Все выпуски

В статье рассматривается процесс поиска опорных траекторий движения плоского пятизвенного двуногого шагающего робота с точечным контактом. Для этого используются метод приведения динамики к низкоразмерному нулевому многообразию с помощью наложения виртуальных связей и алгоритмы нелинейной оптимизации для поиска параметров наложенных связей. Проведен анализ влияния степени полиномов Безье, аппроксимирующих виртуальные связи, а также условия непрерывности управляющих воздействий на энергоэффективность движения. Численные расчеты показали, что на практике достаточно рассматривать полиномы со степенями 5 или 6, так как дальнейшее увеличение степени приводит к увеличению вычислительных затрат, но не гарантирует уменьшение энергозатрат походки. Помимо этого, было установлено, что введение ограничений на непрерывность управляющих воздействий не приводит к существенному уменьшению энергоэффективности и способствует реализуемости походки на реальном роботе благодаря плавному изменению крутящих моментов в приводах. В работе показано, что для решения задачи поиска минимума целевой функции в виде энергозатрат при наличии большого количества ограничений целесообразно на первом этапе найти допустимые точки в пространстве параметров, а на втором этапе — осуществлять поиск локальных минимумов, стартуя с этих точек. Для первого этапа предложен алгоритм расчета начальных приближений искомых параметров, позволяющий сократить время поиска траекторий (в среднем до 3-4 секунд) по сравнению со случайным начальным приближением. Сравнение значений целевых функций на первом и на втором этапах показывает, что найденные на втором этапе локальные минимумы дают в среднем двукратный выигрыш по энергоэффективности в сравнении со случайно найденной на первом этапе допустимой точкой. При этом времязатраты на выполнение локальной оптимизации на втором этапе являются существенными.

In this paper, we discuss the procedure for finding nominal trajectories of the planar five-link bipedal robot with point contact. To this end we use a virtual constraints method that transforms robot’s dynamics to a lowdimensional zero manifold; we also use a nonlinear optimization algorithms to find virtual constraints parameters that minimize robot’s cost of transportation. We analyzed the effect of the degree of Bezier polynomials that approximate the virtual constraints and continuity of the torques on the cost of transportation. Based on numerical results we found that it is sufficient to consider polynomials with degrees between five and six, as further increase in the degree of polynomial results in increased computation time while it does not guarantee reduction of the cost of transportation. Moreover, it was shown that introduction of torque continuity constraints does not lead to significant increase of the objective function and makes the gait more implementable on a real robot.

We propose a two step procedure for finding minimum of the considered optimization problem with objective function in the form of cost of transportation and with high number of constraints. During the first step we solve a feasibility problem: remove cost function (set it to zero) and search for feasible solution in the parameter space. During the second step we introduce the objective function and use the solution found in the first step as initial guess. For the first step we put forward an algorithm for finding initial guess that considerably reduced optimization time of the first step (down to 3–4 seconds) compared to random initialization. Comparison of the objective function of the solutions found during the first and second steps showed that on average during the second step objective function was reduced twofold, even though overall computation time increased significantly.

В данной работе с помощью алгоритма Метрополиса авторами были изучены магнитные системы, в которых из-за конкуренции между прямым гейзенберговским обменом и взаимодействием Дзялошинского–Мория возникают магнитные вихревые структуры — скирмионы.

В статье рассматриваются условия зарождения и стабильного существования магнитных скирмионов в двумерных магнитных пленках в рамках классической модели Гейзенберга. Изучена термическая стабильность скирмионов в магнитной пленке. Были рассмотрены процессы формирования различных состояний в изучаемой системе при варьировании величины внешнего магнитного поля, выделены различные фазы, в которые переходит система спинов Гейзенберга. Было выделено семь фаз: парамагнитная, спиральная, лабиринтная, спираль-скирмионная, скирмионная, скирмион-ферромагнитная и ферромагнитная фазы, подробный анализ конфигураций которых приводится в статье.

Построены две фазовые диаграммы: на первой показано поведение системы при постоянном $D$ в зависимости от величин внешнего магнитного поля и температуры: $(T, B)$, на второй — изменение кон- фигураций системы при постоянной температуре $T$ в зависимости от величины взаимодействия Дзялошинского–Мории и внешнего магнитного поля: $(D, B)$.

