Все выпуски

В данной работе рассматривается система уравнений магнитной гидродинамики (МГД). Найденные точные решения описывают течения жидкости в пористой среде и связаны с вопросами разработки кернового симулятора и задачами управления параметрами несжимаемой жидкости и направлены на создание отечественной технологии «цифровое месторождение». Центральной проблемой, связанной с использованием вычислительной техники, являются сеточные аппроксимации большой размерности и суперЭВМ высокой производительности с большим числом параллельно работающих микропроцессоров. В качестве возможной альтернативы сеточным аппроксимациям большой размерности разрабатываются кинетические методы решения дифференциальных уравнений и методы «склейки» точных решений на грубых сетках. Сравнительный анализ эффективности вычислительных систем позволяет сделать вывод о необходимости развития организации вычислений, основанных на целочисленной арифметике в сочетании с универсальными приближенными методами. Предложен класс точных решений системы Навье – Стокса, описывающий трехмерные течения для несжимаемой жидкости, а также точные решения нестационарной трехмерной магнитной гидродинамики. Эти решения важны для практических задач управляемой динамики минерализованных флюидов, а также для создания библиотек тестов для верификации приближенных методов. Выделены ряд явлений, связанных с образованием макроскопических структур за счет высокой интенсивности взаимодействия элементов пространственно однородных систем, а также их возникновение за счет линейного пространственного переноса в пространственно-неоднородных системах. Принципиальным является то, что возникновение структур — это следствие разрывности операторов в нормах законов сохранения. Наиболее разработанной и универсальной является теория вычислительных методов для линейных задач. Поэтому с этой точки зрения важными являются процедуры «погружения» нелинейных задач в общие классы линейных за счет изменения исходной размерности описания и расширения функциональных пространств. Отождествление функциональных решений с функциями позволяет вычислять интегральные средние неизвестной, но в то же время ее нелинейные суперпозиции, вообще говоря, не являются слабыми пределами нелинейных суперпозиций приближений метода, т.е. существуют функциональные решения, которые не являются обобщенными в смысле С. Л. Соболева.

Для изучения нелинейных эффектов взаимодействия биологических видов развивается численно-аналитический подход, основанный на теории косимметрии, объясняющей явление возникновения непрерывных семейств решений дифференциальных уравнений, когда каждое решение может быть реализовано из соответствующего бассейна начальных данных. В задачах математической экологии возникновение косимметрии обычно связано с выполнением ряда соотношений между параметрами системы. При нарушении этих соотношений происходит разрушение семейств, когда вместо континуума решений возникает конечное число изолированных решений, а процесс установления может занимать большое время. При этом динамический процесс происходит в окрестности семейства, исчезнувшего в результате разрушения косимметрии.

Рассматривается модель пространственно-временной конкуренции хищников и жертв с учетом направленной миграции, функционального отклика Холлинга типа II и нелинейной функции роста жертв, допускающей эффект Олли. Найдены условия на параметры системы, при которых существует линейная по плотностям популяций косимметрия. Показано, что косимметричность не зависит от вида функции ресурса в случае неоднородного ареала. Для расчета стационарных решений и колебательных режимов и случая пространственной неоднородности применяется вычислительный эксперимент в среде MATLAB.

Рассмотрены важные случаи взаимодействия трех популяций (жертва и два хищника, две жертвы и хищник). В случае однородного ареала исследованы возникновение семейств стационарных распределений и ответвление предельных циклов от теряющих устойчивость равновесий семейства. Для системы двух жертв и хищника обнаружены области параметров, при которых реализуются три семейства устойчивых решений: сосуществование двух жертв без хищника, стационарные и колебательные распределения трех сосуществующих видов. В численном эксперименте проанализировано разрушение косимметрии и установлено долгое установление, приводящее к решениям с вытеснением одной из жертв или вымиранием хищника.

В работе изучаются пространственно-временные режимы, реализующиеся в системе типа «хищник– жертва». Предполагается, что хищники перемещаются направленно и случайно, а жертвы распространяются только диффузионно. Демографические процессы в популяции хищников не учитываются, их общая численность постоянна и является параметром. Переменные модели — плотности популяций хищников и жертв, скорость хищников — связаны между собой системой трех уравнений типа «реакция – диффузия – адвекция». Система рассматривается на кольцевом ареале (с периодическими условиями на границах интервала). Исследуются бифуркации волновых режимов при изменении двух параметров — общего количества хищников и их коэффициента таксисного ускорения.

