Все выпуски

В работе изложена постановка и решение задачи о корректных условиях на границе, разделяющей подобласти, для гиперболических систем линейных уравнений. Алгоритм решения продемонстрирован на примере системы уравнений упругой динамики для двух пространственных переменных. Приведенный подход легко распространяется на системы линейных гиперболических уравнений первого порядка с произвольным числом пространственных переменных.

This paper presents definition and solution problem of correct conditions on the boundary, separating subdomains for hyperbolic linear equation systems. The solution algorithm is demonstrated by means of an example system of elastodynamic equations for two spatial variables. Stated approach can be easily expanded on systems of first-order linear hyperbolic equations with random number of spatial variables.

В работе рассматриваются результаты применения неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных эллиптических уравнений, возникающих при численном моделировании динамики несжимаемой вязкой жидкости. Исследование проводится на примере решения задачи о стационарном течении в плоской каверне с подвижной крышкой, сформулированной в естественных переменных ($u, \,v, \,p$) при больших значениях чисел Re (до 20 000) и сеточных разрешений (до 2049×2049). Демонстрируется высокая эффективность метода при расчете полей поправки давления. Анализируются проблемы решения задачи при больших числах Re.

In the paper the results of applying the implicit line-by-line recurrence method for solving of systems of elliptic difference equations, arising, in particular, at numerical simulation of dynamics of incompressible viscous fluid are considered. Research is conducted on the example of the problem about a steady-state two-dimensional lid-driven cavity flow formulated in primitive variables ($u,\, v,\, p$) for large Re (up to 20 000) and grids (up to 2049×2049). High efficiency of the method at calculation of a pressure correction fields is demonstrated. The difficulties of constructing a solution of the problem for large Rе are analyzed.

В настоящее время для численного моделирования начально-краевых задач для систем гиперболических уравнений в частных производных (например, уравнения газовой динамики, МГД, деформируемого твердого тела и т. д.) применяются различные нелинейные численные схемы пространственной аппроксимации. Это связано с необходимостью повышения порядка аппроксимации и расчета разрывных решений, часто возникающих в таких системах. Необходимость в нелинейных схемах связана с ограничением, следующим из теоремы С. К. Годунова о невозможности построения линейной схемы порядка больше первого для монотонной аппроксимации уравнений такого типа. Одними из наиболее точных нелинейных схем являются схемы типа ENO (существенно не осциллирующие схемы и их модификации), в том числе схемы WENO (взвешенные, существенно не осциллирующие схемы). Последние получили наибольшее распространение, поскольку при одинаковой ширине шаблона имеют более высокий порядок аппроксимации чем ENO-схемы. Плюсом ENO- и WENO-схем является сохранение высокого порядка аппроксимации на немонотонных участках решения. Исследование данных схем затруднительно в связи с тем, что сами схемы нелинейны и применяются для аппроксимации нелинейных уравнений. В частности, условие линейной устойчивости ранее было получено только для схемы WENO5 (пятого порядка аппроксимации на гладких решениях) и является приближенным. В настоящей работе рассматриваются вопросы построения и устойчивости схем WENO5, WENO7, WENO9, WENO11 и WENO13 для конечно-объемной схемы для уравнения Хопфа. В первой части статьи рассмотрены методы WENO в общем случае и приведены явные выражения для коэффициентов полиномов и весов линейных комбинаций, необходимых для построения схем. Доказывается ряд утверждений, позволяющих сделать выводы о порядках аппроксимации в зависимости от локального вида решения. Проводится анализ устойчивости на основе принципа замороженных коэффициентов. Рассматриваются случаи гладкого и разрывного поведения решения в области линеаризации при замороженных коэффициентах на гранях конечного объема и анализируется спектр схем для этих случаев. Доказываются условия линейной устойчивости для различных методов Рунге–Кутты при применении со схемами WENO. В результате приводятся рекомендации по выбору максимально возможного параметра устойчивости, которое наименьшим образом влияет на нелинейные свойства схем. Следуя полученным ограничениям, делается вывод о сходимости схем.

