Все выпуски

В работе представлена модель типа «хищник–жертва», описывающая пространственно-временную динамику планктонного сообщества с учетом биогенных элементов. Система описывается уравнениями типа «реакция–диффузия–адвекция» в одномерной области, соответствующей вертикальному столбу воды в поверхностном слое. Адвективный член уравнения хищника описывает вертикальные перемещения зоопланктона в направлении градиента фитопланктона. Исследование посвящено определению условий возникновения пространственно-неоднородных структур, генерируемых системой под воздействием этих перемещений (таксиса). В предположении равных коэффициентов диффузии всех компонент модели анализируется неустойчивость системы в окрестности гомогенного равновесия к малым пространственно-неоднородным возмущениям.

В результате линейного анализа получены условия для возникновения неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости. Определено, что соотношения между параметрами локальной кинетики системы определяют возможность потери устойчивости системой и тип неустойчивости. В качестве бифуркационного параметра в исследовании рассматривается скорость таксиса. Показано, что при малых значениях этого параметра система устойчива, а начиная с некоторого критического значения устойчивость может теряться, и система способна генерировать либо стационарные пространственно-неоднородные структуры, либо структуры, неоднородные и по времени, и по пространству. Полученные результаты согласуются с ранними исследованиями подобных двухкомпонентных моделей.

В работе получен интересный результат, указывающий, что бесконечное увеличение скорости таксиса не будет существенно менять вид этих структур. Выявлено, что существует предел величины волнового числа, соответствующего самой неустойчивой моде. Это значение и определяет вид пространственной структуры. В подтверждение полученных результатов в работе приведены варианты пространственно-временной динамики компонент модели в случае неустойчивости Тьюринга и волновой неустойчивости.

The paper deals with a prey-predator model, which describes the spatiotemporal dynamics of plankton community and the nutrients. The system is described by reaction-diffusion-advection equations in a onedimensional vertical column of water in the surface layer. Advective term of the predator equation represents the vertical movements of zooplankton with velocity, which is assumed to be proportional to the gradient of phytoplankton density. This study aimed to determine the conditions under which these movements (taxis) lead to the spatially heterogeneous structures generated by the system. Assuming diffusion coefficients of all model components to be equal the instability of the system in the vicinity of stationary homogeneous state with respect to small inhomogeneous perturbations is analyzed.

Necessary conditions for the flow-induced instability were obtained through linear stability analysis. Depending on the local kinetics parameters, increasing the taxis rate leads to Turing or wave instability. This fact is in good agreement with conditions for the emergence of spatial and spatiotemporal patterns in a minimal phytoplankton–zooplankton model after flow-induced instabilities derived by other authors. This mechanism of generating patchiness is more general than the Turing mechanism, which depends on strong conditions on the diffusion coefficients.

While the taxis exceeding a certain critical value, the wave number corresponding to the fastest growing mode remains unchanged. This value determines the type of spatial structure. In support of obtained results, the paper presents the spatiotemporal dynamics of the model components demonstrating Turing-type pattern and standing wave pattern.

Рассматривается упрощенный неявный метод Эйлера как альтернатива явному методу Эйлера, являющемуся наиболее распространенным в области численного решения уравнений, описывающих электрическую активность нервных клеток и кардиоцитов. Многие модели электрофизиологии имеют высокую степень жесткости, так как описывают динамику процессов с существенно разными характерными временами: миллисекундная деполяризации предшествует значительно более медленной гиперполяризации при формировании потенциала действия в электровозбудимых клетках. Оценка степени жесткости в работе проводится по формуле, не требующей вычисления собственных значений матрицы Якоби системы ОДУ. Эффективность численных методов сравнивается на примере типичных представителей из классов детальных и концептуальных моделей возбудимых клеток: модели Ходжкина–Хаксли для нейронов и Алиева–Панфилова для кардиоцитов. Сравнение эффективности численных методов проведено с использованием распространенных в биомедицинских задачах видов норм. Исследовано влияние степени жесткости моделей на величину ускорения при использовании упрощенного неявного метода: выигрыш во времени при высокой степени жесткости зафиксирован только для модели Ходжкина–Хаксли. Обсуждаются целесообразность применения простых методов и методов высоких порядков точности для решения задач электрофизиологии, а также устойчивость методов. Обсуждение позволяет прояснить вопрос о причинах отказа от использования высокоточных методов в пользу простых при проведении практических расчетов. На примере модели Ходжкина–Хаксли c различными степенями жесткости вычислены производные решения высших порядков и обнаружены их значительные максимальные абсолютные значения. Последние входят в формулы констант аппроксимации и, следовательно, нивелируют малость множителя, зависящего от порядка точности. Этот факт не позволяет считать погрешности численного метода малыми. Проведенный на качественном уровне анализ устойчивости явного метода Эйлера позволяет оценить вид функции параметров модели для описания границы области устойчивости. Описание границы области устойчивости, как правило, используется при априорном принятии решения о выборе величины шага численного интегрирования.

