Все выпуски
- 2024 Том 16
- 2023 Том 15
- 2022 Том 14
- 2021 Том 13
- 2020 Том 12
- 2019 Том 11
- 2018 Том 10
- 2017 Том 9
- 2016 Том 8
- 2015 Том 7
- 2014 Том 6
- 2013 Том 5
- 2012 Том 4
- 2011 Том 3
- 2010 Том 2
- 2009 Том 1
-
Прямые мультипликативные методы для разреженных матриц. Линейное программирование
Компьютерные исследования и моделирование, 2017, т. 9, № 2, с. 143-165Просмотров за год: 10. Цитирований: 2 (РИНЦ).Мультипликативные методы для разреженных матриц являются наиболее приспособленными для снижения трудоемкости операций решения систем линейных уравнений, выполняемых на каждой итерации симплекс-метода. Матрицы ограничений в этих задачах слабо заполнены ненулевыми элементами, что позволяет получать мультипликаторы, главные столбцы которых также разрежены, а операция умножения вектора на мультипликатор по трудоемкости пропорциональна числу ненулевых элементов этого мультипликатора. Кроме того, при переходе к смежному базису мультипликативное представление достаточно легко корректируется. Для повышения эффективности таких методов требуется уменьшение заполненности мультипликативного представления ненулевыми элементами. Однако на каждой итерации алгоритма к последовательности мультипликаторов добавляется еще один. А трудоемкость умножения, которая линейно зависит от длины последовательности, растет. Поэтому требуется выполнять время от времени перевычисление обратной матрицы, получая ее из единичной. Однако в целом проблема не решается. Кроме того, набор мультипликаторов представляет собой последовательность структур, причем размер этой последовательности неудобно велик и точно неизвестен. Мультипликативные методы не учитывают фактора высокой степени разреженности исходных матриц и ограничения-равенства, требуют определения первоначального базисного допустимого решения задачи и, как следствие, не допускают сокращения размерности задачи линейного программирования и регулярной процедуры сжатия — уменьшения размерности мультипликаторов и исключения ненулевых элементов из всех главных столбцов мультипликаторов, полученных на предыдущих итерациях. Таким образом, разработка численных методов решения задач линейного программирования, позволяющих преодолеть или существенно ослабить недостатки схем реализации симплекс-метода, относится к актуальным проблемам вычислительной математики.
В данной работе рассмотрен подход к построению численно устойчивых прямых мультипликативных методов решения задач линейного программирования, учитывающих разреженность матриц, представленных в упакованном виде. Преимущество подхода состоит в уменьшении размерности и минимизации заполнения главных строк мультипликаторов без потери точности результатов, причем изменения в позиции очередной обрабатываемой строки матрицы не вносятся, что позволяет использовать статические форматы хранения данных.
В качестве прямого продолжения данной работы в основу построения прямого мультипликативного алгоритма задания направления спуска в ньютоновских методах безусловной оптимизации предлагается положить модификацию прямого мультипликативного метода линейного программирования путем интеграции одной из существующих техник построения существенно положительно-определенной матрицы вторых производных.
-
Компьютерное исследование полиномиальных решений уравнений динамики гиростата
Компьютерные исследования и моделирование, 2018, т. 10, № 1, с. 7-25Просмотров за год: 15.В работе исследуются полиномиальные решения уравнений движения гиростата под действием потенциальных и гироскопических сил и уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. В математической постановке каждая из указанных задач описывается системой нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений, правые части которых содержат пятнадцать постоянных параметров, характеризующих распределение масс гиростата, потенциальные и непотенциальные силы, действующие на гиростат. Рассмотрены полиномиальные решения двух классов: Стеклова–Ковалевского–Горячева и Докшевича. Структура инвариантных соотношений для полиномиальных решений показывает, что, как правило, к указанным выше пятнадцати параметрам добавляется еще не менее двадцати пяти параметров задачи. При решении такой многопараметрической задачи в статье наряду с аналитическими методами применяются численные методы, основанные на вычислительных математических пакетах. Исследование условий существования полиномиальных решений проведено в два этапа. На первом этапе выполнена оценка максимальных степеней рассмотренных полиномов и получена нелинейная алгебраическая система на параметры дифференциальных уравнений и полиномиальных решений. На втором этапе с помощью компьютерных вычислений исследованы условия разрешимости полученных систем и изучены условия действительности построенных решений.
Для уравнений Кирхгофа–Пуассона построены два новых полиномиальных решения. Первое решение характеризуется следующим свойством: квадраты проекций угловой скорости на небарецентрические оси являются многочленами пятой степени от компоненты вектора угловой скорости на барецентрическую ось, которая выражается в виде гиперэллиптической функции времени. Второе решение характеризуется тем, что первая компонента угловой скорости является многочленом второго порядка, вторая компонента—многочленом третьего порядка, квадрат третьей компоненты—многочленом шестого порядка по вспомогательной переменной, которая является обращением эллиптического интеграла Лежандра.
Третье решение построено для уравнений движения гиростата в магнитном поле с учетом эффекта Барнетта–Лондона. Для него структура такова: первая и вторая компоненты вектора угловой скорости—многочлены второй степени, квадрат третьей компоненты—многочлен четвертой степени по вспомогательной переменной, которая находится обращением эллиптического интеграла Лежандра.
Все построенные решения не имеют аналогов в динамике твердого тела с неподвижной точкой.
Журнал индексируется в Scopus
Полнотекстовая версия журнала доступна также на сайте научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU
Журнал входит в систему Российского индекса научного цитирования.
Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science
Международная Междисциплинарная Конференция "Математика. Компьютер. Образование"