Все выпуски

Для изучения нелинейных эффектов взаимодействия биологических видов развивается численно-аналитический подход, основанный на теории косимметрии, объясняющей явление возникновения непрерывных семейств решений дифференциальных уравнений, когда каждое решение может быть реализовано из соответствующего бассейна начальных данных. В задачах математической экологии возникновение косимметрии обычно связано с выполнением ряда соотношений между параметрами системы. При нарушении этих соотношений происходит разрушение семейств, когда вместо континуума решений возникает конечное число изолированных решений, а процесс установления может занимать большое время. При этом динамический процесс происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии.

Рассматривается модель пространственно-временной конкуренции хищников и жертв с учетом направленной миграции, функционального отклика Холлинга типа II и нелинейной функции роста жертв, допускающей эффект Олли. Найдены условия на параметры системы, при которых существует линейная по плотностям популяций косимметрия. Показано, что косимметричность не зависит от вида функции ресурса в случае неоднородного ареала. Для расчета стационарных решений и колебательных режимов и случая пространственной неоднородности применяется вычислительный эксперимент в среде MATLAB.

Рассмотрены важные случаи взаимодействия трех популяций (жертва и два хищника, две жертвы и хищник). В случае однородного ареала исследованы возникновение семейств стационарных распределений и ответвление предельных циклов от теряющих устойчивость равновесий семейства. Для системы двух жертв и хищника обнаружены области параметров, при которых реализуются три семейства устойчивых решений: сосуществование двух жертв без хищника, стационарные и колебательные распределения трех сосуществующих видов. В численном эксперименте проанализировано разрушение косимметрии и установлено долгое установление, приводящее к решениям с вытеснением одной из жертв или вымиранием хищника.

To study nonlinear effects of biological species interactions numerical-analytical approach is being developed. The approach is based on the cosymmetry theory accounting for the phenomenon of the emergence of a continuous family of solutions to differential equations where each solution can be obtained from the appropriate initial state. In problems of mathematical ecology the onset of cosymmetry is usually connected with a number of relationships between the parameters of the system. When the relationships collapse families vanish, we get a finite number of isolated solutions instead of a continuum of solutions and transient process can be long-term, dynamics taking place in a neighborhood of a family that has vanished due to cosymmetry collapse.

We consider a model for spatiotemporal competition of predators or prey with an account for directed migration, Holling type II functional response and nonlinear prey growth function permitting Alley effect. We found out the conditions on system parameters under which there is linear with respect to population densities cosymmetry. It is demonstated that cosymmetry exists for any resource function in case of heterogeneous habitat. Numerical experiment in MATLAB is applied to compute steady states and oscillatory regimes in case of spatial heterogeneity.

The dynamics of three population interactions (two predators and a prey, two prey and a predator) are considered. The onset of families of stationary distributions and limit cycle branching out of equlibria of a family that lose stability are investigated in case of homogeneous habitat. The study of the system for two prey and a predator gave a wonderful result of species coexistence. We have found out parameter regions where three families of stable solutions can be realized: coexistence of two prey in absence of a predator, stationary and oscillatory distributions of three coexisting species. Cosymmetry collapse is analyzed and long-term transient dynamics leading to solutions with the exclusion of one of prey or extinction of a predator is established in the numerical experiment.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Гидриды металлов представляют собой интересный класс соединений, способных обратимо связывать большое количество водорода и потому представляющих интерес для приложений энергетики. Особенно важно понимание факторов, влияющих на кинетику формирования и разложения гидридов. Особенности материала, экспериментальной установки и условий влияют на математическое описание процессов, которое может претерпевать существенные изменения в ходе обработки экспериментальных данных. В статье предложен общий подход к численному моделированию формирования и разложения гидридов металлов и решения обратных задач оценки параметров материала по данным измерений. Модели делятся на два класса: диффузионные, принимающие во внимание градиент концентрации водорода в решетке металла, и модели с быстрой диффузией. Первые более сложны и имеют форму неклассических краевых задач параболического типа. Описан подход к сеточному решению таких задач. Вторые решаются сравнительно просто, но могут сильно меняться при изменении модельных предположений. Опыт обработки экспериментальных данных показывает, что необходимо гибкое программное средство, позволяющее, с одной стороны, строить модели из стандартных блоков, свободно изменяя их при необходимости, а с другой — избегать реализации рутинных алгоритмов, причем приспособленное для высокопроизводительных систем различной парадигмы. Этим условиям удовлетворяет представленная в работе библиотека HIMICOS, протестированная на большом числе экспериментальных данных. Она позволяет моделировать кинетику формирования и разложения гидридов металлов (и других соединений) на трех уровнях абстракции. На низком уровне пользователь определяет интерфейсные процедуры, такие как расчет слоя по времени на основании предыдущего слоя или всей предыстории, вычисление наблюдаемой величины и независимой переменной по переменным задачи, сравнение кривой с эталонной. При этом могут использоваться алгоритмы, решающие краевые задачи параболического типа со свободными границами в весьма общей постановке, в том числе с разнообразными квазилинейными (линейными по производной) граничными условиями, а также вычисляющие расстояние между кривыми в различных метрических пространствах и с различной нормировкой. Это средний уровень абстракции. На высоком уровне достаточно выбрать готовую модель для того или иного материала и модифицировать ее применительно к условиям эксперимента.

