Все выпуски

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

Представлен алгоритм моделирования ансамбля траекторий нестационарных временных рядов. Построена численная схема аппроксимации выборочной плотности функции распределения в задаче с закрепленными концами, когда начальное распределение за заданное количество шагов переходит в определенное конечное распределение, так, что на каждом шаге выполняется полугрупповое свойство решения уравнения Лиувилля. Модель позволяет численно построить эволюционирующие плотности функций распределения при случайном переключении состояний системы, порождающей исходный временной ряд.

Основная проблема, рассматриваемая в работе, связана с тем, что при численной реализации левосторонней разностной производной по времени решение становится неустойчивым, но именно такой подход отвечает моделированию эволюции. При выборе неявных устойчивых схем с «заходом в будущее» используется итерационный процесс, который на каждом своем шаге не отвечает полугрупповому свойству. Если же моделируется некоторый реальный процесс, в котором предположительно имеет место целеполагание, то желательно использовать схемы, которые порождают модель переходного процесса. Такая модель используется в дальнейшем для того, чтобы построить предиктор разладки, который позволит определить, в какое именно состояние переходит изучаемый процесс до того, как он действительно в него перешел. Описываемая в статье модель может использоваться как инструментарий моделирования реальных нестационарных временных рядов.

Схема моделирования состоит в следующем. Из заданного временного ряда отбираются фрагменты, отвечающие определенным состояниям, например трендам с заданными углами наклона и дисперсиями. Из этих фрагментов составляются эталонные распределения состояний. Затем определяются эмпирические распределения длительностей пребывания системы в указанных состояниях и длительности времени перехода из состояния в состояние. В соответствии с этими эмпирическими распределениями строится вероятностная модель разладки и моделируются соответствующие траектории временного ряда.

При моделировании методами классической молекулярной динамики поведения системы частиц используются уравнения движения в ньютоновской и гамильтоновой формулировке. При использовании уравнений Ньютона для получения координат и скоростей частиц системы, состоящей из $N$ частиц, требуется на каждом временном шаге в трехмерном случае решить $3N$ обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка. Традиционно для решения уравнений движения молекулярной динамики в ньютоновской формулировке используются численные схемы метода Верле. Для сохранения устойчивости численных схем Верле на достаточно больших интервалах времени приходится уменьшать шаг интегрирования. Это приводит к существенному увеличению объема вычислений. В большинстве современных пакетов программ молекулярной динамики для численного интегрирования уравнений движения используют схемы метода Верле с контролем сохранения гамильтониана (энергии системы) по времени. Для уменьшения времени вычислений при молекулярно-динамических расчетах можно использовать два дополняющих друг друга подхода. Первый основан на совершенствовании и программной оптимизации существующих пакетов программ молекулярной динамики с использованием векторизации, распараллеливания, спецпроцессоров. Второй подход основан на разработке эффективных методов численного интегрирования уравнений движения. В работе предложена процедура построения явных, неявных и симметричных симплектических численных схем с заданной точностью аппроксимации относительно шага интегрирования для решения уравнений движения молекулярной динамики в гамильтоновой форме. В основе подхода для построения предложенной в работе процедуры лежат следующие положения: гамильтонова формулировка уравнений движения, использование разложения точного решения в ряд Тейлора, использование для вывода численных схем аппарата производящих функций для сохранения геометрических свойств точного решения. Численные эксперименты показали, что полученная в работе симметричная симплектическая схема третьего порядка точности сохраняет в приближенном решении основные свойства точного решения, является более устойчивой по шагу аппроксимации и более точно сохраняет гамильтониан системы на большом интервале интегрирования, чем численные схемы метода Верле второго порядка.

Статья носит методический характер и посвящена решению трех классических уравнений математической физики (Лапласа, диффузии и волнового) простейшими численными схемами в формулировке клеточных автоматов (КА). Особое внимание уделяется законам сохранения вещества и неприятному эффекту избыточной гексагональной симметрии (ИГС).

