Все выпуски

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

The study of the physiological and pathophysiological processes in the cardiovascular system is one of the important contemporary issues, which is addressed in many works. In this work, several approaches to the mathematical modelling of the blood flow are considered. They are based on the spatial order reduction and/or use a steady-state approach. Attention is paid to the discussion of the assumptions and suggestions, which are limiting the scope of such models. Some typical mathematical formulations are considered together with the brief review of their numerical implementation. In the first part, we discuss the models, which are based on the full spatial order reduction and/or use a steady-state approach. One of the most popular approaches exploits the analogy between the flow of the viscous fluid in the elastic tubes and the current in the electrical circuit. Such models can be used as an individual tool. They also used for the formulation of the boundary conditions in the models using one dimensional (1D) and three dimensional (3D) spatial coordinates. The use of the dynamical compartment models allows describing haemodynamics over an extended period (by order of tens of cardiac cycles and more). Then, the steady-state models are considered. They may use either total spatial reduction or two dimensional (2D) spatial coordinates. This approach is used for simulation the blood flow in the region of microcirculation. In the second part, we discuss the models, which are based on the spatial order reduction to the 1D coordinate. The models of this type require relatively small computational power relative to the 3D models. Within the scope of this approach, it is also possible to include all large vessels of the organism. The 1D models allow simulation of the haemodynamic parameters in every vessel, which is included in the model network. The structure and the parameters of such a network can be set according to the literature data. It also exists methods of medical data segmentation. The 1D models may be derived from the 3D Navier – Stokes equations either by asymptotic analysis or by integrating them over a volume. The major assumptions are symmetric flow and constant shape of the velocity profile over a cross-section. These assumptions are somewhat restrictive and arguable. Some of the current works paying attention to the 1D model’s validation, to the comparing different 1D models and the comparing 1D models with clinical data. The obtained results reveal acceptable accuracy. It allows concluding, that the 1D approach can be used in medical applications. 1D models allow describing several dynamical processes, such as pulse wave propagation, Korotkov’s tones. Some physiological conditions may be included in the 1D models: gravity force, muscles contraction force, regulation and autoregulation.

В данной статье рассмотрены особенности численных решений некоторых задач для кноидальных волн, которые являются периодическими решениями классического уравнения Кортевега – де Фриза типа бегущей волны. Точные решения, описывающие эти волны, получены путемс ведения автоволновым приближением уравнения Кортевега – де Фриза к обыкновенным дифференциальным уравнениям сначала третьего, затем второго и, наконец, первого порядков. Обращение к числовому примеру показывает, что полученные такимо бразом обыкновенные дифференциальные уравнения не являются равносильными. Сформулированная и доказанная в настоящей статье теорема и замечание к ней показывают, что множество решений уравнения третьего порядка самое широкое и в качестве подмножеств включает в себя множества решений уравнений первого и второго порядков, которые в свою очередь равносильными не являются. Полученное автоволновым приближением обыкновенное дифференциальное уравнение первого порядка является источником для нахождения точных формул для описания кноидальной волны (периодического решения) и солитона (уединенной волны). Несмотря на это, с вычислительной точки зрения это уравнение является самым неудобным. Для этого уравнения не выполняется условие Липшица по искомой функции в окрестности постоянных решений. Отсюда теорема о существовании и единственности решения задачи Коши для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка не является справедливой. В частности, в стационарных точках нарушается единственность решения задачи Коши. Поэтому для обыкновенного дифференциального уравнения первого порядка, полученного из уравнения Кортевега – де Фриза, и в случае кноидальной волны, и в случае солитона задачу Коши нельзя ставить в точках экстремума. Начальное условие может быть поставлено лишь в точке убывания или роста, а отрезок численного решения необходимо выбрать так, чтобы он лежал между соседними точками экстремума. Но для уравнений второго и третьего порядков начальные условия можно ставить как в точках убывания или роста, так и в точках экстремума. При этом отрезок для численного решения сильно расширяется и наблюдается периодичность. Для решений этих обыкновенных уравнений изучаются постановки задач Коши, проводится сравнение полученных результатов с точными решениями и между собой. Показана численная реализация перерождения кноидальной волны в солитон. Результаты статьи имеют гемодинамическую интерпретацию пульсационного течения кровотока в цилиндрическом кровеносном сосуде, состоящем из упругих колец.