Currently, different nonlinear numerical schemes of the spatial approximation are used in numerical simulation of boundary value problems for hyperbolic systems of partial differential equations (e. g. gas dynamics equations, MHD, deformable rigid body, etc.). This is due to the need to improve the order of accuracy and perform simulation of discontinuous solutions that are often occurring in such systems. The need for non-linear schemes is followed from the barrier theorem of S. K. Godunov that states the impossibility of constructing a linear scheme for monotone approximation of such equations with approximation order two or greater. One of the most accurate non-linear type schemes are ENO (essentially non oscillating) and their modifications, including WENO (weighted, essentially non oscillating) scemes. The last received the most widespread, since the same stencil width has a higher order of approximation than the ENO scheme. The benefit of ENO and WENO schemes is the ability to maintain a high-order approximation to the areas of non-monotonic solutions. The main difficulty of the analysis of such schemes comes from the fact that they themselves are nonlinear and are used to approximate the nonlinear equations. In particular, the linear stability condition was obtained earlier only for WENO5 scheme (fifth-order approximation on smooth solutions) and it is a numerical one. In this paper we consider the problem of construction and stability for WENO5, WENO7, WENO9, WENO11, and WENO13 finite volume schemes for the Hopf equation. In the first part of this article we discuss WENO methods in general, and give the explicit expressions for the coefficients of the polynomial weights and linear combinations required to build these schemes. We prove a series of assertions that can make conclusions about the order of approximation depending on the type of local solutions. Stability analysis is carried out on the basis of the principle of frozen coefficients. The cases of a smooth and discontinuous behavior of solutions in the field of linearization with frozen coefficients on the faces of the final volume and spectra of the schemes are analyzed for these cases. We prove the linear stability conditions for a variety of Runge-Kutta methods applied to WENO schemes. As a result, our research provides guidance on choosing the best possible stability parameter, which has the smallest effect on the nonlinear properties of the schemes. The convergence of the schemes is followed from the analysis.

Работа посвящена теоретическому обоснованию неявного итерационного полинейного рекуррентного метода решения систем разностных уравнений, которые возникают при аппроксимации двумерных эллиптических дифференциальных уравнений на регулярной сетке. Высокая эффективность этого метода практически подтверждена при решении сложных тестовых задач, а также задач течения и теплообмена вязкой несжимаемой жидкости. Однако теоретические положения, объясняющие высокую скорость сходимости и устойчивость метода, до сих пор оставались за кадром внимания, что и послужило причиной проведения настоящего исследования. В работе подробно излагается процедура эквивалентных и приближенных преобразований исходной системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) как в матрично-векторной форме, так и виде расчетных формул метода. При этом для наглядности изложения материала ключевые моменты преобразований иллюстрируются схемами изменения разностных шаблонов, отвечающих преобразованным уравнениям. Конечная цель процедуры преобразований — получение канонической формы записи метода, из которого следует его корректность в случае сходимости решения. На основе анализа структур и элементных составов матричных операторов проводится оценка их норм и, соответственно, доказывается сходимость метода для произвольных начальных векторов.

В специальном случае слабых ограничений на искомое решение производится оценка нормы оператора перехода. Показывается, что с ростом размерности матрицы этого оператора величина его нормы уменьшается пропорционально квадрату (или кубу, в зависимости от версии метода) шага сеточного разбиения области решения задачи. С помощью простых оценок получено необходимое условие устойчивости метода. Также даются рекомендации относительно выбора по порядку величины оптимального итерационного параметра компенсации. Теоретические выводы проиллюстрированы результатами решения тестовых задач. Показано, что при увеличении размерности сеточного разбиения области решения количество итераций, необходимых для достижения заданной точности решения, при прочих равных условиях уменьшается. Также продемонстрировано, что если слабые ограничения на решение нарушены при выборе его начального приближения, то в полном соответствии с полученными теоретическими результатами скорость сходимости метода существенно уменьшается.

