Все выпуски

The Lipschitz continuous property has been used for a long time to solve the global optimization problem and continues to be used. Here we can mention the work of Piyavskii, Yevtushenko, Strongin, Shubert, Sergeyev, Kvasov and others. Most papers assume a priori knowledge of the Lipschitz constant, but the derivation of this constant is a separate problem. Further still, we must prove that an objective function is really Lipschitz, and it is a complicated problem too. In the case where the Lipschitz continuity is established, Strongin proposed an algorithm for global optimization of a satisfying Lipschitz condition on a compact interval function without any a priori knowledge of the Lipschitz estimate. The algorithm not only finds a global extremum, but it determines the Lipschitz estimate too. It is known that every function that satisfies the Lipchitz condition on a compact convex set is uniformly continuous, but the reverse is not always true. However, there exist models (Arutyunova, Dulliev, Zabotin) whose study requires a minimization of the continuous but definitely not Lipschitz function. One of the algorithms for solving such a problem was proposed by R. J. Vanderbei. In his work he introduced some generalization of the Lipchitz property named $\varepsilon$-Lipchitz and proved that a function defined on a compact convex set is uniformly continuous if and only if it satisfies the $\varepsilon$-Lipchitz condition. The above-mentioned property allowed him to extend Piyavskii’s method. However, Vanderbei assumed that for a given value of $\varepsilon$ it is possible to obtain an associate Lipschitz $\varepsilon$-constant, which is a very difficult problem. Thus, there is a need to construct, for a function continuous on a compact convex domain, a global optimization algorithm which works in some way like Strongin’s algorithm, i.e., without any a priori knowledge of the Lipschitz $\varepsilon$-constant. In this paper we propose an extension of Strongin’s global optimization algorithm to a function continuous on a compact interval using the $\varepsilon$-Lipchitz conception, prove its convergence and solve some numerical examples using the software that implements the developed method.

The Lipschitz continuous property has been used for a long time to solve the global optimization problem and continues to be used. Here we can mention the work of Piyavskii, Yevtushenko, Strongin, Shubert, Sergeyev, Kvasov and others. Most papers assume a priori knowledge of the Lipschitz constant, but the derivation of this constant is a separate problem. Further still, we must prove that an objective function is really Lipschitz, and it is a complicated problem too. In the case where the Lipschitz continuity is established, Strongin proposed an algorithm for global optimization of a satisfying Lipschitz condition on a compact interval function without any a priori knowledge of the Lipschitz estimate. The algorithm not only finds a global extremum, but it determines the Lipschitz estimate too. It is known that every function that satisfies the Lipchitz condition on a compact convex set is uniformly continuous, but the reverse is not always true. However, there exist models (Arutyunova, Dulliev, Zabotin) whose study requires a minimization of the continuous but definitely not Lipschitz function. One of the algorithms for solving such a problem was proposed by R. J. Vanderbei. In his work he introduced some generalization of the Lipchitz property named $\varepsilon$-Lipchitz and proved that a function defined on a compact convex set is uniformly continuous if and only if it satisfies the $\varepsilon$-Lipchitz condition. The above-mentioned property allowed him to extend Piyavskii’s method. However, Vanderbei assumed that for a given value of $\varepsilon$ it is possible to obtain an associate Lipschitz $\varepsilon$-constant, which is a very difficult problem. Thus, there is a need to construct, for a function continuous on a compact convex domain, a global optimization algorithm which works in some way like Strongin’s algorithm, i.e., without any a priori knowledge of the Lipschitz $\varepsilon$-constant. In this paper we propose an extension of Strongin’s global optimization algorithm to a function continuous on a compact interval using the $\varepsilon$-Lipchitz conception, prove its convergence and solve some numerical examples using the software that implements the developed method.

В первом разделе работы предложено определение функции представления (восприятия) о показателях, являющихся компонентами субъективной картины мира индивидов. Используя основной психофизический закон в форме С. Стивенса и опираясь на гипотезы социализации, рациональности, индивидуального выбора, комплексности информационных воздействий, динамики представлений и восприятий, доступности, получены формальные зависимости, позволяющие вычислять функции представления (восприятия) для показателей вероятностного (известна функция распределения или субъективная вероятность) и интервального типов. Во втором и третьем разделах выполнена оценка параметров функции представления по данным опросов населения США, связанных с войной в Корее, во Вьетнаме и в Ираке.

