Все выпуски

Современная литература содержит многочисленные примеры применения распределений с тяжелыми хвостами для прикладных исследований сложных систем. Моделирование экстремальных данных обычно ограничено небольшим набором форм распределений, которые исторически применяются в данной области прикладных исследований. Расширение набора форм возможно посредством сопоставления мер форм распределений. В работе на примере бета-распределения второго рода показано, что неопределенность моментов тяжелохвостых бета-распределений ограничивает применимость классических методов моментов для исследования их форм. На данном этапе сохраняется актуальность построения методов сопоставления распределений с помощью квантильных мер формы, которые освобождены от ограничений на параметры формы. Цель работы состоит в компьютерном исследовании возможности построения пространства квантильных мер форм для проведения сравнения распределений с тяжелыми хвостами. На основе компьютерного моделирования проводится картирование реализаций распределений в пространстве параметрических, квантильных и информационных мер формы. Картирование распределений в пространстве только параметрических мер формы показало, что наложение множества распределений с тяжелыми хвостами в пространстве квантильных мер асимметрии и эксцесса не позволяет сопоставить формы распределений, принадлежащие разным типам распределений. Хорошо известно, что информационные меры содержат дополнительную информацию о мере формы распределений. В работе предложен квантильный коэффициент энтропии в качестве дополнительной независимой меры формы, построенной на отношении интервалов энтропийной и квантильной неопределенностей. На примере логнормального распределения и распределения Парето иллюстрируются возможности сравнения форм распределений с реализациями бета-распределения второго рода. В частности показано, что, несмотря на близость положений форм в трехмерном пространстве, формы реализаций логнормального распределения отсутствуют среди реализаций бета-распределения второго рода. Картирование положения устойчивых распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм позволило оценить параметры формы бета-распределения второго рода, для которого форма наиболее близка к форме распределения Леви. Из материала статьи следует, что отображение распределений в трехмерном пространстве квантильных мер форм значительно расширяет возможность сравнения форм для распределений с тяжелыми хвостами.

Currently, journal papers contain numerous examples of the use of heavy-tailed distributions for applied research on various complex systems. Models of extreme data are usually limited to a small set of distribution shapes that in this field of applied research historically been used. It is possible to increase the composition of the set of probability distributions shapes through comparing the measures of the distribution shapes and choosing the most suitable implementations. The example of a beta distribution of the second kind shown that the lack of definability of the moments of heavy-tailed implementations of the beta family of distributions limits the applicability of the existing classical methods of moments for studying the distributions shapes when are characterized heavy tails. For this reason, the development of new methods for comparing distributions based on quantile shape measures free from the restrictions on the shape parameters remains relevant study the possibility of constructing a space of quantile measures of shapes for comparing distributions with heavy tails. The operation purpose consists in computer research of creation possibility of space of the quantile’s measures for the comparing of distributions property with heavy tails. On the basis of computer simulation there the distributions implementations in measures space of shapes were been shown. Mapping distributions in space only of the parametrical measures of shapes has shown that the imposition of regions for heavy tails distribution made impossible compare the shape of distributions belonging to different type in the space of quantile measures of skewness and kurtosis. It is well known that shape information measures such as entropy and entropy uncertainty interval contain additional information about the shape measure of heavy-tailed distributions. In this paper, a quantile entropy coefficient is proposed as an additional independent measure of shape, which is based on the ratio of entropy and quantile uncertainty intervals. Also estimates of quantile entropy coefficients are obtained for a number of well-known heavy-tailed distributions. The possibility of comparing the distributions shapes with realizations of the beta distribution of the second kind is illustrated by the example of the lognormal distribution and the Pareto distribution. Due to mapping the position of stable distributions in the three-dimensional space of quantile measures of shapes estimate made it possible the shape parameters to of the beta distribution of the second kind, for which shape is closest to the Lévy shape. From the paper material it follows that the display of distributions in the three-dimensional space of quantile measures of the forms of skewness, kurtosis and entropy coefficient significantly expands the possibility of comparing the forms for distributions with heavy tails.

С целью обобщения уравнения крутильных колебаний на случай нелинейно деформируемых реологически активных валов в статье представлена методика линеаризации эффективной функции мгновенного деформирования материала. В работе рассматриваются слоистые и структурно неоднородные, в среднем изотропные валы из нелинейно вязкоупругих компонент. Методика заключается в определении аппроксимирующего модуля сдвига материала посредством минимизации среднеквадратического отклонения при приближении эффективной диаграммы мгновенного деформирования линейной функцией.