This article discusses the features of the numerical solutions of some problems for cnoidal waves, which are periodic solutions of the classical Korteweg – de Vries equation of the traveling wave type. Exact solutions describing these waves were obtained by communicating the autowave approximation of the Korteweg – de Vries equation to ordinary functions of the third, second, and finally, first orders. Referring to a numerical example shows that in this way ordinary differential equations are not equivalent. The theorem formulated and proved in this article and the remark to it include the set of solutions of the first and second order, which, in their ordinal, are not equivalent. The ordinary differential equation of the first order obtained by the autowave approximation for the description of a cnoidal wave (a periodic solution) and a soliton (a solitary wave). Despite this, from a computational point of view, this equation is the most inconvenient. For this equation, the Lipschitz condition for the sought-for function is not satisfied in the neighborhood of constant solutions. Hence, the existence theorem and the unique solutions of the Cauchy problem for an ordinary differential equation of the first order are not valid. In particular, the uniqueness of the solution to the Cauchy problem is violated at stationary points. Therefore, for an ordinary differential equation of the first order, obtained from the Korteweg – de Vries equation, both in the case of a cnoidal wave and in the case of a soliton, the Cauchy problem cannot be posed at the extremum points. The first condition can be a set position between adjacent extremum points. But for the second, third and third orders, the initial conditions can be set at the growth points and at the extremum points. In this case, the segment for the numerical solution greatly expands and periodicity is observed. For the solutions of these ordinary solutions, the statements of the Cauchy problems are studied, and the results are compared with exact solutions and with each other. A numerical realization of the transformation of a cnoidal wave into a soliton is shown. The results of the article have a hemodynamic interpretation of the pulsating blood flow in a cylindrical blood vessel consisting of elastic rings.

В работе рассматриваются различные математические постановки, относящиеся к задаче упругой устойчивости оболочек в связи с обнаруженными в последнее время несоответствиями между экспериментальными данными и предсказаниями, основанными на теории пологих оболочек. Отмечается, что противоречия возникли в связи с появлением новых алгоритмов, позволивших уточнить вычисленные в двадцатом веке так называемые нижние критические напряжения, которые приняты техническими стандартами в качестве критерия глобальной потери устойчивости тонких пологих оболочек. Новые вычисления часто оценивают нижнее критическое напряжение близким к нулю. Следовательно, нижнее критическое напряжение не может приниматься в качестве расчетного значения для анализа потери устойчивости тонкостенной конструкции, а уравнения теории пологих оболочек должны быть заменены другими дифференциальными уравнениями. В новой теории следует также определить критерий потери устойчивости, обеспечивающий совпадение вычислений и экспериментов.

В работе показано, что в рамках динамической нелинейной трехмерной теории упругости противоречие с новыми экспериментами может быть устранено. В качестве критерия глобальной потери устойчивости следует принять напряжение, при котором имеет место бифуркация динамических мод. Нелинейный характер исходных уравнений порождает уединенные (солитонные) волны, которым соответствуют негладкие перемещения оболочек (патерны, вмятины). Существенно, что влияния солитонов проявляются на всех этапах нагружения и резко возрастают, приближаясь к бифуркации. Солитонные решения иллюстрируются на примере тонкой цилиндрической безмоментной оболочки, трехмерный объем которой моделируется двумерной поверхностью с заданной толщиной. В статье отмечается, что волны, формирующие патерны, могут быть обнаружены (а их амплитуды определены) путем акустических или электромагнитных измерений.

Таким образом, появляется техническая возможность снизить риск разрушения оболочек, если проводить мониторинг формы поверхности современными акустическими средствами. Статья завершается формулировкой математических проблем, требующих решения для надежной численной оценки критерия потери устойчивости тонких упругих оболочек.