Полученные в ходе численных экспериментов данные будут использованы в дальнейших исследованиях при определении модельных параметров системы для формирования стабильного скирмионного состояния и разработки методов контроля скирмионов в магнитной пленке.

Magnetic systems, in which due to competition between the direct Heisenberg exchange and the Dzyaloshinskii –Moriya interaction, magnetic vortex structures — skyrmions appear, were studied using the Metropolis algorithm.

The conditions for the nucleation and stable existence of magnetic skyrmions in two-dimensional magnetic films in the frame of the classical Heisenberg model were considered in the article. A thermal stability of skyrmions in a magnetic film was studied. The processes of the formation of various states in the system at different values of external magnetic fields were considered, various phases into which the Heisenberg spin system passes were recognized. The authors identified seven phases: paramagnetic, spiral, labyrinth, spiralskyrmion, skyrmion, skyrmion-ferromagnetic and ferromagnetic phases, a detailed analysis of the configurations is given in the article.

Two phase diagrams were plotted: the first diagram shows the behavior of the system at a constant $D$ depending on the values of the external magnetic field and temperature $(T, B)$, the second one shows the change of the system configurations at a constant temperature $T$ depending on the magnitude of the Dzyaloshinskii – Moriya interaction and external magnetic field: $(D, B)$.

The data from these numerical experiments will be used in further studies to determine the model parameters of the system for the formation of a stable skyrmion state and to develop methods for controlling skyrmions in a magnetic film.

В данной работе показаны преимущества использования алгоритмов искусственного интеллекта для планирования эксперимента, позволяющих повысить точность идентификации параметров для эластостатической модели робота. Планирование эксперимента для робота заключается в подборе оптимальных пар «конфигурация – внешняя сила» для использования в алгоритмах идентификации, включающих в себя несколько основных этапов. На первом этапе создается эластостатическая модель робота, учитывающая все возможные механические податливости. Вторым этапом выбирается целевая функция, которая может быть представлена как классическими критериями оптимальности, так и критериями, напрямую следующими из желаемого применения робота. Третьим этапом производится поиск оптимальных конфигураций методами численной оптимизации. Четвертым этапом производится замер положения рабочего органа робота в полученных конфигурациях под воздействием внешней силы. На последнем, пятом, этапе выполняется идентификация эластостатичесих параметров манипулятора на основе замеренных данных.

Целевая функция для поиска оптимальных конфигураций для калибровки индустриального робота является ограниченной в силу механических ограничений как со стороны возможных углов вращения шарниров робота, так и со стороны возможных прикладываемых сил. Решение данной многомерной и ограниченной задачи является непростым, поэтому предлагается использовать подходы на базе искусственного интеллекта. Для нахождения минимума целевой функции были использованы следующие методы, также иногда называемые эвристическими: генетические алгоритмы, оптимизация на основе роя частиц, алгоритм имитации отжига т. д. Полученные результаты были проанализированы с точки зрения времени, необходимого для получения конфигураций, оптимального значения, а также итоговой точности после применения калибровки. Сравнение показало преимущество рассматриваемых техник оптимизации на основе искусственного интеллекта над классическими методами поиска оптимального значения. Результаты данной работы позволяют уменьшить время, затрачиваемое на калибровку, и увеличить точность позиционирования рабочего органа робота после калибровки для контактных операций с высокими нагрузками, например таких, как механическая обработка и инкрементальная формовка.

This paper demonstrates the advantages of using artificial intelligence algorithms for the design of experiment theory, which makes possible to improve the accuracy of parameter identification for an elastostatic robot model. Design of experiment for a robot consists of the optimal configuration-external force pairs for the identification algorithms and can be described by several main stages. At the first stage, an elastostatic model of the robot is created, taking into account all possible mechanical compliances. The second stage selects the objective function, which can be represented by both classical optimality criteria and criteria defined by the desired application of the robot. At the third stage the optimal measurement configurations are found using numerical optimization. The fourth stage measures the position of the robot body in the obtained configurations under the influence of an external force. At the last, fifth stage, the elastostatic parameters of the manipulator are identified based on the measured data.

