Все выпуски

В работе решается задача вычисления параметров случайного сигнала в условиях распределения Райса на основе принципа максимума правдоподобия в предельных случаях большого и малого значения отношения сигнала к шуму. Получены аналитические формулы для решения системы уравнений максимума правдоподобия для искомых параметров сигнала и шума как для однопараметрического приближения, когда рассчитывается только один параметр задачи — величина сигнала, в предположении априорной известности второго параметра — дисперсии шума, так и для двухпараметрической задачи, когда оба параметра априорно неизвестны. Непосредственное вычисление искомых параметров сигнала и шума по формулам позволяет избежать необходимости ресурсоемкого численного решения системы нелинейных уравнений и тем самым оптимизировать время компьютерной обработки сигналов и изображений. Представлены результаты компьютерного моделирования задачи, подтверждающие теоретические выводы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации.

В работе решается двухпараметрическая задача совместного расчета параметров сигнала и шума в условиях распределения Райса методами математической статистики: методом максимума правдоподобия и вариантами метода моментов. Рассматриваемые варианты метода моментов включают в себя совместный расчет сигнала и шума на основе измерений 2-го и 4-го моментов (ММ24) и на основе измерений 1-го и 2-го моментов (ММ12). В рамках каждого из рассматриваемых методов получены в явном виде системы уравнений для искомых параметров сигнала и шума. Важный математический результат проведенного исследования состоит в том, что решение системы двух нелинейных уравнений с двумя неизвестными — искомыми параметрами сигнала и шума — сведено к решению одного уравнения с одной неизвестной, что важно с точки зрения как теоретического исследования метода, так и его практического применения, позволяя существенно сократить необходимые для реализации метода вычислительные ресурсы. Задача является значимой для целей обработки райсовских данных, в частности, в системах магнитно-резонансной визуализации. В результате проведенного теоретического анализа получен важный практический вывод: решение двухпараметрической задачи не приводит к увеличению требуемых вычислительных ресурсов по сравнению с однопараметрическим приближением. Теоретические выводы подтверждаются результатами численного эксперимента.

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель трехслойной ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной перпендикулярно запоминающему ферромагнитному слою ячейки (перпендикулярная анизотропия). Предполагается, что первоначально намагниченность свободного слоя ячейки ориентирована вдоль оси анизотропии и соответствует состоянию «нуль». Одновременное мгновенное включение спин-поляризованного тока и магнитного поля воздействует на намагниченность свободного слоя и может перевести ее в противоположное положение, соответствующее состоянию «единица». Математическое описание эффекта основано на классическом векторном уравнении Ландау–Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта. В нашей модели учтены взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и эффективными полями анизотропии и размагничивания, а также с током инжекции в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от управляющих параметров: величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Установлено, что в данной системе, в отличие от системы с продольной анизотропией, дополнительные состояния равновесия отсутствуют. Проведен анализ устойчивости основных состояний равновесия по первому приближению. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно, методом Рунге–Кутты, построены траектории переключения. Найдены комбинации управляющих параметров, при которых переключение невозможно. Найдены области существования устойчивых и неустойчивых предельных циклов системы. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Проведено сравнение значений порогового тока в моделях с продольной и перпендикулярной анизотропией при нулевом магнитном поле и показано, что в модели с перпендикулярной анизотропией ток переключения почти на порядок ниже, чем в модели с продольной анизотропией.