A simplified implicit Euler method was analyzed as an alternative to the explicit Euler method, which is a commonly used method in numerical modeling in electrophysiology. The majority of electrophysiological models are quite stiff, since the dynamics they describe includes a wide spectrum of time scales: a fast depolarization, that lasts milliseconds, precedes a considerably slow repolarization, with both being the fractions of the action potential observed in excitable cells. In this work we estimate stiffness by a formula that does not require calculation of eigenvalues of the Jacobian matrix of the studied ODEs. The efficiency of the numerical methods was compared on the case of typical representatives of detailed and conceptual type models of excitable cells: Hodgkin–Huxley model of a neuron and Aliev–Panfilov model of a cardiomyocyte. The comparison of the efficiency of the numerical methods was carried out via norms that were widely used in biomedical applications. The stiffness ratio’s impact on the speedup of simplified implicit method was studied: a real gain in speed was obtained for the Hodgkin–Huxley model. The benefits of the usage of simple and high-order methods for electrophysiological models are discussed along with the discussion of one method’s stability issues. The reasons for using simplified instead of high-order methods during practical simulations were discussed in the corresponding section. We calculated higher order derivatives of the solutions of Hodgkin-Huxley model with various stiffness ratios; their maximum absolute values appeared to be quite large. A numerical method’s approximation constant’s formula contains the latter and hence ruins the effect of the other term (a small factor which depends on the order of approximation). This leads to the large value of global error. We committed a qualitative stability analysis of the explicit Euler method and were able to estimate the model’s parameters influence on the border of the region of absolute stability. The latter is used when setting the value of the timestep for simulations a priori.

При заболеваниях человека в результате бактериального заражения для наблюдения за ходом болезни используются различные характеристики организма. В настоящее время одним из таких индикаторов принимается динамика концентраций цитокинов, вырабатываемых в основном клетками иммунной системы. В организме человека и многих видов животных присутствуют эти низкомолекулярные белки. Исследование цитокинов имеет важное значение для интерпретации нарушений функциональной состоятельности иммунной системы организма, оценки степени тяжести, мониторинга эффективности проводимой терапии, прогноза течения и исхода лечения. При заболевании возникает цитокиновый отклик организма, указывающий на характеристики течения болезни. Для исследования закономерностей такой индикации проведены эксперименты на лабораторных мышах. В работе анализируются экспериментальные данные о развитии пневмонии и лечении несколькими препаратами при бактериальном заражении мышей. В качестве препаратов использовались иммуномодулирующие препараты «Ронколейкин», «Лейкинферон» и «Тинростим». Данные представлены динамикой концентраций двух видов цитокинов в легочной ткани и крови животных. Многосторонний статистический и нестатистический анализ данных позволил выявить общие закономерности изменения концентраций цитокинов в организме и связать их со свойствами лечебных препаратов. Исследуемые цитокины «Интерлейкин-10» (ИЛ-10) и «Интерферон Гамма» (ИФН$\gamma$) у зараженных мышей отклоняются от нормального уровня интактных животных, указывая на развитие заболевания. Изменения концентраций цитокинов в группах лечимых мышей сравниваются с этими показателями в группе здоровых (не зараженных) мышей и группе зараженных нелеченных особей. Сравнение делается по группам особей, так как концентрации цитокинов индивидуальны и значительно отличаются у разных особей. В этих условиях только группы особей могут указать на закономерности процессов течения болезни. Эти группы мышей наблюдались в течение двух недель. Динамика концентраций цитокинов указывает на характеристики течения болезни и эффективность применяемых лечебных препаратов. Воздействие лечебного препарата на организмы отслеживается по расположению указанных групп особей в пространстве концентраций цитокинов. В этом пространстве используется расстояние Хаусдорфа между множествами векторов концентраций цитокинов у особей, основанное на евклидовом расстоянии между элементами этих множеств. Выяснено, что препараты «Ронколейкин» и «Лейкинферон» оказывают в целом сходное между собой и отличное от препарата «Тинростим» воздействие на течение болезни.

