Все выпуски

С ростом населения городов сильнее ощущается необходимость планирования развития транспортной инфраструктуры. Для этой цели создаются пакеты транспортного моделирования, которые обычно содержат набор задач выпуклой оптимизации, итеративное решение которых приводит к искомому равновесному распределению потоков по путям. Одно из направлений развития транспортного моделирования — это построение более точных обобщенных моделей, которые учитывают различные типы пассажиров, их цели поездок, а также специфику личных и общественных средств передвижения, которыми могут воспользоваться агенты. Другим не менее важным направлением является улучшение эффективности производимых вычислений, так как в связи с большой размерностью современных транспортных сетей поиск численного решения задачи равновесного распределения потоков по путям является довольно затратным. Итеративность всего процесса решения лишь усугубляет это. Одним из подходов, ведущим к уменьшению числа производимых вычислений, и является построение согласованных моделей, которые позволяют объединить блоки 4-стадийной модели в единую задачу оптимизации. Это позволяет исключить итеративную прогонку блоков, перейдя от решения отдельной задачи оптимизации на каждом этапе к некоторой общей задаче. В ранних работах было доказано, что такие подходы дают эквивалентные решения. Тем не менее стоит рассмотреть обоснованность и интерпретируемость этих методов. Целью данной статьи является обоснование единой задачи, объединяющей в себе как расчет матрицы корреспонденций, так и модальный выбор, для обобщенного случая, когда в транспортной сети присутствуют различные слои спроса, типы агентов и классы транспортных средств. В статье приводятся возможные интерпретации для калибровочных параметров, применяемых в задаче, а также для двойственных множителей, ассоциированных с балансовыми ограничениями. Авторы статьи также показывают возможность объединения рассматриваемой задачи с блоком определения загрузки сети в единую задачу оптимизации.

As the population of cities grows, the need to plan for the development of transport infrastructure becomes more acute. For this purpose, transport modeling packages are created. These packages usually contain a set of convex optimization problems, the iterative solution of which leads to the desired equilibrium distribution of flows along the paths. One of the directions for the development of transport modeling is the construction of more accurate generalized models that take into account different types of passengers, their travel purposes, as well as the specifics of personal and public modes of transport that agents can use. Another important direction of transport models development is to improve the efficiency of the calculations performed. Since, due to the large dimension of modern transport networks, the search for a numerical solution to the problem of equilibrium distribution of flows along the paths is quite expensive. The iterative nature of the entire solution process only makes this worse. One of the approaches leading to a reduction in the number of calculations performed is the construction of consistent models that allow to combine the blocks of a 4-stage model into a single optimization problem. This makes it possible to eliminate the iterative running of blocks, moving from solving a separate optimization problem at each stage to some general problem. Early work has proven that such approaches provide equivalent solutions. However, it is worth considering the validity and interpretability of these methods. The purpose of this article is to substantiate a single problem, that combines both the calculation of the trip matrix and the modal choice, for the generalized case when there are different layers of demand, types of agents and classes of vehicles in the transport network. The article provides possible interpretations for the gauge parameters used in the problem, as well as for the dual factors associated with the balance constraints. The authors of the article also show the possibility of combining the considered problem with a block for determining network load into a single optimization problem.

Deep learning’s power stems from complex architectures; however, these can lead to overfitting, where models memorize training data and fail to generalize to unseen examples. This paper proposes a novel probabilistic approach to mitigate this issue. We introduce two key elements: Truncated Log-Uniform Prior and Truncated Log-Normal Variational Approximation, and Automatic Relevance Determination (ARD) with Bayesian Deep Neural Networks (BDNNs). Within the probabilistic framework, we employ a specially designed truncated log-uniform prior for noise. This prior acts as a regularizer, guiding the learning process towards simpler solutions and reducing overfitting. Additionally, a truncated log-normal variational approximation is used for efficient handling of the complex probability distributions inherent in deep learning models. ARD automatically identifies and removes irrelevant features or weights within a model. By integrating ARD with BDNNs, where weights have a probability distribution, we achieve a variational bound similar to the popular variational dropout technique. Dropout randomly drops neurons during training, encouraging the model not to rely heavily on any single feature. Our approach with ARD achieves similar benefits without the randomness of dropout, potentially leading to more stable training.