In the article a theory of the implicit iterative line-by-line recurrence method for solving the systems of finite-difference equations which arise as a result of approximation of the two-dimensional elliptic differential equations on a regular grid is stated. On the one hand, the high effectiveness of the method has confirmed in practice. Some complex test problems, as well as several problems of fluid flow and heat transfer of a viscous incompressible liquid, have solved with its use. On the other hand, the theoretical provisions that explain the high convergence rate of the method and its stability are not yet presented in the literature. This fact is the reason for the present investigation. In the paper, the procedure of equivalent and approximate transformations of the initial system of linear algebraic equations (SLAE) is described in detail. The transformations are presented in a matrix-vector form, as well as in the form of the computational formulas of the method. The key points of the transformations are illustrated by schemes of changing of the difference stencils that correspond to the transformed equations. The canonical form of the method is the goal of the transformation procedure. The correctness of the method follows from the canonical form in the case of the solution convergence. The estimation of norms of the matrix operators is carried out on the basis of analysis of structures and element sets of the corresponding matrices. As a result, the convergence of the method is proved for arbitrary initial vectors of the solution of the problem.

The norm of the transition matrix operator is estimated in the special case of weak restrictions on a desired solution. It is shown, that the value of this norm decreases proportionally to the second power (or third degree, it depends on the version of the method) of the grid step of the problem solution area in the case of transition matrix order increases. The necessary condition of the method stability is obtained by means of simple estimates of the vector of an approximate solution. Also, the estimate in order of magnitude of the optimum iterative compensation parameter is given. Theoretical conclusions are illustrated by using the solutions of the test problems. It is shown, that the number of the iterations required to achieve a given accuracy of the solution decreases if a grid size of the solution area increases. It is also demonstrated that if the weak restrictions on solution are violated in the choice of the initial approximation of the solution, then the rate of convergence of the method decreases essentially in full accordance with the deduced theoretical results.

Изучение физиологических и патофизиологических процессов, связанных с системой кровообращения, является на сегодняшний день актуальной темой многих исследований. В данной работе рассматривается ряд подходов к математическому моделированию кровотока, основанных на пространственном осреднении и/или использующих стационарное приближение. Обсуждаются допущения и предположения, ограничивающие область применения моделей такого рода. Приводятся наиболее распространенные математические постановки задач и кратко описываются методы их численного решения. В первой части обсуждаются модели, основанные на полном пространственном осреднении и/или использующие стационарное приближение. Один из наиболее распространенных на сегодняшний день подходов состоит в проведении аналогий между течением вязкой несжимаемой жидкости в эластичных трубках и электрическим током в цепи. Такие модели используются не только сами по себе, но и как способ постановки граничных условий в моделях, учитывающих одномерную или трехмерную пространственную зависимость переменных. Динамические, полностью осредненные по пространству модели позволяют описывать динамику кровотока на достаточно больших временных интервалах, равных длительности десятков сердечных циклов и более. Далее рассмотрены стационарные модели основанные как на полностью осредненном, так и на двухмерном подходе. Такие модели могут быть использованы для моделирования кровотока в микроциркуляторном русле. Во второй части обсуждаются модели, основанные на одномерном осреднении параметров кровотока. Преимущество данного подхода также состоит в невысоких, по сравнению с трехмерным моделированием, требованиях к вычислительным ресурсам и возможности охвата всех достаточно крупных кровеносных сосудов в организме. Модели данного типа позволяют рассчитывать параметры кровотока в каждом сосуде сосудистой сети, включенной в модель. Структура и параметры такой сети могут быть заданы как на основе данных литературы, так и с помощью методов сегментации медицинских данных. Основными и весьма существенными предположениями при выводе одномерных уравнений из уравнений Навье – Стокса с помощью асимптотического анализа или их интегрирования по объему являются радиальная симметрия течения и постоянство формы профиля скорости в поперечном сечении. Существующие в настоящее время работы, посвященные валидации одномерных моделей, их сравнению между собой и с данными клинических исследований, позволяют говорить об успешности данного подхода и подтверждают возможность его использования в медицинской практике. Одномерные модели позволяют описывать такие динамические явления, как распространение пульсовой волны и звуки Короткова. В этом приближении могут быть учтены такие факторы, как действие на кровоток силы тяжести, действие на стенки сосудов силы сжатия мышц, регуляторные и ауторегуляторные эффекты.