The article covers several mathematical problems relating to elastic stability of thin shells in view of inconsistencies that have been recently identified between the experimental data and the predictions based on the shallow- shell theory. It is highlighted that the contradictions were caused by new algorithms that enabled updating the values of the so called “low critical stresses” calculated in the 20th century and adopted as a buckling criterion for thin shallow shells by technical standards. The new calculations often find the low critical stress close to zero. Therefore, the low critical stress cannot be used as a safety factor for the buckling analysis of the thinwalled structure, and the equations of the shallow-shell theory need to be replaced with other differential equations. The new theory also requires a buckling criterion ensuring the match between calculations and experimental data.

The article demonstrates that the contradiction with the new experiments can be resolved within the dynamic nonlinear three-dimensional theory of elasticity. The stress when bifurcation of dynamic modes occurs shall be taken as a buckling criterion. The nonlinear form of original equations causes solitary (solitonic) waves that match non-smooth displacements (patterns, dents) of the shells. It is essential that the solitons make an impact at all stages of loading and significantly increase closer to bifurcation. The solitonic solutions are illustrated based on the thin cylindrical momentless shell when its three-dimensional volume is simulated with twodimensional surface of the set thickness. It is noted that the pattern-generating waves can be detected (and their amplitudes can by identified) with acoustic or electromagnetic devices.

Thus, it is technically possible to reduce the risk of failure of the thin shells by monitoring the shape of the surface with acoustic devices. The article concludes with a setting of the mathematical problems requiring the solution for the reliable numerical assessment of the buckling criterion for thin elastic shells.

The grid-characteristic method is a promising numerical method for solving hyperbolic systems of equations, e.g., equations describing elastic and acoustic waves. This method has high precision and allows physically correct simulations of wave processes in heterogeneous media. The grid-characteristic method makes it possible to correctly take into account boundary conditions and conditions on surfaces with different physical characteristics. The method offers the greatest advantages for one-dimensional equations, especially in combination with a fixed difference grid, as in conventional grid-based methods. However, in the multidimensional case using the algorithms of splitting with respect to spatial variables, the author has managed to preserve its positive qualities. The use of the method of Runge–Kutta type, or the integro-interpolation method for hyperbolic equations makes it possible to effectively carry out a generalization of methods developed for linear equations, in the nonlinear case, in particular, to enforce the difference analogs of the conservation laws, which is important for shock-capturing, for example, discontinuous solutions. Based on the author’s variant of the grid-characteristic method, several important problems of seismic prospecting, seismic resistance, global seismic studies on Earth and Mars, medical applications, nondestructive testing of railway lines, the simulation of the creation and characteristics of composite materials for the aerospace industry and other areas of practical application were numerically solved. A significant advantage of the constructed method is the preservation of its stability and precision at the strains of the environment. This article presents the results of a numerical solution based on the grid-characteristic method to the problem of modeling elastic-plastic deformation in traumatic brain injury.

While modeling seismic wave propagation, it is important to take into account nontrivial topography, as this topography causes multiple complex phenomena, such as diffraction at rough surfaces, complex propagation of Rayleigh waves, and side effects caused by wave interference. The primary goal of this research is to construct a method that implements the free surface on topography, utilizing an overset curved grid for characterization, while keeping the main grid structured rectangular. For a combination of the regular and curve-linear grid, the workability of the grid characteristics method using overset grids (also known as the Chimera grid approach) is analyzed. One of the benefits of this approach is computational complexity reduction, caused by the fact that simulation in a regular, homogeneous physical area using a sparse regular rectangle grid is simpler. The simplification of the mesh building mechanism (one grid is regular, and the other can be automatically built using surface data) is a side effect. Despite its simplicity, the method we propose allows us to increase the digitalization of fractured regions and minimize the Courant number. This paper contains various comparisons of modeling results produced by the proposed method-based solver, and results produced by the well-known solver specfem2d, as well as previous modeling results for the same problems. The drawback of the method is that an interpolation error can worsen an overall model accuracy and reduce the computational schema order. Some countermeasures against it are described. For this paper, only two-dimensional models are analyzed. However, the method we propose can be applied to the three-dimensional problems with minimal adaptation required.