The objective function required to finding the optimal configurations for industrial robot calibration is constrained by mechanical limits both on the part of the possible angles of rotation of the robot’s joints and on the part of the possible applied forces. The solution of this multidimensional and constrained problem is not simple, therefore it is proposed to use approaches based on artificial intelligence. To find the minimum of the objective function, the following methods, also sometimes called heuristics, were used: genetic algorithms, particle swarm optimization, simulated annealing algorithm, etc. The obtained results were analyzed in terms of the time required to obtain the configurations, the optimal value, as well as the final accuracy after applying the calibration. The comparison showed the advantages of the considered optimization techniques based on artificial intelligence over the classical methods of finding the optimal value. The results of this work allow us to reduce the time spent on calibration and increase the positioning accuracy of the robot’s end-effector after calibration for contact operations with high loads, such as machining and incremental forming.

Данная работа посвящена сравнительному анализу оптимизационных методов и алгоритмов для проведения интервальной оценки технических потерь электроэнергии в распределительных сетях напряжением 6–20 кВ. Задача интервальной оценки потерь сформулирована в виде задачи многомерной условной минимизации/максимизации с неявной целевой функцией. Рассмотрен ряд методов численной оптимизации первого и нулевого порядков, с целью определения наиболее подходящего для решения рассмотренной проблемы. Таким является алгоритм BOBYQA, в котором целевая функция заменяется ее квадратичной аппроксимацией в пределах доверительной области.

This article is dedicated to a comparison analysis of optimization methods, in order to perform an interval estimation of electrical energy technical losses in distribution networks of voltage 6–20 kV. The issue of interval evaluation is represented as a multi-dimensional conditional minimization/maximization problem with implicit target function. A number of numerical optimization methods of first and zero orders is observed, with the aim of determining the most suitable for the problem of interest. The desired algorithm is BOBYQA, in which the target function is replaced with its quadratic approximation in some trusted region.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Problems of multiple covering ($k$-covering) of a bounded set $G$ with equal circles of a given radius are well known. They are thoroughly studied under the assumption that $G$ is a finite set. There are several papers concerned with studying this problem in the case where $G$ is a connected set. In this paper, we study the problem of minimizing the number of circles that form a $k$-covering, $k \geqslant 1$, provided that $G$ is a bounded convex plane domain.

For the above-mentioned problem, we state a 0-1 linear model, a general integer linear model, and a nonlinear model, imposing a constraint on the minimum distance between the centers of covering circles. The latter constraint is due to the fact that in practice one can place at most one device at each point. We establish necessary and sufficient solvability conditions for the linear models and describe one (easily realizable) variant of these conditions in the case where the covered set $G$ is a rectangle.

We propose some methods for finding an approximate number of circles of a given radius that provide the desired $k$-covering of the set $G$, both with and without constraints on distances between the circles’ centers. We treat the calculated values as approximate upper bounds for the number of circles. We also propose a technique that allows one to get approximate lower bounds for the number of circles that is necessary for providing a $k$-covering of the set $G$. In the general linear model, as distinct from the 0-1 linear model, we require no additional constraint. The difference between the upper and lower bounds for the number of circles characterizes the quality (acceptability) of the constructed $k$-covering.

We state a nonlinear mathematical model for the $k$-covering problem with the above-mentioned constraints imposed on distances between the centers of covering circles. For this model, we propose an algorithm which (in certain cases) allows one to find more exact solutions to covering problems than those calculated from linear models.

For implementing the proposed approach, we have developed computer programs and performed numerical experiments. Results of numerical experiments demonstrate the effectiveness of the method.