Представленная методика позволяет в аналитическом виде произвести оценку величин частот свободных колебаний слоистых и структурно неоднородных нелинейно вязкоупругих цилиндрических стержней. Это, в свою очередь, предоставляет возможность существенно сократить ресурсы при вибрационном анализе, а также отследить изменения значений собственных частот при изменении геометрических, физико-механических и структурных параметров валов, что особенно важно на начальных этапах моделирования и проектирования. Кроме того, в работе показано, что только выраженная нелинейность эффективного уравнения состояния материала оказывает значимое влияние на частоты свободных колебаний, и в некоторых случаях нелинейностью при определении собственных частот можно пренебречь.

В качестве уравнений состояния компонент композиционного материала в статье рассматриваются уравнения нелинейной наследственности с функциями мгновенного деформирования в виде билинейных диаграмм Прандтля. Для гомогенизации уравнений состояния слоистых цилиндрических стержней в работе применяются гипотезы Фойгта об однородности деформаций и Рейсса об однородности напряжений в объеме композиционного тела. При использовании данных предположений получены эффективные секущий и касательный модули сдвига, пределы пропорциональности, а также ядра ползучести и релаксации продольно, аксиально и поперечно-слоистых валов. Кроме того, в работе получены указанные эффективные характеристики структурно неоднородного, в среднем изотропного цилиндрического стержня с помощью ранее предложенного авторами метода гомогенизации, основанного на определении параметров деформирования материала по правилу смеси для уравнений состояния по Фойгту и Рейссу.

The article presents a method for linearization the effective function of material instantaneous deformation in order to generalize the torsional vibration equation to the case of nonlinearly deformable rheologically active shafts. It is considered layered and structurally heterogeneous, on average isotropic shafts made of nonlinearly viscoelastic components. The technique consists in determining the approximate shear modulus by minimizing the root-mean-square deviation in approximation of the effective diagram of instantaneous deformation.

The method allows to estimate analytically values of natural frequencies of layered and structurally heterogeneous nonlinearly viscoelastic shaft. This makes it possible to significantly reduce resources in vibration analysis, as well as to track changes in values of natural frequencies with changing geometric, physico-mechanical and structural parameters of shafts, which is especially important at the initial stages of modeling and design. In addition, the paper shows that only a pronounced nonlinearity of the effective state equation has an effect on the natural frequencies, and in some cases the nonlinearity in determining the natural frequencies can be neglected.

As equations of state of the composite material components, the article considers the equations of nonlinear heredity with instantaneous deformation functions in the form of the Prandtl’s bilinear diagrams. To homogenize the state equations of layered shafts, it is applied the Voigt’s hypothesis on the homogeneity of deformations and the Reuss’ hypothesis on the homogeneity of stresses in the volume of a composite body. Using these assumptions, effective secant and tangential shear moduli, proportionality limits, as well as creep and relaxation kernels of longitudinal, axial and transversely layered shafts are obtained. In addition, it is obtained the indicated effective characteristics of a structurally heterogeneous, on average isotropic shaft using the homogenization method previously proposed by the authors, based on the determination of the material deformation parameters by the rule of a mixture for the Voigt’s and the Reuss’ state equations.

The grid-characteristic method is a promising numerical method for solving hyperbolic systems of equations, e.g., equations describing elastic and acoustic waves. This method has high precision and allows physically correct simulations of wave processes in heterogeneous media. The grid-characteristic method makes it possible to correctly take into account boundary conditions and conditions on surfaces with different physical characteristics. The method offers the greatest advantages for one-dimensional equations, especially in combination with a fixed difference grid, as in conventional grid-based methods. However, in the multidimensional case using the algorithms of splitting with respect to spatial variables, the author has managed to preserve its positive qualities. The use of the method of Runge–Kutta type, or the integro-interpolation method for hyperbolic equations makes it possible to effectively carry out a generalization of methods developed for linear equations, in the nonlinear case, in particular, to enforce the difference analogs of the conservation laws, which is important for shock-capturing, for example, discontinuous solutions. Based on the author’s variant of the grid-characteristic method, several important problems of seismic prospecting, seismic resistance, global seismic studies on Earth and Mars, medical applications, nondestructive testing of railway lines, the simulation of the creation and characteristics of composite materials for the aerospace industry and other areas of practical application were numerically solved. A significant advantage of the constructed method is the preservation of its stability and precision at the strains of the environment. This article presents the results of a numerical solution based on the grid-characteristic method to the problem of modeling elastic-plastic deformation in traumatic brain injury.