The study of the physiological and pathophysiological processes in the cardiovascular system is one of the important contemporary issues, which is addressed in many works. In this work, several approaches to the mathematical modelling of the blood flow are considered. They are based on the spatial order reduction and/or use a steady-state approach. Attention is paid to the discussion of the assumptions and suggestions, which are limiting the scope of such models. Some typical mathematical formulations are considered together with the brief review of their numerical implementation. In the first part, we discuss the models, which are based on the full spatial order reduction and/or use a steady-state approach. One of the most popular approaches exploits the analogy between the flow of the viscous fluid in the elastic tubes and the current in the electrical circuit. Such models can be used as an individual tool. They also used for the formulation of the boundary conditions in the models using one dimensional (1D) and three dimensional (3D) spatial coordinates. The use of the dynamical compartment models allows describing haemodynamics over an extended period (by order of tens of cardiac cycles and more). Then, the steady-state models are considered. They may use either total spatial reduction or two dimensional (2D) spatial coordinates. This approach is used for simulation the blood flow in the region of microcirculation. In the second part, we discuss the models, which are based on the spatial order reduction to the 1D coordinate. The models of this type require relatively small computational power relative to the 3D models. Within the scope of this approach, it is also possible to include all large vessels of the organism. The 1D models allow simulation of the haemodynamic parameters in every vessel, which is included in the model network. The structure and the parameters of such a network can be set according to the literature data. It also exists methods of medical data segmentation. The 1D models may be derived from the 3D Navier – Stokes equations either by asymptotic analysis or by integrating them over a volume. The major assumptions are symmetric flow and constant shape of the velocity profile over a cross-section. These assumptions are somewhat restrictive and arguable. Some of the current works paying attention to the 1D model’s validation, to the comparing different 1D models and the comparing 1D models with clinical data. The obtained results reveal acceptable accuracy. It allows concluding, that the 1D approach can be used in medical applications. 1D models allow describing several dynamical processes, such as pulse wave propagation, Korotkov’s tones. Some physiological conditions may be included in the 1D models: gravity force, muscles contraction force, regulation and autoregulation.

В данной статье, используя наш бифуркационно-геометрический подход, мы изучаем глобальную динамику и решаем проблему о максимальном числе и распределении предельных циклов (автоколебательных режимов, соответствующих состояниям динамического равновесия) в планарной полиномиальной механической системе типа Эйлера–Лагранжа–Льенара. Такие системы используются также для моделирования электротехнических, экологических, биомедицинских и других систем, что значительно облегчает исследование соответствующих реальных процессов и систем со сложной внутренней динамикой. Они используется, в частности, в механических системах с демпфированием и жесткостью. Существует ряд примеров технических систем, которые описываются с помощью квадратичного демпфирования в динамических моделях второго порядка. В робототехнике, например, квадратичное демпфирование появляется при управлении с прямой связью и в нелинейных устройствах, таких как приводы с переменным импедансом (сопротивлением). Приводы с переменным сопротивлением представляют особый интерес для совместной робототехники. Для исследования характера и расположения особых точек в фазовой плоскости полиномиальной системы Эйлера–Лагранжа–Льенара используется разработанный нами метод, смысл которого состоит в том, чтобы получить простейшую (хорошо известную) систему путем обращения в нуль некоторых параметров (обычно параметров, поворачивающих поле) исходной системы, а затем последовательно вводить эти параметры, изучая динамику особых точек в фазовой плоскости. Для исследования особых точек системы мы используем классические теоремы Пуанкаре об индексе, а также наш оригинальный геометрический подход, основанный на применении метода двух изоклин Еругина, что особенно эффективно при исследовании бесконечно удаленных особых точек. Используя полученную информацию об особых точках и применяя канонические системы с параметрами, поворачивающими векторное поле, а также используя геометрические свойства спиралей, заполняющих внутренние и внешние области предельных циклов, и применяя наш геометрический подход к качественному анализу, мы изучаем бифуркации предельных циклов рассматриваемой системы.