Metal hydrides are an interesting class of chemical compounds that can reversibly bind a large amount of hydrogen and are, therefore, of interest for energy applications. Understanding the factors affecting the kinetics of hydride formation and decomposition is especially important. Features of the material, experimental setup and conditions affect the mathematical description of the processes, which can undergo significant changes during the processing of experimental data. The article proposes a general approach to numerical modeling of the formation and decomposition of metal hydrides and solving inverse problems of estimating material parameters from measurement data. The models are divided into two classes: diffusive ones, that take into account the gradient of hydrogen concentration in the metal lattice, and models with fast diffusion. The former are more complex and take the form of non-classical boundary value problems of parabolic type. A rather general approach to the grid solution of such problems is described. The second ones are solved relatively simply, but can change greatly when model assumptions change. Our experience in processing experimental data shows that a flexible software tool is needed; a tool that allows, on the one hand, building models from standard blocks, freely changing them if necessary, and, on the other hand, avoiding the implementation of routine algorithms. It also should be adapted for high-performance systems of different paradigms. These conditions are satisfied by the HIMICOS library presented in the paper, which has been tested on a large number of experimental data. It allows simulating the kinetics of formation and decomposition of metal hydrides, as well as related tasks, at three levels of abstraction. At the low level, the user defines the interface procedures, such as calculating the time layer based on the previous layer or the entire history, calculating the observed value and the independent variable from the task variables, comparing the curve with the reference. Special algorithms can be used for solving quite general parabolic-type boundary value problems with free boundaries and with various quasilinear (i.e., linear with respect to the derivative only) boundary conditions, as well as calculating the distance between the curves in different metric spaces and with different normalization. This is the middle level of abstraction. At the high level, it is enough to choose a ready tested model for a particular material and modify it in relation to the experimental conditions.

Статья посвящена построению и исследованию усредненной математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Окислительная регенерация является эффективным средством восстановления активности катализатора при покрытии его гранул коксовыми отложениями.

Математическая модель указанного процесса представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую включены кинетические уравнения для концентраций реагентов и уравнения для учета изменения температуры зерна катализатора и реакционной смеси в результате протекания неизотермических реакций и теплообмена между газом и слоем катализатора. Вследствие гетерогенности процесса окислительной регенерации часть уравнений отличается от стандартных кинетических и построена на основе эмпирических данных. В статье рассмотрена схема химического взаимодействия в процессе регенерации, на основе которой составлены уравнения материального баланса. В ней отражены непосредственное взаимодействие кокса и кислорода с учетом степени покрытия гранулы кокса углерод-водородным и углерод-кислородным комплексами, выделение монооксида и диоксида углерода в процессе горения, а также освобождение кислорода и водорода внутри зерна катализатора. При построении модели учитывается изменение радиуса, а следовательно, и площади поверхности коксовых гранул. Адекватность разработанной усредненной модели подтверждена анализом динамики концентраций веществ и температуры.

В статье приведен численный эксперимент для математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Эксперимент проведен с использованием метода Кутты–Мерсона. Этот метод относится к методам семейства Рунге–Кутты, но разработан для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты вычислительного эксперимента визуализированы.

