Все выпуски

В данной статье рассматриваются процессы теплопроводности, сопровождающиеся фазовыми переходами первого рода. При помощи клеточно-автоматного моделирования был исследован класс задач, имеющих широкое применение в практической деятельности. В работе приведены вычисления распределения температуры по глубине почвы в разные моменты времени для задачи промерзания влажного грунта. Другая задача — зонное выращивание — также смоделирована с помощью клеточных автоматов. Совпадение реальных и модельных параметров системы подтверждает целесообразность использования выбранного способа моделирования физических процессов.

The process of heat conduction, accompanied by the first order phase transitions is discussed in this article. Using cellular automates simulation was investigated class of problems that have broad application in practice. In this paper we calculate the temperature distribution in the depth of the soil at different times for a problem of freezing of moist soil. Another task — zone growing — has been modeled by cellular automates too. The coincidence of real and modeling parameters of the system confirms the feasibility of using the selected method of modeling of physical processes.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.

The paper has methodical character; it is devoted to three classic partial differential equations (Laplace, Diffusion and Wave) solution using simple numerical methods in terms of Cellular Automata. Special attention was payed to the matter conservation law and the offensive effect of excessive hexagonal symmetry.

It has been shown that in contrary to finite-difference approach, in spite of terminological equivalence of CA local transition function to the pattern of computing double layer explicit method, CA approach contains the replacement of matrix technique by iterative ones (for instance, sweep method for three diagonal matrixes). This suggests that discretization of boundary conditions for CA-cells needs more rigid conditions.

The correct local transition function (LTF) of the boundary cells, which is valid at least for the boundaries of the rectangular and circular shapes have been firstly proposed and empirically given for the hexagonal grid and the conservative boundary conditions. The idea of LTF separation into «internal», «boundary» and «postfix» have been proposed. By the example of this problem the value of the Courant-Levy constant was re-evaluated as the CA convergence speed ratio to the solution, which is given at a fixed time, and to the rate of the solution change over time.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный алгоритм решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество алгоритма состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью $LU$-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

В данной работе этот алгоритм лежит в основе решения следующих задач.

Задача 1. Задание направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из известных техник построения существенно положительно определенной матрицы. Такой подход позволяет ослабить или снять дополнительные специфические трудности, обусловленные необходимостью решения больших систем уравнений с разреженными матрицами, представленных в упакованном виде.

Задача 2. Построение новой математической формулировки задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности. Они достаточно просты и могут быть использованы для построения методов математического программирования, например для поиска минимума квадратичной функции на многогранном множестве ограничений, основанного на решениях систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции.

Задача 3. Построение непрерывного аналога задачи минимизации вещественного квадратичного многочлена от булевых переменных и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности для разработки методов их решения за полиномиальное время. В результате исходная задача сводится к задаче поиска минимального расстояния между началом координат и угловой точкой выпуклого многогранника (полиэдра), который является возмущением $n$-мерного куба и описывается системой двойных линейных неравенств с верхней треугольной матрицей коэффициентов с единицами на главной диагонали. Исследованию подлежат только две грани, одна из которых или обе содержат вершины, ближайшие к началу координат. Для их вычисления достаточно решить $4n – 4$ систем линейных уравнений и выбрать среди них все ближайшие равноудаленные вершины за полиномиальное время. Задача минимизации квадратичного полинома является $NP$-трудной, поскольку к ней сводится $NP$-трудная задача о вершинном покрытии для произвольного графа. Отсюда следует вывод, что $P = NP$, в основе построения которого лежит выход за пределы целочисленных методов оптимизации.

We consider a numerically stable direct multiplicative algorithm of solving linear equations systems, which takes into account the sparseness of matrices presented in a packed form. The advantage of the algorithm is the ability to minimize the filling of the main rows of multipliers without losing the accuracy of the results. Moreover, changes in the position of the next processed row of the matrix are not made, what allows using static data storage formats. Linear system solving by a direct multiplicative algorithm is, like the solving with $LU$-decomposition, just another scheme of the Gaussian elimination method implementation.