When person`s diseases is result of bacterial infection, various characteristics of the organism are used for observation the course of the disease. Currently, one of these indicators is dynamics of cytokine concentrations are produced, mainly by cells of the immune system. There are many types of these low molecular weight proteins in human body and many species of animals. The study of cytokines is important for the interpretation of functional disorders of the body's immune system, assessment of the severity, monitoring the effectiveness of therapy, predicting of the course and outcome of treatment. Cytokine response of the body indicating characteristics of course of disease. For research regularities of such indication, experiments were conducted on laboratory mice. Experimental data are analyzed on the development of pneumonia and treatment with several drugs for bacterial infection of mice. As drugs used immunomodulatory drugs “Roncoleukin”, “Leikinferon” and “Tinrostim”. The data are presented by two types cytokines` concentration in lung tissue and animal blood. Multy-sided statistical ana non statistical analysis of the data allowed us to find common patterns of changes in the “cytokine profile” of the body and to link them with the properties of therapeutic preparations. The studies cytokine “Interleukin-10” (IL-10) and “Interferon Gamma” (IFN$\gamma$) in infected mice deviate from the normal level of infact animals indicating the development of the disease. Changes in cytokine concentrations in groups of treated mice are compared with those in a group of healthy (not infected) mice and a group of infected untreated mice. The comparison is made for groups of individuals, since the concentrations of cytokines are individual and differ significantly in different individuals. Under these conditions, only groups of individuals can indicate the regularities of the processes of the course of the disease. These groups of mice were being observed for two weeks. The dynamics of cytokine concentrations indicates characteristics of the disease course and efficiency of used therapeutic drugs. The effect of a medicinal product on organisms is monitored by the location of these groups of individuals in the space of cytokine concentrations. The Hausdorff distance between the sets of vectors of cytokine concentrations of individuals is used in this space. This is based on the Euclidean distance between the elements of these sets. It was found that the drug “Roncoleukin” and “Leukinferon” have a generally similar and different from the drug “Tinrostim” effect on the course of the disease.

Работа посвящена численному моделированию и исследованию кинетической модели пиролиза пропана. Изучение кинетики реакций является необходимой стадией моделирования динамики газового потока в реакторе.

Кинетическая модель представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка с параметрами, роль которых играют константы скоростей стадий. Математическое моделирование процесса основано на использовании закона сохранения масс. Для решения исходной (прямой) задачи используется неявный метод решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Модель содержит 60 входных кинетических параметров и 17 выходных параметров, соответствующих веществам реакции, из которых наблюдаемыми являются только 9. В процессе решения задачи по оценке параметров (обратная задача) возникает вопрос неединственности набора параметров, удовлетворяющего имеющимся экспериментальным данным. Поэтому перед решением обратной задачи проводится оценка возможности определения параметров модели — анализ идентифицируемости.

Для анализа идентифицируемости мы используем ортогональный метод, который хорошо себя зарекомендовал для анализа моделей с большим числом параметров. Основу алгоритма составляет анализ матрицы чувствительно- сти методами дифференциальной и линейной алгебры, показывающей степень зависимости неизвестных параметров моделей от заданных измерений. Анализ чувствительности и идентифицируемости показал, что параметры модели устойчиво определяются по заданному набору экспериментальных данных. В статье представлен список параметров модели от наиболее идентифицируемого до наименее идентифицируемого. Учитывая анализ идентифицируемости математической модели, были введены более жесткие ограничения на поиск слабоидентифицируемых параметров при решении обратной задачи.

Обратная задача по оценке параметров была решена с использованием генетического алгоритма. В статье представлены найденные оптимальные значения кинетических параметров. Представлено сравнение экспериментальных и расчетных зависимостей концентраций пропана, основных и побочных продуктов реакции от температуры для разных расходов смеси. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам и экспериментальным данным сделан вывод об адекватности построенной математической модели.

