Все выпуски

Численное решение системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) является вычислительно трудоемкой задачей, так как взаимодействие излучения с веществом нелинейно и нелокально. Коэффициенты поглощения излучения зависят от температуры, а поле температур определяется как газодинамическими процессами, так и переносом излучения. Обычно для решения системы ВРГД используется метод расщепления по физическим процессам, выделяется блок решения уравнения переноса совместно с уравнением баланса энергии вещества при известных давлениях и температурах. Построенные ранее разностные схемы, используемые для решения этого блока, обладают порядками сходимости не выше второго. Так как даже на современном уровне развития вычислительной техники имеются ограничения по памяти, то для решения сложных технических задач приходится применять не слишком подробные сетки. Это повышает требования к порядку аппроксимации разностных схем. В данной работе впервые реализованы бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для алгоритма совместного решения уравнения переноса излучения и уравнения баланса энергии. Предложенный метод может быть применен для решения широкого круга практических задач, так как обладает высокой точностью и подходит для решения задач с разрывами коэффициентов. Нелинейность задачи и использование неявной схемы приводит к итерационному процессу, который может медленно сходиться. В данной работе используется мультипликативный HOLO-алгоритм — метод квазидиффузии В.Я. Гольдина. Ключевая идея HOLO-алгоритмов состоит в совместном решении уравнений высокого порядка (high order, HO) и низкого порядка (low order, LO). Уравнением высокого порядка (HO) является уравнение переноса излучения, которое решается в многогрупповом приближении, далее уравнение осредняется по угловой переменной и получается система уравнений квазидиффузии в многогрупповом приближении (LO₁). Следующим этапом является осреднение по энергии, при этом получается эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии (LO₂), которая решается совместно с уравнением энергии. Решения, получаемые на каждом этапе HOLO-алгоритма, оказываются тесно связанными, что в итоге приводит к ускорению сходимости итерационного процесса. Для каждого из этапов HOLO-алгоритма предложены разностные схемы, построенные методом прямых в рамках одной ячейки и обладающие четвертым порядком аппроксимации по пространству и третьим порядком по времени. Схемы для уравнения переноса были разработаны Б.В. Роговым и его коллегами, схемы для уравнений LO₁ и LO₂ разработаны авторами. Предложен аналитический тест, на котором демонстрируются заявленные порядки сходимости. Рассматриваются различные варианты постановки граничных условий и исследовано их влияние на порядок сходимости по времени и пространству.

The numerical solving of the system of high-temperature radiative gas dynamics (HTRGD) equations is a computationally laborious task, since the interaction of radiation with matter is nonlinear and non-local. The radiation absorption coefficients depend on temperature, and the temperature field is determined by both gas-dynamic processes and radiation transport. The method of splitting into physical processes is usually used to solve the HTRGD system, one of the blocks consists of a joint solving of the radiative transport equation and the energy balance equation of matter under known pressure and temperature fields. Usually difference schemes with orders of convergence no higher than the second are used to solve this block. Due to computer memory limitations it is necessary to use not too detailed grids to solve complex technical problems. This increases the requirements for the order of approximation of difference schemes. In this work, bicompact schemes of a high order of approximation for the algorithm for the joint solution of the radiative transport equation and the energy balance equation are implemented for the first time. The proposed method can be applied to solve a wide range of practical problems, as it has high accuracy and it is suitable for solving problems with coefficient discontinuities. The non-linearity of the problem and the use of an implicit scheme lead to an iterative process that may slowly converge. In this paper, we use a multiplicative HOLO algorithm named the quasi-diffusion method by V.Ya.Goldin. The key idea of HOLO algorithms is the joint solving of high order (HO) and low order (LO) equations. The high-order equation (HO) is the radiative transport equation solved in the energy multigroup approximation, the system of quasi-diffusion equations in the multigroup approximation (LO₁) is obtained by averaging HO equations over the angular variable. The next step is averaging over energy, resulting in an effective one-group system of quasi-diffusion equations (LO₂), which is solved jointly with the energy equation. The solutions obtained at each stage of the HOLO algorithm are closely related that ultimately leads to an acceleration of the convergence of the iterative process. Difference schemes constructed by the method of lines within one cell are proposed for each of the stages of the HOLO algorithm. The schemes have the fourth order of approximation in space and the third order of approximation in time. Schemes for the transport equation were developed by B.V. Rogov and his colleagues, the schemes for the LO₁ and LO₂ equations were developed by the authors. An analytical test is constructed to demonstrate the declared orders of convergence. Various options for setting boundary conditions are considered and their influence on the order of convergence in time and space is studied.