While modeling seismic wave propagation, it is important to take into account nontrivial topography, as this topography causes multiple complex phenomena, such as diffraction at rough surfaces, complex propagation of Rayleigh waves, and side effects caused by wave interference. The primary goal of this research is to construct a method that implements the free surface on topography, utilizing an overset curved grid for characterization, while keeping the main grid structured rectangular. For a combination of the regular and curve-linear grid, the workability of the grid characteristics method using overset grids (also known as the Chimera grid approach) is analyzed. One of the benefits of this approach is computational complexity reduction, caused by the fact that simulation in a regular, homogeneous physical area using a sparse regular rectangle grid is simpler. The simplification of the mesh building mechanism (one grid is regular, and the other can be automatically built using surface data) is a side effect. Despite its simplicity, the method we propose allows us to increase the digitalization of fractured regions and minimize the Courant number. This paper contains various comparisons of modeling results produced by the proposed method-based solver, and results produced by the well-known solver specfem2d, as well as previous modeling results for the same problems. The drawback of the method is that an interpolation error can worsen an overall model accuracy and reduce the computational schema order. Some countermeasures against it are described. For this paper, only two-dimensional models are analyzed. However, the method we propose can be applied to the three-dimensional problems with minimal adaptation required.

Ультразвуковое исследование свойств материалов является прецизионным методом определения их упругих и прочностных свойств в связи с маленькой по сравнению с толщиной пластины длиной волны, образующейся в материале после воздействия лазерным пучком. В данной работе подробно рассмотрены волновые процессы, возникающие в ходе проведения этих измерений. Показано, что полноволновое численное моделирование позволяет детально изучать типы волн, геометрические характеристики их профиля, скорость прихода волн в различные точки, выявлять типы волн, измерения по которым оптимальны для исследований образца с заданными материалом и формой, разрабатывать методики измерений.

Для осуществления полноволнового моделирования в данной работе был применен сеточно-характеристический метод на структурированных сетках и решалась гиперболическая система уравнений, описывающая распространение упругих волн в материале рассматриваемой пластины конечной толщины на конкретном примере отношения толщины к ширине 1:10.

Для моделирования упругого фронта, возникшего в пластине от воздействия лазерного пучка, предложена соответствующая постановка задачи. Выполнено сравнение возникающих при ее использовании волновых эффектов со случаем точечного источника и с данными физических экспериментов о распространении лазерного ультразвука в металлических пластинах.

Проведено исследование, на основании которого были выявлены характерные геометрические особенности рассматриваемых волновых процессов. Исследованы основные типы упругих волн, возникающие в процессе воздействия лазерного пучка, проанализирована возможность их использования для исследования свойств материалов и предложен метод, основанный на анализе кратных волн. Проведено тестирование предложенного метода по изучению свойств пластины при помощи кратных волн на синтетических данных, показавшее хорошие результаты.

Следует отметить, что большая часть исследований кратных волн направлена на разработку методов их подавления. Кратные волны не используются для обработки результатов ультразвуковых исследований в связи со сложностью их выявления в регистрируемых данных физического эксперимента.

За счет применения полноволнового моделирования и анализа пространственных динамических волновых процессов в данной работе кратные волны рассмотрены подробно и предложено деление материалов на три класса, позволяющее использовать кратные волны для получения информации о материале пластины.

Основными результатами работы являются разработанные постановки задачи для численного моделирования исследования пластин конечной толщины лазерным ультразвуком; выявленные особенности волновых явлений, возникающих в пластинах конечной толщины; разработанная методика исследования свойств пластины на основе кратных волн; разработанная классификация материалов.

