Все выпуски

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

Описаны отличия технологии программирования для параллельных вычислительных систем от технологии последовательного программирования, аргументировано появление новых этапов в технологии: декомпозиция алгоритмов, назначение работ исполнителям, дирижирование и отображение логических исполнителей на физические. Затем кратко рассмотрены вопросы оценки производительности алгоритмов. Обсуждаются вопросы декомпозиции алгоритмов и программ на работы, которые могут бытьвы полнены параллельно.

В работе рассмотрена краевая задача о движении тепловой волны для вырождающегося уравнения второго порядка параболического типа со степенной нелинейностью. Краевое условие задает уравнение движения на плоскости нулевого фронта тепловой волны, имеющего форму окружности. Предложен новый численно-аналитический алгоритм, в соответствии с которым решение строится по шагам по времени при разностной схеме дискретизации времени. На каждом шаге рассматривается краевая задача для уравнения Пуассона, к которому сводится исходное уравнение. Фактически она является обратной задачей Коши, в которой исходная граница области решения свободна от граничных условий, а на текущей границе (фронте волны) заданы два условия (Неймана и Дирихле). Решение этой задачи ищется в виде суммы частного решения уравнения Пуассона и решения соответствующего уравнения Лапласа, удовлетворяющего граничным условиям. Поскольку неоднородность зависит от искомой функции и ее производных, решение строится итерационно. Частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Обратная задача Коши для уравнения Лапласа решается методом нулевого поля применительно к круговым областям с круговыми отверстиями. Для таких задач этот метод применяется впервые. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Распараллеливание вычислений позволило эффективно реализовать алгоритм на высокопроизводительных вычислительных системах. На базе алгоритма была создана компьютерная программа. В качестве средства распараллеливания был выбран стандарт параллельного программирования OpenMP для языка программирования C++ как наиболее подходящий для вычислительных программ с параллельными циклами. Эффективность алгоритма и работоспособность программы были проверены сравнением результатов расчетов с известным точным решением, а также с численным решением, полученным авторами ранее с помощью метода граничных элементов. Проведенный вычислительный эксперимент показал хорошую сходимость итерационных процессов и более высокую точность нового алгоритма по сравнению с разработанным ранее. Анализ решений позволил определить наиболее подходящую систему радиальных базисных функций.

Целью данной работы является создание достаточно универсальной вычислительной программы (решателя) кинетического уравнения Больцмана для моделирования течений разреженного газа в устройствах сложной формы. Подробно описывается структура решателя, а его эффективность демонстрируется на примере расчета современной конструкции многотрубочного насоса Кнудсена. Решение уравнения Больцмана выполняется на фиксированных пространственной и скоростной сетках с помощью метода расщепления по физическим процессам. Дифференциальный оператор переноса аппроксимируется методом конечных разностей. Вычисление интеграла столкновений производится на основе консервативного проекционного метода.

Пространственная неструктурированная сетка строится с помощью внешнего генератора сеток и может включать в себя призмы, тетраэдры, гексаэдры и пирамиды. Сетка сгущается в областях течения с наибольшими градиентами рассчитываемых величин. Трехмерная скоростная сетка состоит из кубических ячеек равного объема.

Большой объем вычислений требует эффективного распараллеливания алгоритма, что реализовано на основе методики Message Passing Interface (MPI). Передача информации от одного узла MPI к другому осуществляется как разновидность граничного условия — таким образом, каждый MPI узел может хранить только ту часть сетки, которая имеет отношение конкретно к нему.

В результате получен график разности давлений в двух резервуарах, соединенных многотрубочным насосом Кнудсена в зависимости от числа Кнудсена, т. е. получена численными методами характеристика, ответственная за качество работы термомолекулярного микронасоса. Также показаны распределения давления, температуры и концентрации газа в установившемся состоянии внутри резервуаров и самого микронасоса.

Корректность работы солвера проверяется на тестах с распределением температуры газа между двух нагретых до разной температуры пластинок, а также в тесте с сохранением общей массы газа.

Корректность полученных данных для многотрубочного насоса Кнудсена проверяется на более точных скоростной и пространственной сетках, а также при использовании большего количества столкновений в интеграле столкновений за шаг.