Все выпуски

Универсальные сценарии перехода к хаосу в динамических системах к настоящему моменту хорошо изучены. К типичным сценариям относятся каскад бифуркаций удвоения периода (сценарий Фейген-баума), разрушение тора малой размерности (сценарий Рюэля–Такенса) и переход через перемежаемость (сценарий Помо–Манневилля). В более сложных пространственно-распределенных динамических системах нарастающая с изменением параметра сложность поведения по времени тесно переплетается с формированием пространственных структур. Однако вопрос о том, могут ли в каком-то сценарии пространственная и временная оси полностью поменяться ролями, до сих пор остается открытым. В данной работе впервые предлагается математическая модель конвекции–реакции–диффузии, в рамках которой реализуется пространственный аналог перехода к хаосу через разрушение квазипериодического режима в рамках сценария Рюэля–Такенса. Исследуемая физическая система представляет собой два водных раствора кислоты (A) и основания (B), в начальный момент времени разделенных по пространству и помещенных в вертикальную ячейку Хеле–Шоу, находящуюся в статическом поле тяжести. При приведении растворов в контакт начинается фронтальная реакция нейтрализации второго порядка: A + B $\to$ C, которая сопровождается выделением соли (С). Процесс характеризуется сильной зависимостью коэффициентов диффузии реагентов от их концентрации, что приводит к возникновению двух локальных зон пониженной плотности, в которых независимо друг от друга возникают хемоконвективные движения жидкости. Слои, в которых развивается конвекция, все время остаются разделенными прослойкой неподвижной жидкости, но они могут влиять друг на друга посредством диффузии реагентов через прослойку. Формирующаяся хемо-конвективная структура представляет собой модулированную стоячую волну, постепенно разрушающуюся со временем, повторяя последовательность бифуркаций сценария разрушения двумерного тора. Показано, что в ходе эволюции системы пространственная ось, направленная вдоль фронта реакции, выполняет роль времени, а само время играет роль управляющего параметра.

In the last decades, universal scenarios of the transition to chaos in dynamic systems have been well studied. The scenario of the transition to chaos is defined as a sequence of bifurcations that occur in the system under the variation one of the governing parameters and lead to a qualitative change in dynamics, starting from the regular mode and ending with chaotic behavior. Typical scenarios include a cascade of period doubling bifurcations (Feigenbaum scenario), the breakup of a low-dimensional torus (Ruelle–Takens scenario), and the transition to chaos through the intermittency (Pomeau–Manneville scenario). In more complicated spatially distributed dynamic systems, the complexity of dynamic behavior growing with a parameter change is closely intertwined with the formation of spatial structures. However, the question of whether the spatial and temporal axes could completely exchange roles in some scenario still remains open. In this paper, for the first time, we propose a mathematical model of convection–diffusion–reaction, in which a spatial transition to chaos through the breakup of the quasi–periodic regime is realized in the framework of the Ruelle–Takens scenario. The physical system under consideration consists of two aqueous solutions of acid (A) and base (B), initially separated in space and placed in a vertically oriented Hele–Shaw cell subject to the gravity field. When the solutions are brought into contact, the frontal neutralization reaction of the second order A + B $\to$ C begins, which is accompanied by the production of salt (C). The process is characterized by a strong dependence of the diffusion coefficients of the reagents on their concentration, which leads to the appearance of two local zones of reduced density, in which chemoconvective fluid motions develop independently. Although the layers, in which convection develops, all the time remain separated by the interlayer of motionless fluid, they can influence each other via a diffusion of reagents through this interlayer. The emerging chemoconvective structure is the modulated standing wave that gradually breaks down over time, repeating the sequence of the bifurcation chain of the Ruelle–Takens scenario. We show that during the evolution of the system one of the spatial axes, directed along the reaction front, plays the role of time, and time itself starts to play the role of a control parameter.

Проведен сравнительный анализ двух численных методик моделирования нестационарных режимов термогравитационной конвекции и теплового поверхностного излучения в замкнутой дифференциально обогреваемой кубической полости. Рассматриваемая область решения имела две изотермические противоположные вертикальные грани, остальные стенки являлись адиабатическими. Поверхности стенок считались диффузно-серыми, т. е. их направленные спектральные степень черноты и поглощательная способность не зависят ни от угла, ни от длины волны, но могут зависеть от температуры поверхности. Относительно отраженного излучения использовались два предположения: 1) отраженное излучение является диффузным, т. е. интенсивность отраженного излучения в любой точке границы поверхности равномерно распределена по всем направлениям; 2) отраженное излучение равномерно распределено по каждой поверхности замкнутой области решения. Математическая модель, сформулированная как в естественных переменных «скорость–давление», так и в преобразованных переменных «векторный потенциал–вектор завихренности», реализована численно методом контрольного объема и методом конечных разностей соответственно. Следует отметить, что анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка.