The article presents the numerical modeling and study of the kinetic model of propane pyrolysis. The study of the reaction kinetics is a necessary stage in modeling the dynamics of the gas flow in the reactor.

The kinetic model of propane pyrolysis is a nonlinear system of ordinary differential equations of the first order with parameters, the role of which is played by the reaction rate constants. Math modeling of processes is based on the use of the mass conservation law. To solve an initial (forward) problem, implicit methods for solving stiff ordinary differential equation systems are used. The model contains 60 input kinetic parameters and 17 output parameters corresponding to the reaction substances, of which only 9 are observable. In the process of solving the problem of estimating parameters (inverse problem), there is a question of non-uniqueness of the set of parameters that satisfy the experimental data. Therefore, before solving the inverse problem, the possibility of determining the parameters of the model is analyzed (analysis of identifiability).

To analyze identifiability, we use the orthogonal method, which has proven itself well for analyzing models with a large number of parameters. The algorithm is based on the analysis of the sensitivity matrix by the methods of differential and linear algebra, which shows the degree of dependence of the unknown parameters of the models on the given measurements. The analysis of sensitivity and identifiability showed that the parameters of the model are stably determined from a given set of experimental data. The article presents a list of model parameters from most to least identifiable. Taking into account the analysis of the identifiability of the mathematical model, restrictions were introduced on the search for less identifiable parameters when solving the inverse problem.

The inverse problem of estimating the parameters was solved using a genetic algorithm. The article presents the found optimal values of the kinetic parameters. A comparison of the experimental and calculated dependences of the concentrations of propane, main and by-products of the reaction on temperature for different flow rates of the mixture is presented. The conclusion about the adequacy of the constructed mathematical model is made on the basis of the correspondence of the results obtained to physicochemical laws and experimental data.

Modeling banking systems using a network approach has received growing attention in recent years. One of the notable models is that developed by Iori et al, who proposed a banking system model for analyzing systemic risks in interbank networks. The model is built based on the simple dynamics of several bank balance sheet variables such as deposit, equity, loan, liquid asset, and interbank lending (or borrowing) in the form of difference equations. Each bank faces random shocks in deposits and loans. The balance sheet is updated at the beginning or end of each period. In the model, banks are grouped into either potential lenders or borrowers. The potential borrowers are those that have lack of liquidity and the potential lenders are those which have excess liquids after dividend payment and channeling new investment. The borrowers and the lenders are connected through the interbank market. Those borrowers have some percentage of linkage to random potential lenders for borrowing funds to maintain their safety net of the liquidity. If the demand for borrowing funds can meet the supply of excess liquids, then the borrower bank survives. If not, they are deemed to be in default and will be removed from the banking system. However, in their paper, most part of the interbank borrowing-lending mechanism is described qualitatively rather than by detailed mathematical or computational analysis. Therefore, in this paper, we enhance the mathematical parts of borrowing-lending in the interbank market and present an algorithm for simulating the model. We also perform some simulations to analyze the effects of the model’s parameters on banking stability using the number of surviving banks as the measure. We apply this technique to analyze the effects of a macroprudential policy called loan-to-deposit ratio based reserve requirement for banking stability.

Modeling banking systems using a network approach has received growing attention in recent years. One of the notable models is that developed by Iori et al, who proposed a banking system model for analyzing systemic risks in interbank networks. The model is built based on the simple dynamics of several bank balance sheet variables such as deposit, equity, loan, liquid asset, and interbank lending (or borrowing) in the form of difference equations. Each bank faces random shocks in deposits and loans. The balance sheet is updated at the beginning or end of each period. In the model, banks are grouped into either potential lenders or borrowers. The potential borrowers are those that have lack of liquidity and the potential lenders are those which have excess liquids after dividend payment and channeling new investment. The borrowers and the lenders are connected through the interbank market. Those borrowers have some percentage of linkage to random potential lenders for borrowing funds to maintain their safety net of the liquidity. If the demand for borrowing funds can meet the supply of excess liquids, then the borrower bank survives. If not, they are deemed to be in default and will be removed from the banking system. However, in their paper, most part of the interbank borrowing-lending mechanism is described qualitatively rather than by detailed mathematical or computational analysis. Therefore, in this paper, we enhance the mathematical parts of borrowing-lending in the interbank market and present an algorithm for simulating the model. We also perform some simulations to analyze the effects of the model’s parameters on banking stability using the number of surviving banks as the measure. We apply this technique to analyze the effects of a macroprudential policy called loan-to-deposit ratio based reserve requirement for banking stability.