In this paper, this algorithm is the basis for solving the following problems:

Problem 1. Setting the descent direction in Newtonian methods of unconditional optimization by integrating one of the known techniques of constructing an essentially positive definite matrix. This approach allows us to weaken or remove additional specific difficulties caused by the need to solve large equation systems with sparse matrices presented in a packed form.

Problem 2. Construction of a new mathematical formulation of the problem of quadratic programming and a new form of specifying necessary and sufficient optimality conditions. They are quite simple and can be used to construct mathematical programming methods, for example, to find the minimum of a quadratic function on a polyhedral set of constraints, based on solving linear equations systems, which dimension is not higher than the number of variables of the objective function.

Problem 3. Construction of a continuous analogue of the problem of minimizing a real quadratic polynomial in Boolean variables and a new form of defining necessary and sufficient conditions of optimality for the development of methods for solving them in polynomial time. As a result, the original problem is reduced to the problem of finding the minimum distance between the origin and the angular point of a convex polyhedron, which is a perturbation of the $n$-dimensional cube and is described by a system of double linear inequalities with an upper triangular matrix of coefficients with units on the main diagonal. Only two faces are subject to investigation, one of which or both contains the vertices closest to the origin. To calculate them, it is sufficient to solve $4n – 4$ linear equations systems and choose among them all the nearest equidistant vertices in polynomial time. The problem of minimizing a quadratic polynomial is $NP$-hard, since an $NP$-hard problem about a vertex covering for an arbitrary graph comes down to it. It follows therefrom that $P = NP$, which is based on the development beyond the limits of integer optimization methods.

В настоящей работе приводятся результаты численного моделирования свободного сдвигового течения с помощью схемы «КАБАРЕ», реализованной в приближении слабой сжимаемости. Анализ схемы проводится на основе изучения свойств неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и порождаемой ею двумерной турбулентности, с использованием интегральных кривых кинетической энергии и энстрофии, картин временной эволюции завихренности, спектров энстрофии и энергии, а также дисперсионного соотношения для инкремента неустойчивости. Расчеты проводились для числа Рейнольдса $\text{Re} = 4 \times 10^5$, на квадратных последовательно сгущаемых сетках в диапазоне $128^2-2048^2$ ячеек. Внимание уделено проблеме «недоразрешенности слоев», проявляющейся в возникновении лишнего вихря при свертывании двух вихревых листов (слоев вихревой пелены). Данное явление существует только на грубых сетках $(128^2)$, однако, полностью симметричная картина эволюции завихренности начинает наблюдаться только при переходе к сетке $1024^2$ ячеек. Размерные оценки отношения вихрей на границах инерционного интервала показывают, что наиболее подробная сетка $2048^2$ ячеек оказывается достаточной для качественного отображения мелкомасштабных сгустков завихренности. Тем не менее можно говорить о достижении хорошей сходимости при отображении крупномасштабных структур. Эволюция турбулентности, в полном соответствии с теоретическими представлениями, приводит к появлению крупных вихрей, в которых сосредотачивается вся кинетическая энергия движения, и уединенных мелкомасштабных образований. Последние обладают свойствами когерентных структур, выживая в процессе нитеобразования (филаментации), и практически не взаимодействуют с вихрями других масштабов. Обсуждение диссипативных характеристик схемы ведется на основе анализа графиков скорости диссипации кинетической энергии, вычисляемой непосредственно, а также на основе теоретических соотношений для моделей несжимаемой жидкости (по кривым энстрофии) и сжимаемого газа (по влиянию тензора скоростей деформации и эффектов дилатации). Асимптотическое поведение каскадов кинетической энергии и энстрофии подчиняется реализующимся в двумерной турбулентности соотношениям $E(k) \propto k^{−3}$, $\omega^2(k) \propto k^{−1}$. Исследование зависимости инкремента неустойчивости от безразмерного волнового числа показывает хорошее согласие с данными других исследователей, вместе с тем часто используемый способ расчета инкремента неустойчивости не всегда оказывается достаточно точным, вследствие чего была предложена его модификация.

Таким образом, реализованная схема, отличаясь малой диссипативностью и хорошим вихреразрешением, оказывается вполне конкурентоспособной в сравнении с методами высокого порядка точности.

