Все выпуски

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный алгоритм решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество алгоритма состоит в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью $LU$-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

В данной работе этот алгоритм лежит в основе решения следующих задач.

Задача 1. Задание направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации путем интеграции одной из известных техник построения существенно положительно определенной матрицы. Такой подход позволяет ослабить или снять дополнительные специфические трудности, обусловленные необходимостью решения больших систем уравнений с разреженными матрицами, представленных в упакованном виде.

Задача 2. Построение новой математической формулировки задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности. Они достаточно просты и могут быть использованы для построения методов математического программирования, например для поиска минимума квадратичной функции на многогранном множестве ограничений, основанного на решениях систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции.

Задача 3. Построение непрерывного аналога задачи минимизации вещественного квадратичного многочлена от булевых переменных и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности для разработки методов их решения за полиномиальное время. В результате исходная задача сводится к задаче поиска минимального расстояния между началом координат и угловой точкой выпуклого многогранника (полиэдра), который является возмущением $n$-мерного куба и описывается системой двойных линейных неравенств с верхней треугольной матрицей коэффициентов с единицами на главной диагонали. Исследованию подлежат только две грани, одна из которых или обе содержат вершины, ближайшие к началу координат. Для их вычисления достаточно решить $4n – 4$ систем линейных уравнений и выбрать среди них все ближайшие равноудаленные вершины за полиномиальное время. Задача минимизации квадратичного полинома является $NP$-трудной, поскольку к ней сводится $NP$-трудная задача о вершинном покрытии для произвольного графа. Отсюда следует вывод, что $P = NP$, в основе построения которого лежит выход за пределы целочисленных методов оптимизации.

Рассматривается численно устойчивый прямой мультипликативный метод решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество метода состоит в расчете факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы уравнений и ее решения в рамках одной процедуры, а также в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных. Решение системы линейных уравнений прямым мультипликативным алгоритмом — это, как и решение с помощью LU-разложения, просто другая схема реализации метода исключения Гаусса.

Расчет факторов Холесского для положительно определенной матрицы системы и ее решение лежит в основе построения новой математической формулировки безусловной задачи квадратичного программирования и новой формы задания необходимых и достаточных условий оптимальности, которые достаточно просты и в данной работе используются для построения новой математической формулировки задачи квадратичного программирования на многогранном множестве ограничений, которая представляет собой задачу поиска минимального расстояния между началом координат и точкой границы многогранного множества ограничений средствами линейной алгебры и многомерной геометрии.

Для определения расстояния предлагается применить известный точный метод, основанный на решении систем линейных уравнений, размерность которых не выше числа переменных целевой функции. Расстояния определяются построением перпендикуляров к граням многогранника различной размерности. Для уменьшения числа исследуемых граней предлагаемый метод предусматривает специальный порядок перебора граней. Исследованию подлежат только грани, содержащие вершину, ближайшую к точке безусловного экстремума, и видимые из этой точки. В случае наличия нескольких ближайших равноудаленных вершин исследуется грань, содержащая все эти вершины, и грани меньшей размерности, имеющие с первой гранью не менее двух общих ближайших вершин.

Исследование сложных процессов в различных сферах человеческой деятельности традиционно основывается на использовании математических моделей. В современных условиях разработка и применение подобных моделей существенно упрощаются наличием быстродействующих средств вычислительной техники и специализированных инструментальных средств, позволяющих, по существу, конструировать модели из заранее подготовленных модулей. Несмотря на это, известные проблемы, связанные с обеспечением адекватности модели, достоверности исходных данных, реализацией на практике результатов моделирования, чрезмерно большой размерностью исходных данных, совместным применением достаточно разнородных математических моделей в условиях усложнения и интеграции моделируемых процессов, приобретают растущую актуальность. Еще более критичными могут являться внешние ограничения, накладываемые на значение оптимизируемого функционала и нередко не достижимые в рамках построенной модели. Логично предположить, что для выполнения этих ограничений необходима целенаправленная трансформация исходной модели, то есть переход к математической модели с заведомо «улучшенным» решением. Новая модель, очевидно, будет иметь иную внутреннюю структуру (совокупность параметров и их взаимосвязи), а также иные форматы (области определения) исходных данных. Исследованные авторами возможности целенаправленного изменения первоначальной модели основаны на реализации идеи стратегической рефлексии.

В математическом плане практическая реализация авторского замысла оказывается наиболее сложной при использовании имитационных моделей, для которых алгоритмы поиска оптимальных решений имеют известные ограничения, а исследование на чувствительность в большинстве случаев весьма затруднительно. На примере рассмотрения достаточно стандартной дискретно-событийной имитационной модели в статье приводятся типовые методические приемы, позволяющие осуществить ранжирование вариабельных параметров по чувствительности и в дальнейшем расширить область определения вариабельного параметра, к которому имитационная модель наиболее чувствительна. При переходе к «улучшенной» модели возможно также одновременное исключение из нее параметров, влияние которых на оптимизируемый функционал несущественно, и, наоборот, введение в модель новых параметров, соответствующих реальным процессам.

