Все выпуски

[ Switch to English ]

Применение градиентных методов оптимизации для решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца

Плетнев Н.В., Двуреченский П.Е., Гасников А.В.
 pdf (2062K)

Статья посвящена изучению применения методов выпуклой оптимизации для решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца, которая является некорректной, поскольку уравнение относится к эллиптическому типу. Задача Коши формулируется как обратная задача и сводится к задаче выпуклой оптимизации в гильбертовом пространстве. Оптимизируемый функционал и его градиент вычисляются с помощью решения краевых задач, которые, в свою очередь, корректны и могут быть приближенно решены стандартными численными методами, такими как конечно-разностные схемы и разложения в ряды Фурье. Экспериментально исследуются сходимость применяемого быстрого градиентного метода и качество получаемого таким образом решения. Эксперимент показывает, что ускоренный градиентный метод — метод подобных треугольников — сходится быстрее, чем неускоренный метод. Сформулированы и доказаны теоремы о вычислительной сложности полученных алгоритмов. Установлено, что разложения в ряды Фурье превосходят конечно-разностные схемы по скорости вычислений и улучшают качество получаемого решения. Сделана попытка использовать рестарты метода подобных треугольников после уменьшения невязки функционала вдвое. В этом случае сходимость не улучшается, что подтверждает отсутствие сильной выпуклости. Эксперименты показывают, что неточность вычислений более адекватно описывается аддитивной концепцией шума в оракуле первого порядка. Этот фактор ограничивает достижимое качество решения, но ошибка не накапливается. Полученные результаты показывают, что использование ускоренных градиентных методов оптимизации позволяет эффективно решать обратные задачи.

Ключевые слова: обратные задачи, выпуклая оптимизация, оптимизация в гильбертовом пространстве, методы первого порядка, быстрые градиентные методы, неточный оракул
Цитата: Плетнев Н.В., Двуреченский П.Е., Гасников А.В. Применение градиентных методов оптимизации для решения задачи Коши для уравнения Гельмгольца // Компьютерные исследования и моделирование, 2022, т. 14, № 2, с. 417-444
Citation in English: Pletnev N.V., Dvurechensky P.E., Gasnikov A.V. Application of gradient optimization methods to solve the Cauchy problem for the Helmholtz equation // Computer Research and Modeling, 2022, vol. 14, no. 2, pp. 417-444
DOI: 10.20537/2076-7633-2022-14-2-417-444
URL: http://crm.ics.org.ru/journal/article/3192/
Creative Commons License Статья доступна по лицензии Creative Commons Attribution-NoDerivs 3.0 Unported License.

Журнал индексируется в Scopus

Полнотекстовая версия журнала доступна также на сайте научной электронной библиотеки eLIBRARY.RU

Журнал входит в систему  Российского индекса научного цитирования.

Журнал включен в базу данных Russian Science Citation Index (RSCI) на платформе Web of Science

Международная Междисциплинарная Конференция "Математика. Компьютер. Образование"

Международная Междисциплинарная Конференция МАТЕМАТИКА. КОМПЬЮТЕР. ОБРАЗОВАНИЕ.

Copyright © 2009–2025 Институт компьютерных исследований