To evaluate our approach, we have tested the model on two datasets: the Canadian Institute For Advanced Research (CIFAR-10) for image classification and a dataset of Macroscopic Images of Wood, which is compiled from multiple macroscopic images of wood datasets. Our method is applied to established architectures like Visual Geometry Group (VGG) and Residual Network (ResNet). The results demonstrate significant improvements. The model reduced overfitting while maintaining, or even improving, the accuracy of the network’s predictions on classification tasks. This validates the effectiveness of our approach in enhancing the performance and generalization capabilities of deep learning models.

Deep learning’s power stems from complex architectures; however, these can lead to overfitting, where models memorize training data and fail to generalize to unseen examples. This paper proposes a novel probabilistic approach to mitigate this issue. We introduce two key elements: Truncated Log-Uniform Prior and Truncated Log-Normal Variational Approximation, and Automatic Relevance Determination (ARD) with Bayesian Deep Neural Networks (BDNNs). Within the probabilistic framework, we employ a specially designed truncated log-uniform prior for noise. This prior acts as a regularizer, guiding the learning process towards simpler solutions and reducing overfitting. Additionally, a truncated log-normal variational approximation is used for efficient handling of the complex probability distributions inherent in deep learning models. ARD automatically identifies and removes irrelevant features or weights within a model. By integrating ARD with BDNNs, where weights have a probability distribution, we achieve a variational bound similar to the popular variational dropout technique. Dropout randomly drops neurons during training, encouraging the model not to rely heavily on any single feature. Our approach with ARD achieves similar benefits without the randomness of dropout, potentially leading to more stable training.

To evaluate our approach, we have tested the model on two datasets: the Canadian Institute For Advanced Research (CIFAR-10) for image classification and a dataset of Macroscopic Images of Wood, which is compiled from multiple macroscopic images of wood datasets. Our method is applied to established architectures like Visual Geometry Group (VGG) and Residual Network (ResNet). The results demonstrate significant improvements. The model reduced overfitting while maintaining, or even improving, the accuracy of the network’s predictions on classification tasks. This validates the effectiveness of our approach in enhancing the performance and generalization capabilities of deep learning models.

Моделирование русловых процессов при исследовании береговых деформаций русла требует вычисления параметров гидродинамического потока, учитывающих существование вторичных поперечных течений, формирующихся на закруглении русла. Трехмерное моделирование таких процессов на текущий момент возможно только для небольших модельных каналов, для реальных речных потоков необходимы модели пониженной размерности. При этом редукция задачи от трехмерной модели движения речного потока к двумерной модели потока в плоскости створа канала предполагает, что рассматриваемый гидродинамический поток является квазистационарным, и для него выполнены гипотезы об асимптотическом поведении потока по потоковой координате створа. С учетом данных ограничений в работе сформулирована математическая модель задачи о движении стационарного турбулентного спокойного речного потока в створе канала. Задача сформулирована в смешанной постановке скорости — «вихрь – функция тока». В качестве дополнительных условий для редукции задачи требуется задание граничных условий на свободной поверхности потока для поля скорости, определяемого в нормальном и касательном направлении к оси створа. Предполагается, что значения данных скоростей должны быть определены из решения вспомогательных задач или получены из данных натурных или экспериментальных измерений.

Для решения сформулированной задачи используется метод конечных элементов в формулировке Петрова – Галёркина. Получен дискретный аналог задачи и предложен алгоритм ее решения. Выполненные численные исследования показали в целом хорошую согласованность полученных решений при их сравнении с известными экспериментальными данными.

Полученные погрешности авторы связывают с необходимостью более точного определения циркуляционного поля скоростей в створе потока путем подбора и калибровки более подходящей модели вычисления турбулентной вязкости и граничных условий на свободной границе створа.