В работе приведена динамика концентраций веществ, участвующих в процессе окислительной регенерации. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам сделан вывод об адекватности построенной математической модели. Проанализирован разогрев зерна катализатора и выделение монооксида углерода при изменении радиуса зерна для различных степеней начальной закоксованности. Дано описание полученных результатов.

В заключении отмечены основные результаты, приведены примеры задач, для решения которых может быть применена разработанная математическая модель.

The article is devoted to the construction and investigation of an averaged mathematical model of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst oxidative regeneration. The oxidative regeneration is an effective means of restoring the activity of the catalyst when its granules are coating with coke scurf.

The mathematical model of this process is a nonlinear system of ordinary differential equations, which includes kinetic equations for reagents’ concentrations and equations for changes in the temperature of the catalyst granule and the reaction mixture as a result of isothermal reactions and heat transfer between the gas and the catalyst layer. Due to the heterogeneity of the oxidative regeneration process, some of the equations differ from the standard kinetic ones and are based on empirical data. The article discusses the scheme of chemical interaction in the regeneration process, which the material balance equations are compiled on the basis of. It reflects the direct interaction of coke and oxygen, taking into account the degree of coverage of the coke granule with carbon-hydrogen and carbon-oxygen complexes, the release of carbon monoxide and carbon dioxide during combustion, as well as the release of oxygen and hydrogen inside the catalyst granule. The change of the radius and, consequently, the surface area of coke pellets is taken into account. The adequacy of the developed averaged model is confirmed by an analysis of the dynamics of the concentrations of substances and temperature.

The article presents a numerical experiment for a mathematical model of oxidative regeneration of an aluminum-cobalt-molybdenum hydrocracking catalyst. The experiment was carried out using the Kutta–Merson method. This method belongs to the methods of the Runge–Kutta family, but is designed to solve stiff systems of ordinary differential equations. The results of a computational experiment are visualized.

The paper presents the dynamics of the concentrations of substances involved in the oxidative regeneration process. A conclusion on the adequacy of the constructed mathematical model is drawn on the basis of the correspondence of the obtained results to physicochemical laws. The heating of the catalyst granule and the release of carbon monoxide with a change in the radius of the granule for various degrees of initial coking are analyzed. There are a description of the results.

In conclusion, the main results and examples of problems which can be solved using the developed mathematical model are noted.

В работе выполнен физический и численный анализ динамики и излучения продуктов взрыва, образующихся при проведении российско-американского эксперимента в ионосфере с использованием взрывного генератора на основе гексогена и тротила. Основное внимание уделяется анализу взаимосвязи излучения возмущенной области с динамикой процессов взрывчатого вещества и плазменной струи на поздней стадии. Проанализирован подробный химический состав продуктов взрыва и определены начальные концентрации наиболее важных молекул, способных излучать в инфракрасном диапазоне спектра, и приведены их излучательные константы. Определены начальная температура продуктов взрыва и показатель адиабаты. Проанализирован характер взаимопроникновения атомов и молекул сильно разреженной ионосферы в сферически расширяющееся облако продуктов. Разработана приближенная математическая модель динамики продуктов взрыва в условиях подмешивания к ним разреженного воздуха ионосферы и рассчитаны основные термодинамические характеристики системы. Показано, что на время 0,3–3 с происходит существенное повышение температуры разлетающейся смеси в результате ее торможения. Для анализа и сравнения на основе лагранжевого подхода разработан численный алгоритм решения двухобластной газодинамической задачи, в которой продукты взрыва и фоновый газ разделены контактной границей. Требовалось выполнение специальных условий на контактной границе при ее движении в покоящемся газе. В данном случае существуют определенные трудности в описании параметров продуктов взрыва вблизи контактной границы, что связано с большим различием в размерах массовых ячеек продуктов взрыва и фона из-за перепада плотности на 13 порядков. Для сокращения времени расчета данной задачи в области продуктов взрыва применялась неравномерная расчетная сетка. Расчеты выполнялись с различными показателями адиабаты. Получены результаты, наиболее важным из которых является температура, хорошо согласуется с результатами, полученными по методике, приближенно учитывающей взаимопроникновение. Получено поведение во времени коэффициентов излучения ИК-активных молекул в широком диапазоне спектра. Данное поведение качественно согласуется с экспериментами по ИК-свечению разлетающихся продуктов взрыва.