Результаты исследований, приведенные в настоящей работе, могут быть интересны для разработок не только в области ультразвуковых исследований материалов, но и в области сейсмической разведки земных недр, так как предложенный подход может быть расширен на более сложные случаи гетерогенных сред и применен в геофизике.

Ultrasound examination of material properties is a precision method for determining their elastic and strength properties in connection with the small wavelength formed in the material after impact of a laser beam. In this paper, the wave processes arising during these measurements are considered in detail. It is shown that full-wave numerical modeling allows us to study in detail the types of waves, topological characteristics of their profile, speed of arrival of waves at various points, identification the types of waves whose measurements are most optimal for examining a sample made of a specific material of a particular shape, and to develop measurement procedures.

To carry out full-wave modeling, a grid-characteristic method on structured grids was used in this work and a hyperbolic system of equations that describes the propagation of elastic waves in the material of the thin plate under consideration on a specific example of a ratio of thickness to width of 1:10 was solved.

To simulate an elastic front that arose in the plate due to a laser beam, a model of the corresponding initial conditions was proposed. A comparison of the wave effects that arise during its use in the case of a point source and with the data of physical experiments on the propagation of laser ultrasound in metal plates was made.

A study was made on the basis of which the characteristic topological features of the wave processes under consideration were identified and revealed. The main types of elastic waves arising due to a laser beam are investigated, the possibility of their use for studying the properties of materials is analyzed. A method based on the analysis of multiple waves is proposed. The proposed method for studying the properties of a plate with the help of multiple waves on synthetic data was tested, and it showed good results.

It should be noted that most of the studies of multiple waves are aimed at developing methods for their suppression. Multiple waves are not used to process the results of ultrasound studies due to the complexity of their detection in the recorded data of a physical experiment.

Due to the use of full wave modeling and analysis of spatial dynamic wave processes, multiple waves are considered in detail in this work and it is proposed to divide materials into three classes, which allows using multiple waves to obtain information about the material of the plate.

The main results of the work are the developed problem statements for the numerical simulation of the study of plates of a finite thickness by laser ultrasound; the revealed features of the wave phenomena arising in plates of a finite thickness; the developed method for studying the properties of the plate on the basis of multiple waves; the developed classification of materials.

The results of the studies presented in this paper may be of interest not only for developments in the field of ultrasonic non-destructive testing, but also in the field of seismic exploration of the earth's interior, since the proposed approach can be extended to more complex cases of heterogeneous media and applied in geophysics.

One of the destroying natural processes is the initiation of the regional seismic activity. It leads to a large number of human deaths. Much effort has been made to develop precise and robust methods for the estimation of the seismic stability of buildings. One of the most common approaches is the natural frequency method. The obvious drawback of this approach is a low precision due to the model oversimplification. The other method is a detailed simulation of dynamic processes using the finite-element method. Unfortunately, the quality of simulations is not enough due to the difficulty of setting the correct free boundary condition. That is why the development of new numerical methods for seismic stability problems is a high priority nowadays.

The present work is devoted to the study of spatial dynamic processes occurring in geological medium during an earthquake. We describe a method for simulating seismic wave propagation from the hypocenter to the day surface. To describe physical processes, we use a system of partial differential equations for a linearly elastic body of the second order, which is solved numerically by a grid-characteristic method on parallelepiped meshes. The widely used geological hypocenter model, called the “double-couple” model, was incorporated into this numerical algorithm. In this case, any heterogeneities, such as geological layers with curvilinear boundaries, gas and fluid-filled cracks, fault planes, etc., may be explicitly taken into account.

In this paper, seismic waves emitted during the earthquake initiation process are numerically simulated. Two different models are used: the homogeneous half-space and the multilayered geological massif with the day surface. All of their parameters are set based on previously published scientific articles. The adequate coincidence of the simulation results is obtained. And discrepancies may be explained by differences in numerical methods used. The numerical approach described can be extended to more complex physical models of geological media.