При моделировании методами классической молекулярной динамики поведения системы частиц используются уравнения движения в ньютоновской и гамильтоновой формулировке. При использовании уравнений Ньютона для получения координат и скоростей частиц системы, состоящей из $N$ частиц, требуется на каждом временном шаге в трехмерном случае решить $3N$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Традиционно для решения уравнений движения молекулярной динамики в ньютоновской формулировке используются численные схемы метода Верле. Для сохранения устойчивости численных схем Верле на достаточно больших интервалах времени приходится уменьшать шаг интегрирования. Это приводит к существенному увеличению объема вычислений. В большинстве современных пакетов программ молекулярной динамики для численного интегрирования уравнений движения используют схемы метода Верле с контролем сохранения гамильтониана (энергии системы) по времени. Для уменьшения времени вычислений при молекулярно-динамических расчетах можно использовать два дополняющих друг друга подхода. Первый основан на совершенствовании и программной оптимизации существующих пакетов программ молекулярной динамики с использованием векторизации, распараллеливания, спецпроцессоров. Второй подход основан на разработке эффективных методов численного интегрирования уравнений движения. В работе предложена процедура построения явных, неявных и симметричных симплектических численных схем с заданной точностью аппроксимации относительно шага интегрирования для решения уравнений движения молекулярной динамики в гамильтоновой форме. В основе подхода для построения предложенной в работе процедуры лежат следующие положения: гамильтонова формулировка уравнений движения, использование разложения точного решения в ряд Тейлора, использование для вывода численных схем аппарата производящих функций для сохранения геометрических свойств точного решения. Численные эксперименты показали, что полученная в работе симметричная симплектическая схема третьего порядка точности сохраняет в приближенном решении основные свойства точного решения, является более устойчивой по шагу аппроксимации и более точно сохраняет гамильтониан системы на большом интервале интегрирования, чем численные схемы метода Верле второго порядка.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.

Проведен сравнительный анализ двух численных методик моделирования нестационарных режимов термогравитационной конвекции и теплового поверхностного излучения в замкнутой дифференциально обогреваемой кубической полости. Рассматриваемая область решения имела две изотермические противоположные вертикальные грани, остальные стенки являлись адиабатическими. Поверхности стенок считались диффузно-серыми, т. е. их направленные спектральные степень черноты и поглощательная способность не зависят ни от угла, ни от длины волны, но могут зависеть от температуры поверхности. Относительно отраженного излучения использовались два предположения: 1) отраженное излучение является диффузным, т. е. интенсивность отраженного излучения в любой точке границы поверхности равномерно распределена по всем направлениям; 2) отраженное излучение равномерно распределено по каждой поверхности замкнутой области решения. Математическая модель, сформулированная как в естественных переменных «скорость–давление», так и в преобразованных переменных «векторный потенциал–вектор завихренности», реализована численно методом контрольного объема и методом конечных разностей соответственно. Следует отметить, что анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка.

При решении краевой задачи в естественных переменных методом контрольного объема для аппроксимации конвективных слагаемых применялся степенной закон, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Разностные уравнения движения и энергии разрешались на основе итерационного метода переменных направлений. Для поиска поля давления, согласованного с полем скорости, применялась процедура SIMPLE.

В случае метода конечных разностей и преобразованных переменных для аппроксимации конвективных слагаемых применялась монотонная схема Самарского, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Уравнения параболического типа разрешались на основе локально-одномерной схемы Самарского. Дискретизация уравнений эллиптического типа для компонент векторного потенциала проводилась с использованием формул симметричной аппроксимации вторых производных. При этом полученное разностное уравнение разрешалось методом последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.

В результате показано полное согласование полученных распределений скорости и температуры при различных значениях числа Рэлея, что отражает работоспособность представленных методик. Продемонстрирована эффективность использования преобразованных переменных и метода конечных разностей при решении класса нестационарных задач.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный алгоритм решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество алгоритма состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью $LU$-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

В данной работе этот алгоритм лежит в основе решения следующих задач.

Задача 1. Задание направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из известных техник построения существенно положительно определенной матрицы. Такой подход позволяет ослабить или снять дополнительные специфические трудности, обусловленные необходимостью решения больших систем уравнений с разреженными матрицами, представленных в упакованном виде.

Задача 2. Построение новой математической формулировки задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности. Они достаточно просты и могут быть использованы для построения методов математического программирования, например для поиска минимума квадратичной функции на многогранном множестве ограничений, основанного на решениях систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции.

Задача 3. Построение непрерывного аналога задачи минимизации вещественного квадратичного многочлена от булевых переменных и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности для разработки методов их решения за полиномиальное время. В результате исходная задача сводится к задаче поиска минимального расстояния между началом координат и угловой точкой выпуклого многогранника (полиэдра), который является возмущением $n$-мерного куба и описывается системой двойных линейных неравенств с верхней треугольной матрицей коэффициентов с единицами на главной диагонали. Исследованию подлежат только две грани, одна из которых или обе содержат вершины, ближайшие к началу координат. Для их вычисления достаточно решить $4n – 4$ систем линейных уравнений и выбрать среди них все ближайшие равноудаленные вершины за полиномиальное время. Задача минимизации квадратичного полинома является $NP$-трудной, поскольку к ней сводится $NP$-трудная задача о вершинном покрытии для произвольного графа. Отсюда следует вывод, что $P = NP$, в основе построения которого лежит выход за пределы целочисленных методов оптимизации.