Многие нелинейные системы с управлением неособенным преобразованием переменных {состояние-управление} приводятся к каноническому виду Бруновского. В каноническом виде решаются различные вопросы теории управления, затем обратной заменой переменных осуществляется возврат к исходным переменным. В работе на основе этой идеологии изучаются преобразования симметрии пространства {время-состояние-управление}.

Many nonlinear control systems by nonsingular transformation variable {condition-control} happen to canonical Brunovsky form. The different questions dare in canonical form to theories of control, then inverse change variable is realized return to source variable. In work on base this ideology are studied transformations to symmetries space {time-condition-control}.

Получены численные решения двумерного реакционно-диффузионного уравнения с нелокальной нелинейностью, описывающие формирование диссипативной структуры. Рассмотрены структуры, возникающие из начальных распределений с одним и несколькими центрами локализации. При изменении параметров уравнения решения описывают формирование расширяющихся кольцевых структур. Рассмотрены особенности образования и взаимодействия расширяющихся кольцеобразных структур в зависимости от характера нелокального взаимодействия.

Numerical solutions for the two-dimensional reaction-diffusion equation with nonlocal nonlinearity are obtained. The solutions reveal formation of dissipative structures. Structures arising from initial distributions with one and several centers of localization are considered. Formation of extending circular structures is shown. Peculiarities of formation and interaction of extending circular structures depending on  nonlocal interaction are considered.

Предложен новый алгоритм построения нелинейного арифметического треугольника на основе численного моделирования и двоичной системы счисления. Показано, что числа, заполняющие нелинейный арифметический треугольник, могут являться биномиальными коэффициентами нового вида. Проведена аналогия с биномиальными коэффициентами, вычисляемыми с помощью треугольника Паскаля. Дана геометрическая интерпретация биномов различных видов при рассмотрении ветвящихся систем лучей.

The paper describes a new algorithm of construction of the nonlinear arithmetic triangle on the basis of numerical simulation and the binary system. It demonstrates that the numbers that fill the nonlinear arithmetic triangle may be binomial coefficients of a new type. An analogy has been drawn with the binomial coefficients calculated with the use of the Pascal triangle. The paper provides a geometrical interpretation of binomials of different types in considering the branching systems of rays.

В данной работе исследуется проблема унификации процедуры разработки и калибровки математической модели движения транспортного потока на автомобильной многополосной дороге в городских условиях. При этом использовался макроскопический подход, при котором транспортный поток описывается нелинейной системой гиперболических уравнений (для плотности и скорости потока) второго порядка. Полученная модель замыкается через уравнение зависимости интенсивности транспортного потока от его плотности, получаемое эмпирическим образом для каждого отдельного участка транспортной сети с использованием данных транспортных детекторов и автомобильных GPS-треков. Проверка работоспособности разработанной нами модели и методики калибровки проводилась с использованием численных расчетов, путем проведения вычисленных экспериментов на типичных данных, таких как моделирование движения трафика на заданном участке городской транспортной сети г. Москвы.

In this paper, we propose the unified procedure for the development and calibration of mathematical model for multilane urban road traffic flow. We use macroscopic approach, describing traffic flow with the system of second-order nonlinear hyperbolic equations (for traffic density and velocity). We close the resulting model with the equation of vehicle flow as a function of density, obtained empirically for each segment of road network using data from traffic detectors and vehicles’ GPS tracks. We verify the developed new model and calibration methods by using it to model segment of Moscows Ring Road.

Оптические системы с двумерной обратной связью демонстрируют широкие возможности по исследованию процессов зарождения и развития диссипативных структур. Обратная связь позволяет воздействовать на динамику оптической системы посредством управляемого преобразования пространственных переменных, выполняемых призмами, линзами, динамическими голограммами и другими устройствами. Нелинейный интерферометр с зеркальным отражением поля в двумерной обратной связи является одной из наиболее простых оптических систем, в которых реализуется нелокальный характер взаимодействия световых полей.

Математической моделью оптических систем с двумерной обратной связью является нелинейное параболическое уравнение с преобразованием поворота пространственной переменной и условиями периодичности на окружности.