Разработанные автором недавно численные методики расчета молекулярной системы на базе прямого решения уравнения Шрёдингера методом Монте-Карло показали огромную неопределенностьв выборе решений. С одной стороны, оказалось возможным построить множество новых решений, с другой стороны, резко обостриласьпроб лема их связывания с реальностью. В квантовомеханических расчетах ab initio проблема выбора решений стоит не так остро после перехода к классическому формату описания молекулярной системы в терминах потенциальной энергии, метода молекулярной динамики и пр. В данной работе исследуется проблема выбора решений при классическом формате описания молекулярной системы без учета квантовомеханических предпосылок. Как оказалось, проблема выбора решений при классическом формате описания молекулярной системы сводится к конкретной разметке конфигурационного пространства в виде набора стационарных точек и реконструкции соответствующей функции потенциальной энергии. В такой постановке решение проблемы выбора сводится к двум возможным физико-математическим задачам: по заданной функции потенциальной энергии найти все ее стационарные точки (прямая задача проблемы выбора), по заданному набору стационарных точек реконструироватьф ункцию потенциальной энергии (обратная задача проблемы выбора). В работе с помощью вычислительного эксперимента обсуждается прямая задача проблемы выбора на примере описания моноатомного кластера. Численно оцениваются число и форма локально равновесных (седловых) конфигураций бинарного потенциала. Вводится соответствующая мера по различению конфигураций в пространстве. Предлагается формат построения всей цепочки многочастичных вкладов в функцию потенциальной энергии: бинарный, трехчастичный и т.д., многочастичный потенциал максимальной частичности. Обсуждается и иллюстрируется бесконечное количество локально равновесных (седловых) конфигураций для максимально многочастичного потенциала. Предлагается методика вариации числа стационарных точек путем комбинирования многочастичных вкладов в функцию потенциальной энергии. Перечисленные выше результаты работы направлены на то, чтобы уменьшить тот огромный произвол выбора формы потенциала, который имеет место в настоящее время. Уменьшение произвола выбора выражается в том, что имеющиеся знания о вполне конкретном наборе стационарных точек согласуются с соответствующей формой функции потенциальной энергии.

The numerical methods developed by the author recently for calculating the molecular system based on the direct solution of the Schrodinger equation by the Monte Carlo method have shown a huge uncertainty in the choice of solutions. On the one hand, it turned out to be possible to build many new solutions; on the other hand, the problem of their connection with reality has become sharply aggravated. In ab initio quantum mechanical calculations, the problem of choosing solutions is not so acute after the transition to the classical format of describing a molecular system in terms of potential energy, the method of molecular dynamics, etc. In this paper, we investigate the problem of choosing solutions in the classical format of describing a molecular system without taking into account quantum mechanical prerequisites. As it turned out, the problem of choosing solutions in the classical format of describing a molecular system is reduced to a specific marking of the configuration space in the form of a set of stationary points and reconstruction of the corresponding potential energy function. In this formulation, the solution of the choice problem is reduced to two possible physical and mathematical problems: to find all its stationary points for a given potential energy function (the direct problem of the choice problem), to reconstruct the potential energy function for a given set of stationary points (the inverse problem of the choice problem). In this paper, using a computational experiment, the direct problem of the choice problem is discussed using the example of a description of a monoatomic cluster. The number and shape of the locally equilibrium (saddle) configurations of the binary potential are numerically estimated. An appropriate measure is introduced to distinguish configurations in space. The format of constructing the entire chain of multiparticle contributions to the potential energy function is proposed: binary, threeparticle, etc., multiparticle potential of maximum partiality. An infinite number of locally equilibrium (saddle) configurations for the maximum multiparticle potential is discussed and illustrated. A method of variation of the number of stationary points by combining multiparticle contributions to the potential energy function is proposed. The results of the work listed above are aimed at reducing the huge arbitrariness of the choice of the form of potential that is currently taking place. Reducing the arbitrariness of choice is expressed in the fact that the available knowledge about the set of a very specific set of stationary points is consistent with the corresponding form of the potential energy function.