In this paper, using our bifurcation-geometric approach, we study global dynamics and solve the problem of the maximum number and distribution of limit cycles (self-oscillating regimes corresponding to states of dynamical equilibrium) in a planar polynomial mechanical system of the Euler–Lagrange–Liйnard type. Such systems are also used to model electrical, ecological, biomedical and other systems, which greatly facilitates the study of the corresponding real processes and systems with complex internal dynamics. They are used, in particular, in mechanical systems with damping and stiffness. There are a number of examples of technical systems that are described using quadratic damping in second-order dynamical models. In robotics, for example, quadratic damping appears in direct-coupled control and in nonlinear devices, such as variable impedance (resistance) actuators. Variable impedance actuators are of particular interest to collaborative robotics. To study the character and location of singular points in the phase plane of the Euler–Lagrange–Liйnard polynomial system, we use our method the meaning of which is to obtain the simplest (well-known) system by vanishing some parameters (usually, field rotation parameters) of the original system and then to enter sequentially these parameters studying the dynamics of singular points in the phase plane. To study the singular points of the system, we use the classical Poincarй index theorems, as well as our original geometric approach based on the application of the Erugin twoisocline method which is especially effective in the study of infinite singularities. Using the obtained information on the singular points and applying canonical systems with field rotation parameters, as well as using the geometric properties of the spirals filling the internal and external regions of the limit cycles and applying our geometric approach to qualitative analysis, we study limit cycle bifurcations of the system under consideration.

Представлена фрактальная система из тонких шарнирно соединенных пластинок, которая может быть изучена методами механики сплошной среды с внутренними степенями свободы. Конструкция является трансформирующейся: в начальном положении это практически одномерное многообразие малого диаметра, после развертки система занимает значительный объем. Геометрия сплошной среды исследуется методом подвижного репера. На основе уравнений структуры Картана выводятся соотношения, позволяющие определить геометрию введенных многообразий. В доказательствах существенно используется тот факт, что составляющие фрактал пластинки являются тонкими, а их длина мала по сравнению с габаритами системы. Изучается механика введенных сплошных сред, если шарниры между пластинками являются идеальными жесткопластическими и выполнены из материалов с памятью формы. Опираясь на теоремы о предельных нагрузках, вычисляются внутреннее давление, необходимое для развертывания пакета в объемную конструкцию, а также затраты тепла для возврата системы в первоначальное состояние.

The paper demonstrates a fractal system of thin plates connected with hinges. The system can be studied using the methods of mechanics of solids with internal degrees of freedom. The structure is deployable — initially it is close to a small diameter one-dimensional manifold that occupies significant volume after deployment. The geometry of solids is studied using the method of the moving hedron. The relations enabling to define the geometry of the introduced manifolds are derived based on the Cartan structure equations. The proof substantially makes use of the fact that the fractal consists of thin plates that are not long compared to the sizes of the system. The mechanics is described for the solids with rigid plastic hinges between the plates, when the hinges are made of shape memory material. Based on the ultimate load theorems, estimates are performed to specify internal pressure that is required to deploy the package into a three-dimensional structure, and heat input needed to return the system into its initial state.

