Все выпуски

В последней четверти ХХ века характер глобального демографического и экономического развития стал быстро изменяться: непрерывно ускорявшийся рост основных характеристик, имевший место на протяжении предыдущих двухсот лет, сменился на резкое их торможение. В условиях этих изменений возрастает роль долгосрочного прогноза мировой динамики. При этом прогноз должен основываться не на инерционном проецировании прошлых тенденций в будущие периоды, а на математическом моделировании фундаментальных закономерностей исторического развития. В статье изложены предварительные результаты исследований по математическому моделированию и прогнозированию мировой демографо-экономической динамики, основанные на таком подходе. Предложены базовые динамические уравнения, отражающие эту динамику, обоснована модификация этих уравнений применительно к разным историческим эпохам. Для каждой исторической эпохи на основе анализа соответствующей ей системы уравнений определялся фазовый портрет и проводился анализ его особенностей. На основе этого анализа делались выводы о закономерностях мирового развития в рассматриваемый период.

Показано, что для моделирования исторической динамики важным является математическое описание развития технологий. Предложен способ описания технологической динамики, на основе которого предложены соответствующие математические уравнения.

Рассмотрены три стадии исторического развития: стадия аграрного общества (до начала XIX века), стадия индустриального общества (XIX–ХХ века) и современная эпоха. Предложенная математическая модель показывает, что для аграрного общества характерна циклическая демографо-экономическая динамика, в то время как для индустриального общества характерен рост демографических и экономических характеристик, близкий к гиперболическому.

Результаты математического моделирования показали, что человечество в настоящее время переходит на принципиально новую фазу исторического развития. Происходит торможение роста и переход человеческого общества в новое фазовое состояние, облик которого еще не определен. Рассмотрены различные варианты дальнейшего развития.

В данной работе представлены результаты моделирования круговорота кальция в лесных экосистемах. Кальций является одним из основных элементов минерального питания растений, регулирующим разные метаболические процессы. Его недостаток вызывает нарушения роста тканей растений. Увеличение дефицита кальция в лесных экосистемах появляется вследствие усиления кислотной нагрузки или отчуждения биомассы при вырубках. Модель представляет собой описание круговорота на основе потока вещества между пулами, включая подробное описание почвенной части круговорота – трансформация и минерализация подстилки и др. Для калибровки модели использовались экспериментальные данные по еловым лесам Болгарии.

Проведение эффективной региональной политики с целью стабилизации производства невозможно без анализа динамики протекающих экономических процессов. Данная статья посвящена разработке математической модели, отражающей взаимодействие нескольких экономических агентов с учетом их интересов. Разработка такой модели и ее исследование может рассматриваться в качестве важного шага в решении теоретических и практических проблем управления экономическим ростом.

Для исследования динамики неоднородной полинуклеотидной цепочки ДНК была использована упрощенная Y-модель с нулевым диссипативным членом. На основе этой модели с помощью численных методов были проведены расчеты, демонстрирующие поведение нелинейного конформационного возмущения (кинка), распространяющегося вдоль неоднородной полинуклеотидной цепи, состоящей из двух разных однородных последовательностей нуклеотидов. Как показал численный анализ, нелинейное возмущение в виде кинка, распространяющееся вдоль рассматриваемой модельной молекулы ДНК, может вести себя тремя разными способами. При достижении границы между двумя однородными последовательностями, состоящими из разных типов оснований, кинк может: а) отразиться, б) пройти границу с ускорением (увеличить скорость), в) пройти границу с замедлением (уменьшить скорость).

В работе исследуется стохастическая динамика двумерной модели Хиндмарш–Розе в параметрической зоне сосуществования устойчивых равновесий и предельных циклов. Изучается явление индуцированных шумом переходов между аттракторами. Под воздействием случайных возмущений равновесные и периодические режимы объединяются в пачечные: система демонстрирует чередование малых колебаний около равновесия с осцилляциями больших амплитуд. Проводится анализ этого эффекта с помощью техники функций стохастической чувствительности и предлагается метод оценки критических значений интенсивности шума.