Делается вывод о том, что по сравнению с классическими конечно-разностными методами, хотя локальная функция перехода (ЛФП) КА терминологически эквивалентна шаблону вычислительной двухслоевой явной схемы, различие состоит в замене матричных (direct) методов (например, метода прогонки для трехдиагональной матрицы) итерационными. Из этого следуют более жесткие требования к дискретизации условий для граничных КА-ячеек.

Для гексагональной сетки и консервативных граничных условий записана корректная ЛФП для граничных ячеек, справедливая, по крайней мере, для границ прямоугольной и круговой формы. Предложена идея разделения ЛФП на internal, boundary и postfix. На примере этой задачи заново осмыслено значение числа Куранта–Леви как соотношения скорости сходимости КА к решению задачи, данному на фиксированный момент времени, и скорости изменения самого решения в динамике.

Проведен сравнительный анализ двух численных методик моделирования нестационарных режимов термогравитационной конвекции и теплового поверхностного излучения в замкнутой дифференциально обогреваемой кубической полости. Рассматриваемая область решения имела две изотермические противоположные вертикальные грани, остальные стенки являлись адиабатическими. Поверхности стенок считались диффузно-серыми, т. е. их направленные спектральные степень черноты и поглощательная способность не зависят ни от угла, ни от длины волны, но могут зависеть от температуры поверхности. Относительно отраженного излучения использовались два предположения: 1) отраженное излучение является диффузным, т. е. интенсивность отраженного излучения в любой точке границы поверхности равномерно распределена по всем направлениям; 2) отраженное излучение равномерно распределено по каждой поверхности замкнутой области решения. Математическая модель, сформулированная как в естественных переменных «скорость–давление», так и в преобразованных переменных «векторный потенциал–вектор завихренности», реализована численно методом контрольного объема и методом конечных разностей соответственно. Следует отметить, что анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка.

При решении краевой задачи в естественных переменных методом контрольного объема для аппроксимации конвективных слагаемых применялся степенной закон, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Разностные уравнения движения и энергии разрешались на основе итерационного метода переменных направлений. Для поиска поля давления, согласованного с полем скорости, применялась процедура SIMPLE.

В случае метода конечных разностей и преобразованных переменных для аппроксимации конвективных слагаемых применялась монотонная схема Самарского, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Уравнения параболического типа разрешались на основе локально-одномерной схемы Самарского. Дискретизация уравнений эллиптического типа для компонент векторного потенциала проводилась с использованием формул симметричной аппроксимации вторых производных. При этом полученное разностное уравнение разрешалось методом последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.

В результате показано полное согласование полученных распределений скорости и температуры при различных значениях числа Рэлея, что отражает работоспособность представленных методик. Продемонстрирована эффективность использования преобразованных переменных и метода конечных разностей при решении класса нестационарных задач.

Рассмотрены одномерная и двумерная гидродинамические модели турбулентного переноса внутри приземного слоя атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. Обе модели основаны на решении системы усредненных уравнений Навье – Стокса и неразрывности с использованием 1.5-го порядка замыкания, а также уравнений для турбулентной кинетической энергии и скорости ее диссипации. С помощью одномерной модели, применимой в случае однородной подстилающей поверхности, проведено исследование по оценке влияния граничных условий на верхней и нижней границах модельной области на результаты расчетов вертикальных профилей скорости ветра и параметров турбулентности. В предложенной модели граничные условия ставились таким образом, чтобы она была согласована с широко используемой классической одномерной моделью, основанной на логарифмическом распределении скорости ветра по высоте, линейной зависимости коэффициента турбулентного обмена от высоты и постоянстве турбулентной кинетической энергии в приземном слое атмосферы в условиях нейтральной атмосферной стратификации. На основе классической модели можно получить ряд соотношений, связывающих градиент скорости ветра, турбулентную кинетическую энергию и скорость ее диссипации, каждое из которых может быть использовано в качестве граничного условия в гидродинамической модели. Из нескольких возможных вариантов постановки граничных условий для скорости ветра и скорости диссипации турбулентной кинетической энергии выбраны те, при которых достигается наименьшее отклонение смоделированных с помощью гидродинамической модели вертикальных профилей искомых величин от классических распределений. Соответствующие граничные условия на верхней и нижней границах использованы при постановке начально-краевой задачи в двумерной гидродинамической модели, позволяющей учитывать сложную структуру рельефа и горизонтальную неоднородность растительности. На основе предложенной двумерной модели с выбранными оптимальными граничными условиями исследована динамика установления турбулентного потока в зависимости от расстояния при обтекании воздушным потоком опушки леса. Для всех рассмотренных начально-краевых задач разработаны и реализованы безусловно устойчивые неявные разностные схемы их численного решения.