В приближении однородной намагниченности построена математическая модель трехслойной ячейки памяти MRAM c осью анизотропии, расположенной перпендикулярно запоминающему ферромагнитному слою ячейки (перпендикулярная анизотропия). Предполагается, что первоначально намагниченность свободного слоя ячейки ориентирована вдоль оси анизотропии и соответствует состоянию «нуль». Одновременное мгновенное включение спин-поляризованного тока и магнитного поля воздействует на намагниченность свободного слоя и может перевести ее в противоположное положение, соответствующее состоянию «единица». Математическое описание эффекта основано на классическом векторном уравнении Ландау–Лифшица с диссипативным членом в форме Гильберта. В нашей модели учтены взаимодействия намагниченности с внешним магнитным полем и эффективными полями анизотропии и размагничивания, а также с током инжекции в форме Слончевского–Берже. Выведена система обыкновенных дифференциальных уравнений, описывающая динамику намагниченности в трехслойной вентильной структуре Co/Cu/Co в зависимости от управляющих параметров: величины тока инжекции и внешнего магнитного поля, параллельного оси анизотропии магнитных слоев. Показано, что при любых токах и полях система имеет два основных состояния равновесия, расположенных на оси, совпадающей с осью анизотропии. Установлено, что в данной системе, в отличие от системы с продольной анизотропией, дополнительные состояния равновесия отсутствуют. Проведен анализ устойчивости основных состояний равновесия по первому приближению. Построены бифуркационные диаграммы, характеризующие типы динамики вектора намагниченности свободного слоя. Проведена классификация фазовых портретов на единичной сфере в зависимости от управляющих параметров (тока и поля). Изучены особенности динамики вектора намагниченности в каждой из характерных областей бифуркационной диаграммы и численно, методом Рунге–Кутты, построены траектории переключения. Найдены комбинации управляющих параметров, при которых переключение невозможно. Найдены области существования устойчивых и неустойчивых предельных циклов системы. Аналитически определены значения пороговых токов переключения в зависимости от внешнего магнитного поля. Проведено сравнение значений порогового тока в моделях с продольной и перпендикулярной анизотропией при нулевом магнитном поле и показано, что в модели с перпендикулярной анизотропией ток переключения почти на порядок ниже, чем в модели с продольной анизотропией.

The mathematical model of a three-layered Co/Cu/Co nanopillar for MRAM cell with one fixed and one free layer was investigated in the approximation of uniformly distributed magnetization. The anisotropy axis is perpendicular to the layers (so-called perpendicular anisotropy). Initially the magnetization of the free layer is oriented along the anisotropy axis in the position accepted to be “zero”. Simultaneous magnetic field and spinpolarized current engaging can reorient the magnetization to another position which in this context can be accepted as “one”. The mathematical description of the effect is based on the classical vector Landau–Lifshits equation with the dissipative term in the Gilbert form. In our model we took into account the interactions of the magnetization with an external magnetic field and such effective magnetic fields as an anisotropy and demagnetization ones. The influence of the spin-polarized injection current is taken into account in the form of Sloczewski–Berger term. The model was reduced to the set of three ordinary differential equations with the first integral. It was shown that at any current and field the dynamical system has two main equilibrium states on the axis coincident with anisotropy axis. It was ascertained that in contrast with the longitudinal-anisotropy model, in the model with perpendicular anisotropy there are no other equilibrium states. The stability analysis of the main equilibrium states was performed. The bifurcation diagrams characterizing the magnetization dynamics at different values of the control parameters were built. The classification of the phase portraits on the unit sphere was performed. The features of the dynamics at different values of the parameters were studied and the conditions of the magnetization reorientation were determined. The trajectories of magnetization switching were calculated numerically using the Runge–Kutta method. The parameter values at which limit cycles exist were determined. The threshold values for the switching current were found analytically. The threshold values for the structures with longitudinal and perpendicular anisotropy were compared. It was established that in the structure with the perpendicular anisotropy at zero field the switching current is an order lower than in the structure with the longitudinal one.