В настоящей работе приводятся результаты численного моделирования свободного сдвигового течения с помощью схемы «КАБАРЕ», реализованной в приближении слабой сжимаемости. Анализ схемы проводится на основе изучения свойств неустойчивости Кельвина–Гельмгольца и порождаемой ею двумерной турбулентности, с использованием интегральных кривых кинетической энергии и энстрофии, картин временной эволюции завихренности, спектров энстрофии и энергии, а также дисперсионного соотношения для инкремента неустойчивости. Расчеты проводились для числа Рейнольдса $\text{Re} = 4 \times 10^5$, на квадратных последовательно сгущаемых сетках в диапазоне $128^2-2048^2$ ячеек. Внимание уделено проблеме «недоразрешенности слоев», проявляющейся в возникновении лишнего вихря при свертывании двух вихревых листов (слоев вихревой пелены). Данное явление существует только на грубых сетках $(128^2)$, однако, полностью симметричная картина эволюции завихренности начинает наблюдаться только при переходе к сетке $1024^2$ ячеек. Размерные оценки отношения вихрей на границах инерционного интервала показывают, что наиболее подробная сетка $2048^2$ ячеек оказывается достаточной для качественного отображения мелкомасштабных сгустков завихренности. Тем не менее можно говорить о достижении хорошей сходимости при отображении крупномасштабных структур. Эволюция турбулентности, в полном соответствии с теоретическими представлениями, приводит к появлению крупных вихрей, в которых сосредотачивается вся кинетическая энергия движения, и уединенных мелкомасштабных образований. Последние обладают свойствами когерентных структур, выживая в процессе нитеобразования (филаментации), и практически не взаимодействуют с вихрями других масштабов. Обсуждение диссипативных характеристик схемы ведется на основе анализа графиков скорости диссипации кинетической энергии, вычисляемой непосредственно, а также на основе теоретических соотношений для моделей несжимаемой жидкости (по кривым энстрофии) и сжимаемого газа (по влиянию тензора скоростей деформации и эффектов дилатации). Асимптотическое поведение каскадов кинетической энергии и энстрофии подчиняется реализующимся в двумерной турбулентности соотношениям $E(k) \propto k^{−3}$, $\omega^2(k) \propto k^{−1}$. Исследование зависимости инкремента неустойчивости от безразмерного волнового числа показывает хорошее согласие с данными других исследователей, вместе с тем часто используемый способ расчета инкремента неустойчивости не всегда оказывается достаточно точным, вследствие чего была предложена его модификация.

Таким образом, реализованная схема, отличаясь малой диссипативностью и хорошим вихреразрешением, оказывается вполне конкурентоспособной в сравнении с методами высокого порядка точности.

Cтроится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.

В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.

Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.

Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный метод решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество метода состоит в расчете факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы уравнений и ее решения в рамках одной процедуры, а также в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью LU-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

Расчет факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы и ее решение лежит в основе построения новой математической формулировки безусловной задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности, которые достаточно просты и в данной работе используются для построения новой математической формулировки задачи квадратичного программирования на многогранном множестве ограничений, которая представляет собой задачу поиска минимального расстояния между началом координат и точкой границы многогранного множества ограничений средствами линейной алгебры и многомерной геометрии.

Для определения расстояния предлагается применить известный точный метод, основанный на решении систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции. Расстояния определяются построением перпендикуляров к граням многогранника различной размерности. Для уменьшения числа исследуемых граней предлагаемый метод предусматривает специальный порядок перебора граней. Исследованию подлежат только грани, содержащие вершину, ближайшую к точке безусловного экстремума, и видимые из этой точки. В случае наличия нескольких ближайших равноудаленных вершин исследуется грань, содержащая все эти вершины, и грани меньшей размерности, имеющие с первой гранью не менее двух общих ближайших вершин.