Гидриды металлов представляют собой интересный класс соединений, способных обратимо связывать большое количество водорода и потому представляющих интерес для приложений энергетики. Особенно важно понимание факторов, влияющих на кинетику формирования и разложения гидридов. Особенности материала, экспериментальной установки и условий влияют на математическое описание процессов, которое может претерпевать существенные изменения в ходе обработки экспериментальных данных. В статье предложен общий подход к численному моделированию формирования и разложения гидридов металлов и решения обратных задач оценки параметров материала по данным измерений. Модели делятся на два класса: диффузионные, принимающие во внимание градиент концентрации водорода в решетке металла, и модели с быстрой диффузией. Первые более сложны и имеют форму неклассических краевых задач параболического типа. Описан подход к сеточному решению таких задач. Вторые решаются сравнительно просто, но могут сильно меняться при изменении модельных предположений. Опыт обработки экспериментальных данных показывает, что необходимо гибкое программное средство, позволяющее, с одной стороны, строить модели из стандартных блоков, свободно изменяя их при необходимости, а с другой — избегать реализации рутинных алгоритмов, причем приспособленное для высокопроизводительных систем различной парадигмы. Этим условиям удовлетворяет представленная в работе библиотека HIMICOS, протестированная на большом числе экспериментальных данных. Она позволяет моделировать кинетику формирования и разложения гидридов металлов (и других соединений) на трех уровнях абстракции. На низком уровне пользователь определяет интерфейсные процедуры, такие как расчет слоя по времени на основании предыдущего слоя или всей предыстории, вычисление наблюдаемой величины и независимой переменной по переменным задачи, сравнение кривой с эталонной. При этом могут использоваться алгоритмы, решающие краевые задачи параболического типа со свободными границами в весьма общей постановке, в том числе с разнообразными квазилинейными (линейными по производной) граничными условиями, а также вычисляющие расстояние между кривыми в различных метрических пространствах и с различной нормировкой. Это средний уровень абстракции. На высоком уровне достаточно выбрать готовую модель для того или иного материала и модифицировать ее применительно к условиям эксперимента.

Metal hydrides are an interesting class of chemical compounds that can reversibly bind a large amount of hydrogen and are, therefore, of interest for energy applications. Understanding the factors affecting the kinetics of hydride formation and decomposition is especially important. Features of the material, experimental setup and conditions affect the mathematical description of the processes, which can undergo significant changes during the processing of experimental data. The article proposes a general approach to numerical modeling of the formation and decomposition of metal hydrides and solving inverse problems of estimating material parameters from measurement data. The models are divided into two classes: diffusive ones, that take into account the gradient of hydrogen concentration in the metal lattice, and models with fast diffusion. The former are more complex and take the form of non-classical boundary value problems of parabolic type. A rather general approach to the grid solution of such problems is described. The second ones are solved relatively simply, but can change greatly when model assumptions change. Our experience in processing experimental data shows that a flexible software tool is needed; a tool that allows, on the one hand, building models from standard blocks, freely changing them if necessary, and, on the other hand, avoiding the implementation of routine algorithms. It also should be adapted for high-performance systems of different paradigms. These conditions are satisfied by the HIMICOS library presented in the paper, which has been tested on a large number of experimental data. It allows simulating the kinetics of formation and decomposition of metal hydrides, as well as related tasks, at three levels of abstraction. At the low level, the user defines the interface procedures, such as calculating the time layer based on the previous layer or the entire history, calculating the observed value and the independent variable from the task variables, comparing the curve with the reference. Special algorithms can be used for solving quite general parabolic-type boundary value problems with free boundaries and with various quasilinear (i.e., linear with respect to the derivative only) boundary conditions, as well as calculating the distance between the curves in different metric spaces and with different normalization. This is the middle level of abstraction. At the high level, it is enough to choose a ready tested model for a particular material and modify it in relation to the experimental conditions.

В работе выполнен физический и численный анализ динамики и излучения продуктов взрыва, образующихся при проведении российско-американского эксперимента в ионосфере с использованием взрывного генератора на основе гексогена и тротила. Основное внимание уделяется анализу взаимосвязи излучения возмущенной области с динамикой процессов взрывчатого вещества и плазменной струи на поздней стадии. Проанализирован подробный химический состав продуктов взрыва и определены начальные концентрации наиболее важных молекул, способных излучать в инфракрасном диапазоне спектра, и приведены их излучательные константы. Определены начальная температура продуктов взрыва и показатель адиабаты. Проанализирован характер взаимопроникновения атомов и молекул сильно разреженной ионосферы в сферически расширяющееся облако продуктов. Разработана приближенная математическая модель динамики продуктов взрыва в условиях подмешивания к ним разреженного воздуха ионосферы и рассчитаны основные термодинамические характеристики системы. Показано, что на время 0,3–3 с происходит существенное повышение температуры разлетающейся смеси в результате ее торможения. Для анализа и сравнения на основе лагранжевого подхода разработан численный алгоритм решения двухобластной газодинамической задачи, в которой продукты взрыва и фоновый газ разделены контактной границей. Требовалось выполнение специальных условий на контактной границе при ее движении в покоящемся газе. В данном случае существуют определенные трудности в описании параметров продуктов взрыва вблизи контактной границы, что связано с большим различием в размерах массовых ячеек продуктов взрыва и фона из-за перепада плотности на 13 порядков. Для сокращения времени расчета данной задачи в области продуктов взрыва применялась неравномерная расчетная сетка. Расчеты выполнялись с различными показателями адиабаты. Получены результаты, наиболее важным из которых является температура, хорошо согласуется с результатами, полученными по методике, приближенно учитывающей взаимопроникновение. Получено поведение во времени коэффициентов излучения ИК-активных молекул в широком диапазоне спектра. Данное поведение качественно согласуется с экспериментами по ИК-свечению разлетающихся продуктов взрыва.

