системы контроля качества поверхностных вод используются теоретико-игровой и иерархический подходы. Исследуется случай динамической двухуровневой системы управления качеством поверхностных вод, включающий ведущего и нескольких ведомых. Рассмотрение ведется с точки зрения ведомых. В этом случае между ними возникает неантагонистическая игра, в которой строится равновесие Нэша. С математической точки зрения при этом решается задача оптимального управления при наличии фазовых ограничений. Для ее аналитического исследования в работе используется принцип максимума Понтрягина, на основе которого формулируются условия оптимальности. Для решения возникающих при этом систем дифференциальных уравнений используется обучаемая нейронная сеть прямого распространения (feedforward). Приводится обзор существующих методов решения подобных задач с помощью нейронных сетей и методов обучения нейронных сетей. Для оценки ошибки решения, получаемого с помощью нейронной сети, предлагается использовать метод анализа дефекта решения, адаптированный для нейронных сетей. Это позволяет получить количественную оценку ошибки численного решения. Приведены примеры использования нейросетевого подхода для решения модельной задачи оптимального управления и задачи контроля качества поверхностных вод. Полученные в этих примерах результаты сравниваются с точным решением и с результатами, полученными методом стрельбы. Во всех случаях величина ошибки оценивается методом анализа дефекта решения. Нейросетевым методом проводится также исследование системы контроля качества поверхностных вод для случаев, когда решение задачи другими методами получить не удалось (большой временной промежуток моделирования и случай нескольких агентов). В статье иллюстрируются возможность использования нейросетевого подхода для решения различных задач оптимального управления и дифференциальных игр, а также возможность количественной оценки точности решения. Полученные результаты численных экспериментов позволяют говорить о необходимости введения регулирующего органа для достижения устойчивого развития системы.

In this study we discuss methods to solve optimal control problems based on neural network techniques. We study hierarchical dynamical two-level system for surface water quality control. The system consists of a supervisor (government) and a few agents (enterprises). We consider this problem from the point of agents. In this case we solve optimal control problem with constraints. To solve this problem, we use Pontryagin’s maximum principle, with which we obtain optimality conditions. To solve emerging ODEs, we use feedforward neural network. We provide a review of existing techniques to study such problems and a review of neural network’s training methods. To estimate the error of numerical solution, we propose to use defect analysis method, adapted for neural networks. This allows one to get quantitative error estimations of numerical solution. We provide examples of our method’s usage for solving synthetic problem and a surface water quality control model. We compare the results of this examples with known solution (when provided) and the results of shooting method. In all cases the errors, estimated by our method are of the same order as the errors compared with known solution. Moreover, we study surface water quality control problem when no solutions is provided by other methods. This happens because of relatively large time interval and/or the case of several agents. In the latter case we seek Nash equilibrium between agents. Thus, in this study we show the ability of neural networks to solve various problems including optimal control problems and differential games and we show the ability of quantitative estimation of an error. From the numerical results we conclude that the presence of the supervisor is necessary for achieving the sustainable development.

В статье представлены результаты численного моделирования вихревого пространственного нестационарного движения среды, возникающего около боковой и донной поверхностей десантного модуля при его спуске в атмосфере Марса. Численное исследование проведено для высокоскоростного режима обтекания при различных углах атаки. Математическое моделирование осуществлено на основе модели Навье – Стокса и модели равновесных химических реакций для газового состава марсианской атмосферы. Результаты моделирования показали, что при рассматриваемых условиях движения спускаемого аппарата около его боковой и донной поверхностей реализуется нестационарное течение, имеющее ярко выраженный вихревой характер. Численные расчеты указывают на то, что в зависимости от угла атаки нестационарность и вихревой характер потока могут проявляться как на всей боковой и донной поверхностях аппарата, так и, частично, на их подветренной стороне. Для различных углов атаки приводятся картины вихревой структуры потока около поверхности спускаемого аппарата и в его ближнем следе, а также картины полей температуры и показателя адиабаты. Нестационарный характер обтекания подтверждается представленными временными зависимостями газодинамических параметров потока в различных точках поверхности аппарата. Проведенные параметрические расчеты позволили построить зависимости аэродинамических характеристик спускаемого аппарата от угла атаки. Математическое моделирование осуществляется на основе являющегося методом конечных объемов консервативного численного метода потоков, основанного на конечно-разностной записи законов сохранения аддитивных характеристик среды с использованием upwind-аппроксимаций потоковых переменных. Для моделирования возникающей при обтекании сложной вихревой структуры потока около спускаемого аппарата используются неравномерные вычислительные сетки, включающие до 30 миллионов конечных объемов с экспоненциальным сгущением к поверхности, что позволило выявить мелкомасштабные вихревые образования. Численные исследования проведены на базе разработанного комплекса программ, основанного на параллельных алгоритмах используемого численного метода и реализованного на современных многопроцессорных вычислительных системах. Приведенные в статье результаты численного моделирования получены при использовании до двух тысяч вычислительных ядер многопроцессорного комплекса.

The article presents the results of numerical modeling of the vortex spatial non-stationary motion of the medium arising near the lateral and bottom surfaces of the descent module during its movement in the atmosphere of Mars. The numerical study was performed for the high-speed streamline regime at various angles of attack. Mathematical modeling was carried out on the basis of the Navier – Stokes model and the model of equilibrium chemical reactions for the Martian atmosphere gas. The simulation results showed that under the considered conditions of the descent module motion, a non-stationary flow with a pronounced vortex character is realized near its lateral and bottom surfaces. Numerical calculations indicate that, depending on the angle of attack, the nonstationarity and vortex nature of the flow can manifest itself both on the entire lateral and bottom surfaces of the module, and, partially, on their leeward side. For various angles of attack, pictures of the vortex structure of the flow near the surface of the descent vehicle and in its near wake are presented, as well as pictures of the gas-dynamic parameters fields. The non-stationary nature of the flow is confirmed by the presented time dependences of the gas-dynamic parameters of the flow at various points on the module surface. The carried out parametric calculations made it possible to determine the dependence of the aerodynamic characteristics of the descent module on the angle of attack. Mathematical modeling is carried out on the basis of the conservative numerical method of fluxes, which is a finitevolume method based on a finite-difference writing of the conservation laws of additive characteristics of the medium using «upwind» approximations of stream variables. To simulate the complex vortex structure of the flow over descent module, the nonuniform computational grids are used, including up to 30 million finite volumes with exponential thickening to the surface, which made it possible to reveal small-scale vortex formations. Numerical investigations were carried out on the basis of the developed software package based on parallel algorithms of the used numerical method and implemented on modern multiprocessor computer systems. The results of numerical simulation presented in the article were obtained using up to two thousand computing cores of a multiprocessor complex.