Modeling of channel processes in the study of coastal channel deformations requires the calculation of hydrodynamic flow parameters that take into account the existence of secondary transverse currents formed at channel curvature. Three-dimensional modeling of such processes is currently possible only for small model channels; for real river flows, reduced-dimensional models are needed. At the same time, the reduction of the problem from a three-dimensional model of the river flow movement to a two-dimensional flow model in the cross-section assumes that the hydrodynamic flow under consideration is quasi-stationary and the hypotheses about the asymptotic behavior of the flow along the flow coordinate of the cross-section are fulfilled for it. Taking into account these restrictions, a mathematical model of the problem of the a stationary turbulent calm river flow movement in a channel cross-section is formulated. The problem is formulated in a mixed formulation of velocity — “vortex – stream function”. As additional conditions for problem reducing, it is necessary to specify boundary conditions on the flow free surface for the velocity field, determined in the normal and tangential direction to the cross-section axis. It is assumed that the values of these velocities should be determined from the solution of auxiliary problems or obtained from field or experimental measurement data.

To solve the formulated problem, the finite element method in the Petrov – Galerkin formulation is used. Discrete analogue of the problem is obtained and an algorithm for solving it is proposed. Numerical studies have shown that, in general, the results obtained are in good agreement with known experimental data. The authors associate the obtained errors with the need to more accurately determine the circulation velocities field at crosssection of the flow by selecting and calibrating a more appropriate model for calculating turbulent viscosity and boundary conditions at the free boundary of the cross-section.

Биологическая структура рассматривается как открытая неравновесная система, свойства которой могут быть описаны на основе кинетических уравнений. Ставятся новые задачи с неравновесными граничными условиями на границе, причем неравновесное состояние (распределение) преобразуется постепенно в равновесное состояние вниз по течению. Область пространственной неоднородности имеет масштаб, зависящий от скорости переноса вещества в открытой системе и характерного времени метаболизма. В предлагаемом приближении внутренняя энергия движения молекул много меньше энергии поступательного движения; в других терминах: кинетическая энергия средней скорости крови существенно выше, чем энергия хаотического движения частиц в крови. Задача о релаксации в пространстве моделирует живую систему, поскольку сопоставляет области термодинамической неравновесности и неоднородности. Поток энтропии в изучаемой системе уменьшается вниз по потоку, что соответствует общим идеям Э. Шрёдингера о том, что живая система «питается» негэнтропией. Вводится величина, определяющая сложность биосистемы, — это разность между величинами неравновесной кинетической энтропии и равновесной энтропией в каждой пространственной точке, затем проинтегрированная по всему пространству. Решения задач о пространственной релаксации позволяют высказать суждение об оценке размера биосистем в целом как областей неравновесности. Результаты сравниваются с эмпирическими данными, в частности для млекопитающих (размеры животных тем больше, чем меньше удельная энергия метаболизма). Что воспроизводится в предлагаемой кинетической модели, поскольку размеры неравновесной области больше в той системе, где меньше скорость реакции, или в терминах кинетического подхода – чем больше время релаксации характерного взаимодействия между молекулами. Подход применяется для обсуждения характеристик и отдельного органа живой системы, а именно зеленого листа. Рассматриваются проблемы старения как деградации открытой неравновесной системы. Аналогия связана со структурой: для замкнутой системы происходит стремление к равновесию структуры для одних и тех же молекул, в открытой системе происходит переход к равновесию частиц, которые меняются из-за метаболизма. Соответственно, выделяются два существенно различных масштаба времени, отношение которых является приблизительно постоянным для различных видов животных. В предположении существования двух этих временных шкал кинетическое уравнение расщепляется на два уравнения, описывающих метаболическую (стационарную) и «деградационную» (нестационарную) части процесса.