Рассматривается имитационное моделирование цеха по производству деталей из полимерных композиционных материалов. Описывается технология изготовления деталей и на ее основе разрабатывается теоретическая событийная модель производства. По разработанной теоретической событийной модели производства создается компьютерная имитационная модель в программном средстве имитационного моделирования Tecnomatix Plant Simulation. Проведен анализ созданной имитационной модели. Учитывая найденные узкие места, создана новая имитационная модель, отвечающая поставленным требованиям. Получены результаты, на основании которых составлены практические рекомендации по увеличению количества выпускаемых деталей.

Consider the simulation workshop for production of polymer components composite materials. Describes a technique for the manufacture of parts and, based on the event model developed theoretical production. By event-developed theoretical models of production created a computer simulation model in software simulation Tecnomatix Plant Simulation. The analysis of the simulation model created. Given the bottlenecks found, a new simulation model that meets the requirements. The results obtained on the basis of which the practical recommendations to increase the number of parts produced.

Использование алгоритмов, основанных на нейронных сетях, может оказаться неэффективным при малых объемах экспериментальных данных. Авторы статьи рассматривают решение данной проблемы на примере моделирования свойств керамического композита, армированного углеродными нанотрубками, с помощью перцептронного комплекса. Такой подход позволил получить математическое описание объекта исследования при минимальном объеме и неполноте исходной информации, полученной в ходе экспериментов (объем необходимой экспериментальной выборки уменьшился в 2–3.3 раза). В статье рассмотрены различные варианты структур перцептронных комплексов. Выявлено, что наиболее подходящей структурой обладает перцептронный комплекс с проскоком двух входных переменных. Относительная ошибка составила всего 6%. Выбранный перцептронный комплекс показал свою эффективность для предсказания свойств керамического композита. Относительные ошибки по выходным компонентам составили 0.3%, 4.2%, 0.4%, 2.9% и 11.8%.

Use of algorithms based on neural networks can be inefficient for small amounts of experimental data. Authors consider a solution of this problem in the context of modelling of properties of ceramic composite materials reinforced with carbon nanotubes using perceptron complex. This approach allowed us to obtain a mathematical description of the object of study with a minimal amount of input data (the amount of necessary experimental samples decreased 2–3.3 times). Authors considered different versions of perceptron complex structures. They found that the most appropriate structure has perceptron complex with breakthrough of two input variables. The relative error was only 6%. The selected perceptron complex was shown to be effective for predicting the properties of ceramic composites. The relative errors for output components were 0.3%, 4.2%, 0.4%, 2.9%, and 11.8%.

В настоящей работе предложен вариант импорта в систему ANSYS Mechanical APDL модели поведения гибких тканых композиционных материалов с армирующей тканью полотняного переплетения при статическом растяжении вдоль нитей армирования. Импорт осуществлен при помощи использования, разработанного авторами и представленного в текущей работе модуля интеграции, основанного на использовании аналитической модели деформирования исследуемого материала, представленной в опубликованных ранее статьях и учитывающей изменения геометрической структуры, происходящие в армирующем слое материала в процессе деформирования, образование необратимых деформаций и взаимодействие накрест лежащих нитей армирующей ткани. Во введении кратко описаны основные вводимые характеристики полотняного переплетения армирующей ткани и аналитической модели, импортируемой в ANSYS. Аналитическая модель основана на описании процессов деформирования элементарной периодической ячейки исследуемого класса материалов. Входными параметрами модуля являются механические характеристики материалов, входящих в состав композита (связующее и материал нитей армирования), геометрические характеристики переплетения армирующей ткани. Алгоритм импорта модели основан на вычислении и передачи в ANSYS расчетных точек диаграммы деформирования материала при одноосном растяжения вдоль направления армирования и использовании вложенных в систему ANSYS пользовательской моделей материала Multilinear Kinematich Hardening. Аналитическая модель, импортируемая при помощи представленного модуля, позволяет моделировать композиционный материал с армирующей тканью без детального описания геометрии переплетения нитей при моделировании материала в целом. Выполнена верификация импортированной модели. Для верификации были проведены натурные экспериментальные исследования и численное моделирование растяжения образцов из гибких тканых композитов. В экспериментах принимали участие образцы трех марок: VP4126, VP6131 и VP6545. Погрешность импортированной в ANSYS модели составила менее 10 % относительно экспериментальных исследований для всех марок материала. Анализ полученных результатов показал хорошее качественное и количественное согласование расчетов в системе ANSYS с применением импортированной модели и натурных испытаний до величин предельных деформаций, соответствующих разрушению образцов материала для всех исследуемых марок гибких тканых композитов, что позволяет сделать вывод о возможности применения предложенного модуля при моделировании процессов деформирования гибких тканых композитов и конструкций, созданных из таких материалов при статическом одноосном растяжении вдоль нитей армирования.