В статье изучаются упругопластические тела минимального объема. Часть границы всех рассматриваемых тел закреплена в одних и тех же точках пространства, на остальной части граничной поверхности заданы напряжения (загруженная поверхность). Форма загруженной поверхности может изменяться в пространстве, но при этом коэффициент предельной нагрузки, вычисленный в предположении, что тела заполнены упругопластической средой, не должен быть меньше фиксированного значения. Кроме того, предполагается, что все варьируемые тела содержат внутри себя некоторое эталонное многообразие ограниченного объема.

Поставлена следующая задача: какое максимальное количество полостей (или отверстий в двумерном случае) может иметь тело (пластина) минимального объема при сформулированных выше ограничениях? Установлено, что для того, чтобы задача была математически корректно сформулирована, необходимо потребовать выполнения двух дополнительных условий: площади отверстий должны превосходить малую константу, а общая длина контуров внутренних отверстий в оптимальной фигуре должна быть минимальна среди варьируемых тел. Таким образом, в отличие от большинства работ по оптимальному проектированию упругопластических систем, когда осуществляется параметрический анализ приемлемых решений при заданной топологии, в работе проводится поиск топологического параметра связности проектируемой конструкции.

Изучается случай, когда коэффициент предельной нагрузки для эталонного многообразия достаточно велик, а площади допустимых отверстий в варьируемых пластинах превосходят малую константу. Приводятся аргументы, подтверждающие, что в этих условиях оптимальная фигура является стержневой системой Максвелла или Мичелла. В качестве примеров представлены микрофотографии типичных для биологических систем костных тканей. Показано, что в системе Мичелла не может быть внутренних отверстий большой площади. В то же время в стержневом наборе Максвелла могут существовать значительные по площади отверстия. Приводятся достаточные условия, когда в оптимальной по объему сплошной пластинке можно образовать отверстия. Результаты допускают обобщения и на трехмерные упругопластичные конструкции.

Статья завершается формулировкой математических проблем, вытекающих из постановки новой задачи оптимального проектирования упругопластических систем.

В данной статье предлагаются методы оптимизации высокого порядка (тензорные методы) для решения двух типов седловых задач. Первый тип — это классическая мин-макс-постановка для поиска седловой точки функционала. Второй тип — это поиск стационарной точки функционала седловой задачи путем минимизации нормы градиента этого функционала. Очевидно, что стационарная точка не всегда совпадает с точкой оптимума функции. Однако необходимость в решении подобного типа задач может возникать в случае, если присутствуют линейные ограничения. В данном случае из решения задачи поиска стационарной точки двойственного функционала можно восстановить решение задачи поиска оптимума прямого функционала. В обоих типах задач какие-либо ограничения на область определения целевого функционала отсутствуют. Также мы предполагаем, что целевой функционал является $\mu$-сильно выпуклыми $\mu$-сильно вогнутым, а также что выполняется условие Липшица для его $p$-й производной.

Для задач типа «мин-макс» мы предлагаем два алгоритма. Так как мы рассматриваем сильно выпуклую и сильно вогнутую задачу, первый алгоритмиспо льзует существующий тензорный метод для решения выпуклых вогнутых седловых задач и ускоряет его с помощью техники рестартов. Таким образом удается добиться линейной скорости сходимости. Используя дополнительные предположения о выполнении условий Липшица для первой и второй производных целевого функционала, можно дополнительно ускорить полученный метод. Для этого можно «переключиться» на другой существующий метод для решения подобных задач в зоне его квадратичной локальной сходимости. Так мы получаем второй алгоритм, обладающий глобальной линейной сходимостью и локальной квадратичной сходимостью. Наконец, для решения задач второго типа существует определенная методология для тензорных методов в выпуклой оптимизации. Суть ее заключается в применении специальной «обертки» вокруг оптимального метода высокого порядка. Причем для этого условие сильной выпуклости не является необходимым. Достаточно лишь правильным образом регуляризовать целевой функционал, сделав его таким образом сильно выпуклым и сильно вогнутым. В нашей работе мы переносим эту методологию на выпукло-вогнутые функционалы и используем данную «обертку» на предлагаемом выше алгоритме с глобальной линейной сходимостью и локальной квадратичной сходимостью. Так как седловая задача является частным случаем монотонного вариационного неравенства, предлагаемые методы также подойдут для поиска решения сильно монотонных вариационных неравенств.