При решении краевой задачи в естественных переменных методом контрольного объема для аппроксимации конвективных слагаемых применялся степенной закон, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Разностные уравнения движения и энергии разрешались на основе итерационного метода переменных направлений. Для поиска поля давления, согласованного с полем скорости, применялась процедура SIMPLE.

В случае метода конечных разностей и преобразованных переменных для аппроксимации конвективных слагаемых применялась монотонная схема Самарского, для диффузионных слагаемых — центральные разности. Уравнения параболического типа разрешались на основе локально-одномерной схемы Самарского. Дискретизация уравнений эллиптического типа для компонент векторного потенциала проводилась с использованием формул симметричной аппроксимации вторых производных. При этом полученное разностное уравнение разрешалось методом последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов.

В результате показано полное согласование полученных распределений скорости и температуры при различных значениях числа Рэлея, что отражает работоспособность представленных методик. Продемонстрирована эффективность использования преобразованных переменных и метода конечных разностей при решении класса нестационарных задач.

Comparative analysis of two numerical methods for simulation of unsteady natural convection and thermal surface radiation within a differentially heated cubical cavity has been carried out. The considered domain of interest had two isothermal opposite vertical faces, while other walls are adiabatic. The walls surfaces were diffuse and gray, namely, their directional spectral emissivity and absorptance do not depend on direction or wavelength but can depend on surface temperature. For the reflected radiation we had two approaches such as: 1) the reflected radiation is diffuse, namely, an intensity of the reflected radiation in any point of the surface is uniform for all directions; 2) the reflected radiation is uniform for each surface of the considered enclosure. Mathematical models formulated both in primitive variables “velocity–pressure” and in transformed variables “vector potential functions – vorticity vector” have been performed numerically using finite volume method and finite difference methods, respectively. It should be noted that radiative heat transfer has been analyzed using the net-radiation method in Poljak approach.

Using primitive variables and finite volume method for the considered boundary-value problem we applied power-law for an approximation of convective terms and central differences for an approximation of diffusive terms. The difference motion and energy equations have been solved using iterative method of alternating directions. Definition of the pressure field associated with velocity field has been performed using SIMPLE procedure.

Using transformed variables and finite difference method for the considered boundary-value problem we applied monotonic Samarsky scheme for convective terms and central differences for diffusive terms. Parabolic equations have been solved using locally one-dimensional Samarsky scheme. Discretization of elliptic equations for vector potential functions has been conducted using symmetric approximation of the second-order derivatives. Obtained difference equation has been solved by successive over-relaxation method. Optimal value of the relaxation parameter has been found on the basis of computational experiments.

As a result we have found the similar distributions of velocity and temperature in the case of these two approaches for different values of Rayleigh number, that illustrates an operability of the used techniques. The efficiency of transformed variables with finite difference method for unsteady problems has been shown.

Снижение пожарной опасности при использовании полимерных материалов является одной из актуальных научно-технических задач. В связи со сложностью проведения экспериментальных исследований в данной области важным направлением современной фундаментальной науки является развитие теоретических основ описания реагирующих течений. Для решения вопросов, связанных с распространением пламени по поверхности горючего материала, необходимо совершенствовать методы математического моделирования, что обусловлено большим количеством протекающих физико-химических процессов, требующих моделирования каждого из них в отдельности, и сложным характером взаимодействия между этими процессами как в газовой среде, так и в твердом теле.

Распространение пламени вверх по вертикальной поверхности твердого горючего материала сопровождается нестационарными вихревыми структурами течения газа вблизи области горения, образование которых происходит в результате тепловой нестабильности и за счет действия сил естественной конвекции, ускоряющей горячие продукты сгорания. За счет вихревых структур от горячего газофазного пламени в твердый материал в каждый момент времени поступает разное количество тепловой энергии. Поэтому адекватный расчет теплового потока и, соответственно, вихревого течения имеет важное значение для оценки скорости распространения пламени.

Данная работа появящена оценкам параметров численного метода решения задачи распространения пламени по поверхности горючего материала, учитывающего сопряженный характер взаимодействия газовой среды и твердого тела и вихревое течение, вызванное естественной конвекцией. В работе рассмотрены особенности использования различных аппроксимационных схем, используемых при интегрировании исходных дифференциальных уравнений по пространству и во времени, релаксации полей при итерировании внутри шага по времени, различных шагов интегрирования по времени.