The paper presents a physical and numerical analysis of the dynamics and radiation of explosion products formed during the Russian-American experiment in the ionosphere using an explosive generator based on hexogen (RDX) and trinitrotoluene (TNT). The main attention is paid to the radiation of the perturbed region and the dynamics of the products of explosion (PE). The detailed chemical composition of the explosion products is analyzed and the initial concentrations of the most important molecules capable of emitting in the infrared range of the spectrum are determined, and their radiative constants are given. The initial temperature of the explosion products and the adiabatic exponent are determined. The nature of the interpenetration of atoms and molecules of a highly rarefied ionosphere into a spherically expanding cloud of products is analyzed. An approximate mathematical model of the dynamics of explosion products under conditions of mixing rarefied ionospheric air with them has been developed and the main thermodynamic characteristics of the system have been calculated. It is shown that for a time of 0,3–3 sec there is a significant increase in the temperature of the scattering mixture as a result of its deceleration. In the problem under consideration the explosion products and the background gas are separated by a contact boundary. To solve this two-region gas dynamic problem a numerical algorithm based on the Lagrangian approach was developed. It was necessary to fulfill special conditions at the contact boundary during its movement in a stationary gas. In this case there are certain difficulties in describing the parameters of the explosion products near the contact boundary which is associated with a large difference in the size of the mass cells of the explosion products and the background due to a density difference of 13 orders of magnitude. To reduce the calculation time of this problem an irregular calculation grid was used in the area of explosion products. Calculations were performed with different adiabatic exponents. The most important result is temperature. It is in good agreement with the results obtained by the method that approximately takes into account interpenetration. The time behavior of the IR emission coefficients of active molecules in a wide range of the spectrum is obtained. This behavior is qualitatively consistent with experiments for the IR glow of flying explosion products.

В статье приводятся результаты трехмерного моделирования экологического состояния мелководного водоема на примере Азовского моря с использованием схем повышенного порядка точности на многопроцессорной вычислительной системе Южного федерального университета. Для решения поставленной задачи были построены и изучены дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переносов четвертого порядка точности в случае частичной заполненности ячеек расчетной области. Разработанные схемы повышенного (четвертого) порядка точности были использованы при решении задач водной экологии для моделирования пространственного распределения загрязняющих биогенных веществ, вызывающих бурный рост фитопланктона, многие виды которого являются токсичными и вредоносными. Использование схем повышенного порядка точности позволило повысить качество входных данных, а также уменьшить значение погрешности при решении модельных задач водной экологии. Были проведены численные эксперименты для задачи транспорта веществ на основе схем второго и четвертого порядков точностей, которые показали, что для задачи диффузии-конвекции удалось повысить точность в 48,7 раз. Предложен и численно реализован математический алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна мелководного водоема на основе гидрографической информации (глубины водоема в отдельных точках или изолиний уровня), с помощью которого была получена карта рельефа дна Азовского моря, используемая для построения полей течений, рассчитанных на основе гидродинамической модели. Поля течений водного потока используются в работе в качестве входной информации для моделей водной экологии. Была разработана библиотека двухслойных итерационных методов, предназначенная для решения девятидиагональных сеточных уравнений, возникающих при дискретизации модельных задач изменения концентраций загрязняющих веществ, планктона и рыб на многопроцессорной вычислительной системе, что позволило повысить точность расчетных данных и дало возможность получать оперативные прогнозы изменения экологического состояния мелководного водоема в кратчайшие временные промежутки.

The article covered results of three-dimensional modeling of ecologic situation of shallow water on the example of the Azov Sea with using schemes of increased order of accuracy on multiprocessor computer system of Southern Federal University. Discrete analogs of convective and diffusive transfer operators of the fourth order of accuracy in the case of partial occupancy of cells were constructed and studied. The developed scheme of the high (fourth) order of accuracy were used for solving problems of aquatic ecology and modeling spatial distribution of polluting nutrients, which caused growth of phytoplankton, many species of which are toxic and harmful. The use of schemes of the high order of accuracy are improved the quality of input data and decreased the error in solutions of model tasks of aquatic ecology. Numerical experiments were conducted for the problem of transportation of substances on the basis of the schemes of the second and fourth orders of accuracy. They’re showed that the accuracy was increased in 48.7 times for diffusion-convection problem. The mathematical algorithm was proposed and numerically implemented, which designed to restore the bottom topography of shallow water on the basis of hydrographic data (water depth at individual points or contour level). The map of bottom relief of the Azov Sea was generated with using this algorithm. It’s used to build fields of currents calculated on the basis of hydrodynamic model. The fields of water flow currents were used as input data of the aquatic ecology models. The library of double-layered iterative methods was developed for solving of nine-diagonal difference equations. It occurs in discretization of model tasks of challenges of pollutants concentration, plankton and fish on multiprocessor computer system. It improved the precision of the calculated data and gave the possibility to obtain operational forecasts of changes in ecologic situation of shallow water in short time intervals.

