Все выпуски

Рассмотрены одномерная и двумерная гидродинамические модели турбулентного переноса внутри приземного слоя атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. Обе модели основаны на решении системы усредненных уравнений Навье – Стокса и неразрывности с использованием 1.5-го порядка замыкания, а также уравнений для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации. С помощью одномерной модели, применимой в случае однородной подстилающей поверхности, проведено исследование по оценке влияния граничных условий на верхней и нижней границах модельной области на результаты расчетов вертикальных профилей скорости ветра и параметров турбулентности. В предложенной модели граничные условия ставились таким образом, чтобы она была согласована с широко используемой классической одномерной моделью, основанной на логарифмическом распределении скорости ветра по высоте, линейной зависимости коэффициента турбулентного обмена от высоты и постоянстве турбулентной кинетической энергии в приземном слое атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. На основе классической модели можно получить ряд соотношений, связывающих градиент скорости ветра, турбулентную кинетическую энергию и скорость ее диссипации, каждое из которых может быть использовано в качестве граничного условия в гидродинамической модели. Из нескольких возможных вариантов постановки граничных условий для скорости ветра и скорости диссипации турбулентной кинетической энергии выбраны те, при которых достигается наименьшее отклонение смоделированных с помощью гидродинамической модели вертикальных профилей искомых величин от классических распределений. Соответствующие граничные условия на верхней и нижней границах использованы при постановке начально-краевой задачи в двумерной гидродинамической модели, позволяющей учитывать сложную структуру рельефа и горизонтальную неоднородность растительности. На основе предложенной двумерной модели с выбранными оптимальными граничными условиями исследована динамика установления турбулентного потока в зависимости от расстояния при обтекании воздушным потоком опушки леса. Для всех рассмотренных начально-краевых задач разработаны и реализованы безусловно устойчивые неявные разностные схемы их численного решения.

One- and two-dimensional hydrodynamic models of turbulent transfer within the atmospheric surface layer under neutral thermal stratification are considered. Both models are based on the solution of system of the timeaveraged equations of Navier – Stokes and continuity using a 1.5-order closure scheme as well as equations for turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. The influence of the upper and lower boundary conditions on vertical profiles of wind speed and turbulence parameters within the atmospheric surface layer was derived using an one-dimensional model usually applied in case of an uniform ground surface. The boundary conditions in the model were prescribed in such way that the vertical wind and turbulence patterns were well agreed with widely used logarithmic vertical profile of wind speed, linear dependence of turbulent exchange coefficient on height above ground surface level and constancy of turbulent kinetic energy within the atmospheric surface layer under neutral atmospheric conditions. On the basis of the classical one-dimensional model it is possible to obtain a number of relationships which link the vertical wind speed gradient, turbulent kinetic energy and the rate of its dissipation. Each of these relationships can be used as a boundary condition in our hydrodynamic model. The boundary conditions for the wind speed and the rate of dissipation of turbulent kinetic energy were selected as parameters to provide the smallest deviations of model calculations from classical distributions of wind and turbulence parameters. The corresponding upper and lower boundary conditions were used to define the initial and boundary value problem in the two-dimensional hydrodynamic model allowing to consider complex topography and horizontal vegetation heterogeneity. The two-dimensional model with selected optimal boundary conditions was used to describe the spatial pattern of turbulent air flow when it interacted with the forest edge. The dynamics of the air flow establishment depending on the distance from the forest edge was analyzed. For all considered initial and boundary value problems the unconditionally stable implicit finite-difference schemes of their numerical solution were developed and implemented.

Cтроится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.

В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.

Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.

Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.

A set of implicit difference schemes on the five-pointwise stensil is under construction. The analysis of properties of difference schemes is carried out in a space of undetermined coefficients. The spaces were introduced for the first time by A. S. Kholodov. Usually for properties of difference schemes investigation the problem of the linear programming was constructed. The coefficient at the main term of a discrepancy was considered as the target function. The optimization task with inequalities type restrictions was considered for construction of the monotonic difference schemes. The limitation of such an approach becomes clear taking into account that approximation of the difference scheme is defined only on the classical (smooth) solutions of partial differential equations.