Рассматривается известное эволюционное уравнение математической физики, которое в современной математической литературе принято называть уравнением Курамото–Сивашинского. В данной работе это уравнение изучается в первоначальной редакции авторов работ, где оно было предложено, вместе с однородными краевыми условиями Неймана. Изучен вопрос о существовании и устойчивости локальных аттракторов, сформированных пространственно-неоднородными решениями изучаемой краевой задачи. Данный вопрос стал особенно актуален в последнее время в связи с моделированием процесса формирования наноструктур на поверхности полупроводников под воздействием потока ионов или лазерного излучения.

Изучен вопрос о существовании и устойчивости состояний равновесия второго рода двумя различными способами. В первом из них использован метод Галёркина. Второй подход основан на использовании строго обоснованных методов теории динамических систем с бесконечномерным фазовым пространством: метод интегральных многообразий, теория нормальных форм, асимптотические методы.

В работе в целом повторен подход из известной работы Д. Армбрустера, Д. Гукенхеймера, Ф.Холмса, где использован подход, основанный на применении метода Галёркина. Результаты такого анализа расширены и развиты. Использование возможностей современных компьютеров помогло существенно дополнить анализ этой задачи. В частности, найти все решения в четырех- и пятичленных аппроксимациях Галёркина, которые для изучаемой краевой задачи следует интерпретировать как состояния равновесия второго рода. Также дан анализ их устойчивости в смысле определения А. М. Ляпунова.

В данной работе проведено сравнение результатов, полученных с использованием метода Галёркина с результатами бифуркационного анализа краевой задачи на базе применения методов качественного анализа бесконечномерных динамических систем. Сравнение двух вариантов результатов показало некоторую ограниченность возможностей использования метода Галёркина.

The well-known evolutionary equation of mathematical physics, which in modern mathematical literature is called the Kuramoto – Sivashinsky equation, is considered. In this paper, this equation is studied in the original edition of the authors, where it was proposed, together with the homogeneous Neumann boundary conditions.

The question of the existence and stability of local attractors formed by spatially inhomogeneous solutions of the boundary value problem under study has been studied. This issue has become particularly relevant recently in connection with the simulation of the formation of nanostructures on the surface of semiconductors under the influence of an ion flux or laser radiation. The question of the existence and stability of second-order equilibrium states has been studied in two different ways. In the first of these, the Galerkin method was used. The second approach is based on using strictly grounded methods of the theory of dynamic systems with infinite-dimensional phase space: the method of integral manifolds, the theory of normal forms, asymptotic methods.

In the work, in general, the approach from the well-known work of D.Armbruster, D.Guckenheimer, F.Holmes is repeated, where the approach based on the application of the Galerkin method is used. The results of this analysis are substantially supplemented and developed. Using the capabilities of modern computers has helped significantly complement the analysis of this task. In particular, to find all the solutions in the fourand five-term Galerkin approximations, which for the studied boundary-value problem should be interpreted as equilibrium states of the second kind. An analysis of their stability in the sense of A. M. Lyapunov’s definition is also given.

In this paper, we compare the results obtained using the Galerkin method with the results of a bifurcation analysis of a boundary value problem based on the use of qualitative analysis methods for infinite-dimensional dynamic systems. Comparison of two variants of results showed some limited possibilities of using the Galerkin method.

Предлагается новый тип космологических моделей, космологических моделей для Вселенной, не имеющей Начала, то есть существовавшей всегда, и эволюционирующей из бесконечно далекого прошлого.

Предлагаемые космологические модели являются альтернативными по отношению к космологическим моделям, основывающимся на так называемой теории Большого взрыва, по которой Вселенная имеет конечный возраст и произошла из начальной сингулярности.

В этой теории, по нашему мнению, есть определенные проблемы, которые в предлагаемых нами космологических моделях мы избегаем.

В наших космологических моделях Вселенная, развиваясь из бесконечно далекого прошлого, сжимаясь, достигает конечного минимума расстояний между объектами порядка комптоновской длины волны $\lambda_C$ адронов и максимальной плотности вещества, соответствующей адронной эре Вселенной, и затем расширяется, проходя все стадии своей эволюции, установленные астрономическими наблюдениями, вплоть до эры инфляции.