The paper presents a physical and numerical analysis of the dynamics and radiation of explosion products formed during the Russian-American experiment in the ionosphere using an explosive generator based on hexogen (RDX) and trinitrotoluene (TNT). The main attention is paid to the radiation of the perturbed region and the dynamics of the products of explosion (PE). The detailed chemical composition of the explosion products is analyzed and the initial concentrations of the most important molecules capable of emitting in the infrared range of the spectrum are determined, and their radiative constants are given. The initial temperature of the explosion products and the adiabatic exponent are determined. The nature of the interpenetration of atoms and molecules of a highly rarefied ionosphere into a spherically expanding cloud of products is analyzed. An approximate mathematical model of the dynamics of explosion products under conditions of mixing rarefied ionospheric air with them has been developed and the main thermodynamic characteristics of the system have been calculated. It is shown that for a time of 0,3–3 sec there is a significant increase in the temperature of the scattering mixture as a result of its deceleration. In the problem under consideration the explosion products and the background gas are separated by a contact boundary. To solve this two-region gas dynamic problem a numerical algorithm based on the Lagrangian approach was developed. It was necessary to fulfill special conditions at the contact boundary during its movement in a stationary gas. In this case there are certain difficulties in describing the parameters of the explosion products near the contact boundary which is associated with a large difference in the size of the mass cells of the explosion products and the background due to a density difference of 13 orders of magnitude. To reduce the calculation time of this problem an irregular calculation grid was used in the area of explosion products. Calculations were performed with different adiabatic exponents. The most important result is temperature. It is in good agreement with the results obtained by the method that approximately takes into account interpenetration. The time behavior of the IR emission coefficients of active molecules in a wide range of the spectrum is obtained. This behavior is qualitatively consistent with experiments for the IR glow of flying explosion products.

Данная статья посвящена разработке алгоритма траекторного управления высокоманевренной транспортной четырехколесной роботехнической платформой, оснащенной mecanum-колесами, с целью организации ее движения за некоторым подвижным объектом. Представлен расчет кинематических соотношений данной платформы в фиксированной системе координат, необходимый для определения угловых скоростей колес робота в зависимости от заданного вектора скорости. Разработан алгоритм движения робота за мобильным объектом на плоскости без препятствий на основе использования модифицированного метода погони с использованием разных видов управляющих функций. Метод погони заключается в том, что вектор скорости геометрического центра платформы сонаправлен с вектором, соединяющим геометрический центр платформы и движущийся объект. Реализовано два вида управляющих функций: кусочная и постоянная. Под кусочной функцией имеется в виду управление с режимами переключения в зависимости от расстояния от робота до цели. Главной особенностью кусочной функции является плавное изменение скорости робота. Также управляющие функции разделяются по характеру поведения при приближении робота к цели. При применении одной из кусочных функций движение робота замедляется при достижении определенного расстояние между роботом и целью и полностью останавливается при критичном расстоянии. Другой вид поведения при приближении к цели заключается в изменении направления вектора скорости на противоположный, если расстояние между платформой и объектом будет минимально допустимым, что позволяет избегать столкновения при движении цели в направления робота. Данный вид поведения при приближении к цели реализован для кусочной и постоянной функции. Выполнено численное моделирование алгоритма управления роботом для различных управляющих функций в задаче преследования цели, где цель движется по окружности. Представлен псевдокод алгоритма управления и управляющих функций. Показаны графики траектории робота при движении за целью, изменения скорости, изменения угловых скоростей колес от времени для различных управляющих функций.