The functional which minimum will be found put in compliance to the difference scheme. The functional must be the linear on the difference schemes coefficients. It is possible that the functional depends on net function – the solution of a difference task or a grid projection of the differential problem solution. If the initial terms of the functional expansion in a Taylor series on grid parameters are equal to conditions of classical approximation, we will call that the functional will be the generalized condition of approximation. It is shown that such functionals exist. For the simple linear partial differential equation with constant coefficients construction of the functional is possible also for the generalized (non-smooth) solution of a differential problem.

Families of functionals both for smooth solutions of an initial differential problem and for the generalized solution are constructed. The new difference schemes based on the analysis of the functionals by linear programming methods are constructed. At the same time the research of couple of self-dual problems of the linear programming is used. The optimum monotonic difference scheme possessing the first order of approximation on the smooth solution of differential problem is found. The possibility of application of the new schemes for creation of hybrid difference methods of the raised approximation order on smooth solutions is discussed.

The example of numerical implementation of the simplest difference scheme with the generalized approximation is given.

Снижение пожарной опасности при использовании полимерных материалов является одной из актуальных научно-технических задач. В связи со сложностью проведения экспериментальных исследований в данной области важным направлением современной фундаментальной науки является развитие теоретических основ описания реагирующих течений. Для решения вопросов, связанных с распространением пламени по поверхности горючего материала, необходимо совершенствовать методы математического моделирования, что обусловлено большим количеством протекающих физико-химических процессов, требующих моделирования каждого из них в отдельности, и сложным характером взаимодействия между этими процессами как в газовой среде, так и в твердом теле.

Распространение пламени вверх по вертикальной поверхности твердого горючего материала сопровождается нестационарными вихревыми структурами течения газа вблизи области горения, образование которых происходит в результате тепловой нестабильности и за счет действия сил естественной конвекции, ускоряющей горячие продукты сгорания. За счет вихревых структур от горячего газофазного пламени в твердый материал в каждый момент времени поступает разное количество тепловой энергии. Поэтому адекватный расчет теплового потока и, соответственно, вихревого течения имеет важное значение для оценки скорости распространения пламени.

Данная работа появящена оценкам параметров численного метода решения задачи распространения пламени по поверхности горючего материала, учитывающего сопряженный характер взаимодействия газовой среды и твердого тела и вихревое течение, вызванное естественной конвекцией. В работе рассмотрены особенности использования различных аппроксимационных схем, используемых при интегрировании исходных дифференциальных уравнений по пространству и во времени, релаксации полей при итерировании внутри шага по времени, различных шагов интегрирования по времени.

Сформулированная в работе математическая модель позволяет описывать процесс распространения пламени по поверхности горючего материала. Газодинамика моделируется системой уравнений Навье – Стокса, вихревое течение описывается комбинированной моделью турбулентности RANS–LES (DDES), турбулентное горение — комбинированной моделью горения Eddy Break-Up с учетом кинетических эффектов, теплопередача излучением — методом сферических гармоник первого порядка аппроксимации (P1). Решение уравнений производится в программном пакете OpenFOAM.

Reduction of the fire hazard of polymeric materials is one of the important scientific and technical problems. Since complexity of experimental procedures associated with flame spread, establishing reacting flows theoretical basics turned out to be crucial field of modern fundamental science. In order to determine parameters of flame spread over solid combustible materials numerical modelling methods have to be improved. Large amount of physical and chemical processes taking place needed to be resolved not just separately one by one but in connection with each other in gas and solid phases.

Upward flame spread over vertical solid combustible material is followed by unsteady eddy structures of gas flow in the vicinity of flame zone caused by thermal instability and natural convection forces accelerating hot combustion products. At every moment different amount of heat energy is transferred from hot gas-phase flame to solid material because of eddy flow structures. Therefore, satisfactory heat flux and eddy flow modelling are important to estimate flame spread rate.

In the current study we evaluated parameters of numerical method for flame spread over solid combustible material problem taking into account coupled nature of complex interaction between gas phase, solid material and eddy flow resulted from natural convection. We studied aspects of different approximation schemes used in differential equations integration process over space and time, of fields relaxation during iterations procedure carried out inside time step, of different time step values.

Mathematical model formulated allows to simulate flame spread over solid combustible material. Fluid dynamics is modeled by Navier – Stokes system of equations, eddy flow is described by combined turbulent model RANS–LES (DDES), turbulent combustion is resolved by modified turbulent combustion model Eddy Break-Up taking into account kinetic effects, radiation transfer is modeled by spherical harmonics method of first order approximation (P1). The equations presented are solved in OpenFOAM software.

