Все выпуски

Рассматривается подход к построению методов решения задачи квадратичного программирования для расчета направления спуска в ньютоновских методах минимизации гладкой функции на множестве, заданном набором линейных равенств. Подход состоит из двух этапов.

На первом этапе задача квадратичного программирования преобразуется численно устойчивым прямым мультипликативным алгоритмом в эквивалентную задачу о проектировании начала координат на линейное многообразие, что определяет новую математическую формулировку двойственной квадратичной задачи. Для этого предложен численно устойчивый прямой мультипликативный метод решения систем линейных уравнений, учитывающий разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в расчете модифицированных факторов Холесского для построения существенно положительно определенной матрицы системы уравнений и ее решения в рамках одной процедуры, а также в возможности минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов. Причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных.

На втором этапе необходимые и достаточные условия оптимальности в форме Куна–Таккера определяют расчет направления спуска — решение двойственной квадратичной задачи сводится к решению системы линейных уравнений с симметричной положительно определенной матрицей коэффициентов для расчета множителей Лагранжа и к подстановке решения в формулу для расчета направления спуска.

Доказано, что предложенный подход к расчету направления спуска численно устойчивыми прямыми мультипликативными методами на одной итерации требует по кубическому закону меньше вычислений, чем одна итерация по сравнению с известным двойственным методом Гилла и Мюррея. Кроме того, предложенный метод допускает организацию вычислительного процесса с любой начальной точки, которую пользователь выберет в качестве исходного приближения решения.

Представлены варианты постановки задачи о проектировании начала координат на линейное многообразие, выпуклый многогранник и вершину выпуклого многогранника. Также описаны взаимосвязь и реализация методов решения этих задач.

В данной работе рассматривается возможность применения концепции $(\delta, L)$-модели функции для оптимизационных задач, в которых посредством решения прямой задачи имеется необходимость восстанавливать решение двойственной задачи. Концепция $(\delta, L)$-модели основана на концепции $(\delta, L)$-оракула, предложенной Деволдером–Глинером–Нестеровым, при этом данные авторы предложили фукнционалы в оптимизационных задачах аппроксимировать сверху выпуклой параболой с некоторым аддитивным шумом $\delta$; таким образом, им удалось получить квадратичные верхние оценки с шумом даже для негладких функционалов. Концепция $(\delta, L)$-модели продолжает эту идею за счет того, что аппроксимация сверху делается не выпуклой параболой, а некоторым более сложным выпуклым функционалом. Возможность восстанавливать решение двойственной задачи хорошо зарекомендовала себя, так как во многих случаях в прямой задаче можно значительно быстрее находить решение, чем в двойственной. Отметим, что прямо-двойственные методы хорошо изучены, но при этом, как правило, каждый метод предлагается под конкретный класс задач. Наша же цель — предложить метод, который бы включал в себя сразу различные методы. Это реализуется за счет использования концепции $(\delta, L)$-модели и адаптивной структуры наших методов. Таким образом, нам удалось получить прямо-двойственный адаптивный градиентный метод и быстрый градиентный метод с $(\delta, L)$-моделью и доказать оценки сходимости для них, причем для некоторых классов задач данные оценки являются оптимальными. Основная идея заключается в том, что нахождение двойственных решений происходит относительно оптимизационной задачи, которая аппроксимируют прямую с помощью концепции $(\delta, L)$-модели и имеет более простую структуру, поэтому находить двойственное решение у нее проще. Стоит отметить, что это происходит на каждом шаге работы оптимизационного метода; таким образом, реализуется принцип «разделяй и властвуй».

Работа посвящена численному решению задачи о движении тепловой волны для вырождающегося нелинейного уравнения второго порядка параболического типа с источником. Нелинейность уравнения обусловлена степенной зависимостью коэффициента теплопроводности от температуры. Рассматривается задача для случая двух пространственных переменных при краевом условии, задающем закон движения фронта тепловой волны. Предложен новый алгоритм решения на основе разложения по радиальным базисным функциям и метода граничных элементов. Решение строится по шагам по времени с разностной аппроксимацией по времени. На каждом шаге решается краевая задача для уравнения Пуассона, соответствующего исходному уравнению для фиксированного момента времени. Решение такой задачи строится итерационно в виде суммы частного решения, удовлетворяющего неоднородному уравнению, и решения соответствующего однородного уравнения, удовлетворяющего граничным условиям. Однородное уравнение решается методом граничных элементов, частное решение ищется методом коллокаций с помощью разложения неоднородности по радиальным базисным функциям. Вычислительный алгоритм оптимизирован за счет распараллеливания вычислений. Алгоритм реализован в виде программы, написанной на языке программирования С++. Организация параллельных вычислений построена с использованием открытого стандарта OpenCL, что позволило запускать одну и ту же программу, выполняющую параллельные вычисления, как на центральных многоядерных процессорах, так и на графических процессорах. Для оценки эффективности предложенного метода решения и корректности разработанной вычислительной технологии были решены тестовые примеры. Результаты расчетов сравнивались как с известными точными решениями, так и с данными, полученными авторами ранее в других работах. Проведена оценка точности решений и времени проведения расчетов. Проведен анализ эффективности использования различных систем радиальных базисных функций для решения задач рассматриваемого типа. Определена наиболее подходящая система функций. Проведенный комплексный вычислительный эксперимент показал более высокую точность расчетов по предложенному новому алгоритму по сравнению с разработанным ранее.

Рассматривается прямой алгоритм решения задачи линейного программирования (ЛП), заданной в каноническом виде. Алгоритм состоит из двух последовательных этапов, на которых прямым методом решаются приведенные ниже задачи ЛП: невырожденная вспомогательная задача (на первом этапе) и некоторая задача, равносильная исходной (на втором). В основе построения вспомогательной задачи лежит мультипликативный вариант метода исключения Гаусса, в самой структуре которого заложены возможности: идентификации несовместности и линейной зависимости ограничений; идентификации переменных, оптимальные значения которых заведомо равны нулю; фактического исключения прямых переменных и сокращения размерности пространства, в котором определено решение исходной задачи. В процессе фактического исключения переменных алгоритм генерирует последовательность мультипликаторов, главные строки которых формируют матрицу ограничений вспомогательной задачи, причем возможность минимизация заполнения главных строк мультипликаторов заложена в самой структуре прямых методов. При этом отсутствует необходимость передачи информации (базис, план и оптимальное значение целевой функции) на второй этап алгоритма и применения одного из способов устранения зацикливания для гарантии конечной сходимости.

Представлены два варианта алгоритма решения вспомогательной задачи в сопряженной канонической форме. Первый основан на ее решении прямым алгоритмом в терминах симплекс-метода, а второй — на решении задачи, двойственной к ней, симплекс-методом. Показано, что оба варианта алгоритма для одинаковых исходных данных (входов) генерируют одинаковую последовательность точек: базисное решение и текущее двойственное решение вектора оценок строк. Отсюда сделан вывод, что прямой алгоритм — это алгоритм типа симплекс-метода. Также показано, что сравнение вычислительных схем приводит к выводу, что прямой алгоритм позволяет уменьшить по кубическому закону число арифметических операций, необходимых для решения вспомогательной задачи, по сравнению с симплекс-методом. Приводится оценка числа итераций.