Текущий выпуск Номер 6, 2025 Том 17

Все выпуски

[ Switch to English ]

Применение метода компьютерной аналогии для решения сложных нелинейных систем дифференциальных уравнений

Аристов В.В., Музыка А.А., Строганов А.В.
 pdf (670K)

В работе развивается предложенный ранее метод компьютерной аналогии (МКА), основанный на формализации операций цифрового компьютера. Обсуждается место предлагаемого подхода среди известных методов. Подчеркивается, что целью является получение именно аналитических представлений решений, хотя пока в ряде случаев приходится ограничиться полуаналитическими аппроксимациями. Подробно изучается способ построения решений для уравнения Ван дер Поля (сводящегося к нелинейной системе дифференциальных уравнений), для систем Лоренца, Мариока – Шимицу и Рёсслера. Для трех последних нелинейных систем рассматриваются параметры, при которых решения демонстрируют черты детерминистического хаоса. Строятся полуаналитические решения, основанные на представлении решения в виде отрезка сходящегося степенного ряда по шагу независимой переменной при использовании аппроксимирующих разностных схем. Для предотвращения переполнения применяется формализованная операция переноса разрядов. Для перехода на следующий шаг по независимой переменной используется сходящаяся к решению разностная схема, называемая руководящей. Таким образом, получаемая аппроксимация суммой всего с несколькими членами обеспечивает приближение к решению с любой точностью в соответствии с точностью руководящей разностной схемы. Старшие разряды в получаемом приближении обнаруживают вероятностные свойства, которые удается моделировать известными распределениями, что приводит к получению аналитических и полуаналитических аппроксимаций. В работе представлены линейные приближения, являющиеся основой для полных приближений решений и дающие важные качественные, а также некоторые количественные свойства решений. Описываются аппроксимации различного порядка, в том числе и не гарантирующие сходимости к точному решению, но упрощающие анализ определенных свойств решения нелинейных уравнений и систем. В частности, для уравнения Ван дер Поля показывается, что соответствующая ему система уравнений имеет циклическое решение, а также оценивается его масштаб. С помощью модификаций МКА (с некоторыми чертами метода Монте-Карло), в которых удается свернуть рекуррентные последовательности, построены полные решения в простых ситуациях. Упоминается перспективный подход, позволяющий представлять решение с помощью ветвящихся цепных дробей.

Ключевые слова: метод компьютерной аналогии, решение дифференциальных уравнений, задача Коши, решение систем дифференциальных уравнений, уравнение Ван дер Поля, система Лоренца, система Мариока – Шимицу, система Рёсслера
Цитата: Аристов В.В., Музыка А.А., Строганов А.В. Применение метода компьютерной аналогии для решения сложных нелинейных систем дифференциальных уравнений // Компьютерные исследования и моделирование, 2025, т. 17, № 6, с. 1083-1104
Citation in English: Aristov V.V., Muzyka A.A., Stroganov A.V. Application of the computer analogy method for solving complex nonlinear systems of differential equations // Computer Research and Modeling, 2025, vol. 17, no. 6, pp. 1083-1104
DOI: 10.20537/2076-7633-2025-17-6-1083-1104
URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/3668/
Creative Commons License Статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported License.

Copyright © 2025 Аристов В.В., Музыка А.А., Строганов А.В.

Журнал индексируется в Scopus

Полнотекстовая версия журнала доступна также на сайте научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU

Журнал входит в систему  Российского индекса научного цитирования.

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Международная Междисциплинарная Конференция "Математика. Компьютер. Образование"

Международная Междисциплинарная Конференция МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ.

Website Copyright © 2009–2025 Институт компьютерных исследований