Проведено компьютерное моделирование динамики нагрева воздушной фурмы доменной печи с помощью вычислительной среды конечно-элементного анализа DEFORM-2D. Исследовано влияние теплоизолирующей вставки, установленной в дутьевой канал с воздушным зазором и без зазора, а также газотермического покрытия на температурное поле воздушной фурмы доменной печи. Результаты моделирования показали значительное влияние теплоизолирующей вставки в дутьевой канал и воздушного зазора, отделяющего ее от внутреннего стакана, на температурное поле фурмы. При наличии вставки наблюдается градиент температуры по ее толщине до 540–555 °С, причем максимального значения температура вставки достигает на поверхности со стороны дутьевого канала. В то же время температура внутреннего стакана снижается на 35–40 °С по сравнению с фурмой без вставки. При наличии вставки с воздушным зазором градиент температуры вставки по ее толщине снижается до 160–250 °С по сравнению с вариантом без воздушного зазора, причем максимальное значение температуры поверхности вставки со стороны дутьевого канала также увеличивается. Температура внутреннего стакана также снижается еще на 15–20 °С по сравнению с вариантом без воздушного зазора. Однако наблюдается резкий градиент температуры воздушного зазора по его толщине до 760 °С из-за низкой теплопроводности воздуха. При наличии газотермического покрытия максимальная температура нагрева торца рыльной части снизилась до 326 °С, а максимальный градиент температуры по его толщине также снизился до 67 °С по сравнению с вариантом без покрытия. С помощью программного комплекса DEFORM-2D создана модель, имитирующая прогар фурмы вследствие контака с жидким чугуном. Показано, что через 40 с контакта с чугуном температура на поверхности рыльной части со стороны воды достигает 1050 °С, а через 100 с — 1060 °С, что практически равносильно прогару.

Известно, что скорость звука в средах, содержащих сильно сжимаемые включения, например воздушные поры в упругой среде или газовые пузырьки в жидкости, может существенно уменьшиться по сравнению с однородной средой. Эффективный нелинейный параметр такой среды, описывающий проявление нелинейных эффектов, возрастает в сотни и тысячи раз из-за большого различия сжимаемости включений и окружающей среды. Пространственное изменение концентрации таких включений приводит к переменной локальной скорости звука, что, в свою очередь, вызывает пространственно-временное перераспределение акустической энергии в волне и искажению ее временных профилей и поперечной структуры ограниченных пучков. В частности, могут образовываться области фокусировок. При определенных условиях возможно формирование звукового канала, обеспечивающего волноводное распространение акустических сигналов в среде с подобными включениями. Таким образом, возможно управление пространственно-временной структурой акустических волн с помощью введения сильно сжимаемых включений с заданным пространственным распределением и концентрацией. Целью работы является исследование распространения акустических волн в резиноподобном материале с неоднородным пространственным распределением воздушных полостей. Основной задачей является развитие адекватной теории таких структурно-неоднородных сред, теории распространения нелинейных акустических волн и пучков в этих средах, расчет акустических полей и выявление связи параметров среды и включений с характеристиками распространяющихся волн. В работе выведено эволюционное самосогласованное уравнение с интегро-дифференциальным членом, описывающее в низкочастотном приближении распространение интенсивных акустических пучков в среде с сильно сжимаемым полостями. В этом уравнении учтено вторичное акустическое поле, вызванное динамикой колебаний полостей. Развит метод, позволяющий получить точные аналитические решения для поля нелинейного акустического пучка на его оси и правильно рассчитать поле в фокальных областях. Полученные результаты применены для теоретического моделирования материала с неоднородным распределением сильно сжимаемых включений.

Проблема видового разнообразия является предметом постоянного внимания со стороны биологов и экологов. Она исследуется и в моделях сообществ. Принцип конкурентного исключения имеет прямое отношение к этой проблеме. Он означает невозможность сосуществования в сообществе видов, когда их количество превосходит число влияющих взаимно независимых факторов. Известный советский микробиолог Г. Ф. Гаузе высказал и экспериментально обосновал схожий принцип о том, что каждый вид имеет свою собственную экологическую нишу и никакие два разных вида не могут занять одну и ту же экологическую нишу. Если под влияющими факторами понимать плотностнозависимые контролирующие рост факторы и экологическую нишу описывать с помощью этих факторов, то принцип Гаузе и принцип конкурентного исключения, по сути, идентичны. К настоящему времени известны многие примеры нарушения этого принципа в природных системах. Одним из таких примеров является сообщество видов планктона, сосуществующих на ограниченном пространстве с небольшим числом влияющих факторов. В современной экологии данный парадокс известен как парадокс планктона или парадокс Хатчинсона. Объяснения этому варьируют от неточного выявления набора факторов до различных видов пространственной и временной неоднородностей. Для двухвидового сообщества с одним фактором влияния с нелинейными функциями роста и смертности доказана возможность устойчивого сосуществования видов. В этой работе рассматриваются ситуации нелинейности и пространственной неоднородности в двухвидовом сообществе с одним фактором влияния. Показано, что при нелинейных зависимостях от плотности популяции устойчивое стационарное сосуществование видов возможно в широком диапазоне изменения параметров. Пространственная неоднородность способствует нарушению принципа конкурентного исключения и в случаях неустойчивости стационарного состояния по Тьюрингу. В соответствии с общей теорией возникают квазистационарные устойчивые структуры сосуществования двух видов при одном влияющем факторе. В работе показано, что неустойчивость по Тьюрингу возможна, если хотя бы один из видов оказывает положительное влияние на фактор. Нелинейность модели по фазовым переменным и ее пространственная распределенность порождают нарушения принципа конкурентного исключения (и принципа Гаузе) как в виде устойчивых пространственно-однородных состояний, так и в виде квазиустойчивых пространственно-неоднородных структур при неустойчивом стационарном состоянии сообщества.