Исследуются вопросы бифуркации рождения стационарных структур типа бегущей волны, эволюции их форм при уменьшении бифуркационного параметра (коэффициента диффузии) и динамики их устойчивости при отходе от критического значения параметра бифуркации и дальнейшем его уменьшении. Впервые в качестве бифуркационного параметра был взят коэффициент диффузии.

В работе используются метод центральных многообразий и метод Галёркина. На основе метода центральных многообразий доказана теорема о существовании, форме и устойчивости решения типа бегущей волны в окрестности бифуркационного значения коэффициента диффузии. Получено представление первой бегущей волны, рождающейся в результате бифуркации Андронова–Хопфа при переходе бифуркационного параметра через критическое значение. Согласно теореме о центральном многообразии первая бегущая волна рождается орбитально устойчивой.

Поскольку доказанная теорема дает возможность исследовать рожденные решения только в окрестности критического значения бифуркационного параметра, то для изучения динамики изменений решения типа бегущей волны при отходе бифуркационного параметра в область надкритичности был использован формализм метода Галёркина. В соответствии с методом центральных многообразий составлена галёркинская аппроксимация приближенных решений поставленной задачи. При уменьшении параметра бифуркации и его переходе через критическое значение нулевое решение задачи теряет устойчивость колебательным образом. В результате от нулевого решения ответвляется периодическое решение типа бегущей волны. Эта волна рождается орбитально устойчивой. При дальнейшем уменьшении параметра и его прохождении через следующее критическое значение от нулевого решения в результате бифуркации Андронова–Хопфа рождается второе решение типа бегущей волны. Данная волна рождается неустойчивой, с индексом неустойчивости два.

Численные расчеты с помощью пакета Mathematica показали, что применение метода Галёркина приводит к качественно и количественно правильным результатам. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами, полученными другими авторами, и могут быть использованы для постановки экспериментов по изучению явлений в оптических системах с обратной связью.

Optical systems with two-dimensional feedback demonstrate wide possibilities for studying the nucleation and development processes of dissipative structures. Feedback allows to influence the dynamics of the optical system by controlling the transformation of spatial variables performed by prisms, lenses, dynamic holograms and other devices. A nonlinear interferometer with a mirror image of a field in two-dimensional feedback is one of the simplest optical systems in which is realized the nonlocal nature of light fields.

A mathematical model of optical systems with two-dimensional feedback is a nonlinear parabolic equation with rotation transformation of a spatial variable and periodicity conditions on a circle. Such problems are investigated: bifurcation of the traveling wave type stationary structures, how the form of the solution changes as the diffusion coefficient decreases, dynamics of the solution’s stability when the bifurcation parameter leaves the critical value. For the first time as a parameter bifurcation was taken of diffusion coefficient.

The method of central manifolds and the Galerkin’s method are used in this paper. The method of central manifolds and the Galerkin’s method are used in this paper. The method of central manifolds allows to prove a theorem on the existence and form of the traveling wave type solution neighborhood of the bifurcation value. The first traveling wave born as a result of the Andronov –Hopf bifurcation in the transition of the bifurcation parameter through the сritical value. According to the central manifold theorem, the first traveling wave is born orbitally stable.

Since the above theorem gives the opportunity to explore solutions are born only in the vicinity of the critical values of the bifurcation parameter, the decision to study the dynamics of traveling waves of change during the withdrawal of the bifurcation parameter in the supercritical region, the formalism of the Galerkin method was used. In accordance with the method of the central manifold is made Galerkin’s approximation of the problem solution. As the bifurcation parameter decreases and its transition through the critical value, the zero solution of the problem loses stability in an oscillatory manner. As a result, a periodic solution of the traveling wave type branches off from the zero solution. This wave is born orbitally stable. With further reduction of the parameter and its passage through the next critical value from the zero solution, the second solution of the traveling wave type is produced as a result of the Andronov –Hopf bifurcation. This wave is born unstable with an instability index of two.

Numerical calculations have shown that the application of the Galerkin’s method leads to correct results. The results obtained are in good agreement with the results obtained by other authors and can be used to establish experiments on the study of phenomena in optical systems with feedback.

