Текущий выпуск Номер 6, 2024 Том 16

Все выпуски

[ Switch to English ]

Численное решение третьей начально-краевой задачи для нестационарного уравнения теплопроводности с дробными производными

Омарова А.Г., Бейбалаев В.Д.
 pdf (210K)

В последнее время для описания различных математических моделей физических процессов широко используется дробно-дифференциальное исчисление. В связи с этим большое внимание уделяется уравнениям в частных производных дробного порядка, которые являются обобщением уравнений в частных производных целого порядка.

Нагруженными дифференциальными уравнениями в литературе называют уравнения, содержащие значения решения или его производных на многообразиях меньшей размерности, чем размерность области определения искомой функции. В настоящее время широко используются численные методы для решения нагруженных уравнений в частных производных целого и дробного порядка, поскольку аналитические методы решения сложны в реализации. Достаточно эффективным методом численного решения такого рода задач является метод конечных разностей, или метод сеток.

Исследована начально-краевая задача в прямоугольнике $\overline{D}=\{(x,\,t)\colon 0\leqslant x\leqslant l,\;0\leqslant t\leqslant T\}$ для нагруженного дифференциального уравнения теплопроводности с композицией дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова и с граничными условиями первого и третьего рода. С помощью метода энергетических неравенств получена априорная оценка в дифференциальной и в разностной форме. Полученные неравенства означают единственность решения и непрерывную зависимость решения от входных данных задачи. Получен разностный аналог для композиции дробной производной Римана – Лиувилля и Капуто – Герасимова порядка $(2-\beta )$ и построена разностная схема, аппроксимирующая исходную задачу с порядком $O\left(\tau +h^{2-\beta } \right)$. Доказана сходимость решения разностной схемы к решению исходной дифференциальной задачи со скоростью, равной порядку аппроксимации разностной схемы.

Ключевые слова: краевая задача, априорная оценка, метод энергетических неравенств, аппроксимация, дробная производная Капуто – Герасимова, дробная производная Римана – Лиувилля
Цитата: Омарова А.Г., Бейбалаев В.Д. Численное решение третьей начально-краевой задачи для нестационарного уравнения теплопроводности с дробными производными // Компьютерные исследования и моделирование, 2024, т. 16, № 6, с. 1345-1360
Citation in English: Omarova A.G., Beybalayev V.D. Numerical solution of the third initial-boundary value problem for the nonstationary heat conduction equation with fractional derivatives // Computer Research and Modeling, 2024, vol. 16, no. 6, pp. 1345-1360
DOI: 10.20537/2076-7633-2024-16-6-1345-1360
URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/3541/
Creative Commons License Статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported License.

Журнал индексируется в Scopus

Полнотекстовая версия журнала доступна также на сайте научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU

Журнал входит в систему  Российского индекса научного цитирования.

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Международная Междисциплинарная Конференция "Математика. Компьютер. Образование"

Международная Междисциплинарная Конференция МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ.

Copyright © 2009–2024 Институт компьютерных исследований