In the first section of the paper a definition of presentation (perception) functions — components of individual’s subjective view of the world — are proposed. Using the basic psychophysical law formulated by S. Stevens, and relying on the hypotheses of socialization, rationality, individual choice, complexity of informational influences, dynamics of ideas and perceptions, and accessibility, formal dependence was derived allowing to calculate the function of presentation (perception) for probabilistic indicators (with known distribution function or subjective probability) and of interval type. In the second and third sections parameters of the presentation function according to surveys of the U.S. population related to the war in Korea, Vietnam, and Iraq are estimated.

В развитие ранее полученного результата по моделированию динамики растительного покрова, вследствие изменчивости температурного фона, представлена новая схема интервального анализа динамики флористических образов формаций в случае, когда параметр скорости реагирования модели динамики каждого учетного вида растения задан интервалом разброса своих возможных значений. Желаемая в фундаментальных исследованиях детализация описания функциональных параметров макромоделей биоразнообразия, учитывающая сущностные причины наблюдаемых эволюционных процессов, может оказаться проблемной задачей. Использование более надежных интервальных оценок вариабельности функциональных параметров «обходит» проблему неопределенности в вопросах первичного оценивания эволюции фиторесурсного потенциала осваиваемых подконтрольных территорий. Полученные решения сохраняют не только качественную картину динамики видового разнообразия, но и дают строгую, в рамках исходных предположений, количественную оценку меры присутствия каждого вида растения. Практическая значимость схем двустороннего оценивания на основе конструирования уравнений для верхних и нижних границ траекторий разброса решений зависит от условий и меры пропорционального соответствия интервалов разбросов исходных параметров с интервалами разбросов решений. Для динамических систем желаемая пропорциональность далеко не всегда обеспечивается. Приведенные примеры демонстрирует приемлемую точность интервального оценивания эволюционных процессов. Важно заметить, что конструкции оценочных уравнений порождают исчезающие интервалы разбросов решений для квазипостоянных температурных возмущений системы. Иными словами, траектории стационарных температурных состояний растительного покрова предложенной схемой интервального оценивания не огрубляется. Строгость результата интервального оценивания видового состава растительного покрова формаций может стать определяющим фактором при выборе метода в задачах анализа динамики видового разнообразия и растительного потенциала территориальных систем ресурсно-экологического мониторинга. Возможности предложенного подхода иллюстрируются геоинформационными образами вычислительного анализа динамики растительного покрова полуострова Ямал и графиками ретроспективного анализа флористической изменчивости формаций ландшафтно-литологической группы «Верховые» по данным вариации летнего температурного фона метеостанции г. Салехарда от 2010 до 1935 года. Разработанные показатели флористической изменчивости и приведенные графики характеризуют динамику видового разнообразия, как в среднем, так и индивидуально, в виде интервалов возможных состояний по каждому учетному виду растения.

In the development of the previously obtained result on modeling the dynamics of vegetation cover, due to variations in the temperature background, a new scheme for the interval analysis of the dynamics of floristic images of formations is presented in the case when the parameter of the response rate of the model of the dynamics of each counting plant species is set by the interval of scatter of its possible values. The detailed description of the functional parameters of macromodels of biodiversity, desired in fundamental research, taking into account the essential reasons for the observed evolutionary processes, may turn out to be a problematic task. The use of more reliable interval estimates of the variability of functional parameters “bypasses” the problem of uncertainty in the primary assessment of the evolution of the phyto-resource potential of the developed controlled territories. The solutions obtained preserve not only a qualitative picture of the dynamics of species diversity, but also give a rigorous, within the framework of the initial assumptions, a quantitative assessment of the degree of presence of each plant species. The practical significance of two-sided estimation schemes based on the construction of equations for the upper and lower boundaries of the trajectories of the scatter of solutions depends on the conditions and measure of proportional correspondence of the intervals of scatter of the initial parameters with the intervals of scatter of solutions. For dynamic systems, the desired proportionality is not always ensured. The given examples demonstrate the acceptable accuracy of interval estimation of evolutionary processes. It is important to note that the constructions of the estimating equations generate vanishing intervals of scatter of solutions for quasi-constant temperature perturbations of the system. In other words, the trajectories of stationary temperature states of the vegetation cover are not roughened by the proposed interval estimation scheme. The rigor of the result of interval estimation of the species composition of the vegetation cover of formations can become a determining factor when choosing a method in the problems of analyzing the dynamics of species diversity and the plant potential of territorial systems of resource-ecological monitoring. The possibilities of the proposed approach are illustrated by geoinformation images of the computational analysis of the dynamics of the vegetation cover of the Yamal Peninsula and by the graphs of the retro-perspective analysis of the floristic variability of the formations of the landscapelithological group “Upper” based on the data of the summer temperature background of the Salehard weather station from 2010 to 1935. The developed indicators of floristic variability and the given graphs characterize the dynamics of species diversity, both on average and individually in the form of intervals of possible states for each species of plant.