The biological structure is considered as an open nonequilibrium system which properties can be described on the basis of kinetic equations. New problems with nonequilibrium boundary conditions are introduced. The nonequilibrium distribution tends gradually to an equilibrium state. The region of spatial inhomogeneity has a scale depending on the rate of mass transfer in the open system and the characteristic time of metabolism. In the proposed approximation, the internal energy of the motion of molecules is much less than the energy of translational motion. Or in other terms we can state that the kinetic energy of the average blood velocity is substantially higher than the energy of chaotic motion of the same particles. We state that the relaxation problem models a living system. The flow of entropy to the system decreases in downstream, this corresponds to Shrödinger’s general ideas that the living system “feeds on” negentropy. We introduce a quantity that determines the complexity of the biosystem, more precisely, this is the difference between the nonequilibrium kinetic entropy and the equilibrium entropy at each spatial point integrated over the entire spatial region. Solutions to the problems of spatial relaxation allow us to estimate the size of biosystems as regions of nonequilibrium. The results are compared with empirical data, in particular, for mammals we conclude that the larger the size of animals, the smaller the specific energy of metabolism. This feature is reproduced in our model since the span of the nonequilibrium region is larger in the system where the reaction rate is shorter, or in terms of the kinetic approach, the longer the relaxation time of the interaction between the molecules. The approach is also used for estimation of a part of a living system, namely a green leaf. The problems of aging as degradation of an open nonequilibrium system are considered. The analogy is related to the structure, namely, for a closed system, the equilibrium of the structure is attained for the same molecules while in the open system, a transition occurs to the equilibrium of different particles, which change due to metabolism. Two essentially different time scales are distinguished, the ratio of which is approximately constant for various animal species. Under the assumption of the existence of these two time scales the kinetic equation splits in two equations, describing the metabolic (stationary) and “degradative” (nonstationary) parts of the process.

В данной работе рассматривается особая аппроксимация обобщенной формулы возмущения электромагнитного поля семейством электрически малых сферических неоднородностей. Задача, рассматриваемая в настоящей работе, возникает во множестве приложений технической электродинамики, радиолокации, подповерхностного зондирования и дефектоскопии. В общем случае она формулируются следующим образом: в некоторой точке возмущенного пространства необходимо определить амплитуду электромагнитного поля. Возмущение электромагнитных волн вызывается семейством электрически малых распределенных в пространстве рассеивателей. Источник электромагнитных волн располагается также в возмущенном пространстве. Задача решается введением допущения для дальнего поля рассеяния и через формулировку для эффективной поверхности рассеяния неоднородности. Это, в свою очередь, позволяет существенно убыстрить вычисления возмущенного электромагнитного поля семейством идентичных друг другу сферических неоднородностей с произвольными электрофизическими параметрами. Аппроксимация проверяется путем сравнения получаемых результатов с решением обобщенной формулы для возмущения электромагнитного поля. В данной работе рассматривается только прямая задача рассеяния, тем самым все параметры рассеивателей являются известными. В этом контексте можно утверждать, что формулировка соответствует корректно поставленной задаче и не подразумевает решение интегрального уравнения в обобщенной формуле. Одной из особенностью предложенного алгоритма является выделение характерной плоскости на границе пространства. Все точки наблюдения за состоянием системы принадлежат этой плоскости. Семейство рассеивателей располагается внутри области наблюдения, которая формируется этой поверхностью. Данный подход, кроме всего прочего, позволяет снять ряд ограничений на использование обобщенной формулировки для возмущенного электрического поля, например требование по удаленности неоднородностей друг от друга в пространстве распространения электромагнитных волн. Учет вклада каждого рассеивателя в семействе неоднородностей производится путем перехода к значениям их эффективных поверхностей рассеяния и дальнейшего их суммирования с учетом возникающих волновых эффектов, таких как интерференция и многократное отражение. В статье приводятся и описываются ограничения предложенного метода, а также рассматриваются возможные его модификации и дополнения.

In this work, we consider a special approximation of the general perturbation formula for the electromagnetic field by a set of electrically small inhomogeneities located in the domain of interest. The problem considered in this paper arises in many applications of technical electrodynamics, radar technologies and subsurface remote sensing. In the general case, it is formulated as follows: at some point in the perturbed domain, it is necessary to determine the amplitude of the electromagnetic field. The perturbation of electromagnetic waves is caused by a set of electrically small scatterers distributed in space. The source of electromagnetic waves is also located in perturbed domain. The problem is solved by introducing the far field approximation and through the formulation for the scatterer radar cross section value. This, in turn, allows one to significantly speed up the calculation process of the perturbed electromagnetic field by a set of a spherical inhomogeneities identical to each other with arbitrary electrophysical parameters. In this paper, we consider only the direct scattering problem; therefore, all parameters of the scatterers are known. In this context, it may be argued that the formulation corresponds to the well-posed problem and does not imply the solution of the integral equation in the generalized formula. One of the features of the proposed algorithm is the allocation of a characteristic plane at the domain boundary. All points of observation of the state of the system belong to this plane. Set of the scatterers is located inside the observation region, which is formed by this surface. The approximation is tested by comparing the results obtained with the solution of the general formula method for the perturbation of the electromagnetic field. This approach, among other things, allows one to remove a number of restrictions on the general perturbation formula for E-filed analysis.