В работе рассматривается модель «хищник – жертва» с учетом конкуренции жертв, хищников за отличные от жертвы ресурсы и их взаимодействия, описываемого трофической функцией Холлинга второго типа. Проводится анализ аттракторов модели в зависимости от коэффициента конкуренции хищников. В детерминированном случае данная модель демонстрирует сложное поведение, связанное с локальными (Андронова–Хопфа и седлоузловая) и глобальной (рождение цикла из петли сепаратрисы) бифуркациями. Важной особенностью этой модели является исчезновение устойчивого цикла вследствие седлоузловой бифуркации. В силу наличия внутривидовой конкуренции в обеих популяциях возникают параметрические зоны моно- и бистабильности. В зоне параметров бистабильности система имеет сосуществующие аттракторы: два равновесия или цикл и равновесие. Проводится исследование геометрического расположения аттракторов и сепаратрис, разделяющих их бассейны притяжения. Понимание взаимного расположения аттракторов и сепаратрис, в совокупности с чувствительностью аттракторов к случайным воздействиям, является важной составляющей в изучении стохастических явлений. В рассматриваемой модели сочетание нелинейности и случайных возмущений приводит к появлению новых феноменов, не имеющих аналогов в детерминированном случае, таких как индуцированные шумом переходы через сепаратрису, стохастическая возбудимость и генерация осцилляций смешанных мод. Для параметрического исследования этих феноменов используются аппарат функции стохастической чувствительности и метод доверительных областей, эффективность которых проверялась на широком круге моделей нелинейной динамики. В зонах бистабильности проводится исследование деформации равновесного или осцилляционного режимов под действием шума. Геометрическим критерием возникновения такого рода качественных изменений служит пересечение доверительных областей с сепаратрисой детерминированной модели. В зоне моностабильности изучаются феномены резкого изменения численности и вымирания одной или обеих популяций при малых изменениях внешних условий. С помощью аппарата доверительных областей решается задача оценки близости стохастической популяции к опасным границам, при достижении которых сосуществование популяций разрушается и наблюдается их вымирание.

Методами математического моделирования оценивается спектр влияния зоопланктона на динамику обилия фитопланктона. Предложена трехкомпонентная модель сообщества «фитопланктон–зоопланктон» с дискретным временем, рассматривающая неоднородность зоопланктона по стадии развития и типу питания, учтено наличие каннибализма в сообществе зоопланктона, в процессе которого зрелые особи некоторых его видов поедают ювенильных. Процессы взаимодействия зоо- и фитопланктона в явном виде учтены в выживаемостях на ранних стадиях жизненного цикла зоопланктона; а также явно рассматривается убыль фитопланктона в результате выедания его биомассы зоопланктоном; используется трофическая функция Холлинга II типа для описания насыщения при потреблении биомассы. Динамика фитопланктонного сообщества представлена уравнением Рикера, что позволяет неявно учитывать ограничение роста биомассы фитопланктона доступностью внешних ресурсов (минерального питания, кислорода, освещенности и т. п.).

Проанализированы сценарии перехода от стационарной динамики к колебаниям численности фито- и зоопланктона при различных значениях внутрипопуляционных параметров, определяющих характер динамики каждого из составляющих сообщество видов, и параметров их взаимодействия. Основное внимание уделено изучению огромного разнообразия сложной динамики сообщества. В рамках используемой в работе модели, описывающей динамику фитопланктона в отсутствие межвидового взаимодействия, происходит усложнение его динамики через серию бифуркаций удвоения периода. При этом с появлением зоопланктона каскад бифуркаций удвоения периода у фитопланктона и сообщества в целом реализуется раньше (при более низких скоростях воспроизводства клеток фитопланктона), чем в случае, когда фитопланктон развивается изолированно. При этом вариация уровня каннибализма зоопланктона способна значительно изменить как существующий в сообществе режим динамики, так и его бифуркацию; при определенной структуре пищевых отношений зоопланктона возможна реализация сценария Неймарка–Сакера в сообществе. Учитывая, что уровень каннибализма зоопланктона может меняться из-за естественных процессов созревания особей отдельных видов и достижения ими плотоядной стадии, можно ожидать выраженные изменения динамического режима в сообществе: резкие переходы от регулярной к квазипериодической динамике (по сценарию Неймарка–Сакера) и далее к точным циклам с небольшим периодом (обратная реализация каскада удвоения периода).