Одна из трудностей разработки газоконденсатных месторождений обусловлена тем, что часть углеводородов газоносного слоя присутствует в немв виде конденсата, который застревает в порах пласта и извлечению не подлежит. В этой связи активно ведутся исследования, направленные на повышение извлекаемости углеводородов в подобных месторождениях. В том числе значительное количество публикаций посвящено развитию методов математического моделирования прохождения многокомпонентных газоконденсатных смесей через пористую среду в различных условиях.

В настоящей работе в рамках классического подхода, основанного на законе Дарси и законе неразрывности потоков, сформулирована математическая постановка начально-граничной задачи для системы нелинейных дифференциальных уравнений, описывающая прохождение многокомпонентной газоконденсатной смеси через пористую среду в режиме истощения. Разработанная обобщенная вычислительная схема на основе конечно-разностной аппроксимации и метода Рунге – Кутты четвертого порядка может использоваться для расчетов как в пространственно одномерном случае, соответствующемусловиям лабораторного эксперимента, так и в двумерном случае, когда речь идет о моделировании плоского газоносного пласта с круговой симметрией.

Численное решение упомянутой системы уравнений реализовано на основе комбинированного использования C++ и Maple с применением технологии параллельного программирования MPI для ускорения вычислений. Расчеты выполнены на кластере HybriLIT Многофункционального информационно-вычислительного комплекса Лаборатории информационных технологий Объединенного института ядерных исследований.

Численные результаты сопоставлены с данными о динамике выхода девятикомпонентной углеводородной смеси в зависимости от давления, полученными на лабораторной установке (ВНИИГАЗ, Ухта). Расчеты проводились для двух типов пористого наполнителя в лабораторной модели пласта: терригенного (при 25 ^◦С) и карбонатного (при 60 ^◦С). Показано, что используемый подход обеспечивает согласие полученных численных результатов с экспериментальными данными. Путем подгонки к экспериментальным данным по истощению лабораторной модели пласта получены значения параметров, определяющих коэффициент межфазного перехода для моделируемой системы. С использованием тех же параметров было проведено компьютерное моделирование истощения тонкого газоносного слоя в приближении круговой симметрии.

One of problems in developing the gas condensate fields lies on the fact that the condensed hydrocarbons in the gas-bearing layer can get stuck in the pores of the formation and hence cannot be extracted. In this regard, research is underway to increase the recoverability of hydrocarbons in such fields. This research includes a wide range of studies on mathematical simulations of the passage of gas condensate mixtures through a porous medium under various conditions.

In the present work, within the classical approach based on the Darcy law and the law of continuity of flows, we formulate an initial-boundary value problem for a system of nonlinear differential equations that describes a depletion of a multicomponent gas-condensate mixture in porous reservoir. A computational scheme is developed on the basis of the finite-difference approximation and the fourth order Runge .Kutta method. The scheme can be used for simulations both in the spatially one-dimensional case, corresponding to the conditions of the laboratory experiment, and in the two-dimensional case, when it comes to modeling a flat gas-bearing formation with circular symmetry.

The computer implementation is based on the combination of C++ and Maple tools, using the MPI parallel programming technique to speed up the calculations. The calculations were performed on the HybriLIT cluster of the Multifunctional Information and Computing Complex of the Laboratory of Information Technologies of the Joint Institute for Nuclear Research.

Numerical results are compared with the experimental data on the pressure dependence of output of a ninecomponent hydrocarbon mixture obtained at a laboratory facility (VNIIGAZ, Ukhta). The calculations were performed for two types of porous filler in the laboratory model of the formation: terrigenous filler at 25 .„R and carbonate one at 60 .„R. It is shown that the approach developed ensures an agreement of the numerical results with experimental data. By fitting of numerical results to experimental data on the depletion of the laboratory reservoir, we obtained the values of the parameters that determine the inter-phase transition coefficient for the simulated system. Using the same parameters, a computer simulation of the depletion of a thin gas-bearing layer in the circular symmetry approximation was carried out.