В условиях развития современной экономики человеческий капитал является одним из главных факторов экономического роста. Формирование человеческого капитала начинается с рождения человека и продолжается в течение всей жизни, поэтому величина человеческого капитала неотделима от его носителей, что, в свою очередь, затрудняет учет данного фактора. Это привело к тому, что в настоящее время нет общепринятых методик расчета величины человеческого капитала. Можно выделить лишь несколько подходов к измерению человеческого капитала: стоимостной подход (по доходам или инвестициям) и индексный подход, из которых наиболее известен подход, разработанный под эгидой ООН.

В данной работе поставленная задача рассматривается совместно с задачей демографической динамики, решаемой во временно-возрастной плоскости, что позволяет наиболее полно учесть влияние временных изменений демографической структуры на динамику человеческого капитала.

Задача демографической динамики ставится в рамках модели Мак-Кендрика – фон Ферстера на основе уравнения динамики возрастного состава. Вид функций распределения рождений, смертности и миграции населения определяется на основе имеющейся статистической информации. Приводится численное решение задачи. Представлены анализ и прогноз демографических показателей. На основе задачи демографической динамики формулируется экономико-математическая модель динамики человеческого капитала. В задаче моделирования динамики человеческого капитала рассматриваются три составляющие: образовательная, составляющая здоровья и культурная (духовная) составляющая. Для описания эволюции составляющих человеческого капитала используется двумерное уравнение типа уравнения переноса. Объемы инвестиций в составляющие человеческого капитала определяются на основе расходных статей бюджета и частных расходов с учетом характерного временного жизненного цикла демографических элементов. Для прогнозирования динамики суммарной величины человеческого капитала используется одномерное кинетическое уравнение. Приводится методика расчета динамики данного фактора как функции времени. Представлены расчетные данные по динамике человеческого капитала для Российской Федерации. Как показали исследования, величина человеческого капитала интенсивно нарастала до 2008 года, в дальнейшем наступил период стабилизации, но после 2014 года имеет место отрицательная динамика данной величины.

In the conditions of the development of modern economy, human capital is one of the main factors of economic growth. The formation of human capital begins with the birth of a person and continues throughout life, so the value of human capital is inseparable from its carriers, which in turn makes it difficult to account for this factor. This has led to the fact that currently there are no generally accepted methods of calculating the value of human capital. There are only a few approaches to the measurement of human capital: the cost approach (by income or investment) and the index approach, of which the most well-known approach developed under the auspices of the UN.

This paper presents the assigned task in conjunction with the task of demographic dynamics solved in the time-age plane, which allows to more fully take into account the temporary changes in the demographic structure on the dynamics of human capital.

The task of demographic dynamics is posed within the framework of the Mac-Kendrick – von Foerster model on the basis of the equation of age structure dynamics. The form of distribution functions for births, deaths and migration of the population is determined on the basis of the available statistical information. The numerical solution of the problem is given. The analysis and forecast of demographic indicators are presented. The economic and mathematical model of human capital dynamics is formulated on the basis of the demographic dynamics problem. The problem of modeling the human capital dynamics considers three components of capital: educational, health and cultural (spiritual). Description of the evolution of human capital components uses an equation of the transfer equation type. Investments in human capital components are determined on the basis of budget expenditures and private expenditures, taking into account the characteristic time life cycle of demographic elements. A one-dimensional kinetic equation is used to predict the dynamics of the total human capital. The method of calculating the dynamics of this factor is given as a time function. The calculated data on the human capital dynamics are presented for the Russian Federation. As studies have shown, the value of human capital increased rapidly until 2008, in the future there was a period of stabilization, but after 2014 there is a negative dynamics of this value.