Сформулированная в работе математическая модель позволяет описывать процесс распространения пламени по поверхности горючего материала. Газодинамика моделируется системой уравнений Навье – Стокса, вихревое течение описывается комбинированной моделью турбулентности RANS–LES (DDES), турбулентное горение — комбинированной моделью горения Eddy Break-Up с учетом кинетических эффектов, теплопередача излучением — методом сферических гармоник первого порядка аппроксимации (P1). Решение уравнений производится в программном пакете OpenFOAM.

Reduction of the fire hazard of polymeric materials is one of the important scientific and technical problems. Since complexity of experimental procedures associated with flame spread, establishing reacting flows theoretical basics turned out to be crucial field of modern fundamental science. In order to determine parameters of flame spread over solid combustible materials numerical modelling methods have to be improved. Large amount of physical and chemical processes taking place needed to be resolved not just separately one by one but in connection with each other in gas and solid phases.

Upward flame spread over vertical solid combustible material is followed by unsteady eddy structures of gas flow in the vicinity of flame zone caused by thermal instability and natural convection forces accelerating hot combustion products. At every moment different amount of heat energy is transferred from hot gas-phase flame to solid material because of eddy flow structures. Therefore, satisfactory heat flux and eddy flow modelling are important to estimate flame spread rate.

In the current study we evaluated parameters of numerical method for flame spread over solid combustible material problem taking into account coupled nature of complex interaction between gas phase, solid material and eddy flow resulted from natural convection. We studied aspects of different approximation schemes used in differential equations integration process over space and time, of fields relaxation during iterations procedure carried out inside time step, of different time step values.

Mathematical model formulated allows to simulate flame spread over solid combustible material. Fluid dynamics is modeled by Navier – Stokes system of equations, eddy flow is described by combined turbulent model RANS–LES (DDES), turbulent combustion is resolved by modified turbulent combustion model Eddy Break-Up taking into account kinetic effects, radiation transfer is modeled by spherical harmonics method of first order approximation (P1). The equations presented are solved in OpenFOAM software.

Работа посвящена численному моделированию двухфазных течений, а именно расчету сверхзвукового обтекания затупленного тела потоком вязкого газа с примесью относительно крупных частиц, масса которых позволяет после отражения от поверхности выйти за пределы ударного слоя, двигаясь по инерции навстречу набегающему потоку. Натурные и вычислительные эксперименты показывают, что движение высокоинерционных частиц существенным образом изменяет структуру течения газа в ударном слое, а формирующиеся при этом направленные на тело импактные струи вызывают увеличение давления газа вблизи участков поверхности и кратный рост конвективного теплового потока.

Построена математическая модель обтекания затупленного тела сверхзвуковым потоком вязкого газа с твердыми частицами. Решение системы нестационарных уравнений Навье–Стокса в консервативных переменных осуществляется бессеточным методом, в основе которого лежит аппроксимация частных пространственных производных газодинамических величин и содержащих их функций методом наименьших квадратов на множестве распределенных в области расчета узлов. Расчет невязких потоков выполняется методом HLLC в сочетании с MUSCL-реконструкцией третьего порядка, вязких потоков — схемой второго порядка. МНК-аппроксимация частных производных параметров газа по направлению также применяется для реализации краевых условий Неймана на выходной границе области расчета, а также поверхностях обтекаемых тел, которые считаются изотермическими твердыми стенками.

Каждое движущееся тело окружено облаком расчетных узлов, принадлежащих его домену и перемещающихся вместе с ним в пространстве. Реализовано два подхода к моделированию перемещения объектов с учетом обратного влияния на течение газа: метод скользящих облаков фиксированной формы и эволюции единого облака узлов, представляющего собой объединение узлов разных доменов. Проведенные численные эксперименты подтвердили применимость предложенных методов к решению целевых задач моделирования движения крупных частиц в сверхзвуковом потоке.

Выполнена программная реализация представленных алгоритмов на основе технологии параллельных гетерогенных вычислений OpenCL. Представлены результаты моделирования движения крупной частицы вдоль оси симметрии сферы навстречу набегающему потоку с числом Маха $\mathrm{M}=6$.