In present paper we reexamine the properties of CABARET numerical scheme formulated for a weakly compressible fluid flow basing the results of free shear layer modeling. Kelvin–Helmholtz instability and successive generation of two-dimensional turbulence provide a wide field for a scheme analysis including temporal evolution of the integral energy and enstrophy curves, the vorticity patterns and energy spectra, as well as the dispersion relation for the instability increment. The most part of calculations is performed for Reynolds number $\text{Re} = 4 \times 10^5$ for square grids sequentially refined in the range of $128^2-2048^2$ nodes. An attention is paid to the problem of underresolved layers generating a spurious vortex during the vorticity layers roll-up. This phenomenon takes place only on a coarse grid with $128^2$ nodes, while the fully regularized evolution pattern of vorticity appears only when approaching $1024^2$-node grid. We also discuss the vorticity resolution properties of grids used with respect to dimensional estimates for the eddies at the borders of the inertial interval, showing that the available range of grids appears to be sufficient for a good resolution of small–scale vorticity patches. Nevertheless, we claim for the convergence achieved for the domains occupied by large-scale structures.

The generated turbulence evolution is consistent with theoretical concepts imposing the emergence of large vortices, which collect all the kinetic energy of motion, and solitary small-scale eddies. The latter resemble the coherent structures surviving in the filamentation process and almost noninteracting with other scales. The dissipative characteristics of numerical method employed are discussed in terms of kinetic energy dissipation rate calculated directly and basing theoretical laws for incompressible (via enstrophy curves) and compressible (with respect to the strain rate tensor and dilatation) fluid models. The asymptotic behavior of the kinetic energy and enstrophy cascades comply with two-dimensional turbulence laws $E(k) \propto k^{−3}, \omega^2(k) \propto k^{−1}$. Considering the instability increment as a function of dimensionless wave number shows a good agreement with other papers, however, commonly used method of instability growth rate calculation is not always accurate, so some modification is proposed. Thus, the implemented CABARET scheme possessing remarkably small numerical dissipation and good vorticity resolution is quite competitive approach compared to other high-order accuracy methods

Cтроится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.

В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.

Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.

Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.

A set of implicit difference schemes on the five-pointwise stensil is under construction. The analysis of properties of difference schemes is carried out in a space of undetermined coefficients. The spaces were introduced for the first time by A. S. Kholodov. Usually for properties of difference schemes investigation the problem of the linear programming was constructed. The coefficient at the main term of a discrepancy was considered as the target function. The optimization task with inequalities type restrictions was considered for construction of the monotonic difference schemes. The limitation of such an approach becomes clear taking into account that approximation of the difference scheme is defined only on the classical (smooth) solutions of partial differential equations.

The functional which minimum will be found put in compliance to the difference scheme. The functional must be the linear on the difference schemes coefficients. It is possible that the functional depends on net function – the solution of a difference task or a grid projection of the differential problem solution. If the initial terms of the functional expansion in a Taylor series on grid parameters are equal to conditions of classical approximation, we will call that the functional will be the generalized condition of approximation. It is shown that such functionals exist. For the simple linear partial differential equation with constant coefficients construction of the functional is possible also for the generalized (non-smooth) solution of a differential problem.

Families of functionals both for smooth solutions of an initial differential problem and for the generalized solution are constructed. The new difference schemes based on the analysis of the functionals by linear programming methods are constructed. At the same time the research of couple of self-dual problems of the linear programming is used. The optimum monotonic difference scheme possessing the first order of approximation on the smooth solution of differential problem is found. The possibility of application of the new schemes for creation of hybrid difference methods of the raised approximation order on smooth solutions is discussed.

The example of numerical implementation of the simplest difference scheme with the generalized approximation is given.

Снижение пожарной опасности при использовании полимерных материалов является одной из актуальных научно-технических задач. В связи со сложностью проведения экспериментальных исследований в данной области важным направлением современной фундаментальной науки является развитие теоретических основ описания реагирующих течений. Для решения вопросов, связанных с распространением пламени по поверхности горючего материала, необходимо совершенствовать методы математического моделирования, что обусловлено большим количеством протекающих физико-химических процессов, требующих моделирования каждого из них в отдельности, и сложным характером взаимодействия между этими процессами как в газовой среде, так и в твердом теле.