Предлагается простая модель на основе уравнения кинетического типа для описания распространения вируса в пространстве посредством миграции носителей вируса из выделенного центра. Рассматриваются страны, для которых применима одномерная модель: Россия, Италия, Чили. Одномерный подход возможен из-за географического расположения этих стран и их протяженности в направлениях от центров заражения (Москвы, Ломбардии и Сантьяго соответственно). Определяется изменение плотности зараженных во времени и пространстве. Применяется двухпараметрическая модель. Первый параметр — величина средней скорости распространения, соответствующий переносу инфицированных транспортными средствами. Второй параметр — частота уменьшения количества инфицированных элементов по мере продвижения по территории страны, что связано с прибытием пассажиров в места назначения, а также с карантинными мерами, препятствующими их перемещению по стране. Параметры модели определяются по фактически известным данным. Строится аналитическое решение, для получения серии расчетов применяются также простые численные методы. В модели рассматривается пространственное распространение заболевания, при этом заражения на местах не учитываются. Поэтому вычисленные значения на начальном этапе хорошо соответствуют экспериментальным данным, а затем плотность заболевших начинает быстрее возрастать из-за заражений на местах. Тем не менее модельные расчеты позволяют делать некоторые предсказания. Помимо скорости заражения, возможна аналогичная «скорость выздоровления». По моменту времени достижения охвата большей части населения страны при движении фронта выздоровления делается вывод о начале глобального выздоровления, что соответствует реальным данным.

A simple model based on a kinetic-type equation is proposed to describe the spread of a virus in space through the migration of virus carriers from a certain center. The consideration is carried out on the example of three countries for which such a one-dimensional model is applicable: Russia, Italy and Chile. The geographical location of these countries and their elongation in the direction from the centers of infection (Moscow, Milan and Lombardia in general, as well as Santiago, respectively) makes it possible to use such an approximation. The aim is to determine the dynamic density of the infected in time and space. The model is two-parameter. The first parameter is the value of the average spreading rate associated with the transfer of infected moving by transport vehicles. The second parameter is the frequency of the decrease of the infected as they move through the country, which is associated with the passengers reaching their destination, as well as with quarantine measures. The parameters are determined from the actual known data for the first days of the spatial spread of the epidemic. An analytical solution is being built; simple numerical methods are also used to obtain a series of calculations. The geographical spread of the disease is a factor taken into account in the model, the second important factor is that contact infection in the field is not taken into account. Therefore, the comparison of the calculated values with the actual data in the initial period of infection coincides with the real data, then these data become higher than the model data. Those no less model calculations allow us to make some predictions. In addition to the speed of infection, a similar “speed of recovery” is possible. When such a speed is found for the majority of the country's population, a conclusion is made about the beginning of a global recovery, which coincides with real data.

Целью работы является исследование монотонной конечно-разностной схемы второго порядка точности, созданной на основе обобщения одномерной Z-схемы. Исследование проведено для модельных уравнений переноса несжимаемой среды. В работе описано двумерное обобщение Z-схемы с нелинейной коррекцией, использующей вместо потоков косые разности, содержащие значения из разных временных слоев. Численно проверена монотонность полученной нелинейной схемы для функций-ограничителей двух видов, как для гладких решений, так и для негладких, и получены численные оценки порядка точности построенной схемы. Построенная схема является абсолютно устойчивой, но теряет свойство монотонности при превышении шага Куранта. Отличительной особенностью предложенной конечно-разностной схемы является минимальность ее шаблона.

Построенная численная схема предназначена для моделей плазменных неустойчивостей различных масштабов в низкоширотной ионосферной плазме Земли. Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере в условиях возникновения неустойчивости Рэлея – Тейлора и плазменных структур с меньшими масштабами, механизмами генерации которых являются неустойчивости других типов, что приводит к явлению F-рассеяния. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направле- нии предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы.

The aim of the work is to study a monotone finite-difference scheme of the second order of accuracy, created on the basis of a generalization of the one-dimensional Z-scheme. The study was carried out for model equations of the transfer of an incompressible medium. The paper describes a two-dimensional generalization of the Z-scheme with nonlinear correction, using instead of streams oblique differences containing values from different time layers. The monotonicity of the obtained nonlinear scheme is verified numerically for the limit functions of two types, both for smooth solutions and for nonsmooth solutions, and numerical estimates of the order of accuracy of the constructed scheme are obtained.