Работа посвящена исследованию субградиентных методов с различными вариациями шага Б.Т. Поляка на классах задач минимизации слабо выпуклых и относительно слабо выпуклых функций, обладающих соответствующим аналогом острого минимума. Оказывается, что при некоторых предположениях о начальной точке такой подход может давать возможность обосновать сходимость сyбградиентного метода со скоростью геометрической прогрессии. Для субградиентного метода с шагом Б.Т. Поляка доказана уточненная оценка скорости сходимости для задач минимизации слабо выпуклых функций с острым минимумом. Особенность этой оценки — дополнительный учет сокращения расстояния от текущей точки метода до множества решений по мере роста количества итераций. Представлены результаты численных экспериментов для задачи восстановления фазы (которая слабо выпyкла и имеет острый минимyм), демонстрирующие эффективность предложенного подхода к оценке скорости сходимости по сравнению с известным ранее результатом. Далее, предложена вариация субградиентного метода с переключениями по продуктивным и непродуктивным шагам для слабо выпуклых задач с ограничениями-неравенствами и получен некоторый аналог результата о сходимости со скоростью геометрической прогрессии. Для субградиентного метода с соответствующей вариацией шага Б.Т. Поляка на классе относительно липшицевых и относительно слабо выпуклых функций с относительным аналогом острого минимума получены условия, которые гарантируют сходимость такого субградиентного метода со скоростью геометрической прогрессии. Наконец, получен теоретический результат, описывающий влияние погрешности доступной сyбградиентномy методу информации о (сyб)градиенте и целевой функции на оценку качества выдаваемого приближенного решения. Доказано, что при достаточно малой погрешности $\delta > 0$ можно гарантировать достижение точности решения, сопоставимой c $\delta$.

The work is devoted to the study of subgradient methods with different variations of the Polyak stepsize for minimization functions from the class of weakly convex and relatively weakly convex functions that have the corresponding analogue of a sharp minimum. It turns out that, under certain assumptions about the starting point, such an approach can make it possible to justify the convergence of the subgradient method with the speed of a geometric progression. For the subgradient method with the Polyak stepsize, a refined estimate for the rate of convergence is proved for minimization problems for weakly convex functions with a sharp minimum. The feature of this estimate is an additional consideration of the decrease of the distance from the current point of the method to the set of solutions with the increase in the number of iterations. The results of numerical experiments for the phase reconstruction problem (which is weakly convex and has a sharp minimum) are presented, demonstrating the effectiveness of the proposed approach to estimating the rate of convergence compared to the known one. Next, we propose a variation of the subgradient method with switching over productive and non-productive steps for weakly convex problems with inequality constraints and obtain the corresponding analog of the result on convergence with the rate of geometric progression. For the subgradient method with the corresponding variation of the Polyak stepsize on the class of relatively Lipschitz and relatively weakly convex functions with a relative analogue of a sharp minimum, it was obtained conditions that guarantee the convergence of such a subgradient method at the rate of a geometric progression. Finally, a theoretical result is obtained that describes the influence of the error of the information about the (sub)gradient available by the subgradient method and the objective function on the estimation of the quality of the obtained approximate solution. It is proved that for a sufficiently small error $\delta > 0$, one can guarantee that the accuracy of the solution is comparable to $\delta$.