Распространение пламени вверх по вертикальной поверхности твердого горючего материала сопровождается нестационарными вихревыми структурами течения газа вблизи области горения, образование которых происходит в результате тепловой нестабильности и за счет действия сил естественной конвекции, ускоряющей горячие продукты сгорания. За счет вихревых структур от горячего газофазного пламени в твердый материал в каждый момент времени поступает разное количество тепловой энергии. Поэтому адекватный расчет теплового потока и, соответственно, вихревого течения имеет важное значение для оценки скорости распространения пламени.

Данная работа появящена оценкам параметров численного метода решения задачи распространения пламени по поверхности горючего материала, учитывающего сопряженный характер взаимодействия газовой среды и твердого тела и вихревое течение, вызванное естественной конвекцией. В работе рассмотрены особенности использования различных аппроксимационных схем, используемых при интегрировании исходных дифференциальных уравнений по пространству и во времени, релаксации полей при итерировании внутри шага по времени, различных шагов интегрирования по времени.

Сформулированная в работе математическая модель позволяет описывать процесс распространения пламени по поверхности горючего материала. Газодинамика моделируется системой уравнений Навье – Стокса, вихревое течение описывается комбинированной моделью турбулентности RANS–LES (DDES), турбулентное горение — комбинированной моделью горения Eddy Break-Up с учетом кинетических эффектов, теплопередача излучением — методом сферических гармоник первого порядка аппроксимации (P1). Решение уравнений производится в программном пакете OpenFOAM.

Reduction of the fire hazard of polymeric materials is one of the important scientific and technical problems. Since complexity of experimental procedures associated with flame spread, establishing reacting flows theoretical basics turned out to be crucial field of modern fundamental science. In order to determine parameters of flame spread over solid combustible materials numerical modelling methods have to be improved. Large amount of physical and chemical processes taking place needed to be resolved not just separately one by one but in connection with each other in gas and solid phases.

Upward flame spread over vertical solid combustible material is followed by unsteady eddy structures of gas flow in the vicinity of flame zone caused by thermal instability and natural convection forces accelerating hot combustion products. At every moment different amount of heat energy is transferred from hot gas-phase flame to solid material because of eddy flow structures. Therefore, satisfactory heat flux and eddy flow modelling are important to estimate flame spread rate.

In the current study we evaluated parameters of numerical method for flame spread over solid combustible material problem taking into account coupled nature of complex interaction between gas phase, solid material and eddy flow resulted from natural convection. We studied aspects of different approximation schemes used in differential equations integration process over space and time, of fields relaxation during iterations procedure carried out inside time step, of different time step values.

Mathematical model formulated allows to simulate flame spread over solid combustible material. Fluid dynamics is modeled by Navier – Stokes system of equations, eddy flow is described by combined turbulent model RANS–LES (DDES), turbulent combustion is resolved by modified turbulent combustion model Eddy Break-Up taking into account kinetic effects, radiation transfer is modeled by spherical harmonics method of first order approximation (P1). The equations presented are solved in OpenFOAM software.

В статье получены оценки скорости сходимости по функции для недавно предложенного Ю.Е. Нестеровым метода минимизации выпуклой липшицевой функции двух переменных на квадрате с фиксированной стороной. Идея метода — деление квадрата на меньшие части и постепенное их удаление так, чтобы в оставшейся достаточно малой части все значения целевой функции были достаточно близки к оптимальному. При этом метод заключается вр ешении вспомогательных задач одномерной минимизации вдоль разделяющих отрезков и не предполагает вычисления точного значения градиента целевого функционала. Основной результат работы о необходимом количестве итераций для достижений заданной точности доказан вкла ссе гладких выпуклых функций, имеющих липшицев градиент. При этом отмечено, что свойство липшицевости градиента достаточно потребовать не на всем квадрате, а лишь на некоторых отрезках. Показано, что метод может работать при наличии погрешностей решения вспомогательных одномерных задач, а также при вычислении направлений градиентов. Также описана ситуация, когда возможно пренебречь временными затратами (или уменьшить их) на решение вспомогательных одномерных задач. Для некоторых примеровэк спериментально продемонстрировано, что метод может эффективно работать и на некоторых классах негладких функций. При этом построен пример простой негладкой функции, для которой при неудачном выборе субградиента даже в случае точного решения вспомогательных одномерных задач может не наблюдаться сходимость метода. Проведено сравнение работы метода Ю.Е. Нестерова, метода эллипсоидов и градиентного спуска для некоторых гладких выпуклых функций. Эксперименты показали, что метод Ю.Е. Нестерова может достигать желаемой точности решения задачи за меньшее (в сравнении с другими рассмотренными методами) время. В частности, замечено, что при увеличении точности искомого решения время работы метода Ю.Е. Нестерова может расти медленнее, чем время работы метода эллипсоидов.