The constructed scheme is absolutely stable, but it loses the property of monotony when the Courant step is exceeded. A distinctive feature of the proposed finite-difference scheme is the minimality of its template. The constructed numerical scheme is intended for models of plasma instabilities of various scales in the low-latitude ionospheric plasma of the Earth. One of the real problems in the solution of which such equations arise is the numerical simulation of highly nonstationary medium-scale processes in the earth’s ionosphere under conditions of the appearance of the Rayleigh – Taylor instability and plasma structures with smaller scales, the generation mechanisms of which are instabilities of other types, which leads to the phenomenon F-scattering. Due to the fact that the transfer processes in the ionospheric plasma are controlled by the magnetic field, it is assumed that the plasma incompressibility condition is fulfilled in the direction transverse to the magnetic field.

В данной работе рассматривается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Найденные точные решения описывают течения жидкости в пористой среде и связаны с вопросами разработки кернового симулятора и задачами управления параметрами несжимаемой жидкости и направлены на создание отечественной технологии «цифровое месторождение». Центральной проблемой, связанной с использованием вычислительной техники, являются сеточные аппроксимации большой размерности и суперЭВМ высокой производительности с большим числом параллельно работающих микропроцессоров. В качестве возможной альтернативы сеточным аппроксимациям большой размерности разрабатываются кинетические методы решения дифференциальных уравнений и методы «склейки» точных решений на грубых сетках. Сравнительный анализ эффективности вычислительных систем позволяет сделать вывод о необходимости развития организации вычислений, основанных на целочисленной арифметике в сочетании с универсальными приближенными методами. Предложен класс точных решений системы Навье – Стокса, описывающий трехмерные течения для несжимаемой жидкости, а также точные решения нестационарной трехмерной магнитной гидродинамики. Эти решения важны для практических задач управляемой динамики минерализованных флюидов, а также для создания библиотек тестов для верификации приближенных методов. Выделены ряд явлений, связанных с образованием макроскопических структур за счет высокой интенсивности взаимодействия элементов пространственно однородных систем, а также их возникновение за счет линейного пространственного переноса в пространственно-неоднородных системах. Принципиальным является то, что возникновение структур — это следствие разрывности операторов в нормах законов сохранения. Наиболее разработанной и универсальной является теория вычислительных методов для линейных задач. Поэтому с этой точки зрения важными являются процедуры «погружения» нелинейных задач в общие классы линейных за счет изменения исходной размерности описания и расширения функциональных пространств. Отождествление функциональных решений с функциями позволяет вычислять интегральные средние неизвестной, но в то же время ее нелинейные суперпозиции, вообще говоря, не являются слабыми пределами нелинейных суперпозиций приближений метода, т.е. существуют функциональные решения, которые не являются обобщенными в смысле С. Л. Соболева.

In this paper, the system of equations of magnetic hydrodynamics (MHD) is considered. The exact solutions found describe fluid flows in a porous medium and are related to the development of a core simulator and are aimed at creating a domestic technology «digital deposit» and the tasks of controlling the parameters of incompressible fluid. The central problem associated with the use of computer technology is large-dimensional grid approximations and high-performance supercomputers with a large number of parallel microprocessors. Kinetic methods for solving differential equations and methods for «gluing» exact solutions on coarse grids are being developed as possible alternatives to large-dimensional grid approximations. A comparative analysis of the efficiency of computing systems allows us to conclude that it is necessary to develop the organization of calculations based on integer arithmetic in combination with universal approximate methods. A class of exact solutions of the Navier – Stokes system is proposed, describing three-dimensional flows for an incompressible fluid, as well as exact solutions of nonstationary three-dimensional magnetic hydrodynamics. These solutions are important for practical problems of controlled dynamics of mineralized fluids, as well as for creating test libraries for verification of approximate methods. A number of phenomena associated with the formation of macroscopic structures due to the high intensity of interaction of elements of spatially homogeneous systems, as well as their occurrence due to linear spatial transfer in spatially inhomogeneous systems, are highlighted. It is fundamental that the emergence of structures is a consequence of the discontinuity of operators in the norms of conservation laws. The most developed and universal is the theory of computational methods for linear problems. Therefore, from this point of view, the procedures of «immersion» of nonlinear problems into general linear classes by changing the initial dimension of the description and expanding the functional spaces are important. Identification of functional solutions with functions makes it possible to calculate integral averages of an unknown, but at the same time its nonlinear superpositions, generally speaking, are not weak limits of nonlinear superpositions of approximations of the method, i.e. there are functional solutions that are not generalized in the sense of S. L. Sobolev.