A variant of import into ANSYS Mechanical APDL system of the model of behavior of flexible woven composite materials with reinforcing weaving cloth of linen at static stretching along the reinforcement yarns is offered. The import was carried out using an integration module based on the use of an analytical model of deformation of the material under study. The model is presented in the articles published earlier and takes into account the changes in the geometric structure occurring in the reinforcing layer of the material during the deformation process, the formation of irreversible deformations and the interaction of cross-lying reinforcing fabric threads. In the introduction input characteristics of the plain weave of the reinforcing fabric and the analytical model imported into ANSYS are briefly described. The input parameters of the module are the mechanical characteristics of the materials that make up the composite (binder and material of reinforcement yarns), the geometric characteristics of the interlacing of the reinforcing fabric. The algorithm for importing the model is based on the calculation and transfer in ANSYS of the calculated points of the material stress-strain diagram for uniaxial stretching along the reinforcement direction and using the Multilinear Kinematich Hardening model material embedded in the ANSYS. The analytical model imported with the help of the presented module allows to model a composite material with reinforcing fabric without a detailed description of the geometry of the interlacing of threads during modeling of the material as a whole. The imported model was verified. For verification full-scale experimental studies and numerical simulation of the stretching of samples from flexible woven composites were carried out. The analysis of the obtained results showed good qualitative and quantitative agreement of calculations.

Гибкие тканые композиты относят к классу высокотехнологичных инновационных материалов. Благодаря совмещению различных компонентов наполнителя и элементов армирования такие материалы применяют в строительстве, оборонной промышленности, судо- и авиастроении и др. В отечественной литературе уделено недостаточное внимание к тканым композитам, изменяющим свою геометрическую структуру армирующего слоя в процессе деформирования. В настоящей работе приводится анализ предложенного ранее комплексного подхода к моделированию поведения гибких тканых композитов при статическом одноосном растяжении для дальнейшего обобщения подхода на двухосное растяжение. Работа нацелена на качественное и количественное описание механических деформационных процессов, протекающих в структуре исследуемых материалов при растяжении, к которым относится распрямления нитей армирующего слоя и увеличение величины взаимного надавливания накрест лежащих нитей армирования. В начале процесса деформирования распрямление нитей и увеличение взаимного надавливания нитей наиболее интенсивны. С увеличением уровня нагрузки изменение указанных параметров замедляется. Например, изгиб нитей армирования переходит в центральное растяжение, а величина нагрузки от взаимного надавливания более не увеличивается (стремится к константе). Для моделирования описанных процессов вводятся основные геометрические и механические параметры материала, влияющие на процесс формоизменения, приводятся необходимая терминология и описание характеристик. В связи с высокой геометрической нелинейностью все процессы описаны в приращениях, так как на начальных значениях нагрузки происходит значительное формоизменение армирующего слоя. Для количественного и качественного описания механических деформационных процессов, протекающих в армирующем слое, выведены аналитические зависимости, позволяющие определить приращение угла распрямления нитей армирования и нагрузки, вызванной взаимным надавливанием накрест лежащих нитей на каждом шаге приращения нагрузки. Для апробации выведенных зависимостей приведен пример их применения для гибких тканых композиционных материалов марок VP4126, VP6131 и VP6545. Результаты моделирования подтвердили предположения о процессах выпрямления нитей и замедления увеличения взаимного надавливания нитей. Приведенные в данной работе результаты и зависимости имеют непосредственное отношение к дальнейшему обобщению предложенных ранее аналитических моделей для двухосного растяжения, так как растяжение в двух направлениях существенно уменьшит выпрямление нитей и увеличит величину взаимного надавливания при аналогичных нагрузках.