In the article we have obtained some estimates of the rate of convergence for the recently proposed by Yu. E.Nesterov method of minimization of a convex Lipschitz-continuous function of two variables on a square with a fixed side. The idea of the method is to divide the square into smaller parts and gradually remove them so that in the remaining sufficiently small part. The method consists in solving auxiliary problems of one-dimensional minimization along the separating segments and does not imply the calculation of the exact value of the gradient of the objective functional. The main result of the paper is proved in the class of smooth convex functions having a Lipschitz-continuous gradient. Moreover, it is noted that the property of Lipschitzcontinuity for gradient is sufficient to require not on the whole square, but only on some segments. It is shown that the method can work in the presence of errors in solving auxiliary one-dimensional problems, as well as in calculating the direction of gradients. Also we describe the situation when it is possible to neglect or reduce the time spent on solving auxiliary one-dimensional problems. For some examples, experiments have demonstrated that the method can work effectively on some classes of non-smooth functions. In this case, an example of a simple non-smooth function is constructed, for which, if the subgradient is chosen incorrectly, even if the auxiliary one-dimensional problem is exactly solved, the convergence property of the method may not hold. Experiments have shown that the method under consideration can achieve the desired accuracy of solving the problem in less time than the other methods (gradient descent and ellipsoid method) considered. Partially, it is noted that with an increase in the accuracy of the desired solution, the operating time for the Yu. E. Nesterov’s method can grow slower than the time of the ellipsoid method.

Алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач, разработанный на основе метода моделирования с помощью системы сеток, дополнен расчетным механизмом, позволяющим учитывать перемещение и вращение тел относительно центров масс. Для заданной конфигурации тел решается задача обтекания методом установления, после этого состояние системы перерассчитывается через малый промежуток времени. Итерационным способом оказывается возможным проследить динамику системы на больших интервалах времени. Алгоритм реализован для исследования полета системы тел с учетом их относительного положения и вращения. Выполнено тестирование алгоритма на задаче обтекания тела сегментально-конической формы. Показано хорошее согласование результатов с экспериментальными исследованиями. Алгоритм применен для расчета задачи о сверхзвуковом полете вращающегося тела. Для тел прямоугольной формы, имитирующих удлиненные осколки метеорного тела, показано, что для удлиненных тел аэродинамически более устойчивым положением является полет с большей по площади стороной поперек направления полета. Это приводит фактически к полету тел с максимально возможным аэродинамическим сопротивлением из-за максимальной площади миделя. Алгоритм применен для расчета задачи о разлете двух одинаковых тел прямоугольной формы с учетом их вращения. Вращение приводит к тому, что тела разлетаются не только под действием расталкивающей аэродинамической силы, но и дополнительной боковой силы из-за приобретения угла атаки. Скорость разлета двух осколков метеорного тела удлиненной формы при учете вращения увеличивается до трех раз по сравнению с вариантом, когда предполагается, что тела не вращаются. Исследование проведено в целях оценки влияния различных факторов на скорость разлета осколков метеорного тела после разрушения для построения возможных траекторий выпавших на землю метеоритов. Разработанный алгоритм решения сопряженной аэродинамической и баллистической задач с учетом относительного перемещения и вращения тел может быть использован для решения технических задач, например для исследования динамики разделения ступеней летательного аппарата.

An algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, which is based on the method of modeling with the help of a grid system, has been complemented by a numerical mechanism that allows to take into account the relative movement and rotation of bodies relative to their centers of mass. For a given configuration of the bodies a problem of flow is solved by relaxation method. After that the state of the system is recalculated after a short amount of time. With the use of iteration it is possible to trace the dynamics of the system over a large period of time. The algorithm is implemented for research of flight of systems of bodies taking into account their relative position and rotation. The algorithm was tested on the problem of flow around a body with segmental-conical form. A good correlation of the results with experimental studies was shown. The algorithm is used to calculate the problem of the supersonic fight of a rotating body. For bodies of rectangular shape, imitating elongated fragments of a meteoroid, it is shown that for elongated bodies the aerodynamically more stable position is flight with a larger area across the direction of flight. This de facto leads to flight of bodies with the greatest possible aerodynamic resistance due to the maximum midship area. The algorithm is used to calculate the flight apart of two identical bodies of a rectangular shape, taking into account their rotation. Rotation leads to the fact that the bodies fly apart not only under the action of the pushing aerodynamic force but also the additional lateral force due to the acquisition of the angle of attack. The velocity of flight apart of two fragments with elongated shape of a meteoric body increases to three times with the account of rotation in comparison with the case, when it is assumed that the bodies do not rotate. The study was carried out in order to evaluate the influence of various factors on the velocity of fragmentation of the meteoric body after destruction in order to construct possible trajectories of fallen on earth meteorites. A developed algorithm for solving the conjugation of aerodynamic and ballistic problems, taking into account the relative movement and rotation of the bodies, can be used to solve technical problems, for example, to study the dynamics of separation of aircraft stages.

The study completes a series of the author’s works devoted to the spread of particles population in supercritical catalytic branching random walk (CBRW) on a multidimensional lattice. The CBRW model describes the evolution of a system of particles combining their random movement with branching (reproduction and death) which only occurs at fixed points of the lattice. The set of such catalytic points is assumed to be finite and arbitrary. In the supercritical regime the size of population, initiated by a parent particle, increases exponentially with positive probability. The rate of the spread depends essentially on the distribution tails of the random walk jump. If the jump distribution has “light tails”, the “population front”, formed by the particles most distant from the origin, moves linearly in time and the limiting shape of the front is a convex surface. When the random walk jump has independent coordinates with a semiexponential distribution, the population spreads with a power rate in time and the limiting shape of the front is a star-shape nonconvex surface. So far, for regularly varying tails (“heavy” tails), we have considered the problem of scaled front propagation assuming independence of components of the random walk jump. Now, without this hypothesis, we examine an “isotropic” case, when the rate of decay of the jumps distribution in different directions is given by the same regularly varying function. We specify the probability that, for time going to infinity, the limiting random set formed by appropriately scaled positions of population particles belongs to a set $B$ containing the origin with its neighborhood, in $\mathbb{R}^d$. In contrast to the previous results, the random cloud of particles with normalized positions in the time limit will not concentrate on coordinate axes with probability one.

The study completes a series of the author’s works devoted to the spread of particles population in supercritical catalytic branching random walk (CBRW) on a multidimensional lattice. The CBRW model describes the evolution of a system of particles combining their random movement with branching (reproduction and death) which only occurs at fixed points of the lattice. The set of such catalytic points is assumed to be finite and arbitrary. In the supercritical regime the size of population, initiated by a parent particle, increases exponentially with positive probability. The rate of the spread depends essentially on the distribution tails of the random walk jump. If the jump distribution has “light tails”, the “population front”, formed by the particles most distant from the origin, moves linearly in time and the limiting shape of the front is a convex surface. When the random walk jump has independent coordinates with a semiexponential distribution, the population spreads with a power rate in time and the limiting shape of the front is a star-shape nonconvex surface. So far, for regularly varying tails (“heavy” tails), we have considered the problem of scaled front propagation assuming independence of components of the random walk jump. Now, without this hypothesis, we examine an “isotropic” case, when the rate of decay of the jumps distribution in different directions is given by the same regularly varying function. We specify the probability that, for time going to infinity, the limiting random set formed by appropriately scaled positions of population particles belongs to a set $B$ containing the origin with its neighborhood, in $\mathbb{R}^d$. In contrast to the previous results, the random cloud of particles with normalized positions in the time limit will not concentrate on coordinate axes with probability one.