Разработанные автором недавно численные методики расчета молекулярной системы на базе прямого решения уравнения Шрёдингера методом Монте-Карло показали огромную неопределенностьв выборе решений. С одной стороны, оказалось возможным построить множество новых решений, с другой стороны, резко обостриласьпроб лема их связывания с реальностью. В квантовомеханических расчетах ab initio проблема выбора решений стоит не так остро после перехода к классическому формату описания молекулярной системы в терминах потенциальной энергии, метода молекулярной динамики и пр. В данной работе исследуется проблема выбора решений при классическом формате описания молекулярной системы без учета квантовомеханических предпосылок. Как оказалось, проблема выбора решений при классическом формате описания молекулярной системы сводится к конкретной разметке конфигурационного пространства в виде набора стационарных точек и реконструкции соответствующей функции потенциальной энергии. В такой постановке решение проблемы выбора сводится к двум возможным физико-математическим задачам: по заданной функции потенциальной энергии найти все ее стационарные точки (прямая задача проблемы выбора), по заданному набору стационарных точек реконструироватьф ункцию потенциальной энергии (обратная задача проблемы выбора). В работе с помощью вычислительного эксперимента обсуждается прямая задача проблемы выбора на примере описания моноатомного кластера. Численно оцениваются число и форма локально равновесных (седловых) конфигураций бинарного потенциала. Вводится соответствующая мера по различению конфигураций в пространстве. Предлагается формат построения всей цепочки многочастичных вкладов в функцию потенциальной энергии: бинарный, трехчастичный и т.д., многочастичный потенциал максимальной частичности. Обсуждается и иллюстрируется бесконечное количество локально равновесных (седловых) конфигураций для максимально многочастичного потенциала. Предлагается методика вариации числа стационарных точек путем комбинирования многочастичных вкладов в функцию потенциальной энергии. Перечисленные выше результаты работы направлены на то, чтобы уменьшить тот огромный произвол выбора формы потенциала, который имеет место в настоящее время. Уменьшение произвола выбора выражается в том, что имеющиеся знания о вполне конкретном наборе стационарных точек согласуются с соответствующей формой функции потенциальной энергии.

The numerical methods developed by the author recently for calculating the molecular system based on the direct solution of the Schrodinger equation by the Monte Carlo method have shown a huge uncertainty in the choice of solutions. On the one hand, it turned out to be possible to build many new solutions; on the other hand, the problem of their connection with reality has become sharply aggravated. In ab initio quantum mechanical calculations, the problem of choosing solutions is not so acute after the transition to the classical format of describing a molecular system in terms of potential energy, the method of molecular dynamics, etc. In this paper, we investigate the problem of choosing solutions in the classical format of describing a molecular system without taking into account quantum mechanical prerequisites. As it turned out, the problem of choosing solutions in the classical format of describing a molecular system is reduced to a specific marking of the configuration space in the form of a set of stationary points and reconstruction of the corresponding potential energy function. In this formulation, the solution of the choice problem is reduced to two possible physical and mathematical problems: to find all its stationary points for a given potential energy function (the direct problem of the choice problem), to reconstruct the potential energy function for a given set of stationary points (the inverse problem of the choice problem). In this paper, using a computational experiment, the direct problem of the choice problem is discussed using the example of a description of a monoatomic cluster. The number and shape of the locally equilibrium (saddle) configurations of the binary potential are numerically estimated. An appropriate measure is introduced to distinguish configurations in space. The format of constructing the entire chain of multiparticle contributions to the potential energy function is proposed: binary, threeparticle, etc., multiparticle potential of maximum partiality. An infinite number of locally equilibrium (saddle) configurations for the maximum multiparticle potential is discussed and illustrated. A method of variation of the number of stationary points by combining multiparticle contributions to the potential energy function is proposed. The results of the work listed above are aimed at reducing the huge arbitrariness of the choice of the form of potential that is currently taking place. Reducing the arbitrariness of choice is expressed in the fact that the available knowledge about the set of a very specific set of stationary points is consistent with the corresponding form of the potential energy function.

Представлена трехмерная гидродинамическая модель для описания пространственной структуры поля скорости ветра и турбулентного обмена в приземном слое атмосферы над неоднородным растительным покровом. Взаимодействие воздушного потока с растительностью моделировали с помощью теории контрастных структур. На основе модельных экспериментов на примере сплошной вырубки показано существенное влияние неоднородной растительности на поле скорости ветра и турбулентный обмен между земной поверхностью и атмосферой. Полученные результаты хорошо согласуются с данными полевых экспериментов и результатами выполненных ранее модельных расчетов с применением альтернативных моделей.

A three-dimensional (3D) hydrodynamic model to describe the spatial patterns of wind and turbulence characteristics in the atmospheric surface layer over inhomogeneous vegetation cover is presented. To describe the interaction of air flow with vegetation the theory of contrast structures is used. The numerical experiments provided by a developed model to assess the impact of small clear-cutting on wind and turbulent regime in the atmospheric surface layer showed a significant influence of heterogeneous vegetation on the wind field and the turbulent exchange processes between the land surface and the atmosphere. Obtained results give a reasonable agreement with field experimental data and results of numerical experiments provided using alternative models.