Рассматривается классическая для нелинейной динамики модель «брюсселятор», дополненная третьей переменной, играющей роль быстро диффундирующего ингибитора. Модель исследуется в одномерном случае в области параметров, где проявляются два типа диффузионной неустойчивости однородного стационарного состояния системы: волновая неустойчивость, приводящая к самопроизвольному формированию автоволн, и неустойчивость Тьюринга, приводящая к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур, или структур Тьюринга. Показано, что благодаря субкритическому характеру бифуркации Тьюринга взаимодействие двух неустойчивостей в данной системе приводит к самопроизвольному формированию стационарных диссипативных структур еще до прохождения бифуркации Тьюринга. В ответ на различные случайные шумовые возмущения пространственно-однородного стационарного состояния в исследуемой параметрической области в окрестности точки двойной бифуркации в системе могут устанавливаться различные режимы: как чистые, состоящие только из стационарных или только автоволновых диссипативных структур, так и смешанные, при которых разные режимы проявляются в разных участках расчетного пространства. В рассматриваемой параметрической области система является мультистабильной и проявляет высокую чувствительность к начальным шумовым условиям, что приводит к размытию границ между качественно разными режимами. При этом даже в зоне доминирования смешанных режимов с преобладанием структур Тьюринга значительную вероятность имеет установление чистого автоволнового режима. В случае установившихся смешанных режимов достаточно сильное локальное возмущение в участке расчетного пространства, где проявляется автоволновой режим, может инициировать локальное формирование новых стационарных диссипативных структур. Локальное возмущение стационарного однородного состояния в исследуемой области параметрического пространства приводит к качественно схожей карте устоявшихся режимов, при этом зона доминирования чистых автоволновых режимов расширяется с увеличением амплитуды локального возмущения. В двумерном случае в системе не устанавливаются смешанные режимы. При эволюции системы в случае появления локальных структур Тьюринга под воздействием автоволнового режима со временем они заполняют все расчетное пространство.

A classical for nonlinear dynamics model, Brusselator, is considered, being augmented by addition of a third variable, which plays the role of a fast-diffusing inhibitor. The model is investigated in one-dimensional case in the parametric domain, where two types of diffusive instabilities of system’s homogeneous stationary state are manifested: wave instability, which leads to spontaneous formation of autowaves, and Turing instability, which leads to spontaneous formation of stationary dissipative structures, or Turing structures. It is shown that, due to the subcritical nature of Turing bifurcation, the interaction of two instabilities in this system results in spontaneous formation of stationary dissipative structures already before the passage of Turing bifurcation. In response to different perturbations of spatially uniform stationary state, different stable regimes are manifested in the vicinity of the double bifurcation point in the parametric region under study: both pure regimes, which consist of either stationary or autowave dissipative structures; and mixed regimes, in which different modes dominate in different areas of the computational space. In the considered region of the parametric space, the system is multistable and exhibits high sensitivity to initial noise conditions, which leads to blurring of the boundaries between qualitatively different regimes in the parametric region. At that, even in the area of dominance of mixed modes with prevalence of Turing structures, the establishment of a pure autowave regime has significant probability. In the case of stable mixed regimes, a sufficiently strong local perturbation in the area of the computational space, where autowave mode is manifested, can initiate local formation of new stationary dissipative structures. Local perturbation of the stationary homogeneous state in the parametric region under investidation leads to a qualitatively similar map of established modes, the zone of dominance of pure autowave regimes being expanded with the increase of local perturbation amplitude. In two-dimensional case, mixed regimes turn out to be only transient — upon the appearance of localized Turing structures under the influence of wave regime, they eventually occupy all available space.