Основным методом исследования является численный анализ. Пространственная аппроксимация задачи в частных производных производится методом конечных разностей. Интегрирование полученной системы обыкновенных дифференциальных уравнений по времени проводится методом Рунге – Кутты. Для анализа динамических режимов используются построение отображения Пуанкаре, расчет показателей Ляпунова и спектр Фурье.

Показано, что популяционные волны в предположениях модели могут возникать в результате направленных перемещений хищников. Динамика в системе качественно меняется при росте их общего количества. При малых значениях устойчив стационарный однородный режим, который сменяется автоколебаниями в виде бегущих волн. Форма волн претерпевает изменения с ростом бифуркационного параметра, ее усложнение происходит за счет увеличения числа временных колебательных мод. Большой коэффициент таксисного ускорения приводит к переходу от многочастотных к хаотическим и гиперхаотическим популяционным волнам. При большом количестве хищников реализуется стационарный режим с отсутствием жертв.

В работе рассмотрена математическая модель, основанная на линейном интегро-дифференциальном уравнении Больцмана, описывающая перенос излучения в рассеивающей среде, подвергающейся импульсному облучению точечным источником. Сформулирована обратная задача для уравнения переноса, заключающаяся в определении коэффициента рассеяния по временно-угловому распределению плотности потока излучения в заданной точке пространства. При исследовании обратной задачи анализируется представление решения уравнения в виде ряда Неймана. Нулевой член ряда описывает нерассеянное излучение, первый член ряда — однократно рассеянное поле, остальные члены — многократно рассеянное поле. Для областей с небольшой оптической толщиной и невысоким уровнем рассеяния при нахождении приближенного решения уравнения переноса излучения широкое распространение получило приближение однократного рассеяния. При использовании этого подхода к задаче с дополнительными ограничениями на исходные данные получена аналитическая формула для нахождения коэффициента рассеяния. Для проверки адекватности полученной формулы построен и программно реализован весовой метод Монте-Карло решения уравнения переноса, учитывающий многократное рассеяние в среде и пространственно-временную сингулярность источника излучения. Применительно к проблемам высокочастотного акустического зондирования в океане проведены вычислительные эксперименты. Показано, что применение приближения однократного рассеяния оправдано по крайней мере на дальности зондирования порядка ста метров, причем основное влияние на погрешность формулы вносят двукратно и трехкратно рассеянные поля. Для областей большего размера приближение однократного рассеяния в лучшем случае дает лишь качественное представление о структуре среды, иногда не позволяя определить даже порядок количественных характеристик параметров взаимодействия излучения с веществом.

В данной работе с помощью методов математического моделирования решается задача о построении электронного аналога неоднородной ДНК. Такие электронные аналоги, наряду с другими физическими моделями живых систем, широко используются в качестве инструмента для изучения динамических и функциональных свойств этих систем. Решение задачи строится на основе алгоритма, разработанного ранее для однородной (синтетической) ДНК и модифицированного таким образом, чтобы его можно было использовать для случая неоднородной (природной) ДНК. Этот алгоритм включает следующие шаги: выбор модели, имитирующей внутреннюю подвижность ДНК; построение преобразования, позволяющего перейти от модели ДНК к ее электронному аналогу; поиск условий, обеспечивающих аналогию уравнений ДНК и уравнений электронного аналога; расчет параметров эквивалентной электрической цепи. Для описания неоднородной ДНК была выбрана модель, представляющая собой систему дискретных нелинейных дифференциальных уравнений, имитирующих угловые отклонения азотистых оснований, и соответствующий этим уравнениям гамильтониан. Значения коэффициентов в модельных уравнениях полностью определяются динамическими параметрами молекулы ДНК, включая моменты инерции азотистых оснований, жесткость сахаро-фосфатной цепи, константы, характеризующие взаимодействия между комплементарными основаниями внутри пар. В качестве основы для построения электронной модели была использована неоднородная линия Джозефсона, эквивалентная схема которой содержит четыре типа ячеек: A-, T-, G- и C-ячейки. Каждая ячейка, в свою очередь, состоит из трех элементов: емкости, индуктивности и джозефсоновского контакта. Важно, чтобы A-, T-, G- и C-ячейки джозефсоновской линии располагались в определенном порядке, который аналогичен порядку расположения азотистых оснований (A, T, G и C) в последовательности ДНК. Переход от ДНК к электронному аналогу осуществлялся с помощью А-преобразования, что позволило рассчитать значения емкости, индуктивности и джозефсоновского контакта в A-ячейках. Значения параметров для T-, G- и C-ячеек эквивалентной электрической цепи были получены из условий, накладываемых на коэффициенты модельных уравнений и обеспечивающих аналогию между ДНК и электронной моделью.