В статье представлена квазипериодическая двухкомпонентная динамическая модель, которая позволяет воспроизводить временные и спектральные характеристики кардиосигнала, в том числе вариабельность сердечного ритма. Описана методика определения морфологии кардиоцикла для синтеза кардиосигнала реалистичной формы. Определен способ описания динамической системы кардиосигнала путем построения трехмерного фазового пространства и уравнений, которые описывают траекторию движения точек в этом пространстве. Представлена методика решения уравнений движения в трехмерном фазовом пространстве динамической системы кардиосигнала с применением метода Рунге–Кутты четвертого порядка. На основе модели разработан алгоритм и программный комплекс, с помощью которого проведен эксперимент по синтезу кардиосигнала и исследована взаимосвязь его диагностических признаков.

In the article, a quasi-periodic two-component dynamical model with possibility of defining the cardio-cycle morphology, that provides the model with an ability of generating a temporal and a spectral cardiosignal characteristics, including heart rate variability is described. A technique for determining the cardio-cycle morphology to provide realistic cardio-signal form is defined. A method for defining cardio-signal dynamical system by the way of determining a three-dimensional state space and equations which describe a trajectory of point’s motion in this space is presented. A technique for solving equations of motion in the three-dimensional state space of dynamical cardio-signal system using the fourth-order Runge–Kutta method is presented. Based on this model, algorithm and software package are developed. Using software package, a cardio-signal synthesis experiment is conducted and the relationship of cardio-signal diagnostic features is analyzed.

Предлагается модель коллективного поведения толпы, покидающей замкнутое помещение. Модель основывается на методах молекулярной динамики, учитывающей действие как физических, так и социально-психологических сил. Впервые предлагается алгоритм расчета для сложно разветвленных помещений. Для этого у каждого индивида формируется план выхода из помещения, который стохастически трансформируется в процессе эволюции. Алгоритм включает в себя предварительное разбиение пространства на комнаты, выход из которых индивиды выбирают в соответствии со своим распределением вероятности. Модель калибруется с помощью данных, появившихся в результате пожара в ночном клубе «Хромая лошадь» (Пермь, 2009 г.) Алгоритм оформлен как Java-программа конечного пользователя. Предполагается, что программа может помочь тестировать здания на предмет их безопасности для людей.

The collective behavior of crowd leaving a room is modeled. The model is based on molecular dynamics approach with a mixture of socio-psychological and physical forces. The new algorithm for complicatedly branched space is proposed. It suggests that each individual develops its own plan of escape, which is stochastically transformed during the evolution. The algorithm includes also the separation of original space into rooms with possible exits selected by individuals according to their probability distribution. The model is calibrated on the base of empirical data provided by fire case in the nightclub “Lame Horse” (Perm, 2009). The algorithm is realized as an end-user Java software. It is assumed that this tool could help to test the buildings for their safety for humans.

В настоящей статье представлена укрупненная динамическая модель эколого-экономической системы Республики Армения (РА). Такая модель построена с использованием методов системной динамики, позволяющих учесть важнейшие обратные связи, относящиеся к ключевым характеристикам эколого-экономической системы. Данная модель является двухкритериальной задачей, где в качестве целевого функционала рассматриваются уровень загрязнения воздуха и валовой прибыли национальной экономики. Уровень загрязнения воздуха минимизируется за счет модернизации стационарных и мобильных источников загрязнения при одновременной максимизации валовой прибыли национальной экономики. При этом рассматриваемая эколого-экономическая система характеризуется наличием внутренних ограничений, которые должны быть учтены при принятии стратегических решений. В результате предложен системный подход, позволяющий формировать рациональные решения по развитию производственной сферы РА при минимизации воздействия на окружающую среду. С помощью предлагаемого подхода, в частности, можно формировать план по оптимальной модернизации предприятий и прогнозировать долгосрочную динамику выбросов вредных веществ в атмосферу.