The work is devoted to numerical modeling of two-phase flows, namely, the calculation of supersonic flow around a blunt body by a viscous gas flow with an admixture of large high inertia particles. The system of unsteady Navier – Stokes equations is numerically solved by the meshless method. It uses the cloud of points in space to represent the fields of gas parameters. The spatial derivatives of gas parameters and functions are approximated by the least square method to calculate convective and viscous fluxes in the Navier – Stokes system of equations. The convective fluxes are calculated by the HLLC method. The third-order MUSCL reconstruction scheme is used to achieve high order accuracy. The viscous fluxes are calculated by the second order approximation scheme. The streamlined body surface is represented by a model of an isothermal wall. It implements the conditions for the zero velocity and zero pressure gradient, which is also modeled using the least squares method.

Every moving body is surrounded by its own cloud of points belongs to body’s domain and moving along with it in space. The explicit three-sage Runge–Kutta method is used to solve numerically the system of gas dynamics equations in the main coordinate system and local coordinate systems of each particle.

Two methods for the moving objects modeling with reverse impact on the gas flow have been implemented. The first one uses stationary point clouds with fixed neighbors within the same domain. When regions overlap, some nodes of one domain, for example, the boundary nodes of the particle domain, are excluded from the calculation and filled with the values of gas parameters from the nearest nodes of another domain using the least squares approximation of gradients. The internal nodes of the particle domain are used to reconstruct the gas parameters in the overlapped nodes of the main domain. The second method also uses the exclusion of nodes in overlapping areas, but in this case the nodes of another domain take the place of the excluded neighbors to build a single connected cloud of nodes. At the same time, some of the nodes are moving, and some are stationary. Nodes membership to different domains and their relative speed are taken into account when calculating fluxes.

The results of modeling the motion of a particle in a stationary gas and the flow around a stationary particle by an incoming flow at the same relative velocity show good agreement for both presented methods.

Проведено математическое моделирование естественной конвекции и теплового излучения в квадратной замкнутой воздушной полости с изотермическими вертикальными стенками при наличии локального источника энергии постоянной температуры. Математическая модель построена в безразмерных переменных «функция тока – завихренность скорости – температура» в приближении Буссинеска и с учетом диатермичности воздушной среды. Получены распределения изолиний функции тока и температуры в широком диапазоне изменения определяющих параметров: число Рэлея $10^3 \leqslant Ra \leqslant 10^6$, приведенная степень черноты ограждающих стенок $0\leqslant\varepsilon < 1$, отношение длины источника энергии к размеру полости $0.2\leqslant l/L\leqslant0.6$ и время $0\leqslantτ\leqslant 100$. Установлены корреляционные соотношения для интегрального коэффициента теплообмена в зависимости от $Ra$, $ε$ и $l/L$.

Mathematical simulation of natural convection and surface radiation in a square air enclosure having isothermal vertical walls with a local heat source of constant temperature has been carried out. Mathematical model has been formulated on the basis of the dimensionless variables such as stream function, vorticity and temperature by using the Boussinesq approximation and diathermancy of air. Distributions of streamlines and isotherms reflecting an effect of Rayleigh number $ 10^3 \leqslant Ra \leqslant 10^6 $, surface emissivity $0 \leqslant ε < 1$, ratio between the length of heat source and the size of enclosure $0.2 \leqslant l/L \leqslant 0.6$ and dimensionless time $0 \leqslant τ \leqslant 100$ on fluid flow and heat transfer have been obtained. Correlations for the average heat transfer coefficient in dependence on $Ra$, $ε$ and $l/L$ have been ascertained.

В работе представлены результаты моделирования расчетных случаев приводнения возвращаемого аппарата (ВА) пилотируемого транспортного корабля нового поколения в условиях штиля. Рассмотрены случаи посадки ВА с работающими и с выключенными двигательными установками.

Задача приводнения ВА моделировалась в рамках двухфазной постановки с наличием двух несмешивающихся фаз: воды и газа, состоящего из воздуха и продуктов сгорания, поступающих из двигательной установки. Параметры течения в каждой фазе резко отличаются друг от друга по величине плотности и скорости распространения звука. Истечение продуктов сгорания из сопловых установок характеризуется высокими скоростями и давлениями, что усложняет задачу, по сравнению со свободным падением ВА в воду. В расчетах используется упрощение постановки задачи, в котором при взаимодействии горячих струй с водой кипение, испарение и образование водяного пара не учитываются. Газовые струи только нагревают и вытесняют воду.

Для моделирования переноса межфазных границ применяется метод VOF (Volume of fluid), где перенос контактной поверхности описывается конвективным уравнением, а поверхностное натяжение на межфазной границе учитывается давлением Лапласа. Ключевой особенностью метода является расщепление поверхностных ячеек, куда заносятся данные соответствующей фазы. Уравнения для обеих фаз (уравнения неразрывности, импульса, энергии и другие) в поверхностных ячейках решаются совместно.