В статье предложен пространственно-временной подход к моделированию диффузии информационно-коммуникационных технологий на основе уравнения Фишера – Колмогорова – Петровского – Пискунова, в котором кинетика диффузии описывается моделью Басса, широко применяемой для моделирования распространения инноваций на рынке. Для этого уравнения изучены его положения равновесия и на основе сингулярной теории возмущений получено приближенное решение в виде бегущей волны, т.е. решение, которое распространяется с постоянной скоростью, сохраняя при этом свою форму в пространстве. Скорость волны показывает, на какую величину за единичный интервал времени изменяется пространственная характеристика, определяющая данный уровень распространения технологии. Эта скорость существенно выше скорости, с которой происходит распространение за счет диффузии. С помощью построения такого автоволнового решения появляется возможность оценить время, необходимое субъекту исследования для достижения текущего показателя лидера.

Полученное приближенное решение далее было применено для оценки факторов, влияющих на скорость распространения информационно-коммуникационных технологий по федеральным округам Российской Федерации. Вк ачестве пространственных переменных для диффузии мобильной связи среди населения рассматривались различные социально-экономические показатели. Полюсы роста, в которых возникают инновации, обычно характеризуются наивысшими значениями пространственных переменных. Для России таким полюсом роста является Москва, поэтому в качестве факторных признаков рассматривались показатели федеральных округов, отнесенные к показателям Москвы. Наилучшее приближение к исходным данным было получено для отношения доли затрат на НИОКР в ВРП к показателю Москвы, среднего за период 2000–2009 гг. Было получено, что для УФО на начальном этапе распространения мобильной связи отставание от столицы составило менее одного года, для ЦФО, СЗФО — 1,4 года, для ПФО, СФО, ЮФО и ДВФО — менее двух лет, для СКФО — немногим более двух лет. Кроме того, получены оценки времени запаздывания распространения цифровых технологий (интранета, экстранета и др.), применяемых организациями федеральных округов РФ, относительно показателей Москвы.

The article proposes a space-time approach to modeling the diffusion of information and communication technologies based on the Fisher –Kolmogorov– Petrovsky – Piskunov equation, in which the diffusion kinetics is described by the Bass model, which is widely used to model the diffusion of innovations in the market. For this equation, its equilibrium positions are studied, and based on the singular perturbation theory, was obtained an approximate solution in the form of a traveling wave, i. e. a solution that propagates at a constant speed while maintaining its shape in space. The wave speed shows how much the “spatial” characteristic, which determines the given level of technology dissemination, changes in a single time interval. This speed is significantly higher than the speed at which propagation occurs due to diffusion. By constructing such an autowave solution, it becomes possible to estimate the time required for the subject of research to achieve the current indicator of the leader.

The obtained approximate solution was further applied to assess the factors affecting the rate of dissemination of information and communication technologies in the federal districts of the Russian Federation. Various socio-economic indicators were considered as “spatial” variables for the diffusion of mobile communications among the population. Growth poles in which innovation occurs are usually characterized by the highest values of “spatial” variables. For Russia, Moscow is such a growth pole; therefore, indicators of federal districts related to Moscow’s indicators were considered as factor indicators. The best approximation to the initial data was obtained for the ratio of the share of R&D costs in GRP to the indicator of Moscow, average for the period 2000–2009. It was found that for the Ural Federal District at the initial stage of the spread of mobile communications, the lag behind the capital was less than one year, for the Central Federal District, the Northwestern Federal District — 1.4 years, for the Volga Federal District, the Siberian Federal District, the Southern Federal District and the Far Eastern Federal District — less than two years, in the North Caucasian Federal District — a little more 2 years. In addition, estimates of the delay time for the spread of digital technologies (intranet, extranet, etc.) used by organizations of the federal districts of the Russian Federation from Moscow indicators were obtained.