Flexible woven composites are classified as high-tech innovative materials. Due to the combination of various components of the filler and reinforcement elements, such materials are used in construction, in the defense industry, in shipbuilding and aircraft construction, etc. In the domestic literature, insufficient attention is paid to woven composites that change their geometric structure of the reinforcing layer during deformation. This paper presents an analysis of the previously proposed complex approach to modeling the behavior of flexible woven composites under static uniaxial tension for further generalization of the approach to biaxial tension. The work is aimed at qualitative and quantitative description of mechanical deformation processes occurring in the structure of the studied materials under tension, which include straightening the strands of the reinforcing layer and increasing the value of mutual pressure of the cross-lying reinforcement strands. At the beginning of the deformation process, the straightening of the threads and the increase in mutual pressure of the threads are most intense. With the increase in the level of load, the change of these parameters slows down. For example, the bending of the reinforcement strands goes into the Central tension, and the value of the load from the mutual pressure is no longer increased (tends to constant). To simulate the described processes, the basic geometrical and mechanical parameters of the material affecting the process of forming are introduced, the necessary terminology and description of the characteristics are given. Due to the high geometric nonlinearity of the all processes described in the increments, as in the initial load values there is a significant deformation of the reinforcing layer. For the quantitative and qualitative description of mechanical deformation processes occurring in the reinforcing layer, analytical dependences are derived to determine the increment of the angle of straightening of reinforcement filaments and the load caused by the mutual pressure of the cross-lying filaments at each step of the load increment. For testing of obtained dependencies shows an example of their application for flexible woven composites brands VP4126, VP6131 and VP6545. The simulation results confirmed the assumptions about the processes of straightening the threads and slowing the increase in mutual pressure of the threads. The results and dependences presented in this paper are directly related to the further generalization of the previously proposed analytical models for biaxial tension, since stretching in two directions will significantly reduce the straightening of the threads and increase the amount of mutual pressure under similar loads.

В статье предложена модель для оценки потенциальной прочности композиционного материала на основе современных волокон, разрушающихся хрупко.

Моделируются материалы, состоящие из параллельных цилиндрических волокон, которые квазистатически растягиваются в одном направлении. Предполагается, что в выборке не меньше 100 штук, что соответствует практически значимым случаям. Известно, что волокна имеют разброс предельной деформации в выборке и разрушаются не одновременно. Обычно разброс их свойств описывается распределением Вейбулла–Гнеденко. Для моделирования прочности композита используется модель накопления разрывов волокон. Предполагается, что волокна, объединенные матрицей, дробятся до удвоенной неэффективной длины — расстояния, на котором возрастают напряжения от торца разорванного волокна до среднего. Однако такая модель сильно завышает прогноз прочности композитов с хрупкими волокнами. Например, так разрушаются углеродные и стеклянные волокна.

В ряде случаев ранее делались попытки учесть концентрацию напряжений около разорванного волокна (модель Хеджепеста, модель Ермоленко, сдвиговой анализ), однако такие модели требовали или очень много исходных данных или не совпадали с экспериментом. Кроме того, такие модели идеализировали упаковку волокон в композите до регулярной гексагональной упаковки.

В модели объединены подход сдвигового анализа к распределению напряжений около разрушенного волокна и статистический подход прочности волокон на основе распределения Вейбулла–Гнеденко, при этом введен ряд предположений, упрощающих расчет без потери точности.

Предполагается, что перенапряжение на соседнем волокне увеличивает вероятность его разрушения в соответствии с распределением Вейбулла и число таких волокон с повышенной вероятностью разрушения прямо связано с числом уже разрушенных до этого. Все исходные данные могут быть получены из простых экспериментов. Показано, что учет перераспределения только на ближайшие волокна дает точный прогноз.

Это позволило провести полный расчет прочности композита. Экспериментальные данные, полученные нами на углеродных волокнах, стеклянных волокнах и модельных композитах на их основе, качественно подтверждают выводы модели.

The article proposes a model for assessing the potential strength of a composite material based on modern fibers with brittle fracture.