One of the destroying natural processes is the initiation of the regional seismic activity. It leads to a large number of human deaths. Much effort has been made to develop precise and robust methods for the estimation of the seismic stability of buildings. One of the most common approaches is the natural frequency method. The obvious drawback of this approach is a low precision due to the model oversimplification. The other method is a detailed simulation of dynamic processes using the finite-element method. Unfortunately, the quality of simulations is not enough due to the difficulty of setting the correct free boundary condition. That is why the development of new numerical methods for seismic stability problems is a high priority nowadays.

The present work is devoted to the study of spatial dynamic processes occurring in geological medium during an earthquake. We describe a method for simulating seismic wave propagation from the hypocenter to the day surface. To describe physical processes, we use a system of partial differential equations for a linearly elastic body of the second order, which is solved numerically by a grid-characteristic method on parallelepiped meshes. The widely used geological hypocenter model, called the “double-couple” model, was incorporated into this numerical algorithm. In this case, any heterogeneities, such as geological layers with curvilinear boundaries, gas and fluid-filled cracks, fault planes, etc., may be explicitly taken into account.

In this paper, seismic waves emitted during the earthquake initiation process are numerically simulated. Two different models are used: the homogeneous half-space and the multilayered geological massif with the day surface. All of their parameters are set based on previously published scientific articles. The adequate coincidence of the simulation results is obtained. And discrepancies may be explained by differences in numerical methods used. The numerical approach described can be extended to more complex physical models of geological media.

В зоне арктического шельфа расположены огромные запасы углеводородов. Проведение исследовательских работ на данной территории осложняется наличием различных ледовых образований, например айсбергов, торосов, ледовых полей. Во время проведения сейсморазведочных работ последние из выше перечисленных ледовых образований, ледовые поля, вносят в сейсмограммы многочисленные отражения сейсмического сигнала от границ «лед–вода» и «лед–воздух», распространяющиеся по всей поверхности льда. Данные многочисленные отражения необходимо учитывать при анализе сейсмограмм, а также уметь их исключать с целью получения отраженных волн от нижележащих геологических слоев, включая залежи углеводородов.

В работе решается задача о распространении сейсмических волн в неоднородной среде. Геологические среды описываются системами уравнений линейной упругости и акустики. Представлено подробное описание численного решения данных систем уравнений с помощью сеточно-характеристического метода. Для решения конечных одномерных уравнений переноса, к которым приводятся системы, применяется схема Русанова третьего порядка точности. В работе рассматривается способ подавления многочисленных отражений во льду путем заглубления источника сейсмического сигнала вплоть до границы с водой. Такой способ подавления кратных волн часто используется в реальных геологических работах. Представлены результаты численных расчетов распространения сейсмических волн в моделях с заглубленным источником импульса, а также в моделях с сейсмическим источником на поверхности льда для трехмерного случая. Результатами численного моделирования являются волновые картины, графики значений продольной компоненты скорости и сейсмограммы для двух рассматриваемых постановок задач. В работе проводится анализ влияния различных постановок источника на уменьшение продольных компонент скорости в слое льда, на результирующие сейсмограммы и волновые поля. Делается вывод о том, что заглубление источника только ухудшает конечный результат при условии помещения источника и приемников сигнала на границе «лед–вода». Уменьшение продольных компонент скорости во льду показала постановка источника на поверхности льда.

The Arctic region contains large hydrocarbon deposits. The presence of different ice formations, such as icebergs, ice hummocks, ice fields, complicates the process of carrying out seismic works on the territory. The last of them, ice fields, bring multiple reflections, spreading all over the surface of ice, into seismogramms. These multiple reflections are necessary to be taken into account while analyzing the seismograms, and geologists should be able to exclude them in order to obtain the reflected waves from the lower geological layers, including hydrocarbon layers.