Статья посвящена построению и исследованию усредненной математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Окислительная регенерация является эффективным средством восстановления активности катализатора при покрытии его гранул коксовыми отложениями.

Математическая модель указанного процесса представляет собой нелинейную систему обыкновенных дифференциальных уравнений, в которую включены кинетические уравнения для концентраций реагентов и уравнения для учета изменения температуры зерна катализатора и реакционной смеси в результате протекания неизотермических реакций и теплообмена между газом и слоем катализатора. Вследствие гетерогенности процесса окислительной регенерации часть уравнений отличается от стандартных кинетических и построена на основе эмпирических данных. В статье рассмотрена схема химического взаимодействия в процессе регенерации, на основе которой составлены уравнения материального баланса. В ней отражены непосредственное взаимодействие кокса и кислорода с учетом степени покрытия гранулы кокса углерод-водородным и углерод-кислородным комплексами, выделение монооксида и диоксида углерода в процессе горения, а также освобождение кислорода и водорода внутри зерна катализатора. При построении модели учитывается изменение радиуса, а следовательно, и площади поверхности коксовых гранул. Адекватность разработанной усредненной модели подтверждена анализом динамики концентраций веществ и температуры.

В статье приведен численный эксперимент для математической модели окислительной регенерации алюмокобальтмолибденового катализатора гидрокрекинга. Эксперимент проведен с использованием метода Кутты–Мерсона. Этот метод относится к методам семейства Рунге–Кутты, но разработан для решения жестких систем обыкновенных дифференциальных уравнений. Результаты вычислительного эксперимента визуализированы.

В работе приведена динамика концентраций веществ, участвующих в процессе окислительной регенерации. На основании соответствия полученных результатов физико-химическим законам сделан вывод об адекватности построенной математической модели. Проанализирован разогрев зерна катализатора и выделение монооксида углерода при изменении радиуса зерна для различных степеней начальной закоксованности. Дано описание полученных результатов.

В заключении отмечены основные результаты, приведены примеры задач, для решения которых может быть применена разработанная математическая модель.

Лазерное повреждение прозрачных твердых тел является основным фактором, ограничивающим выходную мощность лазерных систем. Для лазерных дальномеров наиболее вероятной причиной разрушения элементов оптической системы (линз, зеркал), реально, как правило, несколько запыленных, является не оптический пробой в результате лавинной ионизации, а такое тепловое воздействие на пылинку, осевшую на элементе оптической системы (ЭОС), которое приводит к ее возгоранию. Именно возгорание пылинки инициирует процесс повреждения ЭОС.

Рассматриваемая модель этого процесса учитывает нелинейный закон теплового излучения Стефана – Больцмана и бесконечное тепловое воздействие периодического излучения на ЭОСи пылинку. Эта модель описывается нелинейной системой дифференциальных уравнений для двух функций: температуры ЭОСи температуры пылинки. Доказывается, что в силу накапливающего воздействия периодического теплового воздействия процесс достиже- ния температуры возгорания пылинки происходит практически при любых априори возможных изменениях в этом процессе теплофизических параметров ЭОСи пылинки, а также коэффициентов теплообмена между ними и окружающим их воздухом. Усреднение этих параметров по переменным, относящимся как к объему, так и к поверхностям пылинки и ЭОС, корректно при указанных в работе естественных ограничениях. А благодаря рассмотрению задачи (включая численные результаты) в безразмерных единицах измерения, охвачен весь реально значимый спектр теплофизических параметров.

Проведенное тщательное математическое исследование соответствующей нелинейной системы дифференциальных уравнений впервые позволило для общего случая теплофизических параметров и характеристик теплового воздействия периодического лазерного излучения найти формулу для значения той допустимой интенсивности излучения, которая не приводит к разрушению ЭОСв результате возгорания пылинки, осевшей на ЭОС. Найденное в работе для общего случая теоретическое значение допустимой интенсивности в частном случае данных лазерного комплекса обсерватории в г. Грассе (на юге Франции) практически соответствует полученному там экспериментальному значению.

Наряду с решением основной задачи получена в качестве побочного результата формула для коэффициента поглощения мощности лазерного излучения элементом оптической системы, выраженная в терминах четырех безразмерных параметров: относительной интенсивности лазерного излучения, относительной освещенности ЭОС, относительного коэффициента теплоотдачи от ЭОСк окружающему его воздуху и относительной установившейся температуры ЭОС.