This article is devoted to the development of an algorithm for trajectory control of a highly maneuverable four-wheeled robotic transport platform equipped with mecanum wheels, in order to organize its movement behind some moving object. The calculation of the kinematic ratios of this platform in a fixed coordinate system is presented, which is necessary to determine the angular velocities of the robot wheels depending on a given velocity vector. An algorithm has been developed for the robot to follow a mobile object on a plane without obstacles based on the use of a modified chase method using different types of control functions. The chase method consists in the fact that the velocity vector of the geometric center of the platform is co-directed with the vector connecting the geometric center of the platform and the moving object. Two types of control functions are implemented: piecewise and constant. The piecewise function means control with switching modes depending on the distance from the robot to the target. The main feature of the piecewise function is a smooth change in the robot’s speed. Also, the control functions are divided according to the nature of behavior when the robot approaches the target. When using one of the piecewise functions, the robot’s movement slows down when a certain distance between the robot and the target is reached and stops completely at a critical distance. Another type of behavior when approaching the target is to change the direction of the velocity vector to the opposite, if the distance between the platform and the object is the minimum allowable, which avoids collisions when the target moves in the direction of the robot. This type of behavior when approaching the goal is implemented for a piecewise and constant function. Numerical simulation of the robot control algorithm for various control functions in the task of chasing a target, where the target moves in a circle, is performed. The pseudocode of the control algorithm and control functions is presented. Graphs of the robot’s trajectory when moving behind the target, speed changes, changes in the angular velocities of the wheels from time to time for various control functions are shown.

В статье приводятся результаты трехмерного моделирования экологического состояния мелководного водоема на примере Азовского моря с использованием схем повышенного порядка точности на многопроцессорной вычислительной системе Южного федерального университета. Для решения поставленной задачи были построены и изучены дискретные аналоги операторов конвективного и диффузионного переносов четвертого порядка точности в случае частичной заполненности ячеек расчетной области. Разработанные схемы повышенного (четвертого) порядка точности были использованы при решении задач водной экологии для моделирования пространственного распределения загрязняющих биогенных веществ, вызывающих бурный рост фитопланктона, многие виды которого являются токсичными и вредоносными. Использование схем повышенного порядка точности позволило повысить качество входных данных, а также уменьшить значение погрешности при решении модельных задач водной экологии. Были проведены численные эксперименты для задачи транспорта веществ на основе схем второго и четвертого порядков точностей, которые показали, что для задачи диффузии-конвекции удалось повысить точность в 48,7 раз. Предложен и численно реализован математический алгоритм, предназначенный для восстановления рельефа дна мелководного водоема на основе гидрографической информации (глубины водоема в отдельных точках или изолиний уровня), с помощью которого была получена карта рельефа дна Азовского моря, используемая для построения полей течений, рассчитанных на основе гидродинамической модели. Поля течений водного потока используются в работе в качестве входной информации для моделей водной экологии. Была разработана библиотека двухслойных итерационных методов, предназначенная для решения девятидиагональных сеточных уравнений, возникающих при дискретизации модельных задач изменения концентраций загрязняющих веществ, планктона и рыб на многопроцессорной вычислительной системе, что позволило повысить точность расчетных данных и дало возможность получать оперативные прогнозы изменения экологического состояния мелководного водоема в кратчайшие временные промежутки.

The article covered results of three-dimensional modeling of ecologic situation of shallow water on the example of the Azov Sea with using schemes of increased order of accuracy on multiprocessor computer system of Southern Federal University. Discrete analogs of convective and diffusive transfer operators of the fourth order of accuracy in the case of partial occupancy of cells were constructed and studied. The developed scheme of the high (fourth) order of accuracy were used for solving problems of aquatic ecology and modeling spatial distribution of polluting nutrients, which caused growth of phytoplankton, many species of which are toxic and harmful. The use of schemes of the high order of accuracy are improved the quality of input data and decreased the error in solutions of model tasks of aquatic ecology. Numerical experiments were conducted for the problem of transportation of substances on the basis of the schemes of the second and fourth orders of accuracy. They’re showed that the accuracy was increased in 48.7 times for diffusion-convection problem. The mathematical algorithm was proposed and numerically implemented, which designed to restore the bottom topography of shallow water on the basis of hydrographic data (water depth at individual points or contour level). The map of bottom relief of the Azov Sea was generated with using this algorithm. It’s used to build fields of currents calculated on the basis of hydrodynamic model. The fields of water flow currents were used as input data of the aquatic ecology models. The library of double-layered iterative methods was developed for solving of nine-diagonal difference equations. It occurs in discretization of model tasks of challenges of pollutants concentration, plankton and fish on multiprocessor computer system. It improved the precision of the calculated data and gave the possibility to obtain operational forecasts of changes in ecologic situation of shallow water in short time intervals.