В работе развивается иерархический метод математического и компьютерного моделирования интервально-стохастических тепловых процессов в сложных электронных системах различного назначения. Разработанная концепция иерархического структурирования отражает как конструктивную иерархию сложной электронной системы, так и иерархию математических моделей процессов теплообмена. Тепловые процессы, учитывающие разнообразные физические явления в сложных электронных системах, описываются системами стохастических, нестационарных и нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных, и в силу этого их компьютерное моделирование наталкивается на значительные вычислительные трудности даже с применением суперкомпьютеров. Иерархический метод позволяет избежать указанных трудностей. Иерархическая структура конструкции электронной системы в общем случае характеризуется пятью уровнями: 1 уровень — активные элементы ЭС (микросхемы, электро-, радиоэлементы); 2 уровень — электронный модуль; 3 уровень — панель, объединяющая множество электронных модулей; 4 уровень — блок панелей; 5 уровень — стойка, установленная в стационарном или подвижном помещении. Иерархия моделей и моделирования стохастических тепловых процессов строится в порядке, обратном иерархической структуре конструкции электронной системы, при этом моделирование интервально-стохастических тепловых процессов осуществляется посредством получения уравнений для статистических мер. Разработанный в статье иерархический метод позволяет учитывать принципиальные особенности тепловых процессов, такие как стохастический характер тепловых, электрических и конструктивных факторов при производстве, сборке и монтаже электронных систем, стохастический разброс условий функционирования и окружающей среды, нелинейные зависимости от температуры факторов теплообмена, нестационарный характер тепловых процессов. Полученные в статье уравнения для статистических мер стохастических тепловых процессов представляют собой систему 14-ти нестационарных нелинейных дифференциальных уравнений первого порядка в обыкновенных производных, решение которых легко реализуется на современных компьютерах существующими численными методами. Рассмотрены результаты применения метода при компьютерном моделировании стохастических тепловых процессов в электронной системе. Иерархический метод применяется на практике при тепловом проектировании реальных электронных систем и создании современных конкурентоспособных устройств.

A hierarchical method of mathematical and computer modeling of interval-stochastic thermal processes in complex electronic systems for various purposes is developed. The developed concept of hierarchical structuring reflects both the constructive hierarchy of a complex electronic system and the hierarchy of mathematical models of heat exchange processes. Thermal processes that take into account various physical phenomena in complex electronic systems are described by systems of stochastic, unsteady, and nonlinear partial differential equations and, therefore, their computer simulation encounters considerable computational difficulties even with the use of supercomputers. The hierarchical method avoids these difficulties. The hierarchical structure of the electronic system design, in general, is characterized by five levels: Level 1 — the active elements of the ES (microcircuits, electro-radio-elements); Level 2 — electronic module; Level 3 — a panel that combines a variety of electronic modules; Level 4 — a block of panels; Level 5 — stand installed in a stationary or mobile room. The hierarchy of models and modeling of stochastic thermal processes is constructed in the reverse order of the hierarchical structure of the electronic system design, while the modeling of interval-stochastic thermal processes is carried out by obtaining equations for statistical measures. The hierarchical method developed in the article allows to take into account the principal features of thermal processes, such as the stochastic nature of thermal, electrical and design factors in the production, assembly and installation of electronic systems, stochastic scatter of operating conditions and the environment, non-linear temperature dependencies of heat exchange factors, unsteady nature of thermal processes. The equations obtained in the article for statistical measures of stochastic thermal processes are a system of 14 non-stationary nonlinear differential equations of the first order in ordinary derivatives, whose solution is easily implemented on modern computers by existing numerical methods. The results of applying the method for computer simulation of stochastic thermal processes in electron systems are considered. The hierarchical method is applied in practice for the thermal design of real electronic systems and the creation of modern competitive devices.

The grid-characteristic method is a promising numerical method for solving hyperbolic systems of equations, e.g., equations describing elastic and acoustic waves. This method has high precision and allows physically correct simulations of wave processes in heterogeneous media. The grid-characteristic method makes it possible to correctly take into account boundary conditions and conditions on surfaces with different physical characteristics. The method offers the greatest advantages for one-dimensional equations, especially in combination with a fixed difference grid, as in conventional grid-based methods. However, in the multidimensional case using the algorithms of splitting with respect to spatial variables, the author has managed to preserve its positive qualities. The use of the method of Runge–Kutta type, or the integro-interpolation method for hyperbolic equations makes it possible to effectively carry out a generalization of methods developed for linear equations, in the nonlinear case, in particular, to enforce the difference analogs of the conservation laws, which is important for shock-capturing, for example, discontinuous solutions. Based on the author’s variant of the grid-characteristic method, several important problems of seismic prospecting, seismic resistance, global seismic studies on Earth and Mars, medical applications, nondestructive testing of railway lines, the simulation of the creation and characteristics of composite materials for the aerospace industry and other areas of practical application were numerically solved. A significant advantage of the constructed method is the preservation of its stability and precision at the strains of the environment. This article presents the results of a numerical solution based on the grid-characteristic method to the problem of modeling elastic-plastic deformation in traumatic brain injury.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.