In this work, we solve the problem of the seismic waves spread in the heterogeneous medium. The systems of equations for the linear elastic medium and for the acoustic medium describe the geological layers. We present the detailed description of the numerical solution of these systems of equations with the help of the grid-characteristic method. The final 1D transfer equations are solved with the use of the Rusanov scheme of the third order of accuracy. In the work, we examine the way of multiple waves decrease in ice by establishing the source of impulse deep into the ice field on border with water. We present the results of computer modelling of the seismic waves spread in geological layers, where the seismic source of impulse is situated on the contact border between ice and water, and also with the seismic source of impulse on the surface of ice for the 3D case. The results of the numerical modelling are presented by wave fields, graphs of the velocity x-components and seismogramms for the two problem formulations. We carry out the analysis of influence of establishing the source of impulse on the border between ice and water on the decrease of the x-components of seismic wave velocities, on seismogramms and on wave fields. As a result, the model, where the seismic source of impulse is situated on the contact border between ice and water, makes worse the final result. The model with the source of impulse on the surface of ice demonstrates a decrease of the x-components of seismic wave velocities.

Сейсмическая разведка является наиболее распространённым методом поиска и разведки месторождений полезных ископаемых: нефти и природного газа. Зародившись в начале XX века, она получила значительное развитие и в настоящий момент используется практически всеми сервисными нефтяными компаниями. Основными ее преимуществами являются приемлемая стоимость проведения полевых работ (по сравнению с бурением скважин) и точность восстановления характеристик подповерхностного пространства. Однако с открытием нетрадиционных месторождений (например, Арктический шельф, Баженовская свита) актуальной стала задача усовершенствования существующих и создания новых технологий обработки сейсмических данных. Значительное развитие в данном направлении возможно с использованием численного моделирования распространения сейсмических волн в реалистичных моделях геологического массива, поскольку реализуется возможность задания произвольной внутренней структуры среды с последующей оценкой синтетического сигнала-отклика.

Настоящая работа посвящена исследованию пространственных динамических процессов, протекающих в геологических средах, содержащих трещиноватые включения, в процессе сейсмической разведки. Авторами построена трехмерная модель слоистого массива, содержащего пласт из флюидонасыщенных трещин, позволяющая оценить сигнал-отклик при варьировании структуры неоднородного включения. Для описания физических процессов используется система уравнений линейно-упругого тела в частных производных второго порядка, которая решается численно сеточно-характеристическим методом на гексаэдральных расчетных сетках. При этом плоскости трещин выделяются на этапе построения расчетной сетки, в дальнейшем используется дополнительная корректировка, обеспечивающая корректный сейсмический отклик для параметров модели, характерных для геологических сред.

В работе получены площадные трехкомпонентные сейсмограммы с общим пунктом взрыва. На их основе проведена оценка влияния структуры трещиноватой среды на анизотропию сейсмического отклика, регистрируемого на дневной поверхности на различном удалении от источника. Установлено, что кинематические характеристики сигнала остаются постоянными, тогда как динамические характеристики для упорядоченных и неупорядоченных моделей могут различаться на десятки процентов.

Seismic survey process is the common method of prospecting and exploration of deposits: oil and natural gas. Invented at the beginning of the XX century, it has received significant development and is currently used by almost all service oil companies. Its main advantages are the acceptable cost of fieldwork (in comparison with drilling wells) and the accuracy of estimating the characteristics of the subsurface area. However, with the discovery of non-traditional deposits (for example, the Arctic shelf, the Bazhenov Formation), the task of improving existing and creating new seismic data processing technologies became important. Significant development in this direction is possible with the use of numerical simulation of the propagation of seismic waves in realistic models of the geological medium, since it is possible to specify an arbitrary internal structure of the medium with subsequent evaluation of the synthetic signal-response.

The present work is devoted to the study of spatial dynamic processes occurring in geological medium containing fractured inclusions in the process of seismic exploration. The authors constructed a three-dimensional model of a layered massif containing a layer of fluid-saturated cracks, which makes it possible to estimate the signal-response when the structure of the inhomogeneous inclusion is varied. To describe physical processes, we use a system of equations for a linearly elastic body in partial derivatives of the second order, which is solved numerically by a grid-characteristic method on hexahedral grid. In this case, the crack planes are identified at the stage of constructing the grid, and further an additional correction is used to ensure a correct seismic response for the model parameters typical for geological media.