Cтроится семейство явных разностных схем на пятиточечном шаблоне для численного решения линейного уравнения переноса. Анализ свойств разностных схем проводится в пространстве неопределенных коэффициентов. Такие пространства впервые были введены в рассмотрение А. С. Холодовым. Для исследования свойств разностных схем ставилась задача линейного программирования. В качестве целевой функции обычно рассматривался коэффициент при главном члене невязки. Для построения монотонных разностных схем ставилась задача оптимизации с ограничениями типа неравенств. Ограниченность такого подхода становится ясной с учетом того, что аппроксимация разностной схемы определяется лишь на классических (гладких) решениях дифференциальной задачи.

В соответствие разностной схеме ставится некоторый функционал, определяющий свойства разностной схемы. Функционал должен быть линейным по коэффициентам схемы. Возможно, что функционал зависит от сеточной функции — решения разностной задачи или проекции на сетку решения дифференциальной задачи. Если первые члены разложения в ряд Тейлора этого функционала по сеточным параметрам совпадут с условиями классической аппроксимации, такой функционал будем называть обобщенным условием аппроксимации. В статье показано, что такие функционалы существуют. Для линейного уравнения с постоянными коэффициентами построение такого функционала возможно и для обобщенного (негладкого) решения дифференциальной задачи.

Построение разностной схемы с заданными свойствами тогда опирается на решение задачи поиска минимума функционала.

Построены семейства функционалов как для гладких решений исходной дифференциальной задачи, так и для обобщенных решений. Построены новые разностные схемы, основанные на анализе функционалов методами линейного программирования. При этом использован аппарат исследования пары самодвойственных задач линейного программирования. Найдена оптимальная монотонная разностная схема, обладающая первым порядком аппроксимации на гладком решении. Обсуждается возможность применения построенных новых схем для построения гибридных разностных схем повышенного порядка аппроксимации на гладких решениях.

Приводится пример численной реализации простейшей разностной схемы с обобщенной аппроксимацией.

Работа посвящена использованию бикомпактных схем для численного решения эволюционных уравнений гиперболического типа. Основным преимуществом схем этого класса является сочетание двух положительных свойств: пространственной аппроксимации высокого четного порядка на шаблоне, всегда занимающем одну ячейку сетки, и спектрального разрешения, лучшего по сравнению с классическими компактными конечно-разностными схемами того же порядка пространственной аппроксимации. Рассматривается одна особенность бикомпактных схем — жесткая привязка их пространственной аппроксимации к декартовым сеткам (с ячейками-параллелепипедами в трехмерном случае). Она делает затруднительным применение бикомпактных схем к решению задач в сложных расчетных областях в рамках подхода неструктурированных сеток. Предлагается решать эту проблему путем применения известных методов аппроксимации границ сложной формы и соответствующих им краевых условий на декартовых сетках. Обобщение бикомпактных схем на задачи в геометрически сложных областях проводится на примере задач газовой динамики и уравнений Эйлера. В качестве конкретного метода, позволяющего учесть на декартовых сетках влияние твердых границ произвольной формы на течение газа, выбирается метод свободной границы. Приводится краткое описание этого метода, выписываются его уравнения. Для них строятся бикомпактные схемы четвертого порядка аппроксимации по пространству с локально-одномерным расщеплением. Компенсационный поток метода свободной границы дискретизируется со вторым порядком точности. Для интегрирования по времени в получаемых схемах применяются неявный метод Эйлера и $L$-устойчивый жестко-точный трехстадийный однократно диагонально-неявный метод Рунге–Кутты третьего порядка точности. Разработанные бикомпактные схемы тестируются на трех двумерных задачах: о стационарном сверхзвуковом обтекании с числом Маха, равным трем, одного круглого цилиндра и группы изт рех круглых цилиндров, а также о нестационарном взаимодействии плоской ударной волны и круглого цилиндра в канале с плоскопараллельными стенками. Полученные результаты хорошо согласуются с результатами других работ: твердые тела физически корректно влияют на поток газа, давление в контрольных точках на поверхностях тел рассчитывается с точностью, в целом отвечающей выбранному разрешению сетки и уровню численной диссипации.