Для интерпретации данных измерений астрофизических прецизионных инструментов нового поколения разработан аппарат численно-аналитического моделирования характеристик распространения электромагнитных волн в хаотической космической плазме с учетом эффектов гравитации. Задача распространения волн в искривленном (римановом) пространстве решена в евклидовом пространстве путем введения эффективного показателя преломления вакуума, выраженного через потенциал тяготения. Задавая различные модели плотности распределения массы астрофизических объектов и решая уравнение Пуассона, можно рассчитать гравитационный потенциал и вычислить эффективный показатель преломления вакуума. В предположении аддитивности вкладов различных объектов в общее гравитационное поле предложена приближенная модель эффективного показателя преломления. Считая пространственные масштабы показателя преломления много больше длины волны, расчет характеристик электромагнитных волн в поле тяготения астрофизических объектов проводится в приближении геометрической оптики. В основу численно-аналитического аппарата моделирования траекторных характеристик волн положены лучевые дифференциальные уравнения в форме Эйлера. Хаотические неоднородности космической плазмы заданы моделью пространственной корреляционной функции показателя преломления. Расчеты рефракционного рассеяния волн выполнены в приближении метода возмущений. Получены интегральные выражения для статистических моментов боковых отклонений лучей в картинной плоскости наблюдателя. С помощью аналитических преобразований интегралы для моментов сведены к системе обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка для совместного численного расчета средних и среднеквадратичных отклонений лучей. Приведены результаты численно-аналитического моделирования траекторной картины распространения электромагнитных волн в межзвездной среде с учетом воздействий полей тяготения космических объектов и рефракционного рассеяния волн на неоднородностях показателя преломления окружающей плазмы. На основе результатов моделирования сделана количественная оценка условий стохастического замывания эффектов гравитационного линзирования электромагнитных волн в различных частотных диапазонах. Показано, что рабочие частоты метрового диапазона длин волн представляют собой условную низкочастотную границу для наблюдений эффекта гравитационного линзирования в стохастической космической плазме. Предложенный аппарат численно-аналитического моделирования можно использовать для анализа структуры электромагнитного излучения квазаров, прошедшего группу галактик.

Предложена математическая модель процесса получения биогаза из отходов животноводства. Разработан алгоритм идентификации параметров модели. Проведена оценка точности идентификации модели. Приведены результаты моделирования для периодического и непрерывного режимов подачи субстрата. Найдена оптимальная скорость подачи субстрата для непрерывного режима.

Известно, что скорость звука в средах, содержащих сильно сжимаемые включения, например воздушные поры в упругой среде или газовые пузырьки в жидкости, может существенно уменьшиться по сравнению с однородной средой. Эффективный нелинейный параметр такой среды, описывающий проявление нелинейных эффектов, возрастает в сотни и тысячи раз из-за большого различия сжимаемости включений и окружающей среды. Пространственное изменение концентрации таких включений приводит к переменной локальной скорости звука, что, в свою очередь, вызывает пространственно-временное перераспределение акустической энергии в волне и искажению ее временных профилей и поперечной структуры ограниченных пучков. В частности, могут образовываться области фокусировок. При определенных условиях возможно формирование звукового канала, обеспечивающего волноводное распространение акустических сигналов в среде с подобными включениями. Таким образом, возможно управление пространственно-временной структурой акустических волн с помощью введения сильно сжимаемых включений с заданным пространственным распределением и концентрацией. Целью работы является исследование распространения акустических волн в резиноподобном материале с неоднородным пространственным распределением воздушных полостей. Основной задачей является развитие адекватной теории таких структурно-неоднородных сред, теории распространения нелинейных акустических волн и пучков в этих средах, расчет акустических полей и выявление связи параметров среды и включений с характеристиками распространяющихся волн. В работе выведено эволюционное самосогласованное уравнение с интегро-дифференциальным членом, описывающее в низкочастотном приближении распространение интенсивных акустических пучков в среде с сильно сжимаемым полостями. В этом уравнении учтено вторичное акустическое поле, вызванное динамикой колебаний полостей. Развит метод, позволяющий получить точные аналитические решения для поля нелинейного акустического пучка на его оси и правильно рассчитать поле в фокальных областях. Полученные результаты применены для теоретического моделирования материала с неоднородным распределением сильно сжимаемых включений.