Материальной основой, обеспечивающей принципиальный характер эволюции Вселенной в предлагаемых космологических моделях, является нелинейное дираковское спинорное поле $\psi (x^k)$ с нелинейностью в лагранжиане поля типа $\beta (\bar\psi\psi)^n$ ($\beta = const$, $n$ — рациональное число), где $\psi(x^k)$ — 4-компонентный дираковский спинор, а $\bar{\psi}$ — сопряженный спинор.

Кроме спинорного поля $\psi$ в космологических моделях у нас присутствуют и другие компоненты материи в виде идеальной жидкости с уравнением состояния $p = w\varepsilon$ ($w = const$), при различных значениях коэффициента $w$ $(−1 < w < 1)$, которые обеспечивают эволюцию Вселенной с надлежащими периодами развития в соответствии с установленными наблюдаемыми данными. Здесь $p$ — давление, $\varepsilon = \rho c^2$ — плотность энергии, $\rho$ — плотность массы, а $c$ — скорость света в вакууме.

Оказалось, что наиболее близкими к реальности являются космологические модели с нелинейным спинорным полем с показателем нелинейности $n = 2$.

В этом случае нелинейное спинорное поле представляется уравнением Дирака с кубической нелинейностью.

Но такое уравнение есть нелинейное спинорное уравнение Иваненко–Гейзенберга, которое В. Гейзенберг взял в качестве основы для построения единой спинорной теории материи.

Удивительное совпадение, что одно и то же нелинейное спинорное уравнение может быть основой для построения теории двух разных фундаментальных объектов природы, эволюционирующей Вселенной и физической материи.

Разработки представляемых космологических моделей дополняются их компьютерными исследованиями, результаты которых в работе представлены графически.

A new type of cosmological models for the Universe that has no Beginning and evolves from the infinitely distant past is considered.

These models are alternative to the cosmological models based on the Big Bang theory according to which the Universe has a finite age and was formed from an initial singularity.

In our opinion, there are certain problems in the Big Bang theory that our cosmological models do not have.

In our cosmological models, the Universe evolves by compression from the infinitely distant past tending a finite minimum of distances between objects of the order of the Compton wavelength $\lambda_C$ of hadrons and the maximum density of matter corresponding to the hadron era of the Universe. Then it expands progressing through all the stages of evolution established by astronomical observations up to the era of inflation.

The material basis that sets the fundamental nature of the evolution of the Universe in the our cosmological models is a nonlinear Dirac spinor field $\psi(x^k)$ with nonlinearity in the Lagrangian of the field of type $\beta(\bar{\psi}\psi)^n$ ($\beta = const$, $n$ is a rational number), where $\psi(x^k)$ is the 4-component Dirac spinor, and $\psi$ is the conjugate spinor.

In addition to the spinor field $\psi$ in cosmological models, we have other components of matter in the form of an ideal liquid with the equation of state $p = w\varepsilon$ $(w = const)$ at different values of the coefficient $w (−1 < w < 1)$. Additional components affect the evolution of the Universe and all stages of evolution occur in accordance with established observation data. Here $p$ is the pressure, $\varepsilon = \rho c^2$ is the energy density, $\rho$ is the mass density, and $c$ is the speed of light in a vacuum.

We have shown that cosmological models with a nonlinear spinor field with a nonlinearity coefficient $n = 2$ are the closest to reality.

In this case, the nonlinear spinor field is described by the Dirac equation with cubic nonlinearity.

But this is the Ivanenko–Heisenberg nonlinear spinor equation which W.Heisenberg used to construct a unified spinor theory of matter.

It is an amazing coincidence that the same nonlinear spinor equation can be the basis for constructing a theory of two different fundamental objects of nature — the evolving Universe and physical matter.

The developments of the cosmological models are supplemented by their computer researches the results of which are presented graphically in the work.