В данной работе приведен алгоритм численного решения обратной начально-краевой задачи для гиперболического уравнения с малым параметром перед второй производной по времени, которая состоит в нахождении начального распределения по заданному конечному. Данный алгоритм позволяет для заданной наперед точности получить решение задачи (в допустимых пределах точности). Данный алгоритм позволяет избежать сложностей, аналогичных случаю с уравнением теплопроводности с обращенным временем. Предложенный алгоритм позволяет подобрать оптимальный размер конечно-разностной схемы путем обучения на относительно больших разбиениях сетки и малом числе итераций градиентного метода. Предложенный алгоритм позволяет получить оценку для константы Липшица градиента целевого функционала. Также представлен способ оптимального выбора малого параметра при второй производной для ускорения решения задачи. Данный подход может быть применен и в других задачах с похожей структурой, например в решении уравнений состояния плазмы, в социальных процессах или в различных биологических задачах. Новизна данной работы заключается в разработке оптимальной процедуры выбора размера шага путем применения экстраполяции Ричардсона и обучения на малых размерах сетки для решения задач оптимизации с неточным градиентом в обратных задачах.

Численное решение системы уравнений высокотемпературной радиационной газовой динамики (ВРГД) является вычислительно трудоемкой задачей, так как взаимодействие излучения с веществом нелинейно и нелокально. Коэффициенты поглощения излучения зависят от температуры, а поле температур определяется как газодинамическими процессами, так и переносом излучения. Обычно для решения системы ВРГД используется метод расщепления по физическим процессам, выделяется блок решения уравнения переноса совместно с уравнением баланса энергии вещества при известных давлениях и температурах. Построенные ранее разностные схемы, используемые для решения этого блока, обладают порядками сходимости не выше второго. Так как даже на современном уровне развития вычислительной техники имеются ограничения по памяти, то для решения сложных технических задач приходится применять не слишком подробные сетки. Это повышает требования к порядку аппроксимации разностных схем. В данной работе впервые реализованы бикомпактные схемы высокого порядка аппроксимации для алгоритма совместного решения уравнения переноса излучения и уравнения баланса энергии. Предложенный метод может быть применен для решения широкого круга практических задач, так как обладает высокой точностью и подходит для решения задач с разрывами коэффициентов. Нелинейность задачи и использование неявной схемы приводит к итерационному процессу, который может медленно сходиться. В данной работе используется мультипликативный HOLO-алгоритм — метод квазидиффузии В.Я. Гольдина. Ключевая идея HOLO-алгоритмов состоит в совместном решении уравнений высокого порядка (high order, HO) и низкого порядка (low order, LO). Уравнением высокого порядка (HO) является уравнение переноса излучения, которое решается в многогрупповом приближении, далее уравнение осредняется по угловой переменной и получается система уравнений квазидиффузии в многогрупповом приближении (LO₁). Следующим этапом является осреднение по энергии, при этом получается эффективная одногрупповая система уравнений квазидиффузии (LO₂), которая решается совместно с уравнением энергии. Решения, получаемые на каждом этапе HOLO-алгоритма, оказываются тесно связанными, что в итоге приводит к ускорению сходимости итерационного процесса. Для каждого из этапов HOLO-алгоритма предложены разностные схемы, построенные методом прямых в рамках одной ячейки и обладающие четвертым порядком аппроксимации по пространству и третьим порядком по времени. Схемы для уравнения переноса были разработаны Б.В. Роговым и его коллегами, схемы для уравнений LO₁ и LO₂ разработаны авторами. Предложен аналитический тест, на котором демонстрируются заявленные порядки сходимости. Рассматриваются различные варианты постановки граничных условий и исследовано их влияние на порядок сходимости по времени и пространству.