Моделирование приводнения ВА занимает длительное время, что связанно с особенностями явного расчета уровня границы раздела фаз (свободной поверхности). Для получения качественных результатов свободная поверхность должна быть разрешена большим количеством расчетных ячеек, но при этом за один шаг интегрирования перемещаться не более чем на одну ячейку.

В процессе приземления исследовались гидродинамическое воздействие на ВА, динамика его движения и остойчивость ВА после приводнения, оценивались продольные перегрузки. Полученные данные использовались для анализа нагружения и прочности конструкции корпуса ВА, а также его отдельных элементов.

The reentry vehicle of the transportation spacecraft that is being created by RSC Energia in regular mode makes soft landing on land surface using a parachute system and thruster devices. But in not standard situations the reentry vehicle also is capable of executing a splashdown. In that case, it becomes important to define the hydrodynamics impact on the reentry vehicle at the moment of the first contact with the surface of water and during submersion into water medium, and to study the dynamics of the vehicle behavior at more recent moments of time.

This article presents results of numerical studies of hydrodynamics forces on the conical vehicle during splashdown, done with the FlowVision software. The paper reviews the cases of the splashdown with inactive solid rocket motors on calm sea and the cases with interactions between rocket jets and the water surface. It presents data on the allocation of pressure on the vehicle in the process of the vehicle immersion into water medium and dynamics of the vehicle behavior after splashdown. The paper also shows flow structures in the area of the reentry vehicle at the different moments of time, and integral forces and moments acting on the vehicle.

For simulation process with moving interphases in the FlowVision software realized the model VOF (volume of fluid). Transfer of the phase boundary is described by the equation of volume fraction of this continuous phase in a computational cell. Transfer contact surface is described by the convection equation, and at the surface tension is taken into account by the Laplace pressure. Key features of the method is the splitting surface cells where data is entered the corresponding phase. Equations for both phases (like the equations of continuity, momentum, energy and others) in the surface cells are accounted jointly.

Проведено математическое моделирование нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного излучения в замкнутой вращающейся квадратной полости. Рассматриваемая область решения имела две противоположные изотермические стенки, поддерживаемые при постоянных низкой и высокой температурах, остальные стенки являлись адиабатическими. Стенки считались диффузно-серыми. Анализируемая полость вращалась с постоянной угловой скоростью относительно оси, проходящей через центр полости и ориентированной ортогонально области решения. Математическая модель, сформулированная в безразмерных преобразованных переменных «функция тока – завихренность скорости» на основе приближений Буссинеска и диатермичности рабочей среды, была реализована численно методом конечных разностей. Уравнения дисперсии завихренности и энергии решались на основе локально-одномерной схемы А. А. Самарского. Диффузионные слагаемые аппроксимировались центральными разностями, конвективные — с использованием монотонной аппроксимации А. А. Самарского. Разностные уравнения решались методом прогонки. Разностное уравнение Пуассона для функции тока решалось отдельно с применением метода последовательной верхней релаксации. Оптимальное значение параметра релаксации подбиралось на основе вычислительных экспериментов. Анализ радиационного теплообмена проведен с использованием метода сальдо в варианте Поляка. Разработанный вычислительный код был протестирован на множестве сеток, а также верифицирован путем сопоставления полученных результатов при решении модельной задачи с экспериментальными и численными данными других авторов.

Численные исследования нестационарных режимов естественной конвекции и поверхностного теплового излучения в замкнутой вращающейся полости проведены при следующих значениях безразмерных параметров: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. Все распределения были получены для двадцатого полного оборота полости, когда наблюдается установление периодической картины течения и теплопереноса. В результате анализа установлено, что при малой угловой скорости вращения полости возможна интенсификация течения, а дальнейший рост скорости вращения приводит к ослаблению конвективного течения. Радиационное число Нуссельта незначительно изменяется при варьировании числа Тейлора.

Mathematical simulation of unsteady natural convection and thermal surface radiation within a rotating square enclosure was performed. The considered domain of interest had two isothermal opposite walls subjected to constant low and high temperatures, while other walls are adiabatic. The walls were diffuse and gray. The considered cavity rotated with constant angular velocity relative to the axis that was perpendicular to the cavity and crossed the cavity in the center. Mathematical model, formulated in dimensionless transformed variables “stream function – vorticity” using the Boussinesq approximation and diathermic approach for the medium, was performed numerically using the finite difference method. The vorticity dispersion equation and energy equation were solved using locally one-dimensional Samarskii scheme. The diffusive terms were approximated by central differences, while the convective terms were approximated using monotonic Samarskii scheme. The difference equations were solved by the Thomas algorithm. The approximated Poisson equation for the stream function was solved by successive over-relaxation method. Optimal value of the relaxation parameter was found on the basis of computational experiments. Radiative heat transfer was analyzed using the net-radiation method in Poljak approach. The developed computational code was tested using the grid independence analysis and experimental and numerical results for the model problem.