This article presents an integrated dynamic model of eco-economic system of the Republic of Armenia (RA). This model is constructed using system dynamics methods, which allow to consider the major feedback related to key characteristics of eco-economic system. Such model is a two-objective optimization problem where as target functions the level of air pollution and gross profit of national economy are considered. The air pollution is minimized due to modernization of stationary and mobile sources of pollution at simultaneous maximization of gross profit of national economy. At the same time considered eco-economic system is characterized by the presence of internal constraints that must be accounted at acceptance of strategic decisions. As a result, we proposed a systematic approach that allows forming sustainable solutions for the development of the production sector of RA while minimizing the impact on the environment. With the proposed approach, in particular, we can form a plan for optimal enterprise modernization and predict long-term dynamics of harmful emissions into the atmosphere.

Частота сердечных сокращений (ЧСС) является наиболее доступным для измерения показателем. С целью контроля индивидуальной реакции на нагрузочность физических упражнений ЧСС измеряется при выполнении спортсменами мышечной работы разных типов (работа на силовых тренажерах, различные виды тренировочных и соревновательных нагрузок). По величине ЧСС и динамике ее изменения при мышечной работе и восстановлении можно объективно судить о функциональном состоянии сердечно-сосудистой системы спортсмена, об уровне его индивидуальной физической работоспособности, а также об адаптивной реакции на ту или иную физическую нагрузку. Однако ЧСС не является самостоятельным детерминантом физического состояния спортсмена. Величина ЧСС формируется в результате взаимодействия основных физиологических механизмов, определяющих гемодинамический режим сердечного выброса. Сердечный ритм зависит, с одной стороны, от сократимости сердца, от венозного возврата, от объемов предсердий и желудочков сердца, а с другой стороны — от сосудистой нагрузки сердца, основными компонентами которой являются эластическое и периферическое сопротивление артериальной системы. Величины сосудистых сопротивлений артериальной системы зависят от мощности мышечной работы и времени ее выполнения. Чувствительность ЧСС к изменениям сосудистой нагрузки сердца и его сократимости определялась у спортсменов по результатам парного регрессионного анализа одновременно зарегистрированных данных ЧСС, периферического $(R)$ и эластического $(E_a)$ сопротивлений (сосудистая нагрузка сердца), а также механической мощности $(W)$ сердечных сокращений (сократимость сердца). Коэффициенты чувствительности и коэффициенты парной корреляции между ЧСС и показателями сосудистой нагрузки и сократимости левого желудочка сердца спортсмена определялись в покое и при выполнении мышечной работы на велоэргометре. Показано, что с ростом мощности велоэргометрической нагрузки и увеличением ЧСС возрастают также коэффициенты корреляции и чувствительности между ЧСС и показателями сосудистой нагрузки сердца $(R, E_a)$ и его сократимости $(W)$.

Heart rate (HR) is the most affordable indicator for measuring. In order to control the individual response to physical exercises of different load types heart rate is measured when the athletes perform different types of muscular work (strength machines, various types of training and competitive exercises). The magnitude of heart rate and its dynamics during muscular work and recovery can be objectively judged on the functional status of the cardiovascular system of an athlete, the level of its individual physical performance, as well as an adaptive response to a particular exercise. However, the heart rate is not an independent determinant of the physical condition of an athlete. HR size is formed by the interaction of the basic physiological mechanisms underlying cardiac hemodynamic ejection mode. Heart rate depends on one hand, on contractility of the heart, the venous return, the volumes of the atria and ventricles of the heart and from vascular heart load, the main components of which are elastic and peripheral resistance of the arterial system on the other hand. The values of arterial system vascular resistances depend on the power of muscular work and its duration. HR sensitivity to changes in heart load and vascular contraction was determined in athletes by pair regression analysis simultaneously recorded heart rate data, and peripheral $(R)$ and elastic $(E_a)$ resistance (heart vascular load), and the power $(W)$ of heartbeats (cardiac contractility). The coefficients of sensitivity and pair correlation between heart rate indicators and vascular load and contractility of left ventricle of the heart were determined in athletes at rest and during the muscular work on the cycle ergometer. It is shown that increase in both ergometer power load and heart rate is accompanied by the increase of correlation coefficients and coefficients of the heart rate sensitivity to $R$, $E_a$ and $W$.