Materials consisting of parallel cylindrical fibers that are quasi-statically stretched in one direction are simulated. It is assumed that the sample is not less than 100 pieces, which corresponds to almost significant cases. It is known that the fibers have a distribution of ultimate deformation in the sample and are not destroyed at the same moment. Usually the distribution of their properties is described by the Weibull–Gnedenko statistical distribution. To simulate the strength of the composite, a model of fiber breaks accumulation is used. It is assumed that the fibers united by the polymer matrix are crushed to twice the inefficient length — the distance at which the stresses increase from the end of the broken fiber to the middle one. However, this model greatly overestimates the strength of composites with brittle fibers. For example, carbon and glass fibers are destroyed in this way.

In some cases, earlier attempts were made to take into account the stress concentration near the broken fiber (Hedgepest model, Ermolenko model, shear analysis), but such models either required a lot of initial data or did not coincide with the experiment. In addition, such models idealize the packing of fibers in the composite to the regular hexagonal packing.

The model combines the shear analysis approach to stress distribution near the destroyed fiber and the statistical approach of fiber strength based on the Weibull–Gnedenko distribution, while introducing a number of assumptions that simplify the calculation without loss of accuracy.

It is assumed that the stress concentration on the adjacent fiber increases the probability of its destruction in accordance with the Weibull distribution, and the number of such fibers with an increased probability of destruction is directly related to the number already destroyed before. All initial data can be obtained from simple experiments. It is shown that accounting for redistribution only for the nearest fibers gives an accurate forecast.

This allowed a complete calculation of the strength of the composite. The experimental data obtained by us on carbon fibers, glass fibers and model composites based on them (CFRP, GFRP), confirm some of the conclusions of the model.

В работе представлена методика линеаризации диаграммы растяжения-сжатия материала нелинейно деформируемых балки и круглой пластины с целью обобщения уравнений свободных колебаний чистого изгиба. В статье рассматриваются композиционные, в среднем изотропные призматические балки постоянного прямоугольного поперечного сечения и круглые пластины постоянной толщины из нелинейно-упругих компонент. Методика заключается в определении аппроксимирующего модуля Юнга материала исходя из начального напряженно-деформированного состояния балки и пластины, подверженных действию изгибающего момента.

В статье предлагается два критерия линеаризации: равенство удельной потенциальной энергии деформации, а также минимизация среднеквадратического отклонения при приближении нелинейного уравнения состояния линейной функцией. Данный метод позволяет в аналитическом виде получить оценочное значение частоты свободных колебаний слоистых и структурно-неоднородных в среднем изотропных нелинейно-упругих балок и пластин, что предоставляет возможность существенно сократить ресурсы при вибрационном анализе и моделировании указанных элементов конструкций. Кроме того, в работе показано, что предложенные критерии линеаризации позволяют производить оценку величины собственных частот с одинаковой точностью.

Поскольку в общем случае даже изотропные материалы проявляют разную сопротивляемость растяжению и сжатию, в качестве кривых деформирования компонент композиционного материала в работе впервые рассматриваются кусочно-линейные диаграммы Прандтля с различающимися пределами пропорциональности и касательными модулями Юнга при растяжении и сжатии. В качестве параметров диа- граммы деформирования слоистых материалов рассматриваются эффективные характеристики по Фойгту при гипотезе об однородности деформаций (для продольно-слоистой структуры материла), по Рейссу при гипотезе об однородности напряжений (для поперечно-слоистой балки и аксиально-слоистой пластины). Кроме того, для структурно-неоднородного в среднем изотропного материала приведены эффективные модули Юнга и пределы пропорциональности, полученные с помощью ранее предложенного авторами метода гомогенизации. В качестве примера приведен расчет собственных частот колебаний двухфазных балок в зависимости от концентраций компонент их материала.

In the paper, it is represented a linearization method for the stress-strain curves of nonlinearly deformable beams and circular plates in order to generalize the pure bending vibration equations. It is considered composite, on average isotropic prismatic beams of a constant rectangular cross-section and circular plates of a constant thickness made of nonlinearly elastic materials. The technique consists in determining the approximate Young’s moduli from the initial stress-strain state of beam and plate subjected to the action of the bending moment.

The paper proposes two criteria for linearization: the equality of the specific potential energy of deformation and the minimization of the standard deviation in the state equation approximation. The method allows obtaining in the closed form the estimated value of the natural frequencies of layered and structurally heterogeneous, on average isotropic nonlinearly elastic beams and circular plates. This makes it possible to significantly reduce the resources in the vibration analysis and modeling of these structural elements. In addition, the paper shows that the proposed linearization criteria allow to estimate the natural frequencies with the same accuracy.