Numerical analysis of unsteady natural convection and thermal surface radiation within the rotating enclosure was performed for the following parameters: Ra = 10³–10⁶, Ta = 0–10⁵, Pr = 0.7, ε = 0–0.9. All distributions were obtained for the twentieth complete revolution when one can find the periodic behavior of flow and heat transfer. As a result we revealed that at low angular velocity the convective flow can intensify but the following growth of angular velocity leads to suppression of the convective flow. The radiative Nusselt number changes weakly with the Taylor number.

В работе рассматриваются развитие и применение метода учета заполненности прямоугольных ячеек материальной средой, в частности жидкостью для повышения гладкости и точности конечно-разностного решения задач гидродинамики со сложной формой граничной поверхности. Для исследования возможностей предлагаемых разностных схем рассмотрены две задачи вычислительной гидродинамики — пространственно-двумерного течения вязкой жидкости между двумя соосными полуцилиндрами и переноса веществ между соосными полуцилиндрами. Аппроксимация задач по времени выполнена на основе схем расщепления по физическим процессам. Дискретизация операторов диффузии и конвекции выполнена на основе интегроинтерполяционного метода с учетом заполненности ячеек и без ее учета. Для решения задачи диффузии – конвекции при больших сеточных числах Пекле предложено использовать разностную схему, учитывающую функцию заполненности ячеек, и схему, построенную на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами, полученными в результате минимизации погрешности аппроксимации при малых числах Куранта. Для оценки точности численного решения в качестве эталона используется аналитическое решение, описывающее течение Куэтта – Тейлора. В случае непосредственного использования прямоугольных сеток (ступенчатой аппроксимации границ) относительная погрешность расчетов достигает 70 %, при тех же условиях использование предлагаемого метода позволяет уменьшить погрешность до 6%. Показано, что дробление прямоугольной сетки в 2–8 раз по каждому из пространственных направлений не приводит к такому же повышению точности, которой обладают численные решения, полученные с учетом заполненности ячеек. Предложенные разностные схемы, построенные на основе линейной комбинации разностных схем «кабаре» и «крест» с весовыми коэффициентами 2/3 и 1/3 соответственно, полученные в результате минимизации порядка погрешности аппроксимации, для задачи диффузии – конвекции обладают меньшей сеточной вязкостью и, как следствие, точнее описывают поведение решения в случае больших сеточных чисел Пекле.

The paper discusses the development and application of the accounting rectangular cell fullness method with material substance, in particular, a liquid, to increase the smoothness and accuracy of a finite-difference solution of hydrodynamic problems with a complex shape of the boundary surface. Two problems of computational hydrodynamics are considered to study the possibilities of the proposed difference schemes: the spatial-twodimensional flow of a viscous fluid between two coaxial semi-cylinders and the transfer of substances between coaxial semi-cylinders. Discretization of diffusion and convection operators was performed on the basis of the integro-interpolation method, taking into account taking into account the fullness of cells and without it. It is proposed to use a difference scheme, for solving the problem of diffusion – convection at large grid Peclet numbers, that takes into account the cell population function, and a scheme on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weight coefficients obtained by minimizing the approximation error at small Courant numbers. As a reference, an analytical solution describing the Couette – Taylor flow is used to estimate the accuracy of the numerical solution. The relative error of calculations reaches 70% in the case of the direct use of rectangular grids (stepwise approximation of the boundaries), under the same conditions using the proposed method allows to reduce the error to 6%. It is shown that the fragmentation of a rectangular grid by 2–8 times in each of the spatial directions does not lead to the same increase in the accuracy that numerical solutions have, obtained taking into account the fullness of the cells. The proposed difference schemes on the basis of linear combination of the Upwind and Standard Leapfrog difference schemes with weighting factors of 2/3 and 1/3, respectively, obtained by minimizing the order of approximation error, for the diffusion – convection problem have a lower grid viscosity and, as a corollary, more precisely, describe the behavior of the solution in the case of large grid Peclet numbers.

Целью работы является исследование конечно-разностной схемы второго порядка точности, которая создана на основе Z-схемы. Это исследование состоит в численном решении нескольких двумерных дифференциальных уравнений, моделирующих перенос несжимаемой среды.