В статье изучаются упругопластические тела минимального объема. Часть границы всех рассматриваемых тел закреплена в одних и тех же точках пространства, на остальной части граничной поверхности заданы напряжения (загруженная поверхность). Форма загруженной поверхности может изменяться в пространстве, но при этом коэффициент предельной нагрузки, вычисленный в предположении, что тела заполнены упругопластической средой, не должен быть меньше фиксированного значения. Кроме того, предполагается, что все варьируемые тела содержат внутри себя некоторое эталонное многообразие ограниченного объема.

Поставлена следующая задача: какое максимальное количество полостей (или отверстий в двумерном случае) может иметь тело (пластина) минимального объема при сформулированных выше ограничениях? Установлено, что для того, чтобы задача была математически корректно сформулирована, необходимо потребовать выполнения двух дополнительных условий: площади отверстий должны превосходить малую константу, а общая длина контуров внутренних отверстий в оптимальной фигуре должна быть минимальна среди варьируемых тел. Таким образом, в отличие от большинства работ по оптимальному проектированию упругопластических систем, когда осуществляется параметрический анализ приемлемых решений при заданной топологии, в работе проводится поиск топологического параметра связности проектируемой конструкции.

Изучается случай, когда коэффициент предельной нагрузки для эталонного многообразия достаточно велик, а площади допустимых отверстий в варьируемых пластинах превосходят малую константу. Приводятся аргументы, подтверждающие, что в этих условиях оптимальная фигура является стержневой системой Максвелла или Мичелла. В качестве примеров представлены микрофотографии типичных для биологических систем костных тканей. Показано, что в системе Мичелла не может быть внутренних отверстий большой площади. В то же время в стержневом наборе Максвелла могут существовать значительные по площади отверстия. Приводятся достаточные условия, когда в оптимальной по объему сплошной пластинке можно образовать отверстия. Результаты допускают обобщения и на трехмерные упругопластичные конструкции.

Статья завершается формулировкой математических проблем, вытекающих из постановки новой задачи оптимального проектирования упругопластических систем.

This paper studies minimum volume elastoplastic bodies. One part of the boundary of every reviewed body is fixed to the same space points while stresses are set for the remaining part of the boundary surface (loaded surface). The shape of the loaded surface can change in space but the limit load factor calculated based on the assumption that the bodies are filled with elastoplastic medium must not be less than a fixed value. Besides, all varying bodies are supposed to have some type of a limited volume sample manifold inside of them.

The following problem has been set: what is the maximum number of cavities (or holes in a two-dimensional case) that a minimum volume body (plate) can have under the above limitations? It is established that in order to define a mathematically correct problem, two extra conditions have to be met: the areas of the holes must be bigger than the small constant while the total length of the internal hole contour lines within the optimum figure must be minimum among the varying bodies. Thus, unlike most articles on optimum design of elastoplastic structures where parametric analysis of acceptable solutions is done with the set topology, this paper looks for the topological parameter of the design connectivity.

The paper covers the case when the load limit factor for the sample manifold is quite large while the areas of acceptable holes in the varying plates are bigger than the small constant. The arguments are brought forward that prove the Maxwell and Michell beam system to be the optimum figure under these conditions. As an example, microphotographs of the standard biological bone tissues are presented. It is demonstrated that internal holes with large areas cannot be a part of the Michell system. At the same the Maxwell beam system can include holes with significant areas. The sufficient conditions are given for the hole formation within the solid plate of optimum volume. The results permit generalization for three-dimensional elastoplastic structures.

The paper concludes with the setting of mathematical problems arising from the new problem optimally designed elastoplastic systems.