В работе представлены результаты численного моделирования в программном комплексе FlowVision турбулентного перемешивания потоков воды разнойтемпер атуры в Т-образной трубе. В статье детально описан экспериментальный стенд, специально спроектированный с целью получения простых для большинства программных комплексов вычислительной гидродинамики граничных условий. По результатам испытаний получены значения осредненных во времени температур и скоростей в контрольных датчиках и плоскостях. В статье представлена используемая при расчете система дифференциальных уравнений в частных производных, описывающая процесс тепломассопереноса в жидкости с использованием модели турбулентности Смагоринского. Указаны граничные условия, посредством которых задаются случайные пульсации скорости на входе в расчетную область. Моделирование выполнено на различных расчетных сетках, для которых оси глобальной системы координат совпадают с направлениями потоков горячей и холодной воды. Для ПК FlowVision показана возможность построения расчетной сетки в процессе моделирования на основании изменения параметров течения. Оценено влияние подобного алгоритма построения расчетной сетки на результаты расчетов. Приведены результаты расчетов на диагональной сетке с использованием скошенной схемы (направление координатных линий не совпадает с направлением осей труб тройника). Показана высокая эффективность скошенной схемы при моделировании потоков, генеральные направления которых не совпадают с гранями расчетных ячеек. Проведено сравнение результатов моделирования на различных расчетных сетках. По результатам численного моделирования в ПК FlowVision получены распределения осредненных по времени скорости и температуры воды в контрольных сечениях и датчиках. Представлено сравнение численных результатов, полученных в ПК FlowVision, с экспериментальными данными и расчетами, выполненными с использованием других вычислительных программ. Результаты моделирования турбулентного перемешивания потока воды разной температуры в ПК FlowVision ближе к экспериментальным данным в сравнении с расчетами в CFX ANSYS. Показано, что применение LES-модели турбулентности на сравнительно небольших расчетных сетках в ПК FlowVision позволяет получать результаты с погрешностью в пределах 5 %.

The paper presents the results of numerical simulation of different-temperature water flows turbulent mixing in a T-junctions in the FlowVision software package. The article describes in detail an experimental stand specially designed to obtain boundary conditions that are simple for most computational fluid dynamics software systems. Values of timeaveraged temperatures and velocities in the control sensors and planes were obtained according to the test results. The article presents the system of partial differential equations used in the calculation describing the process of heat and mass transfer in a liquid using the Smagorinsky turbulence model. Boundary conditions are specified that allow setting the random velocity pulsations at the entrance to the computational domain. Distributions of time-averaged water velocity and temperature in control sections and sensors are obtained. The simulation is performed on various computational grids, for which the axes of the global coordinate system coincide with the directions of hot and cold water flows. The possibility for FlowVision PC to construct a computational grid in the simulation process based on changes in flow parameters is shown. The influence of such an algorithm for constructing a computational grid on the results of calculations is estimated. The results of calculations on a diagonal grid using a beveled scheme are given (the direction of the coordinate lines does not coincide with the direction of the tee pipes). The high efficiency of the beveled scheme is shown when modeling flows whose general direction does not coincide with the faces of the calculated cells. A comparison of simulation results on various computational grids is carried out. The numerical results obtained in the FlowVision PC are compared with experimental data and calculations performed using other computing programs. The results of modeling turbulent mixing of water flow of different temperatures in the FlowVision PC are closer to experimental data in comparison with calculations in CFX ANSYS. It is shown that the application of the LES turbulence model on relatively small computational grids in the FlowVision PC allows obtaining results with an error within 5%.

Проведено математическое моделирование естественной конвекции и теплового излучения в квадратной замкнутой воздушной полости с изотермическими вертикальными стенками при наличии локального источника энергии постоянной температуры. Математическая модель построена в безразмерных переменных «функция тока – завихренность скорости – температура» в приближении Буссинеска и с учетом диатермичности воздушной среды. Получены распределения изолиний функции тока и температуры в широком диапазоне изменения определяющих параметров: число Рэлея $10^3 \leqslant Ra \leqslant 10^6$, приведенная степень черноты ограждающих стенок $0\leqslant\varepsilon < 1$, отношение длины источника энергии к размеру полости $0.2\leqslant l/L\leqslant0.6$ и время $0\leqslantτ\leqslant 100$. Установлены корреляционные соотношения для интегрального коэффициента теплообмена в зависимости от $Ra$, $ε$ и $l/L$.