Одна из реальных задач, при решении которых возникают подобные уравнения, — это численное моделирование сильно нестационарных среднемасштабных процессов в земной ионосфере. Вследствие того, что процессы переноса в ионосферной плазме контролируются магнитным полем, в поперечном к магнитному полю направлении предполагается выполнение условия несжимаемости плазмы. По той же причине в продольном к магнитному полю направлении могут возникать достаточно высокие скорости тепло- и массопереноса.

Актуальной задачей при ионосферном моделировании является исследование плазменных неустойчивостей различных масштабов, которые возникают прежде всего в полярной и экваториальной областях. При этом среднемасштабные неоднородности, имеющие характерные размеры 1–50 км, создают условия для развития мелкомасштабных неустойчивостей. Последние приводят к явлению F-рассеяния, которое существенно влияет на точность работы спутниковых систем позиционирования, а также других космических и наземных радиоэлектронных систем.

Используемые для одновременного моделирования таких разномасштабных процессов разностные схемы должны иметь высокое разрешение. Кроме того, эти разностные схемы должны быть, с одной стороны, достаточно точными, а с другой стороны — монотонными. Причиной таких противоречивых требований является то, что неустойчивости усиливают погрешности разностных схем, особенно погрешности дисперсионного типа. Подобная раскачка погрешностей при численном решении обычно приводит к нефизическим результатам.

При численном решении трехмерных математических моделей ионосферной плазмы используется следующая схема расщепления по физическим процессам: первый шаг расщепления осуществляет продольный перенос, второй шаг расщепления осуществляет поперечный перенос. Исследуемая в работе конечно-разностная схема второго порядка точности приближенно решает уравнения поперечного пере- носа. Эта схема строится с помощью нелинейной процедуры монотонизации Z-схемы, которая является одной из схем второго порядка точности. При этой монотонизации используется нелинейная коррекция по так называемым «косым разностям». «Косые разности» содержат узлы расчетной сетки, относящиеся к разным слоям времени.

Исследования проводились для двух случаев. В первом случае компоненты вектора переноса были знакопостоянны, во втором — знакопеременны в области моделирования. Численно получены диссипативные и дисперсионные характеристики схемы для различных видов ограничивающих функций.

Результаты численных экспериментов позволяют сделать следующие выводы.

1. Для разрывного начального профиля лучшие свойства показал ограничитель SuperBee.

2. Для непрерывного начального профиля при больших пространственных шагах лучше ограничитель SuperBee, а при малых шагах лучше ограничитель Koren.

3. Для гладкого начального профиля лучшие результаты показал ограничитель Koren.

4. Гладкий ограничитель F показал результаты, аналогичные Koren.

5. Ограничители разного типа оставляют дисперсионные ошибки, при этом зависимости дисперсионных ошибок от параметров схемы имеют большую вариабельность и сложным образом зависят от параметров этой схемы.

6. Во всех расчетах численно подтверждена монотонность рассматриваемой разностной схемы. Для одномерного уравнения численно подтверждено свойство неувеличения вариации для всех указанных функций-ограничителей.

7. Построенная разностная схема при шагах по времени, не превышающих шаг Куранта, является монотонной и показывает хорошие характеристики точности для решений разных типов. При превышении шага Куранта схема остается устойчивой, но становится непригодной для задач неустойчивости, поскольку условия монотонности перестают в этом случае выполняться.

The purpose of the paper is a research of a 2nd order finite difference scheme based on the Z-scheme. This research is the numerical solution of several two-dimensional differential equations simulated the incompressible medium convection.

One of real tasks for similar equations solution is the numerical simulating of strongly non-stationary midscale processes in the Earth ionosphere. Because convection processes in ionospheric plasma are controlled by magnetic field, the plasma incompressibility condition is supposed across the magnetic field. For the same reason, there can be rather high velocities of heat and mass convection along the magnetic field.

Ionospheric simulation relevant task is the research of plasma instability of various scales which started in polar and equatorial regions first of all. At the same time the mid-scale irregularities having characteristic sizes 1–50 km create conditions for development of the small-scale instabilities. The last lead to the F-spread phenomenon which significantly influences the accuracy of positioning satellite systems work and also other space and ground-based radio-electronic systems.

The difference schemes used for simultaneous simulating of such multi-scale processes must to have high resolution. Besides, these difference schemes must to be high resolution on the one hand and monotonic on the other hand. The fact that instabilities strengthen errors of difference schemes, especially they strengthen errors of dispersion type is the reason of such contradictory requirements. The similar swing of errors usually results to nonphysical results at the numerical solution.