The Lipschitz continuous property has been used for a long time to solve the global optimization problem and continues to be used. Here we can mention the work of Piyavskii, Yevtushenko, Strongin, Shubert, Sergeyev, Kvasov and others. Most papers assume a priori knowledge of the Lipschitz constant, but the derivation of this constant is a separate problem. Further still, we must prove that an objective function is really Lipschitz, and it is a complicated problem too. In the case where the Lipschitz continuity is established, Strongin proposed an algorithm for global optimization of a satisfying Lipschitz condition on a compact interval function without any a priori knowledge of the Lipschitz estimate. The algorithm not only finds a global extremum, but it determines the Lipschitz estimate too. It is known that every function that satisfies the Lipchitz condition on a compact convex set is uniformly continuous, but the reverse is not always true. However, there exist models (Arutyunova, Dulliev, Zabotin) whose study requires a minimization of the continuous but definitely not Lipschitz function. One of the algorithms for solving such a problem was proposed by R. J. Vanderbei. In his work he introduced some generalization of the Lipchitz property named $\varepsilon$-Lipchitz and proved that a function defined on a compact convex set is uniformly continuous if and only if it satisfies the $\varepsilon$-Lipchitz condition. The above-mentioned property allowed him to extend Piyavskii’s method. However, Vanderbei assumed that for a given value of $\varepsilon$ it is possible to obtain an associate Lipschitz $\varepsilon$-constant, which is a very difficult problem. Thus, there is a need to construct, for a function continuous on a compact convex domain, a global optimization algorithm which works in some way like Strongin’s algorithm, i.e., without any a priori knowledge of the Lipschitz $\varepsilon$-constant. In this paper we propose an extension of Strongin’s global optimization algorithm to a function continuous on a compact interval using the $\varepsilon$-Lipchitz conception, prove its convergence and solve some numerical examples using the software that implements the developed method.

The Lipschitz continuous property has been used for a long time to solve the global optimization problem and continues to be used. Here we can mention the work of Piyavskii, Yevtushenko, Strongin, Shubert, Sergeyev, Kvasov and others. Most papers assume a priori knowledge of the Lipschitz constant, but the derivation of this constant is a separate problem. Further still, we must prove that an objective function is really Lipschitz, and it is a complicated problem too. In the case where the Lipschitz continuity is established, Strongin proposed an algorithm for global optimization of a satisfying Lipschitz condition on a compact interval function without any a priori knowledge of the Lipschitz estimate. The algorithm not only finds a global extremum, but it determines the Lipschitz estimate too. It is known that every function that satisfies the Lipchitz condition on a compact convex set is uniformly continuous, but the reverse is not always true. However, there exist models (Arutyunova, Dulliev, Zabotin) whose study requires a minimization of the continuous but definitely not Lipschitz function. One of the algorithms for solving such a problem was proposed by R. J. Vanderbei. In his work he introduced some generalization of the Lipchitz property named $\varepsilon$-Lipchitz and proved that a function defined on a compact convex set is uniformly continuous if and only if it satisfies the $\varepsilon$-Lipchitz condition. The above-mentioned property allowed him to extend Piyavskii’s method. However, Vanderbei assumed that for a given value of $\varepsilon$ it is possible to obtain an associate Lipschitz $\varepsilon$-constant, which is a very difficult problem. Thus, there is a need to construct, for a function continuous on a compact convex domain, a global optimization algorithm which works in some way like Strongin’s algorithm, i.e., without any a priori knowledge of the Lipschitz $\varepsilon$-constant. In this paper we propose an extension of Strongin’s global optimization algorithm to a function continuous on a compact interval using the $\varepsilon$-Lipchitz conception, prove its convergence and solve some numerical examples using the software that implements the developed method.