Mathematical simulation of natural convection and surface radiation in a square air enclosure having isothermal vertical walls with a local heat source of constant temperature has been carried out. Mathematical model has been formulated on the basis of the dimensionless variables such as stream function, vorticity and temperature by using the Boussinesq approximation and diathermancy of air. Distributions of streamlines and isotherms reflecting an effect of Rayleigh number $ 10^3 \leqslant Ra \leqslant 10^6 $, surface emissivity $0 \leqslant ε < 1$, ratio between the length of heat source and the size of enclosure $0.2 \leqslant l/L \leqslant 0.6$ and dimensionless time $0 \leqslant τ \leqslant 100$ on fluid flow and heat transfer have been obtained. Correlations for the average heat transfer coefficient in dependence on $Ra$, $ε$ and $l/L$ have been ascertained.

В работе представлены результаты моделирования расчетных случаев приводнения возвращаемого аппарата (ВА) пилотируемого транспортного корабля нового поколения в условиях штиля. Рассмотрены случаи посадки ВА с работающими и с выключенными двигательными установками.

Задача приводнения ВА моделировалась в рамках двухфазной постановки с наличием двух несмешивающихся фаз: воды и газа, состоящего из воздуха и продуктов сгорания, поступающих из двигательной установки. Параметры течения в каждой фазе резко отличаются друг от друга по величине плотности и скорости распространения звука. Истечение продуктов сгорания из сопловых установок характеризуется высокими скоростями и давлениями, что усложняет задачу, по сравнению со свободным падением ВА в воду. В расчетах используется упрощение постановки задачи, в котором при взаимодействии горячих струй с водой кипение, испарение и образование водяного пара не учитываются. Газовые струи только нагревают и вытесняют воду.

Для моделирования переноса межфазных границ применяется метод VOF (Volume of fluid), где перенос контактной поверхности описывается конвективным уравнением, а поверхностное натяжение на межфазной границе учитывается давлением Лапласа. Ключевой особенностью метода является расщепление поверхностных ячеек, куда заносятся данные соответствующей фазы. Уравнения для обеих фаз (уравнения неразрывности, импульса, энергии и другие) в поверхностных ячейках решаются совместно.

Моделирование приводнения ВА занимает длительное время, что связанно с особенностями явного расчета уровня границы раздела фаз (свободной поверхности). Для получения качественных результатов свободная поверхность должна быть разрешена большим количеством расчетных ячеек, но при этом за один шаг интегрирования перемещаться не более чем на одну ячейку.

В процессе приземления исследовались гидродинамическое воздействие на ВА, динамика его движения и остойчивость ВА после приводнения, оценивались продольные перегрузки. Полученные данные использовались для анализа нагружения и прочности конструкции корпуса ВА, а также его отдельных элементов.

The reentry vehicle of the transportation spacecraft that is being created by RSC Energia in regular mode makes soft landing on land surface using a parachute system and thruster devices. But in not standard situations the reentry vehicle also is capable of executing a splashdown. In that case, it becomes important to define the hydrodynamics impact on the reentry vehicle at the moment of the first contact with the surface of water and during submersion into water medium, and to study the dynamics of the vehicle behavior at more recent moments of time.

This article presents results of numerical studies of hydrodynamics forces on the conical vehicle during splashdown, done with the FlowVision software. The paper reviews the cases of the splashdown with inactive solid rocket motors on calm sea and the cases with interactions between rocket jets and the water surface. It presents data on the allocation of pressure on the vehicle in the process of the vehicle immersion into water medium and dynamics of the vehicle behavior after splashdown. The paper also shows flow structures in the area of the reentry vehicle at the different moments of time, and integral forces and moments acting on the vehicle.

For simulation process with moving interphases in the FlowVision software realized the model VOF (volume of fluid). Transfer of the phase boundary is described by the equation of volume fraction of this continuous phase in a computational cell. Transfer contact surface is described by the convection equation, and at the surface tension is taken into account by the Laplace pressure. Key features of the method is the splitting surface cells where data is entered the corresponding phase. Equations for both phases (like the equations of continuity, momentum, energy and others) in the surface cells are accounted jointly.