At the numerical solution of three-dimensional mathematical models of ionospheric plasma are used the following scheme of splitting on physical processes: the first step of splitting carries out convection along, the second step of splitting carries out convection across. The 2nd order finite difference scheme investigated in the paper solves approximately convection across equations. This scheme is constructed by a monotonized nonlinear procedure on base of the Z-scheme which is one of 2nd order schemes. At this monotonized procedure a nonlinear correction with so-called “oblique differences” is used. “Oblique differences” contain the grid nodes relating to different layers of time.

The researches were conducted for two cases. In the simulating field components of the convection vector had: 1) the constant sign; 2) the variable sign. Dissipative and dispersive characteristics of the scheme for different types of the limiting functions are in number received.

The results of the numerical experiments allow to draw the following conclusions.

1. For the discontinuous initial profile the best properties were shown by the SuperBee limiter.

2. For the continuous initial profile with the big spatial steps the SuperBee limiter is better, and at the small steps the Koren limiter is better.

3. For the smooth initial profile the best results were shown by the Koren limiter.

4. The smooth F limiter showed the results similar to Koren limiter.

5. Limiters of different type leave dispersive errors, at the same time dependences of dispersive errors on the scheme parameters have big variability and depend on the scheme parameters difficulty.

6. The monotony of the considered differential scheme is in number confirmed in all calculations. The property of variation non-increase for all specified functions limiters is in number confirmed for the onedimensional equation.

7. The constructed differential scheme at the steps on time which are not exceeding the Courant's step is monotonous and shows good exactness characteristics for different types solutions. At excess of the Courant's step the scheme remains steady, but becomes unsuitable for instability problems as monotony conditions not satisfied in this case.

Большой класс задач описывает физические процессы, протекающие в невыпуклых областях, содержащих угол больший 180 градусов на границе. Решение в окрестности такого угла сингулярно, а его отыскание, при использовании классических подходов, влечет за собой потерю точности. В представленной работе рассмотрены стационарные, линеаризованные с помощью итераций Пикара несжимаемые уравнения Навье – Стокса течения вязкой жидкости в конвективной форме в $L$-образной области. Определено $R_\nu$-обобщенное решение задачи в специальных множествах весовых пространств. Для нахождения приближенного $R_\nu$-обобщенного решения построен специальный метод конечных элементов. Во-первых, пространства конечно-элементных функций удовлетворяют закону сохранения массы в сильном смысле, то есть в узлах сетки. Для этой цели используется Скотт – Вогелиус конечно-элементная пара. Выполнение закона сохранения массы ведет к отысканию более точного с физической точки зрения решения. Во-вторых, базисные функции конечномерных пространств дополнены весовыми функциями как множителями, которые совпадают с расстоянием от точки до вершины тупого угла в $\delta$-окрестности точки сингулярности и радиусом $\delta$ вне ее. Степень весовой функции, как и параметр $\nu$ в определении $R_\nu$-обобщенного решения, так и радиус $\delta$-окрестности точки сингулярности являются свободными параметрами метода. Специально подобранная их комбинация приводит к увеличению порядка сходимости приближенного решения к точному решению задачи почти в два раза по сравнению с классическими подходами и достигает единицы по шагу сетки в нормах весовых пространств Соболева. Таким образом, установлено, что скорость сходимости не зависит от величины угла.

An essential class of problems describes physical processes occurring in non-convex domains containing a corner greater than 180 degrees on the boundary. The solution in a neighborhood of a corner is singular and its finding using classical approaches entails a loss of accuracy. In the paper, we consider stationary, linearized by Picard’s iterations, Navier – Stokes equations governing the flow of a incompressible viscous fluid in the convection form in $L$-shaped domain. An $R_\nu$-generalized solution of the problem in special sets of weighted spaces is defined. A special finite element method to find an approximate $R_\nu$-generalized solution is constructed. Firstly, functions of the finite element spaces satisfy the law of conservation of mass in the strong sense, i.e. at the grid nodes. For this purpose, Scott – Vogelius element pair is used. The fulfillment of the condition of mass conservation leads to the finding more accurate, from a physical point of view, solution. Secondly, basis functions of the finite element spaces are supplemented by weight functions. The degree of the weight function, as well as the parameter $\nu$ in the definition of an $R_\nu$-generalized solution, and a radius of a neighborhood of the singularity point are free parameters of the method. A specially selected combination of them leads to an increase almost twice in the order of convergence rate of an approximate solution to the exact one in relation to the classical approaches. The convergence rate reaches the first order by the grid step in the norms of Sobolev weight spaces. Thus, numerically shown that the convergence rate does not depend on the corner value.