Работа посвящена использованию бикомпактных схем для численного решения эволюционных уравнений гиперболического типа. Основным преимуществом схем этого класса является сочетание двух положительных свойств: пространственной аппроксимации высокого четного порядка на шаблоне, всегда занимающем одну ячейку сетки, и спектрального разрешения, лучшего по сравнению с классическими компактными конечно-разностными схемами того же порядка пространственной аппроксимации. Рассматривается одна особенность бикомпактных схем — жесткая привязка их пространственной аппроксимации к декартовым сеткам (с ячейками-параллелепипедами в трехмерном случае). Она делает затруднительным применение бикомпактных схем к решению задач в сложных расчетных областях в рамках подхода неструктурированных сеток. Предлагается решать эту проблему путем применения известных методов аппроксимации границ сложной формы и соответствующих им краевых условий на декартовых сетках. Обобщение бикомпактных схем на задачи в геометрически сложных областях проводится на примере задач газовой динамики и уравнений Эйлера. В качестве конкретного метода, позволяющего учесть на декартовых сетках влияние твердых границ произвольной формы на течение газа, выбирается метод свободной границы. Приводится краткое описание этого метода, выписываются его уравнения. Для них строятся бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству с локально-одномерным расщеплением. Компенсационный поток метода свободной границы дискретизируется со вторым порядком точности. Для интегрирования по времени в получаемых схемах применяются неявный метод Эйлера и $L$-устойчивый жестко-точный трехстадийный однократно диагонально-неявный метод Рунге–Кутты третьего порядка точности. Разработанные бикомпактные схемы тестируются на трех двумерных задачах: о стационарном сверхзвуковом обтекании с числом Маха, равным трем, одного круглого цилиндра и группы изт рех круглых цилиндров, а также о нестационарном взаимодействии плоской ударной волны и круглого цилиндра в канале с плоскопараллельными стенками. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других работ: твердые тела физически корректно влияют на поток газа, давление в контрольных точках на поверхностях тел рассчитывается с точностью, в целом отвечающей выбранному разрешению сетки и уровню численной диссипации.

This work is dedicated to application of bicompact schemes to numerical solution of evolutionary hyperbolic equations. The main advantage of this class of schemes lies in combination of two beneficial properties: the first one is spatial approximation of high even order on a stencil that always occupies only one mesh cell; the second one is spectral resolution which is better in comparison to classic compact finite-difference schemes of the same order of spatial approximation. One feature of bicompact schemes is considered: their spatial approximation is rigidly tied to Cartesian meshes (with parallelepiped-shaped cells in three-dimensional case). This feature makes rather challenging any application of bicompact schemes to problems with complex computational domains as treated in the framework of unstructured meshes. This problem is proposed to be solved using well-known methods for treating complex-shaped boundaries and their corresponding boundary conditions on Cartesian meshes. The generalization of bicompact schemes on problems in geometrically complex domains is made in case of gas dynamics problems and Euler equations. The free boundary method is chosen as a particular tool to introduce the influence of arbitrary-shaped solid boundaries on gas flows on Cartesian meshes. A brief description of this method is given, its governing equations are written down. Bicompact schemes of fourth order of approximation in space with locally one-dimensional splitting are constructed for equations of the free boundary method. Its compensation flux is discretized with second order of accuracy. Time stepping in the obtained schemes is done with the implicit Euler method and the third order accurate $L$-stable stiffly accurate three-stage singly diagonally implicit Runge–Kutta method. The designed bicompact schemes are tested on three two-dimensional problems: stationary supersonic flows with Mach number three past one circular cylinder and past three circular cylinders; the non-stationary interaction of planar shock wave with a circular cylinder in a channel with planar parallel walls. The obtained results are in a good agreement with other works: influence of solid bodies on gas flows is physically correct, pressure in control points on solid surfaces is calculated with the accuracy appropriate to the chosen mesh resolution and level of numerical dissipation.