Проведено математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного излучения в замкнутой вращающейся квадратной полости. Рассматриваемая область решения имела две противоположные изотермические стенки, поддерживаемые при постоянных низкой и высокой температурах, остальные стенки являлись адиабатическими. Стенки считались диффузно-серыми. Анализируемая полость вращалась с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей через центр полости и ориентированной ортогонально области решения. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости» на основе приближений Буссинеска и диатермичности рабочей среды, была реализована численно методом конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А. А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А. А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка. Разработанный вычислительный код был протестирован на множестве сеток, а также верифицирован путем сопоставления полученных результатов при решении модельной задачи с экспериментальными и численными данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного теплового излучения в замкнутой вращающейся полости проведены при следующих значениях безразмерных параметров: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. Все распределения были получены для двадцатого полного оборота полости, когда наблюдается установление периодической картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что при малой угловой скорости вращения полости возможна интенсификация течения, а дальнейший рост скорости вращения приводит к ослаблению конвективного течения. Радиационное число Нуссельта незначительно изменяется при варьировании числа Тейлора.

Mathematical simulation of unsteady natural convection and thermal surface radiation within a rotating square enclosure was performed. The considered domain of interest had two isothermal opposite walls subjected to constant low and high temperatures, while other walls are adiabatic. The walls were diffuse and gray. The considered cavity rotated with constant angular velocity relative to the axis that was perpendicular to the cavity and crossed the cavity in the center. Mathematical model, formulated in dimensionless transformed variables “stream function – vorticity” using the Boussinesq approximation and diathermic approach for the medium, was performed numerically using the finite difference method. The vorticity dispersion equation and energy equation were solved using locally one-dimensional Samarskii scheme. The diffusive terms were approximated by central differences, while the convective terms were approximated using monotonic Samarskii scheme. The difference equations were solved by the Thomas algorithm. The approximated Poisson equation for the stream function was solved by successive over-relaxation method. Optimal value of the relaxation parameter was found on the basis of computational experiments. Radiative heat transfer was analyzed using the net-radiation method in Poljak approach. The developed computational code was tested using the grid independence analysis and experimental and numerical results for the model problem.

Numerical analysis of unsteady natural convection and thermal surface radiation within the rotating enclosure was performed for the following parameters: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. All distributions were obtained for the twentieth complete revolution when one can find the periodic behavior of flow and heat transfer. As a result we revealed that at low angular velocity the convective flow can intensify but the following growth of angular velocity leads to suppression of the convective flow. The radiative Nusselt number changes weakly with the Taylor number.

В работе рассматриваются развитие и применение метода учета заполненности прямоугольных ячеек материальной средой, в частности жидкостью для повышения гладкости и точности конечно-разностного решения задач гидродинамики со сложной формой граничной поверхности. Для исследования возможностей предлагаемых разностных схем рассмотрены две задачи вычислительной гидродинамики — пространственно-двумерного течения вязкой жидкости между двумя соосными полуцилиндрами и переноса веществ между соосными полуцилиндрами. Аппроксимация задач по времени выполнена на основе схем расщепления по физическим процессам. Дискретизация операторов диффузии и конвекции выполнена на основе интегроинтерполяционного метода с учетом заполненности ячеек и без ее учета. Для решения задачи диффузии – конвекции при больших сеточных числах Пекле предложено использовать разностную схему, учитывающую функцию заполненности ячеек, и схему, построенную на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами, полученными в результате минимизации погрешности аппроксимации при малых числах Куранта. Для оценки точности численного решения в качестве эталона используется аналитическое решение, описывающее течение Куэтта – Тейлора. В случае непосредственного использования прямоугольных сеток (ступенчатой аппроксимации границ) относительная погрешность расчетов достигает 70 %, при тех же условиях использование предлагаемого метода позволяет уменьшить погрешность до 6%. Показано, что дробление прямоугольной сетки в 2–8 раз по каждому из пространственных направлений не приводит к такому же повышению точности, которой обладают численные решения, полученные с учетом заполненности ячеек. Предложенные разностные схемы, построенные на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно, полученные в результате минимизации порядка погрешности аппроксимации, для задачи диффузии – конвекции обладают меньшей сеточной вязкостью и, как следствие, точнее описывают поведение решения в случае больших сеточных чисел Пекле.