Since in the general case even isotropic materials exhibit different resistance to tension and compression, it is considered the piecewise-linear Prandtl’s diagrams with proportionality limits and tangential Young’s moduli that differ under tension and compression as the stress-strain curves of the composite material components. As parameters of the stress-strain curve, it is considered the effective Voigt’s characteristics (under the hypothesis of strain homogeneity) for a longitudinally layered material structure; the effective Reuss’ characteristics (under the hypothesis of strain homogeneity) for a transversely layered beam and an axially laminated plate. In addition, the effective Young’s moduli and the proportionality limits, obtained by the author’s homogenization method, are given for a structurally heterogeneous, on average isotropic material. As an example, it is calculated the natural frequencies of two-phase beams depending on the component concentrations.

Изучение структурной характеристики композитов и наноструктур имеет фундаментальное значение в материаловедении. Теоретическое и численное моделирование и симуляция механических свойств наноструктур является основным инструментом, позволяющим проводить комплексные исследования, которые сложно проводить только экспериментально. Одним из примеров наноструктур, рассматриваемых в данной работе, являются углеродные нанотрубки (УНТ), которые обладают хорошими тепловыми и электрическими свойствами, а также низкой плотностью и высоким модулем Юнга, что делает их наиболее подходящим армирующим элементом для композитов, для потенциального применения в аэрокосмической, автомобильной, металлургической и биомедицинской промышленности. В данном обзоре мы рассмотрели методы моделирования, механические свойства и применение композитов с металлической матрицей, армированных УНТ. Также рассмотрены некоторые методы моделирования, применимые при исследованиях композитов с полимерными и металлическими матрицами. Рассмотрены такие методы, как метод градиентного спуска, метод Монте-Карло, методы молекулярной статики и молекулярной динамики. Было показано, что молекулярно-динамическое моделирование отлично подходит для создания различных систем композиционных материалов и изучения свойств композитов с металлической матрицей, армированных углеродными наноматериалами, в различных условиях. В данной работе кратко представлены наиболее часто используемые потенциалы, описывающие взаимодействие систем моделирования композитов. Правильный выбор потенциалов взаимодействия частей композитов напрямую влияет на описание изучаемого явления. Детализирована и обсуждена зависимость механических свойств композитов от объемной доли, диаметра, ориентации и количества УНТ. Показано, что объемная доля углеродных нанотрубок имеет существенное влияние на предел прочности и модуль Юнга. Диаметр УНТ оказывает большее значение на предел прочности, нежели на модуль упругости. Также приведен в пример работы, в которых изучается влияние длины УНТ на механические свойства композитов. В заключении нами предложены перспективы направления развития молекулярно-динамического моделирования в отношении композитов с металлической матрицей, армированных углеродными наноматериалами.

The study of the structural characteristics of composites and nanostructures is of fundamental importance in materials science. Theoretical and numerical modeling and simulation of the mechanical properties of nanostructures is the main tool that allows for complex studies that are difficult to conduct only experimentally. One example of nanostructures considered in this work are carbon nanotubes (CNTs), which have good thermal and electrical properties, as well as low density and high Young’s modulus, making them the most suitable reinforcement element for composites, for potential applications in aerospace, automotive, metallurgical and biomedical industries. In this review, we reviewed the modeling methods, mechanical properties, and applications of CNT-reinforced metal matrix composites. Some modeling methods applicable in the study of composites with polymer and metal matrices are also considered. Methods such as the gradient descent method, the Monte Carlo method, methods of molecular statics and molecular dynamics are considered. Molecular dynamics simulations have been shown to be excellent for creating various composite material systems and studying the properties of metal matrix composites reinforced with carbon nanomaterials under various conditions. This paper briefly presents the most commonly used potentials that describe the interactions of composite modeling systems. The correct choice of interaction potentials between parts of composites directly affects the description of the phenomenon being studied. The dependence of the mechanical properties of composites on the volume fraction of the diameter, orientation, and number of CNTs is detailed and discussed. It has been shown that the volume fraction of carbon nanotubes has a significant effect on the tensile strength and Young’s modulus. The CNT diameter has a greater impact on the tensile strength than on the elastic modulus. An example of works is also given in which the effect of CNT length on the mechanical properties of composites is studied. In conclusion, we offer perspectives on the direction of development of molecular dynamics modeling in relation to metal matrix composites reinforced with carbon nanomaterials.