In the paper, three-component area seismograms with a common explosion point were obtained. On their basis, the effect of the structure of a fractured medium on the anisotropy of the seismic response recorded on the day surface at a different distance from the source was estimated. It is established that the kinematic characteristics of the signal remain constant, while the dynamic characteristics for ordered and disordered models can differ by tens of percents.

В работе рассматривается применение технологии Message Passing Interface (MPI) для распараллеливания программного алгоритма, основанного на сеточно-характеристическом методе, применительно к численному решению уравнения линейной теории упругости. Данный алгоритм позволяет численно моделировать распространение динамических волновых возмущений в твердых деформируемых телах. К такого рода задачам относится решение прямой задачи распространения сейсмических волн, что представляет интерес в сейсмике и геофизике. Во снове решателя лежит сеточно-характеристический метод. В работе предложен способ уменьшения времени взаимодействия между процессами MPI в течение расчета. Это необходимо для того, чтобы можно было производить моделирование в сложных постановках, при этом сохраняя высокую эффективность параллелизма даже при большом количестве процессов. Решение проблемы эффективного взаимодействия представляет большой интерес, когда в расчете используется несколько расчетных сеток с произвольной геометрией контактов между ними. Сложность данной задачи возрастает, если допускается независимое распределение узлов расчетных сеток между процессами. В работе сформулирован обобщенный подход для обработки контактных условий в терминах переинтерполяции узлов из заданного участка одной сетки в определенную область второй сетки. Предложен эффективный способ распараллеливания и установления эффективных межпроцессорных коммуникаций. Приведены результаты работы реализованного программного кода: получены волновые поля и сейсмограммы как для 2D-, так и для 3D-постановок. Показано, что данный алгоритм может быть реализован в том числе на криволинейных расчетных сетках. Рассмотренные постановки демонстрируют возможность проведения расчета с учетом топографии среды и криволинейных контактов между слоями. Это позволяет получать более точные результаты, чем при расчете только с использованием декартовых сеток. Полученная эффективность распараллеливания — практически 100% вплоть до 4096 процессов (за основу отсчета взята версия, запущенная на 128 процессах). Дале наблюдается ожидаемое постепенное снижение эффективности. Скорость спада не велика, на 16384 процессах удается сохранить 80%-ную эффективность.

We consider an application of the Message Passing Interface (MPI) technology for parallelization of the program code which solves equation of the linear elasticity theory. The solution of this equation describes the propagation of elastic waves in demormable rigid bodies. The solution of such direct problem of seismic wave propagation is of interest in seismics and geophysics. Our implementation of solver uses grid-characteristic method to make simulations. We consider technique to reduce time of communication between MPI processes during the simulation. This is important when it is necessary to conduct modeling in complex problem formulations, and still maintain the high level of parallelism effectiveness, even when thousands of processes are used. A solution of the problem of effective communication is extremely important when several computational grids with arbirtrary geometry of contacts between them are used in the calculation. The complexity of this task increases if an independent distribution of the grid nodes between processes is allowed. In this paper, a generalized approach is developed for processing contact conditions in terms of nodes reinterpolation from a given section of one grid to a certain area of the second grid. An efficient way of parallelization and establishing effective interprocess communications is proposed. For provided example problems we provide wave fileds and seismograms for both 2D and 3D formulations. It is shown that the algorithm can be realized both on Cartesian and on structured (curvilinear) computational grids. The considered statements demonstrate the possibility of carrying out calculations taking into account the surface topographies and curvilinear geometry of curvilinear contacts between the geological layers. Application of curvilinear grids allows to obtain more accurate results than when calculating only using Cartesian grids. The resulting parallelization efficiency is almost 100% up to 4096 processes (we used 128 processes as a basis to find efficiency). With number of processes larger than 4096, an expected gradual decrease in efficiency is observed. The rate of decline is not great, so at 16384 processes the parallelization efficiency remains at 80%.