The paper discusses the development and application of the accounting rectangular cell fullness method with material substance, in particular, a liquid, to increase the smoothness and accuracy of a finite-difference solution of hydrodynamic problems with a complex shape of the boundary surface. Two problems of computational hydrodynamics are considered to study the possibilities of the proposed difference schemes: the spatial-twodimensional flow of a viscous fluid between two coaxial semi-cylinders and the transfer of substances between coaxial semi-cylinders. Discretization of diffusion and convection operators was performed on the basis of the integro-interpolation method, taking into account taking into account the fullness of cells and without it. It is proposed to use a difference scheme, for solving the problem of diffusion – convection at large grid Peclet numbers, that takes into account the cell population function, and a scheme on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weight coefficients obtained by minimizing the approximation error at small Courant numbers. As a reference, an analytical solution describing the Couette – Taylor flow is used to estimate the accuracy of the numerical solution. The relative error of calculations reaches 70% in the case of the direct use of rectangular grids (stepwise approximation of the boundaries), under the same conditions using the proposed method allows to reduce the error to 6%. It is shown that the fragmentation of a rectangular grid by 2–8 times in each of the spatial directions does not lead to the same increase in the accuracy that numerical solutions have, obtained taking into account the fullness of the cells. The proposed difference schemes on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weighting factors of 2/3 and 1/3, respectively, obtained by minimizing the order of approximation error, for the diffusion – convection problem have a lower grid viscosity and, as a corollary, more precisely, describe the behavior of the solution in the case of large grid Peclet numbers.

Описано развитие метода расщепления по физическим факторам для исследования течений несжимаемой жидкости (МЕРАНЖ), прошедшее за последние 50 лет. Гибридная явная конечно-разностная схема метода основана на модифицированной схеме с центральными разностями (МСЦР) и модифицированной схеме с ориентированными разностями (MСОР) со специальным условием переключения в зависимости от знака скорости переноса и знаков первой и второй разностей переносимых функций. Показано применение данного метода для решения некоторых задач (пространственный поток около сферы и кругового цилиндра для случаев однородной и стратифицированной жидкостей в широком диапазоне безразмерных параметров задачи, включая переходные режимы обтекания (2D–3D-переход, ламинарно-турбулентный переход в пограничном слое); плоскостная задача течения жидкости со свободной поверхностью; динамика вихревой пары в воде; коллапс пятен в стратифицированной жидкости; моделирование воздухо-, тепло- и массопереноса в «чистых производственных помещениях»).

The development of the Splitting Method for Incompressible Fluid flows (SMIF) during last 50 years is described. The hybrid explicit finite difference scheme of method SMIF is based on Modified Central Difference Scheme (MCDS) and Modified Upwind Difference Scheme (MUDS) with special switch condition depending on the velocity sign and the signs of the first and second differences of transferred functions. Application of this method for solving of some tasks (the spatial flow around a sphere and a circular cylinder for homogeneous and stratified fluids in a wide range of dimensionless parameters of the problem, including the transitional regimes (2D–3D transition, laminar-turbulent transition in the boundary layer); a plane problem of fluid flows with a free surface; a dynamics of vortex pair in a water; a collapse of spots in stratified fluid; the air-, heat-, and mass transfer in «clean rooms») is demonstrated.

Представлена математическая модель для численного исследования теплового разрушения метеорита «Челябинск» при входе в атмосферу Земли. Исследование проводилось в рамках комплексного подхода, включающего расчет траектории движения с учетом сопутствующих движению метеорита физических процессов. Вместе с траекторией определялось поле течения и лучисто-конвективный теплообмен, определялся прогрев и разрушение метеорита под действием рассчитанных тепловых нагрузок. Комплексный подход позволяет точнее определять траекторию движения космических объектов, предсказывать зоны их падения и разрушения.

A mathematical model for the numerical study of thermal destruction of the "Chelyabinsk" meteorite when entering the Earth’s atmosphere is presented in the article. The study was conducted in the framework of an integrated approach, including the calculation of the meteorite trajectory associated with the physical processes connected with the meteorite motion. Together with the trajectory the flow field and radiation-convective heat
transfer were determined as well as warming and destruction of the meteorite under the influence of the calculated heat load. An integrated approach allows to determine the trajectories of space objects more precisely, predict the area of their fall and destruction.